Контрольная работа по "Статистике". 88

Содержание:

 

1. Исходные данные

 

2. Вариационные ряды распределения. Графическое представление данных.

 

3. Статистические оценки параметров распределения

    Точечные оценки

 

4. Интервальные оценки. Доверительные интервалы. Ошибки выборочной средней

 

5. Статистические гипотезы

 

6. Дисперсионный анализ

 

7. Корреляционный анализ

 

8.Описательная статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 88

 

8	8
4,2	13,7
5,1	21,3
4,7	18,8
4,8	17,5
5,2	23,4
4,5	18,1
4,8	18,3
4,3	15
5,4	20,8
5,2	24,4
4,9	19
4,5	19,8
4,9	18,2
4,2	14,9
4,9	17,3
4,9	22,2
4,8	22,2
4,4	17,7
5,1	21,9
4	12,1
5	21,5
4,2	15,5
4,8	20,7
4,1	16,7
4,3	11,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа №1 Вариационные ряды распределения

 

Цель:  Построить  интервальные ряды распределения настрига и длины волоса шерсти, отобразить их графически в виде гистограмм, полигонов и кумулят. Для этого использовать надстройку Анализ данных, Мастер функций и Мастер диаграмм.

Содержание: Вариационным рядом или рядом распределения называют упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

Существует 3 вида ряда распределения:

1) ранжированный ряд – это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака; если численность единиц совокупности достаточно велика ранжированный ряд становится громоздким, и в таких случаях ряд распределения строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака (если признак принимает небольшое число значений, то строится дискретный ряд, а в противном случае – интервальный ряд);

2) дискретный ряд  – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – конкретных значений варьирующего признака X_i и числа единиц совокупности с данным значением признака f_i – частот; число групп в дискретном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака;

3) интервальный ряд – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – интервалов варьирующего признака X_i и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот), или долей этого числа в общей численности совокупностей (частостей).

Числа, показывающие, сколько раз отдельные варианты встречаются в данной совокупности, называются частотами или весами вариант и обозначаются строчной буквой латинского алфавита  f. Общая сумма частот вариационного ряда равна объему данной   совокупности, т. е.

 

где k – число групп, n – общее число наблюдений, или объем совокупности.

 

 Общая сумма частностей равна единице

 или  .

 

Для получения  хорошо обозримого   вариационного   ряда  и обеспечения достаточной точности вычисляемых по нему числовых характеристик следует разбить вариацию признака (в пределах от минимальной до максимальной варианты) на такое число групп или классов, которое удовлетворяло бы обоим требованиям. Эту задачу решают делением   размаха   варьирования признака на число групп или классов, намечаемых при построении вариационного ряда:

,

 

где h – величина интервала; X_мax и X_min – максимальное и минимальное значения в совокупности; k – число групп.

Чаще всего  число групп в ряду распределения  определяют по формуле Стерждесса:

где n – численность совокупности.

 

1.Имеются данные по длине волоса25 овец.

11,9
12,1
13,7
14,9
15
15,5
16,7
17,3
17,5
17,7
18,1
18,2
18,3
18,8
19
19,8
20,7
20,8
21,3
21,5
21,9
22,2
22,2
23,4
24,4

Построим интервальный ряд.Для построения графиков в таблице рассчитаем середину интервалов и накопленную частоту.

минимальное значение				11,9
максимальное  значение				24,4
размах  вариации				12,5
число групп вариации				5,643957
число групп вариации после округления				6
длина интервала				2,083333
длина интервала после округления				2,1
Интервальный ряд для распределения длины волоса

Построим гистограмму  распределения длины волоса.

 

Полигон и кумулята распределения длины волоса имеют вид

 

 

 

 

 

2.Имеются данные по настригу шерсти 25 овец.

