Корреляционно-регрессионный анализ сельскохозяйственных культур (на данных статистики Республики Казахстан)

Казахский Экономический  Университет им. Т. Рыскулова

Факультет Управления

Кафедра Прикладной математики

 

 

 

 

 

 

 

ПРОЕКТ

Корреляционно-регрессионный  анализ сельскохозяйственных  культур (на данных статистики Республики Казахстан)

 

(дисциплина: «Эконометрика»)

 

 

 

 

 

 

Выполнили: Омарова Арзигуль

Хегай Антонина

СКС-205

Научный руководитель: Мадиярова  К. З.

 

Алматы 2011

Задание

1. Постановка задачи
2. Формирование факторов и их содержательный анализ
3. Установление тесноты связи факторов модели регрессии
4. Выбор вида модели регрессии
5. Определение параметров модели регрессии
6. Проверка адекватности модели регрессии
7. Проверка значимости параметров модели регрессии
8. Прогнозирование значений зависимой переменной
9. Регрессионный анализ в Excel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Сельскохозяйственные культуры – это культурные растения, возделываемые  с целью получения продуктов  питания, технического сырья и корма  для скота.

На продуктивность сельскохозяйственных культур влияет множество факторов:

-  естественные (природные) условия (температура воздуха, солнечная радиация), влиять на которые человек не может, но которые учитываются при выборе сроков сева, густоты стояния растений, направления рядков и т.д.

- факторы, зависящие от  производственной деятельности  человека: наличие влаги в почве;  обеспеченность растений элементами  питания; качество семян и т.д.

В нашей работе в качестве факторного признака, влияющего на урожайность сельскохозяйственных культур Республики Казахстан, была взята посевная площадь. Статистические данные взяты за последние 20 лет (1990 – 2010гг.). На основе этих данных, мы провели корреляционно-регрессионный анализ.

Корреляционный анализ является одним из методов статистического  анализа взаимосвязи нескольких признаков. В нашей модели представлена парная корреляция, т.е. связь между двумя признаками (факторным и результативным).

Основными задачами корреляционного  анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

 

1. Постановка задачи

 

Целью нашего исследования является анализ статистических данных за последние 20 лет и прогнозирование данных урожайности сельскохозяйственных культур в РК на ближайшие годы. Задача состоит в проведении корреляционно-регрессионного анализа, на основе которого можно будет определить тесноту связи между факторами, а также выявить является ли модель адекватной.

 

2. Формирование факторов и их содержательный анализ

 

После тщательного отбора данных, мы остановились на следующих переменных: урожайность и посевная площадь. От размеров посевной площади зависит многое. К примеру, если площадь вашего огорода будет маленькой, то соответственно и количество собранных вами овощей будет небольшим. Отсюда следует, что урожайность зависит от посевной площади. Факторный признак, или независимая переменная X, есть посевная площадь. Урожайность является зависимой переменной, то есть выступает в качестве результативного признака.

Рисунок 1. Исходные данные модели

	Посевная площадь, тыс.га	Урожайность, ц
	Xi	Yi
1990	70,8	154,0
1991	75,1	121,0
1992	83,3	114,0
1993	74,0	106,0
1994	73,4	104,0
1995	76,1	101,0
1996	79,8	96,0
1997	87,1	101,0
1998	96,5	114,0
1999	96,1	134,0

 

2000	102,6	153,0
2001	107,7	166,0
2002	108,7	172,0
2003	110,2	177,0
2004	111,3	186,0
2005	110,8	196,0
2006	103,0	201,0
2007	104,2	211,0
2008	112,9	204,0
2009	110,6	218,7
2010	120,3	214,4

 

3. Установление тесноты связи факторов

 

Теснота связи определяется коэффициентом корреляции.

Коэффициент корреляции - это показатель того, насколько близко точки графика разброса лежат относительно прямой линии.

Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального  характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Корреляция и регрессия  тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму. И корреляция, и регрессия служат для установления соотношений между явлениями и для определения наличия или отсутствия связи между ними.

Формула коэффициента корреляции:

, где

r – коэффициент корреляции;

Хi – значение фактора;

Хср – среднее значение фактора Хi;

Уi – значение результата;

Уср – среднее значение результата производства.

