Математическая задача
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева»
Факультет математики и информатики
Кафедра
математического анализа и
РЕФЕРАТ
«Математическая
задача»
Содержание
Введение……………………………………………
Задача и умение её решать………………………………………..стр. 5
Виды
арифметических задач…………………..................
Этапы работы над задачей………………...….............
Заключение………………………………………
Список
литературы………………………………………………..
Введение
Каждому человеку в его жизненной деятельности приходится решать множество различных задач, возникающих в какой-либо ситуации. В курсе математики они занимают большое место. Задачи необходимы для того, чтобы сформировать у учащихся важные для обыденной жизни умения, связанные с решением то и дело возникающих проблемных ситуаций. Но чтобы решить проблему, нужно понять ее суть и сформулировать словесно. Поэтому очень важно научить школьников формулировать задачу. Опыт многих учителей показывает, что эта проблема трудно разрешима. В школе большое внимание уделяется решению готовых задач, но практически не ведется работа по их составлению и преобразованию.
Задача – это реальный объект, связанный с субъектом, она существует в системе человек – ситуация. Задача, в которой данные и связь между ними включены в фабулу, - это сюжетная задача. Содержание сюжетной задачи представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны для усвоения учащимися математических отношений, развитие интереса к математике, способностью учащихся.
Любая задача – это цель в определенных условиях. Важной является методическая сторона процесса решения задачи. Интерес представляет не простое описание процесса решения, a методический разбор решения задачи, который демонстрирует мотив выполнения того или иного шага, последовательность важнейших шагов.
«Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства цели ясно видимой, но непосредственно недоступной цели. Решение этой задачи означает нахождение этого средства».[4]
Задача и умение её решать
В начальном курсе обучения математике задачи играют большую роль. Что составляет содержание понятия «задача»?
В Толковом Словаре русского языка Ожегова С.И. дана такая трактовка этого понятия: «задача - это то, что требует разрешения, исполнения». [6, с. 203]
Из «Психологического словаря» мы узнаём, что «задача - цель деятельности, которая дана в определенных условиях и требует для своего использования адекватных этим условиям средств. Поиск и применение этих средств составляет процесс решения задачи». [7, с. 119]
Психолог Фридман Л.М. пишет: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче». [11]
Давыдов В.В., пишет: «...Задача - это единство цели действия и условия её достижения». [3, с. 157]
В учебно-педагогической литературе также встречаются разнообразные подходы к пониманию задачи. Моро М.И. дает такое определение: «Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий». [5, с. 111]
Артемов А. К. предлагает такое определение: «Задача - единство условий и цели». [1, с. 48]
Чекмарёв Я.Ф. называет задачей «вопрос, для решения которого требуется определить искомое число по данным числам и по указанной в словесной форме зависимости между данными и искомым числом». [14, с. 91]
Итак, у всех авторов определение задачи сформулировано по-разному, но все авторы сходятся в том, что задача характеризуется:
- наличием у решателя определенной цели, стремлением получить ответ на вопрос;
- наличием условий и требований, необходимых для решения задачи.
В данном реферате мы будем рассматривать более узкий круг задач – это сюжетные задачи, у которых имеются свои специфические особенности:
- наличие сюжета;
- необходимость переформулировки задачи на математический язык.
Бантова М.А. характеризует сюжетную задачу как множество жизненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними. [2, с. 175]
Рассмотрим задачу:
«Утром в магазине было 30 кукол, в течении дня привезли еще 10. Сколько кукол продали за день, если к концу дня их осталось 12?»
- У нее имеется сюжет: в магазине продавались куклы.
- Прежде чем получить ответ в задаче, ученик должен переформулировать условие: всего было 30 кукол да еще 10, из них какое-то количество кукол продали, в результате осталось 12 кукол. Значит, продали 30+10 без 12 оставшихся. Эта переформулировка задачи помогает правильно выбрать арифметическое действие для решения задачи. Ученик составляет выражение: 30+10-12=28 (к).