 

4
4,1
4,2
4,2
4,2
4,3
4,3
4,4
4,5
4,5
4,7
4,8
4,8
4,8
4,8
4,9
4,9
4,9
4,9
5
5,1
5,1
5,2
5,2
5,4

Требуется построить  интервальный ряд распределения  и отобразить его графически в виде гистограммы, полигона и кумуляты. Построим интервальный ряд. Для построения графиков в таблице рассчитаем середину интервалов и накопленную частоту.

минимальное значение	4
максимальное  значение	5,4
размах  вариации	1,4
число групп вариации	5,643957
число групп вариации после округления	6
длина интервала	0,233333
длина интервала после округления	0,3

 

интервальный  ряд распределения настрига шерсти
номер интервала	группа  овец по величине настрига шерсти Хi		Число овец	Середина  интервала	накопленная частота
	нижняя  граница	верхняя граница	fi	Хi’	fi’
1	4	4,3	7	4,2	7
2	4,3	4,6	3	4,5	10
3	4,6	4,9	9	4,8	19
4	4,9	5,2	5	5,1	24
5	5,2	5,5	1	5,4	25
6	5,5	5,8	0	5,7	25
			0	х	х
итого			25

 

Построим  гистограмму распределения настрига шерсти.

Карман	Частота
4,3	7
4,6	3
4,9	9
5,2	5
5,5	1
5,8	0
Еще	0

 

 

 

 

 

 

Полигон и кумулята распределения настрига шерсти имеют вид

 

 

 

Вывод: Благодаря полученным данным,я построила интервальный ряд распределения, гистограмму, полигон и кумуляту для настрига шерсти. Точно так же я сделала и для длины шерсти. По гистограмме длины волоса мы видим, что наибольшее число овец варьируется в пределах от 20,3 до 22,4, а наименьшее число (2 овцы) в пределах от 22,4 до 24,5. А по гистограмме настрига шерсти мы видим, что наибольшее число овец находится в пределах от 4,6- 4,9, а наименьшее от 5,5 до 5,8.

Работа №2 Расчет средних величин.

 

Цель: Научиться рассчитывать средние величины (среднюю арифметическую, моду, медиану), выборочные показатели вариации (дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) и показатели распределения (коэффициенты асимметрии и эксцесса).

Содержание:

Средняя арифметическая

 

Средняя арифметическая является наиболее распространенной среди средних величин. Ее применяют в тех случаях, когда даны отдельные объекты с индивидуальными значениями признаков, выраженными абсолютными показателями. Среднюю арифметическую определяют как отношение суммы индивидуальных значений признаков к их количеству.

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Среднюю арифметическую простую применяют в случае, если индивидуальные значения признака в совокупности встречаются по одному разу, а взвешенную - если индивидуальные значения признака представлены несколькими объектами.

Среднюю арифметическую простую  определяют по формуле:

,

где - средняя;

      х - варианты;

      n - число вариант.

Формула средней  арифметической взвешенной имеет вид:

,

где f - частота вариант.

Средняя квадратическая

 

Среднюю квадратическую используют для признаков, выраженных линейными мерами площади. Например, для определения среднего диаметра корзинок подсолнечика, величины листьев, размера колоний микроорганизмов и др. Также как и средняя арифметическая, средняя квадратическая бывает простая и взвешенная.

Среднюю квадратическую простую  определяют по формуле:

,

где - средняя;

      х - варианты;

      n - число вариант.

Формула средней  квадратической взвешенной имеет вид:

,

где f - частота вариант.

 Мода и медиана

 

В интервальном вариационном ряду моду находят по формуле:

,

где Мо - мода;

  

    х_Мо - нижняя граница модального интервала;

       h_Мо - величина модального интервала;

       f_Мо - частота модального интервала;

       f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

       f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой.

Формула расчета  медианы в интервальном вариационном ряду:

,

где Ме - медиана;

х_Ме - нижняя граница медианного интервала;

h_Ме - величина медианного интервала;

 - сумма частот;

s_Ме−1 - сумма частот, накопленных в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме - частота медианного интервала.

Медианным интервалом является интервал, накопленная частота  которого равна или не превышает половину суммы частот.

