Кристалография

1.Кристаллогра́фия — наука о кристаллах, их структуре, возникновении и свойствах. Она тесно связана с минералогией, физикой твёрдых тел и химией. Исторически кристаллография возникла в рамках минералогии, как наука описывающая идеальные кристаллы.

Истоки кристаллографии можно усмотреть ещё в античности, когда греки предприняли первые попытки описания кристаллов. При этом большое значение придавалось их форме. Греками же была создана геометрия, выведены пять платоновых тел и сконструировано множество многогранников, позволяющих описывать форму кристаллов.

1611 год — трактат «О шестиугольных  снежинках» немецкого астронома  и математика И. Кеплера. Кеплера  иногда называют ранним предшественником  структурной кристаллографии.

Как самостоятельная дисциплина кристаллография была изложена французским минералогом Жаном Батистом Луи Роме-де-Лилем (Rome de l’Isle) в 1772 году в сочинении «Опыт кристаллографии». Позднее Жан Батист Луи Роме-де-Лилем переработав и расширив это сочинение, опубликовал его в 1783 году под названием «Кристаллография, или описание форм, присущих всем телам минерального царства».

Ренэ-Жюст Гаюи нашёл весьма важный закон о рациональности разрезов по осям, который имеет значение для всего строения кристалла. Независимо друг от друга он и шведский химик Торберн Бергман выяснили, что из всех кристаллов известковых шпатов можно вырубить кристалл основной формы, тем самым открыли существование плоскостей спайности.

Первым в России предпринял точные кристаллографические исследования Н. И. Кокшаров, а получил полную классификацию кристаллографической группы Е. С. Фёдоров.

Кристаллография зародилась в древности  и развивалась в тесной связи  с минералогией как наука, устанавливающая  законы огранения кристаллов (Р. Ж. Гаюи, 1784). В дальнейшем была развита теория симметрии внешней формы кристаллов (А. В. Гадолин, 1867 г.) и их внутреннего строения (Е. С. Федоров, 1890 г., А. Шенфлис, 1891 г.)

До открытия дифракции рентгеновских  лучей основным методом описания и идентификации кристаллов был  метод, основанный на гониометрии. Наблюдение и измерение огранения кристаллов, установление законов огранения — предмет геометрической кристаллографии. На основе геометрической кристаллографии возникла гипотеза об упорядоченном, трёхмерно-периодическом расположении в кристалле составляющих его частиц, в современном понимании — атомов и молекул, которые образуют кристаллическую решетку. Геометрическая кристаллография изучает основные метрические характеристики кристаллической решетки, периоды повторяемости и углы элементарной ячейки, разрабатывает методы их описания и устанавливает закономерности их огранения.

Учение о симметрии кристаллов, получившее в последнее время  интенсивное развитие, является теоретической  основой кристаллографии. Симметрия  — наиболее общая закономерность, присущая строению и свойствам кристаллического вещества, которое по своим макроскопическим признакам можно определить как однородную анизотропную симметричную среду. Большой вклад в развитие теории симметрии и антисимметрии внесли А. В. Шубников и Н. В. Белов. Основами математического аппарата кристаллографии помимо теории групп симметрии кристаллов является тензорное

1.1 КРИСТАЛЛЫ – вещества, в которых мельчайшие частицы (атомы, ионы или молекулы) «упакованы» в определенном порядке. В результате при росте кристаллов на их поверхности самопроизвольно возникают плоские грани, а сами кристаллы принимают разнообразную геометрическую форму.

1.2 Строение кристаллов.

 В зависимости от строения, кристаллы делятся на ионные, ковалентные, молекулярные и металлические. Ионные кристаллы построены из чередующихся катионов и анионов, которые удерживаются в определенном порядке силами электростатического притяжения и отталкивания. Электростатические силы ненаправленные: каждый ион может удержать вокруг себя столько ионов противоположного знака, сколько помещается. Но при этом силы притяжения и отталкивания должны быть уравновешены и должна сохраняться общая электронейтральность кристалла. Все это с учетом размеров ионов приводит к различным кристаллическим структурам. Так, при взаимодействии ионов Na+ (их радиус 0,1 нм) и Cl– (радиус 0,18 нм) возникает октаэдрическая координация: каждый ион удерживает около себя шесть ионов противоположного знака, расположенных по вершинам октаэдра. При этом все катионы и анионы образуют простейшую кубическую кристаллическую решетку, в которой вершины куба попеременно заняты ионами Na+ и Cl–. Аналогично устроены кристаллы KCl, BaO, CaO, ряда других веществ.