Большинство авторов выделяют в задаче условие и требование. Говоря о структуре задачи, Сохор А.М. уточняет понимание условия и требования: характер внутренних отношений (связей, зависимостей) между данными и искомыми величинами. Условие задачи обычно намеренно составляется так, чтобы эти отношения не проявлялись сами по себе, в противном случае задача не была бы задачей. В формулировке любой задачи даны исходные условия и требование. Если они даны, то их уже не надо искать. Искать надо их основание, причины, следствия, взаимоотношения и т. д., о которых ничего не сказано в первоначальной формулировке задачи. Они и составляют искомое. [9, с. 132]
Каждая арифметическая задача включает числа данные и искомые. Числа в задаче характеризуют количество конкретных групп предметов или значения величин. В тексте задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомыми. Эти связи и определяют выбор арифметического действия.
Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи. Например, в задаче: «Лида нарисовала 5 домиков, а Вова - на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?» объектами являются: 1) количество домиков, нарисованных Лидой (это известный объект в задаче); 2) количество домиков, нарисованных Вовой (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию искомый). Связывает объекты отношение «больше на».
Анализ
условия подводит к пониманию
известных и к поискам
Основываясь на вышеизложенной трактовке понятия «задача» методисты определяют, что значит решить задачу:
«Решить задачу в широком смысле - значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи», - так считает Бантова М.А. [2, с. 179]
Моро М.И. раскрывает смысл требования «решить арифметическую задачу» по другому - «объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить число, которое нужно узнать». [5, с.88]
Попова Н.С. считает, что «решить задачу – это значит произвести над её числовыми данными арифметические действия, которые вытекают из условия задачи и дают ответ на её вопрос». [8, с. 53]
В узком смысле «решить задачу - это значит ответить на ее вопрос так, чтобы ответ соответствовал условию задачи» - пишет Царёва С.Е. [13, с. 105]
«Обучение решению задач – это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, цель которого - формирование у учащихся умения решать задачи». [13, с. 105]
Отождествление двух понятий "решение" и "обучение решению задач" приводит к ориентации учителя на получение ответов на вопросы задач, а не на формирование умения решать задачи, и направленности деятельности учащихся на решение конкретной задачи, овладение способом её решения.
По этой причине до сих пор для большинства учащихся главное при решении задач найти конечный результат, выраженный каким либо числом.
Для большинства учителей обучение решению задач однотипно: оно сводится к показу образца, разучиванию способов решения, доведения способа решения задач до автоматизма. До сих пор среди некоторых учителей распространено мнение, что любая задача, включенная в урок, должна быть обязательно решена на уроке, решение доведено до конца и записано соответствующим образом.
Такая работа и приводит учащихся к формальному, механическому решению задач. Итак, из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод: дети решают: "выполняют действия - умственные, предметные, графические, речевые, и так далее, направленные на достижение цели: найти ответ на вопрос задачи, соответствующий условию" [12, с. 102], но часто не обучаются решению задачи..
Виды арифметических задач
Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной.
Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия. [2, с. 175]
Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей дежурило в школе?»
Эта задача включает две простых:
В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков дежурило в школе?
В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько всего детей дежурило в школе?
Как видим, число, которое было искомым в первой задаче, стало данным во второй.
Последовательное решение этих задач является решением составной задачи: 1)8 + 2=10; 2)8+10=18.
Методика работы с каждым новым видом составных задач ведется в соответствии с тремя ступенями: подготовительная, ознакомительная и закрепление.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.
В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которыми вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи. Для того чтобы научить учащихся правильно решать составные задачи, необходимо использовать разные виды текстов задач.
Тексты задач могут различаться по разным основаниям. Рассмотрим их.
- По структуре текста задачи.
Необходима специальная работа по выделению структурных элементов задачи в текстах различной конструкции. Остановимся на этом подробнее.
В каждой задаче можно выделить условие и требование. Обозначим схематически условие О, а требование . Тогда задача может иметь одну из конструкций:
1. О :
- Дети пошли в поход. Было 13 мальчиков и 10 девочек, позже к ним присоединились еще 5 детей. Сколько детей пошло в поход?
2) В один бидон вмещается 32 л воды, а во второй - на 12 л меньше. Найди емкость двух бидонов вместе.
2. О:
3) Сколько марок подарил Петя, если Сереже он подарил 8 марок, а Коле на 5 марок больше?