 

Размах вариации определяется как разница между наибольшим и наименьшим значениями признака:

,

где R - размах вариации;

x_min, x_max - минимальное и максимальное значение признака.

Дисперсию рассчитывают как среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от средней арифметической:

простая ;

взвешенная  ,

где - дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

простое ;

взвешенное  ,

где - среднее квадратическое отклонение

 

 Коэффициент асимметрии для выборки рассчитывается по формуле:

где A_s – коэффициент асимметрии;

       – момент третьего порядка;

      – выборочное среднее квадратическое отклонение;

      n – число вариант.

Показатель  эксцесса для выборки рассчитывается по формуле:

 или  ,

где – эксцесс;

       – момент четвертого порядка.

 

 

Таблицы:

 

1. Для настрига шерсти.

 

среднее арифметическое	4,688
мода	4,78
медиана	9,1
дисперсия	0,1536
среднее квадратическое отклонение	0,391918359
ассиметрия	-0,141625282
эксцесс	-1,0586125
размах вариации	1,4

 

Мо=

 

Ме=

 

 

 

2.Для длины  волоса.

 

среднее арифметическое	18,516
мода	8,4
медиана	693,1
дисперсия	11,4639
среднее квадратическое отклонение	3,385838
ассиметрия	-0,30499
эксцесс	-0,55234
размах вариации	12,5

 

Мо=

 

 

Ме=

 

Вывод: Полученные данные, свидетельствуют о том, что для настрига мода равна 4,78  медиана 9,1 а для длины шерсти мода равна 8,4 а медиана 693,1. Размах вариации у настрига шерсти 1,4, у длины шерсти  12,5. Дисперсия у настрига шерсти 0,1536, длина шерсти 11,4639. Среднее квадратическое отклонение настрига шерсти  0,391918359, длина шерсти 3,385838  . Ассиметрия настриг шерсти  -0,141625282, длина шерсти   -0, 30499. И наконец,  эксцесс у настрига шерсти  -1,0586125и у длины шерсти -0,55234 . Выполнен анализ рядов распределения.

 

 

1. Работа №3. Выборочный  метод.

 

Цель: С помощью выборочного метода рассчитать для каждого ряда распределения предельные ошибки выборочной средней и определить вероятность осуществления заданной ошибки, предполагая, что проводилась бесповторная выборка из стада овец в 500 голов.

 

Содержание работы: Основной задачей выборочного наблюдения является определение предельной ошибки выборочной средней или доли, которая позволяет найти доверительные пределы генеральной средней или доли. Расчеты проводят на основе фактических данных, полученных в результате выборочного наблюдения.

Выборочный  метод исследования, кроме определения  необходимой численности выборки и пределов генеральной средней и доли, позволяет определить вероятность осуществления заданной ошибки. Вероятность заданной ошибки определяется с помощью таблицы интеграла вероятностей (прилож. 1) на основе фактического нормированного отклонения, которое рассчитывается по формуле:

                                                            .

В этом случае надо знать предельную и среднюю  ошибки выборки.

 

 

Таблицы:

 

1. Для настрига шерсти.

 

Вероятность		0,95
Нормированное отклонение		1,96
Поголовье овец, гол.		25
Средний настиг шерсти, г		4,688
Среднее квадратическое отклонение настрига шерсти, г		0,392
Средняя ошибка выборки настрига шести, г		0,0784
Предельная ошибка выборки настрига шерсти, г		0,15
генеральная совокупность		500,00
Средняя ошибка выборки		0,078384

 

 

2. Длина волоса

 

Вероятность	0,95
Нормированное отклонение	1,96
Поголовье овец, гол.	25
Средняя длина волоса, г	18,516
Среднее квадратическое длины волоса, г	3,385838
Средняя ошибка выборки  длины волоса, г	0,677168
Предельная ошибка выборки  длины волоса, г	1,327224
генеральная совокупность	500
Средняя ошибка выборки	0,677168

 

Вывод. На основе полученных данных, мы делаем вывод, что средняя ошибка выборки настрига шерсти  равна 0,0784, а для длины шерсти равна 0,677168. Предельная ошибка выборки настрига шерсти 0,15. И у длины шерсти 1,327224.