 Ионы Cs+ (радиус 0,165 нм) по размерам  близки ионам Cl–, и возникает  кубическая координация: каждый ион окружен восемью ионами противоположного знака, расположенными в вершинах куба. При этом образуется объемноцентрированная кристаллическая решетка: в центре каждого куба, образованного восемью катионами, расположен один анион, и наоборот. (Интересно, что при 445° С CsCl переходит в простую кубическую решетку типа NaCl.) Более сложно устроены кристаллические решетки CaF2 (флюорита), многих других ионных соединений. В некоторых ионных кристаллах сложные многоатомные анионы могут соединяться в цепи, слои или образовывать трехмерный каркас, в полостях которого располагаются катионы. Так, например, устроены силикаты. Ионные кристаллы образуют большинство солей неорганических и органических кислот, оксиды, гидроксиды, соли. В ионных кристаллах связи между ионами прочные, поэтому такие кристаллы имеют высокие температуры плавления (801° С для NaCl, 2627° С для СаО).

 В ковалентных кристаллах (их  еще называют атомными) в узлах  кристаллической решетки находятся  атомы, одинаковые или разные, которые связаны ковалентными связями. Эти связи прочные и направлены под определенными углами. Типичным примером является алмаз; в его кристалле каждый атом углерода связан с четырьмя другими атомами, находящимися в вершинах тетраэдра. Ковалентные кристаллы образуют бор, кремний, германий, мышьяк, ZnS, SiO2, ReO3, TiO2, CuNCS. Поскольку между полярной ковалентной и ионной связью нет резкой границы, то же справедливо и для ионных и ковалентных кристаллов. Так, заряд на атоме алюминия в Al2O3 равен не +3, а лишь +0,4, что свидетельствует о большом вкладе ковалентной структуры. В то же время в алюминате кобальта CoAl2O4 заряд на атомах алюминия увеличивается до +2,8, что означает преобладание ионных сил. Ковалентные кристаллы, как правило, твердые и тугоплавкие.

1.3  Основные понятия кристаллографии

Симме́три́я кристаллов (др.-греч. συμμετρία  «соразмерность», от μετρέω — «меряю»)- это закономерная повторяемость  в пространстве одинаковых граней, ребер и углов фигуры, которая  может совмещаться сама с собой  в результате одного или нескольких отражений. Для описания симметрии пользуется воображаемыми образами — точками, прямыми, плоскостями, называемыми элементами симметрии. Плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ; точка М преобразуется в М’ при отражении (зеркальном) относительно АВ

 Куб, имеющий прямую AB осью  симметрии третьего порядка, прямую CD — осью симметрии четвёртого  порядка, точку О — центром  симметрии. Точки М и M' куба  симметричны как относительно  осей AB и CD, так и относительно  центра О

Какой только симметрии не встретишь в природе и в произведениях искусства! Всевозможные сочетания осей, плоскостей и центра симметрии — в кристаллографии прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол симметричная фигура займет в пространстве то же положение, которое она занимала до поворота, но на место одних ее частей переместятся др. такие же части. Наименьший угол поворота вокруг оси, при котором фигура совмещается сама с собой, называется элементарным углом поворота О. с.; он всегда содер. в 360° целое число раз, которое называется порядком оси. В к-лах в связи с их решетчатым строением возможны лишь оси симметрии первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. О. с. первого порядка, совпадающие с любым направлением любой фигуры, обычно в расчет не принимаются. О. с., встречающиеся в к-лах, обозн. L2, L3, L4, L6, или G2, G3, G4, G6, или 2, 3, 4, 6.

Чтобы понять, почему это так, посмотрим  на плоские сетки орнаментов, составленных из фигур с осями симметрии  от 1-го до 8-го. .Видно, что косые параллелограммы, прямоугольники, треугольники, квадраты и шестиугольники, т. е. фигуры с осями симметрии порядков 1, 2, 3, 4, и 6, прилегают друг к другу плотно и заполняют всю плоскость сплошь без промежутков. Не то с пятиугольниками или семиугольниками: их никак нельзя приложить друг к другу вплотную, между ними обязательно остаются дыры, просветы, пустоты.