Значение коэффициента парной корреляции может изменяться от -1 до +1. Знак показывает на характер связи: + на прямую зависимость, – на обратную. При значениях коэффициента корреляции, близкого к 0, говорит о слабой связи  между фактором и его результатом  или означает что между ними нелинейная связь. Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем связь теснее. При значении, равном ±1, связь функциональная.

Подставив значения нашей модели, рассчитанные в EXCEL, в формулу коэффициента корреляции, мы выяснили, что связь нашей модели прямая, положительная и тесная.

 

Коэффициент детерминации представляет собой альтернативный показатель степени  зависимости между двумя переменными. Данное значение вычисляется путем  ввода в квадрат коэффициента корреляции, то есть . Коэффициент детерминации часто более предпочтителен, чем коэффициент корреляции, так как его можно использовать для количественного определения характеристики, связывающей две переменные. Это значение дает пропорцию общего изменения одной переменной у, которую можно объяснить изменением второй переменной х. Эта величина выражена в процентах.

=0.83313²=0.694106    →     69%  - доля вариации, 31% - приходится на неучтенные факторы.

 

4. Определение вида модели регрессии

 

Определение вида модели регрессии осуществляется одним из трех способов: графическим, аналитическим, экспериментальным.

При изучении  зависимости  между признаками графический метод  подбора вида уравнения регрессии  достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. При небольшой численности наблюдений по одному признаку можно использовать графики. Графики занимают особое место в корреляционном анализе, как один из приемов установления формы связи.

При построении графиков на оси абсцисс располагаются данные независимой переменной, а на оси  ординат – зависимой переменной. По расположению точки можно определить форму связи факторов.

В нашем случае линейная функция выглядит таким образом:

Рисунок 2. График парной регрессии модели

Она представлена в виде линейной функции у=а+bх, где:

у – зависимая переменная;

х – независимая переменная;

а, в – параметры уравнения.

Коэффициент в называется коэффициентом пропорциональности, или коэффициентом регрессии. Он показывает, как изменится в среднем у при изменении х на единицу.

На графике видно, что  урожайность сельскохозяйственных культур имеет тенденцию роста.

 

 

5. Определение параметров модели регрессии

На этом этапе определяются числовые назначения параметров (а, в) регрессии. Для этого используется метод наименьших квадратов.

{

Подставив в эту формулу  значения нашей таблицы, получаем следующую  систему уравнений:

{

С помощью операций в Excel, вычисляем обратную матрицу, и находим значения параметров а и b è a=-62,3795377; b=2,260645466.

Вычисление обратной матрицы  в Excel:

1. Вводим значения Матрицы А и Матрицы В:

Матрица А			Матрица В
21	2014,5		3244,1
2014,5	198415,8		322884,2

 

2. Выделяем 4 пустые ячейки для обратной матрицы è fx è МОБР è Выделить Матрицу А è Shift+Ctrl+Enter è Закрыть

Обратная матрица
1,828353908	-0,018563133
-0,018563133	0,00019351

 

3. Выделить 2 пустые ячейки для параметров а и b è fx è МУМНОЖ è выделить обратную матрицу (Массив 1) è Выделить Матрицу В (Массив 2) è Shift+Ctrl+Enter è Закрыть

Значения

-62,3795377

2,260645466

 

Отсюда a=-62,3795377; b=2,260645466 è y=-62,379+2,2606x

 

6. Проверка  адекватности модели регрессии

 

Проверка состоит в  оценке трех параметров:

1. Проверка качества подбора теоретического уравнения проводится с использованием средней ошибки аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации регрессии определяется по формуле:

Аср= (∑Аi)/n

Ошибка аппроксимации  в пределах 6-8% свидетельствует о  хорошем подборе модели к исходным данным.

Аср=2,69481/21=0,1284 *100%=12,84      → превышает пределы

2. Проверка качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н˚ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфак и критического Fтабл значений F –критерия Фишера. Fфак определяется из соотношения:

Значение F вычисляемое по формуле сравнивают с критическим значением. Если Fф>Fкр, то нулевая гипотеза о случайной природе зависимости отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность модели регрессии.

