Вариант 9

Министерство  образования и науки РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ  ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

 

 

 

Контрольная работа

 

По дисциплине: «Финансовая математика»

«Вариант 9»

 

 

 

 

 

                                               Подготовила Гаспарян  Г.В.

                                                         Факультет: финансово-кредитный

              Курс IV

                         Группа: вечер 

                                                     № личного дела: 08ФФД11569

                                                   Преподаватель: Князева И.В.

 

Калуга - 2011


 

Задание 1

    Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года ( всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

    Требуется:

  1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольстена-Уинтера с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания
  2. Оценить точность построенной мадели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
  3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями  от 3 до 4,21.

4) построить точечный  прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год

5) Отразить на графике  фактические, расчётные и прогнозные  данные.

 

Таблица 1.1.

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

41

52

62

40

44

56

68

41

47

60

71

44

52

64

77

47


 

 Решение:

1.  Построение  адаптивной модели Хольта – Уинтерса.

    Будем считать, что зависимость между компонентами тренд ─ сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольтена-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

(1.1.1)

 

    где k – упреждения;

    (t) – расчётное значение экономического показателя для t-го периода;

    a(t), b(t) и F(t) – коэффициенты модели; адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

    F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

    L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

    Таким образом,  если по формуле (1.1.1) рассчитывается  значение экономического показателя, например за второй квартал,  то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

    Уточнение (адаптация  к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

    a(t)=a1*Y(t)/F(t-L)+(1-a1)*[a(t-1)+b(t-1)]                                               1.1.2

    b(t)=a3*[a(t)-a(t-1)]+(1-a3)*b(t-1);                                                          1.1.3

    F(t)=a2*Y(t)/a(t)+(1-a2)*F(t-L)                                                               1.1.4

    Параметры сглаживания a1,a2 и a3 подбирают путём перебора с таким расчётом, чтобы расчётные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

    Из формул 1.1.1 –  1.1.4 видно, что для расчёта a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвёртого квартала год, предшествующего коэффициентов для четвёртого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в таблице 1.1.

    Для оценки  начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 элементам Y(t) из таблицы 1.1. Линейная модель имеет вид:

(t) = a(0)+b(0)*t .                                         1.1.5

    Из этого уравнения находим расчетные значения  Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями.

    МНК даёт возможность  определить коэффициенты линейного  уравнения a(0) и b(0) по формулам 1.1.6 – 1.1.9.

    Применяя линейную  модель к первым 8 значениям ряда  из таблицы 1.1 (т.е. к данным  за первые 2 года), находим значения  a(0); b(0).

                                                                                                                    1.1.6

 

1.1.7

a(0)=

 

1.1.8

 

1.1.9

 

Таблица 1.2.

Сопоставление фактических  данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений

t

1

2

3

4

5

6

7

8

Y(t)

41

52

62

40

44

56

68

41

 

47,79

48,58

49,37

50,16

50,95

51,74

52,53

53,32


 

  1. Yр(t) =a(0)+b(0)xt=47+0,79x1=47,79
  2. Yр(t)=47+0,79*2=48,58
  3. Yр(t)=47+0,79*3=48,37
  4. Yр(t)=47+0,79*4=50,16
  5. Yр(t)=47+0,79*5=50,95
  6. Yр(t)=47+0,79*6=51,74
  7. Yр(t)=47+0,79*7=52,53
  8. Yр(t)=47+0,79*8=53,32

     Такое сопоставление  позволяет оценить приближенные  значения коэффициентов сезонности 1 – 4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта – Уинтерса.

    Коэффициент сезонности  есть отношение фактического  значения экономического показателя  к значению, рассчитанному по  линейной модели. Поэтому в качестве  оценки коэффициента сезонности 1 квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) 1 квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1), и такое же отношение для 1 квартала второго года, равное Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3)=[Y(1)/Yр(1)+Y(5)/Y(5)]/2=[41/47,79+44/50,95]/2=[0,8579+0,8636]/2= 0,8608

F(-2)=[Y(2)/Yр(2)+Y(6)/Y(6)]/2=[52/48,58+56/51,74]/2=[1,0704+1,0823]/2= 1,0764

F(-1)=[Y(3)/Yр(3)+Y(7)/Y(7)]/2=[62/49,37+68/52,53]/2=[1,2558+1,2945]/2=1,2752

F(0)=[Y(4)/Yр(4)+Y(8)/Y(8)]/2  =[40/50,16+41/53,32]/2=[0,7974+0,7689]/2=0,7832

    Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

    Из уравнения   1.1.1, при условии, что t=0, k=1, находим (1):