Представьте себе теперь такие же сетки в пространстве, пусть они  образуют остов атомной структуры  кристаллов. Очевидно, оси симметрии 5-го или 7-го порядков в структуре невозможны, потому что атомные ряды и сетки не заполняют пространство непрерывно, возникнут пустоты, промежутки между положениями равновесия атомов. Атомы окажутся не в самых устойчивых положениях, и кристаллическая структура разрушится.

— в кристаллографии прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол симметричная фигура займет в  пространстве то же положение, которое  она занимала до поворота, но на место  одних ее частей переместятся др. такие  же части. Наименьший угол поворота вокруг оси, при котором фигура совмещается сама с собой, называется элементарным углом поворота О. с.; он всегда содер. в 360° целое число раз, которое называется порядком оси. В к-лах в связи с их решетчатым строением возможны лишь оси симметрии первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. О. с. первого порядка, совпадающие с любым направлением любой фигуры, обычно в расчет не принимаются. О. с., встречающиеся в к-лах, обозн. L2, L3, L4, L6, или G2, G3, G4, G6, или 2, 3, 4, 6.

 Зеркально – поворотная ось симметрии n – малого порядка (Sn) – это такая операция, при которой кристалл совмещается сам с собой, если произвести его поворот вокруг обычной оси n – малого порядка с последующем отражением кристалла в плоскости σh перпендикулярной оси n – го порядка. При этом в отдельности ни ось Cn ни плоскость σh не являются элементами симметрии кристалла, преобразованием симметрии является их комбинация (“произведение”), т.е.  значит, зеркальный поворот является самостоятельным элементом симметрии кристалла. Примером объекта, в котором имеется зеркально-поворотная ось, может служить деревянный квадрат, по углам которого вбиты четыре гвоздя: два сверху и два снизу. Ось S4 перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через его центр. Одного поворота вокруг оси   S4 на 90° недостаточно, чтобы данный объект совпал сам с собой. Для этого необходико последующее отражение в плоскости, перпендикулярной оси   S4 и рассекающей квадрат пополам (нижняя часть квадрата при отражении переходит вверх, верхняя - вниз);

Помимо оси  S4 в данном объекте  присутствует также простая поворотная ось C2 (поворот на 180°), совпадающая  с осью   S4.

 Следует земетить, что плоскость  симметрии эквивалентна заркально-поворотной  оси первого порядка (поворот  на 360° и отражение в плоскости );

Аналогично, центр симметрии  эквивалентен оси симметрии  S2(поворот  на 1800 и отражение в плоскости, перпендикулярной оси): 'Гаким образом, элементы симметрии составляют группу зеркально-поворотных осей

Группы симметрии, операции которых оставляют хотя бы одну точку пространства на месте, называются точечными группами симметрии. Типичные примеры точечных групп — группа вращений, группа линейных преобразований, зеркальная симметрия.

Кристаллографическая  точечная группа симметрии — это  точечная группа симметрии, которая описывает макросимметрию кристалла. Поскольку в кристаллах допустимы оси (поворотные и несобственного вращения) только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, из всего бесконечного числа точечных групп симметрии только 32 относятся к кристаллографическим.

Плоскость симметрии (P) — это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две симметрично равные части, расположенные друг относительно друга  как предмет и его зеркальное отражение. Ось симметрии (L) — прямая линия, при вращении вокруг которой повторяются равные части фигуры, то есть она самосовмещается. Число совмещений при повороте на 360° определяет порядок оси симметрии (n). Центр симметрии (С) — точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам все линии, соединяющие соответственные точки на его поверхности.

2. Символика Браве

В основном используется в учебных  целях и сводится к перечислению всех элементов точечной группы. Поворотные оси симметрии обозначаются буквой L с нижним цифровым индексом n, соответствующим  порядку оси (Ln) — L1, L2, L3, L4 и L6. Инверсионные оси (комбинация поворота с инверсией) обозначаются буквой Ł с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку оси (Łn) — Ł2, Ł3, Ł4 и Ł6. Инверсионная ось первого порядка (центр инверсии) обозначается символом C. Инверсионная ось второго порядка есть просто плоскость симметрии и обычно обозначается символом P. Для уточнения ориентации плоскости относительно главной оси могут использоваться разные индексы, например, || и ⊥. Например, символ L2P⊥C обозначает группу состоящую из оси второго порядка и перпендикулярной к ней плоскости (и, как следствие их взаимодействия, центра инверсии), а символ L22P|| - группу состоящую из оси второго порядка и двух параллельных ей плоскостей (хотя в случае только параллельных плоскостей символ || обычно опускают и будет L22P). Символ L44L24P||P⊥C обозначает группу, состоящую из оси четвёртого порядка, четырёх перпендикулярных к ней осей второго порядка, четырёх параллельных ей плоскостей, одной перпендикулярной плоскости и центра инверсии.