 Fтабл=4,32 < Fфакт=43,114 – модель надежна

3)Для оценки адекватности  модели регрессии рассчитывается t-критерий Стьюдента:

t=

Значение t вычисляемое по формуле сравнивают с критическим значением. Если tф>tкр, то нулевая гипотеза о случайной природе зависимости отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность модели регрессии.

tтабл=2.0796 < tфакт=6,57

Уравнение регрессии является адекватным, т.е. полученное уравнение достоверно описывает количественную зависимость факторов у и х.

Если модель удовлетворяет  всем требованиям качества, то она  может быть использована для прогнозирования  или анализа механизмов исследуемых  процессов. Такая модель позволяет  с высокой долей надежности предсказать  среднее значение исследуемого экономического показателя на основе прогнозируемых или фиксируемых значений факторов, предвидеть вероятности отклонения конкретных значений изучаемой величины от предсказуемого по модели. Модель поможет  определить, на какие факторы, в каком  направлении и объеме следует  воздействовать, чтобы значение исследуемого показателя лежало в определенных числовых границах.

 

7. Проверка значимости параметров модели регрессии

 

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения  в целом, но и отдельных его  параметров. Для этого по каждому  параметру определяется стандартная  ошибка m_a и m_b:

        

Подставляя данные из нашей  таблицы, получаем:

 

 

Проверка статистической значимости параметров модели регрессии  по критерию Стьюдента проводится по следующим формулам:

                               

Отсюда получаем:

 

 

Значение t, вычисляемое по формуле, сравниваем с критическим значением: t_fact = 6,56 > t_kr = 2,07 è параметры а и b являются статистически значимыми и фактор х оказывает существенное влияние на у.

Необходимо выяснить, согласуются  ли абсолютные значения параметров а  и b. При это особенно важно соответствие знаков параметров.

Вычислим доверительные  интервалы параметров регрессии:

1. Определим предельную ошибку для каждого параметра.

 

2. Вычисляем доверительные интервалы:

 

 

 

 

 

3. Параметры а и b находятся в интервалах:

 

 

Поскольку параметр b имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала не должны содержать противоречивых результатов, то есть положительные и отрицательные значения одновременно. В нашем случае параметр b находится между положительными интервалами, а значит, модель на этом не заканчивается.

 

8. Прогнозирование значения зависимой переменной у

 

Полученные уравнения  регрессии находят практическое применение в прогностическом анализе. Прогноз получают путем постановки в регрессию с численно оцененными параметрами значений факторов.

Прогнозное значение Упрог  определяется путем подстановки  в уравнение регрессии соответствующего значения Хпл

Средняя стандартная ошибка прогноза вычисляется по формуле:

и доверительный интервал прогноза

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует  помнить, что величина прогноза зависит  не только от стандартной ошибки индивидуального  значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа  других  моделей, исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Упрог 2011=-12,646

Упрог 2012=-10,385

Доверительные интервалы  на 2011:

Таким образом, Упрог  будет  находится в интервале [-87,37;  62,03]

Доверительные интервалы  на 2012 год:

Упрог за 2012 год будет  находится в этом промежутке [-84,55;   63,78]

 

9. Регрессионный анализ в Excel

 

Регрессионный анализ выполняется  на компьютере с помощью ППП Excel, анализ выполняется очень легко и быстро. Для него нужно выполнить следующие шаги:

1. В главном меню выбираем последовательно пункты:

Меню→Данные→Анализ данных→Корреляция→ОК

2. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода

Входной интервал; выделить все столбцы, содержащие значение Х и У;

Выходной интервал; выделить область пустой ячейки для вывода результатов.

Excel представит таблицу коэффициентов парной корреляции между У и Х.

	Столбец 1	Столбец 2
Столбец 1	1
Столбец 2	0,833130196	1

Эта таблица показывает коэффициент  корреляции между У и Х                =0.833.

3. Для вычисления параметров уравнения регрессии используем инструмент анализа данных Регрессия

Алгоритм выполнения следующий: Меню→Данные→Анализ данных→Регрессия→ОК

Входной интервал У: выделить столбец содержащий значение У;

Входной интервал Х: выделить столбец содержащий значение Х;

Выходной интервал: выделите область пустых ячеек для вывода результатов.

Остатки; установить флажок.

Появились 3 таблицы.