    Yр(0+1)= Yр(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=[47+1*0,79]*0,8608= =41,14

    из уравнений (1.1.2 – 1.1.4) пологая что t=1, R=1 находим:

    a(1) = 1*Y(1)/F(-3)+(1- 1)*[a(0)+b(0)]=0,3*41/0,8608+(1-0,3) * *(47+0,79) =14,2890+33,453=47,74

    b(1) = 3*[a(1)–a(0)]+(1- 3)*b(0)=0,3*(47,74-47)+(1-0,3)*0,79= =0,222+0,553= =0,78

    F(1) = 2*Y(1)/a(1)+(1- 2)*F(-3)=0,6*41/47,74+(1-0,6)*0,8608= =0,5153+ +0,3443=0,8596;

Для t=2

    Yр (2)=[a(1)+1*b(1)]*F0(-2)=(47,74+1*0,78)*1,0764=52,23

    a(2) = 1*Y(2)/F(-2)+(1- 1)*[a(1)+b(1)]=0,3*52/1,0764+(1-0,3)* *(47,74+0,78) =14,4928+33,964=48,46

    b(2)=a3*[a(2)-a(1)]+(1-a3)*b(1)=0,3*(48,46-47,74)+(1-0,3)*0,78=0,216+ +0,546=0,76

F(2) = 2*Y(2)/a(2)+(1- 2)*F(-2)=0,6*52/48,46+(1-0,6)*1,0764=0,6438+ +0,4306=1,0744;

Для t=3

    Yр (3)=[a(2)+1*b(2)]*F0(-1)=[48,46+1*0,76]*1,2752=62,77

    a(3) = 1*Y(3)/F(-1)+(1- 1)*[a(2)+b(2)]=0,3*62/1,2752+(1-0,3)* *(48,46+0,76) =14,5859+34,454=49,04

b(3)= 3*[a(3)–a(2)]+(1- 3)*b(2)=0,3*(49,04-48,46)+(1-0,3)*0,76=0,174+ +0,532=0,71

   F(3)= 2*Y(3)/a(3)+(1- 2)*F(-1)=0,6*62/49,04+(1-0,6)*1,2752=0,7586+ +0,51=1,2386;

Для t=4

    Yр (4)=[a(3)+1*b(3)]*F(0)=(49,04+1*0,71)*0,7832=38,96

    a(4) = 1*Y(4)/F(0)+(1- 1)*[a(3)+b(3)]=0,3*40/0,7832+(1-0,3)*(49,04+0,71)= =15,3218+34,825=50,15

    b(4) = 3*[a(4)–a(3)]+(1- 3)*b(3)=0,3*(50,15-49,04)+(1-0,3)*0,71=0,333+ +0,497=0,83

    F(4)= 2*Y(4)/a(4)+(1- 2)*F(0)=0,6*40/50,15+(1-0,6)*0,7832=0,4786+ +0,3133=0,7919;

Для t=5

    Yр (5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=(50,15+1*0,83)*0,8596=43,82;

    a(5)= 1*Y(5)/F(1)+(1- 1)*[a(4)+b(4)]=0,3*44/0,8596+(1-0,3)*(50,15+ +0,83) =15,3560+35,686=51,04;

   b(5)= 3*[a(5)–a(4)]+(1- 3)*b(4)=0,3*(51,04-50,15)+(1-0,3)*0,83= =0,267+0,581= =0,85;

F(5)= 2*Y(5)/a(5)+(1- 2)*F(1)=0,6*44/51,04+(1-0,6)*0,8596= =0,5172+0,3438=0,861.

Для t=6

Yp (6)=[a(5)+1*b(5)]*F(2)=(51,04+1*0,85) *1,0744=55,75;

    a(6)= 1*Y(6)/F(2)+(1- 1)*[a(5)+b(5)]=0,3*56/1,0744+(1-0,3)* *(51,04+0,85)=15,6366+36,323=51,96;

    b(6) = 3*[a(6)–a(5)]+(1- 3)*b(5)=0,3*(51,96-51,04)+(1-0,3)*

*0,85=0,276+0,595=0,87;

    F(6)= 2*Y(6)/a(6)+(1- 2)*F(2)=0,6*56/51,96+(1-0,6)*1,0744= =0,6467+0,4298=1,0765.