3. Символ Шёнфлиса

Символика Шёнфлиса основана на классификации  точечных групп по семействам и широко используется для обозначения вообще всех точечных групп, а не только кристаллографических.

Семейство групп с единственной поворотной осью обозначается латинской буквой C с индексом, показываюшим порядок оси. К кристаллографическим относятся C1, C2, C3, C4 и C6.

Добавление горизонтальной плоскости  к группам Cn обозначается дополнительным индексом h. Получаем группы C2h, C3h, C4h и C6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Cn обозначается дополнительным индексом v. Группы C2v, C3v, C4v и C6v.

Поскольку в группе C1 не существует особых направлений, добавленная плоскость  не может характеризоваться как  вертикальная или горизонтальная. Такая плоскость обозначается индексом s. Таким образом, символ группы состоящей из одной плоскости симметрии — Cs (нем. spiegel — зеркало).

Группы с осями второго порядка, перпендикулярным главной оси обозначаются буквой D с индексом, показывающим порядок главной поворотной оси. К кристаллографическим относятся D2, D3, D4 и D6.

Добавление горизонтальной плоскости  к группам Dn обозначается, так же, как и в случае Сn, дополнительным индексом h. Группы — D2h, D3h, D4h и D6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Dn неоднозначно, так как плоскости могут располагаться как между горизонтальных осей второго порядка, так и совпадать с ними. В первом случае добавляется индекс d, обозначающий диагональное расположение плоскостей (по диагонали между направлениями осей второго порядка). Получаются кристаллографические группы D2d и D3d. В группах Dnd взаимодействие горизонтальных осей второго порядка и вертикальных зеркальных плоскостей приводит к возникновению зеркальной оси порядка 2n. Поэтому группы D4d и D6d не являются кристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядков 8 и 12, соответственно. Добавление к группам Dn вертикальных плоскостей вдоль осей второго порядка порождает горизонтальную плоскость симметрии и получаются описанные выше группы Dnh.

Гуппы, состоящие из одной зеркальной оси, обозначаются символом Sn. При нечётном n зеркальная ось эквивалентна наличию поворотной оси порядка n и перпендикулярной к ней плоскости, то есть группе Cnh, поэтому в группах Sn индекс n всегда чётный. К ним относятся S2 (группа, состоящая только из центра инверсии), S4 и S6. Любая зеркальная ось может описываться также, как и инверсионная ось, поэтому возможно альтернативное обозначение этих групп — Cni, где n — порядок инверсионной оси. Получаются Ci = S2, C4i = S4 и C3i = S6.

Кристаллографические точечные группы, в которых присутствуют несколько  осей высшего порядка (то есть порядка  больше двух), обозначаются символами T или О, в зависимости от присутствующих в них поворотных осей. Дополнительные индексы h и d указывают на наличие горизонтальных (и вертикальных) и диагональных плоскостей симметрии. Если в группе присутствуют только поворотные оси 2 и 3 порядков, то группа обозначается символом T (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в тетраэдре). Если в группе присутствуют только поворотные оси 2, 3 и 4 порядков, то группа обозначается символом O (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в октаэдре). Добавление горизонтальных плоскостей симметрии приводит к группам Th и Oh (группа симметрии куба и октаэдра). В обеих группах присутствуют как горизонтальные плоскости, так и вертикальные. Добавление диагональных плоскостей к группе T, приводит к группе Td (группа симметрии тетраэдра). Группа Od не существует, так как добавление диагональных плоскостей к группе O приведёт к предельной группе симметрии шара, содержашей все возможные повороты и отражения.