4) Сколько пассажиров совершало полет, если в самолете было 25 женщин, мужчин на 15 человек больше, чем женщин, а детей на 10 человек меньше, чем женщин?
3. О О:
- Мама испекла 20 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как за ужином папа съел пирожков, а сын 5 пирожков?
- Когда отцу было 40 лет, сыну было 12. Найди возраст сына, когда отцу будет 52 года.
Очевидно, что ученику легче всего выделить условие и требование задачи в первом случае. При чтении задачи он опирается на внешние признаки: сначала формулируется условие, в последнем предложении высказывается требование. Если мы хотим научить выделять структурные элементы задачи и при этом ориентироваться не на внешние признаки, а на смысл, то необходимо предлагать тексты задач различной конструкции. При этом важно, чтобы требование было представлено как в виде вопросительного, так и в виде повествовательного предложения, например:
- Для отделки одной шторы требуется 8 м тесьмы. Найди длину мотка тесьмы, которая необходима для отделки трех пар таких штор.
- По записи данных.
В
большинстве приведенных
Приведем примеры таких задач.
- На горке каталось □ детей. Когда к ним подошло * мальчиков и несколько девочек, то стало О детей. Сколько девочек подошло?
При
использовании таких задач
Подошло (О - □ - *) девочек.
- По наличию лишних или недостающих данных.
Для
того чтобы научить ученика
Приведем примеры таких задач.
- На первой
полке лежало 30 книг, на второй - 40, а на
третьей на 5 книг
больше, чем на второй. Сколько книг лежало на третьей полке?
Эта задача с лишними данными. Для ее решения нет необходимости знать количество книг, лежащих на первой полке. Для того чтобы правильно ее решить, ученик должен установить, какие величины связаны между собой, а какие нет. Наблюдения показывают, что те дети, которые невнимательно читают задачу, ориентируются только на числовые данные, решают ее неправильно, дают ответ: 25 книг. Они не видят, какие величины сравниваются, не видят необходимое числовое данное - 40 книг на второй полке.
- Сколько груш росло в саду, если их было на 35 деревьев больше, чем яблонь?
Эта задача с недостающими данными. Анализируя текст, ученик должен сказать, что она не имеет решения, так как в ней не хватает данных. Будет очень хорошо, если он сможет указать недостающее данное, например количество яблонь.
- Маша в саду собирала ягоды. Она набрала 2 кг смородины и 5 стаканов малины. Сколько ягод собрала Маша?
Данную задачу решить нельзя, так как масса ягод измерена разными мерками, над указанными числами в таком случае производить арифметические действия нельзя.
Такого вида задачи приучают не только внимательно читать текст задачи, но выявлять уровень знаний о величинах.
- В автобусе ехало 37 человек. Сколько человек осталось в автобусе после того, как на остановке вышло 40 человек?
Данную задачу также решить нельзя, так как предложенные числовые данные не соответствуют смыслу задачи. [10, с. 51]
Примеры текстов задач, которые мы привели, помогут убедить ученика в необходимости анализа текста задачи.
Не успев прочитать задачу, ученики начинают выполнять какие-то арифметические действия с данными числами. Это становится причиной ошибок. Поэтому необходимо научить ученика не торопиться с выбором арифметического действия. Он должен понять, насколько важно внимательно читать текст задачи и может быть не один раз. Для формирования этого умения необходимы специальные задания. Одним из важнейших таких заданий является работа по преобразованию задачи.
Этапы работы над задачей
Процесс решения задачи - это переход от условия задачи к ответу на ее вопрос.
Первые представления о процессе решения задач создаются у учащихся в первом классе. Ко второму классу они уже знают, что решение любой арифметической задачи состоит из следующих этапов работы:
- Усвоение содержания текста.
Цель:
- научить понимать ситуацию в целом;
- установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения;
- приучиться читать задачу;
- выделить структурные элементы;
- установить взаимосвязь между искомым и данными;
- Поиск решения задач.
Цель:
- научить ученика задавать самому себе систему вопросов (от вопроса к условию, от условия к вопросу и др.), после ответа на которые он сможет найти решение;
- составить план решения;
3. Оформление решения.