1. Таблица регрессионной статистики

Регрессионная статистика
Множественный R	0,833130196
R-квадрат	0,694105923
Нормированный R-квадрат	0,678006235
Стандартная ошибка	24,75009609
Наблюдения	21

 

2. Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	26409,61451	26409,61451	43,11300389	2,75642E-06
Остаток	19	11638,77787	612,5672564
Итого	20	38048,39238

 

3. Таблица параметров уравнения регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-62,37902129	33,46615312	-1,863943581	0,077857757	-132,4244848	7,666442188
Переменная X 1	2,260640083	0,344292278	6,566049337	2,75642E-06	1,540028064	2,981252102

 

По результатам запишем  уравнение регрессии. У=-62,379+2,260х

Доверительные интервалы:

-132,425<а<7,666                                1,540<в<2,982

 

 

 

 

Заключение

 

Проведя корреляционно-регрессионный  анализ над моделью, мы выявили следующее:

– Количество собранного урожая зависит от размеров посевной площади, чем больше посевная площадь, тем  больше урожай. Исходя из этого у  нас: посевная площадь - это факторный признак Х, урожайность –результативный признак У.

– В ходе исследования мы выявили, что теснота связи этих факторов тесная и положительная, так  как r=0,83313.

– Далее, построив график, мы увидели, что зависимость урожайности (У) от посевной площади (Х) характеризуется  линейной функцией у=а+вх. На графике  видно что урожайность имеет  тенденцию роста.

– Затем, определяем параметры  модели регрессии. Они равны: а=-62,379 и в=2,260   →   отсюда уравнение  регрессии имеет вид: у=-62,379+2,260*х. Значение параметра b говорит о том, что при увеличении площади посева на 1 гектар, урожайность повысится на 2,260 центнеров.

– Затем мы проверили  модель регрессии на адекватность при  помощи:

1. Средней ошибки аппроксимации:   А=12,84   →  превышает 6-8%.
2. F-критерия Фишера:  F=43.114   →   Fтабл<Fфакт 
3. t-критерий Стьюдента:   t= 6,567   →    tтабл< tфакт

Отсюда следует, что модель регрессии надежна и уравнение  регрессии является адекватным. Т. е. полученное уравнение достоверно описывает  количественную зависимость факторов у и х.

–  Для того чтобы проверить  значимость параметров модели регрессии, мы определили стандартные ошибки:  ,      

– Нашли статистическую значимость параметров модели регрессии:

, 

– Затем нашли доверительные интервалы параметров регрессии:  -132,425<а<7,667  и 1,540<в<2,982

– Мы также составили  прогноз значений зависимой переменной у на 2 года вперед

         

Посмотрев на прогнозные значения, можно сделать вывод, что через  год, т.е. в 2011 году, урожайность сельскохозяйственных культур повысится в среднем  на 2 центнера. Так же и год спустя снова, урожайность повысится на 2 центнера. Значит, урожайность сельскохозяйственных культур имеет тенденцию к  росту. А следственно, с каждым годом  увеличивая количество собранного урожая на 2 центнера, дело придет к стабилизации, так как урожайность с.х. продукции  находится сейчас в убыточном  состоянии.

Относительно всей модели в целом, можно сказать что  она вполне адекватна, и очень  надежна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1. Рахметова Р.У. –Эконометрика,  Алматы 2011
2. И.И. Елисеева. Эконометрика.-М.: «Финансы и статистика», 2002
3. Рахметова Р.У. Краткий курс по эконометрике. Учебное пособие.

Алматы. 2008.-78с.

4. Емельянов И.Г. Эконометрия м прогнозирование. – М.: Экономика, 1985

207с

5. Статистические сборники
6. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский «Теория

 вероятностей и математическая статистика»/ М., 1991.

7. «Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.
8. «Многомерный статистический анализ на ЭBM с использованием

пакета Microsoft Excel»/ М., 1997.

9. С.А. Бородич. /Эконометрика Минск ООО «Новое знание» 2001.
10. Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. –М., 1997
11. Рахметова Р.У. Краткий курс по эконометрике. Учебное пособие.

Алматы. 2008. – 78с.

12. А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный

анализ в экономических  приложениях»/ М., 1987.

13. И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М., 1998.
14. А.Н. Кленин, К.К. Шевченко «Математическая статистика для

экономистов-статистиков»/ М., 1990.

15. http://www.stat.kz/forrespondent/Pages/arhiv_dlya_respon.aspx