Обозначения Шёнфлиса используются в  теории групп, физике и кристаллографии. В символике Шёнфлиса используются только порождающие элементы симметрии (то есть из которых можно вывести все остальные элементы симметрии группы). Обозначения инвариантны относительно выбора системы координат, что одновременно является как достоинством, когда нас просто интересует симметрия системы, так и недостатком, в случае если важна ориентация элементов симметрии точечной группы по отношению к другим объектам, например, системе координат кристалла, или по отношению к осям решётки Браве пространственной группы. Поэтому в кристаллографии чаще используются символы Германа-Могена, особенно для описания пространственных групп.

4. Символика Германа — Могена

В символе Германа — Могена обозначаются симметрически неэквивалентные  элементы симметрии. Поворотные оси  симметрии обозначают арабскими  цифрами — 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху — 1, 3, 4 и 6. При этом ось 2, которая является просто плоскостью симметрии, обозначается символом m (англ. mirror — зеркало). Направлением плоскости является направление перпендикуляра к ней (то есть оси 2). Зеркальные оси в международной символике не используются. Ориентация элемента относительно координатных осей задаётся позицией элемента в символе группы. Если направление оси симметрии совпадает с направлением плоскости, то они записываются на одной позиции в виде дроби. Если инверсионная ось имеет бо́льшую величину симметрии, чем совпадающая с ней поворотная, то в символе указывают именно её (то есть записывают не , а 6; при наличии в группе центра инверсии не 3, а 3).

Низшая категория — точечные группы, в которых максимальный порядок  любой оси (поворотной или несобственного вращения) равен двум. К ней относятся  группы 1, 1, 2, m, , 222, mm2 и . Если в символе  группы три позиции, то

на 1-й позиции — направление  вдоль оси X

на 2-й позиции — направление  вдоль оси Y

на 3-й позиции — направление  вдоль оси Z

В нестандартной установке группа mm2 может быть записана как m2m или  как 2mm. Аналогично, группы 2, m и  могут  быть записаны более подробно —  с указанием, вдоль какой координатной оси идёт направление оси второго порядка и/или плоскости. Например, 11m, 1m1 или m11. Эта особенность символики используется для однозначного описания пространственных групп при различном выборе системы координат, так как символы пространственных групп являются производными от символов соответствующих им точечных групп.

Средняя категория — точечные группы, в которых присутствует одна ось  порядка выше двух (ось высшего  порядка). Тут следует отметить, что  в кристаллографии используется кристаллографическая система координат, связанная с симметрией кристалла. В этой системе осями выбираются особые направления в кристалле (направления, вдоль которых идут оси симметрии или трансляции). Поэтому при наличии одной оси 3 или 6 порядка, угол между направлениями X и Y равен 120°, а не 90° как в обычной Декартовой системе координат.

на 1-й позиции — направление  главной оси, то есть ось Z

на 2-й позиции — побочное направление. То есть направление вдоль оси X и  эквивалентной ей оси Y

на 3-й позиции — диагональное направление между симметрически эквивалентными побочными направлениями

К этой категории относятся группы 3, 4, 6, 3, 4, 6, 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3, 42m, 6m2, , ,  и .

Поскольку ось 3 и перпендикулярная к ней плоскость эквивалентны оси 6, то  = 6 и m2 = 6m2, но использовать рекомендуется именно обозначения с инверсионной осью 6, так как её симметрия выше, чем у оси 3. Группы 42m и 6m2 могут быть записаны как 4m2 и 62m. Выше были приведены обозначения, принятые в русскоязычной литературе. Последовательность символов 2 и m в этих группах становятся важна при описании производных от них пространственных групп, так как элемент на второй позиции направлен вдоль оси ячейки Браве, а элемент на третьей позиции направлен по диагонали грани. Например, символы P42m и P4m2 обозначают две разные пространственные группы. Группа 32 тоже может быть более подробно записана как 321 или 312 для разных ориентаций оси 2. Аналогично, различные ориентации приводят к двум разным пространственным группам P321 и P312. То же относится и к группам 3m (альтернативные записи 3m1 и 31m) и 3 (альтернативные записи 31 и 31).

Высшая категория — точечные группы, в которых присутствуют несколько  осей высшего порядка.

на 1-й позиции — эквивалентные  направления X, Y, Z

на 2-й позиции — всегда присутствующие там четыре оси 3 или 3

на 3-й позиции — диагональное направление между координатными  осями

К этой категории относятся пять групп — 23, 432, 3, 43m и 3

Международные символы обычно упрощают, заменяя  на m, если ось n порождена  другими элементами симметри, указанными в символе. Нельзя убрать лишь обозначение главной оси в средней категории. Например,  записывают как mmm,  как mm, а 3 как m3m.

5. Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Стереографическая проекция

Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет  углы между кривыми и форму  бесконечно малых фигур. Стереографическая  проекция переводит окружности на плоскости  в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции O'.

Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и  параллелей на сфере в сопряжённые  эллиптический и гиперболический  пучки окружностей на плоскости.

Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплескной проективной прямой  на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем ) вещественную плоскость с координатами x,y как одномерную (над полем ) прямую комплексного переменного z = x + iy.

Стереографическая проекция применяется  для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

6.Гномостереографическая проекция

   Этот вид проекции чаще  всего применяется для изображения

кристаллических многогранников. При  этом проектируется не многогранник, а

его полярный комплекс, т.е. не грань  кристалла, а нормаль к грани. Плоскостью

гномостереографической проекции служит та же экваториальная плоскость

сферы    проекций    Р,     как    и    для   стереографической     проекции.

Гномостереографическая проекция кристалла представляет собой совокупность

стереографических проекций нормалей к граням кристалла

7. Кристаллографические индексы Миллера.

Для обозначения плоскостей и направлений  кристалла используются так называемые кристаллографические индексы Миллера. Для их получения проведем оси координат X,Y,Z вдоль базисных векторов . Пусть некоторая плоскость пересекает такую координатную систему в точках с координатами : ; ; .  - целые или дробные числа, выражают наклон плоскостей по отношению к осям координатной системы. Теперь составим отношение обратных чисел и приведем это отношение к отношению наименьших целых чисел: ; R - наименьшее кратное, а h, k, l и есть индексы Миллера для указанной плоскости. При обозначении плоскостей индексы Миллера заключаются в круглые скобки, без каких либо знаков между ними.

Предположим Такие же индексы будут иметь остальные плоскости параллельные ей. Если плоскость параллельна одной из координатных осей, то соответствующий индекс равен нулю, если плоскость отсекает координату при отрицательных значениях, то над соответствующим индексом Миллера сверху ставится знак “-”. Направления перпендикулярные плоскости (hkl) обозначаются теми же индексами заключенными в квадратные скобки [hkl]. Система плоскостей одного кристаллографического типа обозначаются {hkl}, направления обозначаются . Для примера найдем обозначения характерных плоскостей и направлений в кристаллах кубической системы (а1 = а2 = а3 = а; α = β= γ= 90◦̊). Для этого вырежем кристалл в форме куба с ребрами вдоль базисных векторов . Оси x, ,y, z направлены вдоль базисных векторов. Найдем индексы Миллера для заштрихованной плоскости 1. Она пересекает координатные оси в точках с координатами : ; ; . Тогда индексы Миллера для плоскости 2: (010), для 3: (001). x1[100], y1[010], z1[001].

Плоскость противоположную (100), обозначают   и так далее 

Все плоскости (100), (010), (001), , ,  кристаллографически одинаковые и их обозначают {100}. На рисунке заштрихована плоскость (110), для этой плоскости одинаковыми являются плоскости (011), (101). На следующем рисунке заштрихована плоскость (111). Для обозначения плоскостей в кристаллах гексагональной системы используют 4 индекса Миллера, для этого проводят четыре координатные оси x, y, u, z,. Ось z параллельна ребру а3. ; .

Плоскость перпендикулярная оси   называется базисной плоскостью. Оси x, y, u располагают в базисной плоскости под углом 1200 друг к другу. Для тог чтобы найти (hkil), находят координаты точек пересечения с кристаллографическими осями.

Для примера  найдем индексы Миллера для плоскости  АВ, которая перпендикулярна плоскости  рисунка. Координаты точек пересечения  этой плоскостью координатных осей: , ; ; . Следовательно, направления вдоль оси z есть [0001], i = - (h+k). Возникает вопрос, почему используем четыре а не три индекса Миллера при обозначении плоскостей и направлений в кристаллах гексагональной системы. Оказывается, что при обозначении тремя индексами Миллера однотипные плоскости кристаллов гексагональной системы имели бы разное число единиц и нулей, и их нельзя было бы обозначить как {hkl}. Для примера уберем ось u, тогда плоскости СВ=(010), , . Обозначение этих плоскостей имеют вид: , , видно что все однотипные плоскости CB, DB, DF, FL имеют две единицы и два нуля, и тогда их можно обозначить {1100}.