Цель:
- записать решение так, чтобы оно было понятно читающему;
4. Проверка решения.
Цель:
- убедиться в правильности найденного решения.
- Работа с решенной задачей.
Цель:
- организовать деятельность ученика так, чтобы он осознал свое продвижение от незнания к знанию;
Более в сокращенном виде видит этапы работы над задачей Бантова М.А. [2, с. 174]:
- Ознакомление с содержанием задачи.
Цель: прочитать задачу; представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче;
- Поиск решения задачи.
Цель: выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа; установить связи между данными и искомым; выбрать соответствующие арифметические действия.
- Выполнение решения задачи.
Цель: записать решение.
- Проверка решения задачи.
Цель: установить правильно оно или ошибочно.
При работе с задачей важно уделить как можно больше внимания 1 этапу решения задачи - усвоению содержания ее текста.
Главная цель ученика на 1 этапе - понять задачу. Методисты предлагают разные приемы работы на этом этапе. Бантова М.А., Царева С.Е. предлагают следующие приемы первичного анализа:
1.
Представление жизненной
2. Разбиение текста на смысловые части и выбор необходимой для поиска решения. (Можно предложить учащимся определить, правильно ли выделены части и повторить текст задач по частям).
3.
Переформулировка текста
Анализ задачи проводится до тех пор, пока не возникнет идея о плане решения, который позволяет нам рассуждать: от вопроса к данным и от данных к вопросу.
Для поиска решения Бантова М.А., Царева С.Е. предлагают использовать краткую запись.
В краткой записи задачи отображаются объекты, числовые данные и связи между ними. Таким образом, краткая запись фиксирует в удобообразной форме величины, числа данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чём говорится в задаче: «было», «положим», «стало» и т.п., и слова, обозначающие отношения: «больше», «меньше», «одинаковая» и т.п.
Краткая запись условия задачи помогает устранить типичные ошибки, не дает возможности поверхностного прочтения текста задачи и возможности упустить соотношения между данными.
Краткая запись задачи только в первое время несколько трудна учащимся, но учитель постоянно им помогает наводящими вопросами: Какие слова нужны для краткой записи? Какие числа надо вписать в краткое условие? Какие обозначения будем использовать?
Для того, чтобы помочь ученикам, учитель пользуется наглядностью: предметной, а затем абстрактным вариантом, а также использует краткую запись, которая подразделяется на предметную и схематическую.
Предметная краткая запись - это использование предметов для изображения ситуации, описанной в задаче. Предметная иллюстрация помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче. Для иллюстрации задачи используются либо предметы, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче: с их помощью иллюстрируется конкретное содержание задачи.
Например: У Коли 5 тетрадей, а у Миши на 4 тетради больше. Сколько тетрадей у обоих мальчиков?
Выходят 2 мальчика, один из них берет 5 тетрадей, другой берет столько же тетрадей, сколько и первый, а затем еще 4. Такое воспроизведение уточняет представление детей, которое возникло при восприятии задачи. Но если мальчики будут держать тетради в руках и не уберут их, то у ребят не вызовет сложности над выбором действия, им не надо будет мысленно представлять ситуацию, а можно просто путем пересчета сосчитать тетради.
Если использовать предметное моделирование длительное время как основной способ, то возникнут отрицательные последствия:
- ученики не смогут построить мысленную модель без этой опоры;
- у учеников не будет происходить развитие внутреннего плана действия;
Схематичная краткая запись подразделяется на несколько видов:
- Математическая логика
- Математическая логика
- Математическая модель анализа политики заемных средств
- Математическая модель выбора кондиционеров типа настенных сплит-систем
- Математическая модель выпуска хлебо - булочных изделий
- Математическая модель транспортной задачи
- Математическая модель "хищник - жертва"
- Масштабы, динамика, темпы капитальных вложений в РФ. Оценка сложившейся ситуации, проблемы
- Масштабы и динамика развития иностранного инвестирования
- Матвей Яковливич Мудров
- Математика в спеціальній школі
- Математика в экономике
- Математика и естествознание
- Математика (Основы экономического моделирования и исследование операций)