 

 

 

 

 

Работа №4. Проверка статистических гипотез.

 

Цель: Проверить гипотезу соответствия рядов распределения настрига и длины волоса шерсти нормальному закону распределения. Для этого использовать Мастер функций.

 

Содержание. Критерий c² как критерий согласия используют при проверке принадлежности эмпирического распределения к теоретическому, например, к нормальному, биноминальному, распределению Пуассона и т. п.

В этом случае значение критерия c² определяют, исходя из частот (f) эмпирического распределения и частот (f_o) теоретического распределения:

.

При этом возможны случаи, когда теоретические частоты заранее известны и когда неизвестны. Во втором случае теоретические частоты определяют на основе теоретического распределения исходя из численности выборки.

При проверке гипотезы о соответствии эмпирического  распределения теоретическому сравнивают фактическое значение критерия с табличным . Если меньше , следовательно, эмпирическое распределение соответствует теоретическому. В противном случае эмпирическое распределение не соответствует теоретическому, распределение частот в нем носит другой характер.

 

Таблицы.

 

1. Настриг шерсти.

 

Интервальный  ряд распределения настрига шерсти
Номер интервала	Группа овец по величине настрига шерсти		Фактическое распределение поголовья (эмпирические частоты)	Середина  интервала	Плотность нормального  распределения	Теоретическое распределение поголовья (теоретические  частоты)
1	4	4,3	7	4,2	0,3967546	2,975659503
2	4,3	4,6	3	4,5	0,846517144	6,348878578
3	4,6	4,9	9	4,8	1,005263981	7,539479858
4	4,9	5,2	5	5,1	0,664438919	4,983291894
5	5,2	5,5	1	5,4	0,244433418	1,833250639
6	5,5	5,8	0	5,7	0,050049147	0,3753686
Итого			25	х	х	24,05592907

 

 

Средняя арифметическая	4,688
Среднее квадратическое отклонение	0,391918359
Уровень значимости	0,05
Степени свободы вариации	5
Фактический уровень  значимости	0,14318245
Фактическое значение хи-квадрат	8,246130046
Табличное значение хи-квадрат	11,07049769

 

Постоим полигон распределения  для настрига шерсти.

 

 

 

2. Длина волоса.

 

 

 

 

 

           Постоим полигон распределения по длине волоса.

 

Вывод. Расчеты данной работы показали, что  фактический уровень значимости у настрига шерсти   = 0,14318245, а у длины волоса =0,599683 . Фактическое значение хи-квадрат у настрига=8,246130046, а у длины – 5,129204.

Поскольку фактическое  значение критерия меньше табличного        (c²  _{фактическое}<c²  _{теоретическое)}, то нулевая гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому для настрига шерсти не принимается, т.е. распределение признака «настриг шерсти» не соответствует нормальному закону (a=0,05).

 

Работа №5. Дисперсионный анализ.

 

Цель: Используя данные интервального ряда распределения настрига шерсти с помощью дисперсионного анализа рассчитать достоверность разницы в настриге шерстив зависимости от длины волоса шерсти.

Содержание  работы:

При группировке данных по одному признаку и случайному, то есть независимому формированию групп, общая вариация раскладывается на групповую и остаточную вариации:

.

Формулы для  расчета вариации имеют вид:

общая вариация (сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней):

,

где w_о - общая вариация;

- общая средняя арифметическая;

x_ij - варианты;

k - число групп;

n_i - численность групп;

N - численность совокупности;

групповая вариация (сумма квадратов   отклонений групповых средних от общей средней):

,

где w_гр - групповая вариация;

 - групповые средние арифметические;

остаточная  вариация (сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней по группам):