Для t=7

    Yp (7)=[a(6)+1*b(6)]*F(3)=(51,96+1*0,87)*1,2686=67,02;

    a(7)= 1*Y(7)/F(3)+(1- 1)*[a(6)+b(6)]=0,3*68/1,2686+(1-0,3)* *(51,96+0,87) =16,0807+36,981=53,06;

    b(7)= 3*[a(7)–a(6)]+(1- 3)*b(6)=0,3*(53,06-51,96)+(1-0,3)*0,87= =1,1+0,609=1,71;

    F(7)= 2*Y(7)/a(7)+(1- 2)*F(3)=0,6*68/53,06+(1-0,6)*1,2686= =0,7689+0,5074=1,2763.

Для t=8

    Yp (8)=[a(7)+1*b(7)]*F(4)=(53,06+1*1,71)*0,7919=43,37;

    a(8)= 1*Y(8)/F(4)+(1- 1)*[a(7)+b(7)]=0,3*41/0,7919+(1-0,3)* *(53,06+1,71)=15,5323+38,339=53,87;

    b(8)= 3*[a(8)–a(7)]+(1- 3)*b(7)=0,3*(53,87-53,06)+(1-0,3)×1,71= =0,81+1,197=2,01;

F(8)= 2*Y(8)/a(8)+(1- 2)*F(4)=0,6*41/53,87+(1-0,6)*0,7919= =0,4567+0,3168=0,7735.

Для t=9

Yp (9)=[a(8)+1*b(8)]*F(5)=(53,87+1*2,01)*0,861=48,11;

    a(9)= 1*Y(9)/F(5)+(1- 1)*[a(8)+b(8)]=0,3*47/0,861+(1-0,3)* *(53,87+2,01)=16,3763+39,116=55,49;

    b(9)= 3*[a(9)–a(8)]+(1- 3)*b(8)=0,3*(55,49-53,87)+(1-0,3)*2,01= =0,486+1,407=1,89;

    F(9)= 2*Y(9)/a(9)+(1- 2)*F(5)=0,6×47/55,49+(1-0,6)*0,861= =0,5082+0,3444=0,8526.

Для t=10

    Yp (10)=[a(9)+1*b(9)]*F(6)=(55,49+1*1,89)*1,0765=61,77;

    a(10)= 1*Y(10)/F(6)+(1- 1)*[a(9)+b(9)]=0,3*60/1,0765+(1-0,3)*

*(55,49+1,89)=16,7209+40,166=56,89;

    b(10)= 3*[a(10)–a(9)]+(1- 3)*b(9)=0,3*(56,89-55,49)+(1-0,3)* *1,89=0,42+1,323=1,74;

    F(10)= 2*Y(10)/a(10)+(1- 2)*F(6)=0,6×60/56,89+(1-0,6)*1,0765= =0,6328+0,4306=1,0634.

Для t=11

    Yp (11)=[a(10)+1*b(10)] *F(7)=(56,89+1*1,74)*1,2763=74,83;

   a(11)= 1*Y(11)/F(7)+(1- 1)*[a(10)+b(10)]=0,3*71/1,2765+(1-0,3)* *( 49,73+0,88) =14,97+35,43=50,40;

   b(11)= 3*[a(11)–a(10)]+(1- 3)*b(10)=0,3*(57,73-56,89)+(1-0,3)* *1,74 =0,252+1,218=1,47;

   F(11)= 2*Y(11)/a(11)+(1- 2)*F(7)=0,6×71/57,73+(1-0,6)*1,2763= =0,7379+0,5105=1,2484.

Для t=12

    Yp (12)=[a(11)+1*b(11)]*F(8)=(57,73+1*1,47)*0,7735=45,79;

   a(12)= 1*Y(12)/F(8)+(1- 1)*[a(11)+b(11)]=0,3*44/0,7735+(1-0,3)* *(57,73+1,47)=17,0653+41,44=58,51;

    b(12)= 3*[a(12)–a(11)]+(1- 3)*b(11)=0,3*(58,51-57,73)+(1-0,3)* *1,47=0,234+1,029=1,26;

    F(12)= 2*Y(12)/a(12)+(1- 2)*F(8)=0,6*44/58,51+(1-0,6)*0,7735= =0,4512+0,3094=0,7605.

Для t=13

    Yp (13)=[a(12)+1*b(12)]*F(9)=(58,51+1*1,26)*0,8526=50,96;

   a(13)= 1*Y(13)/F(9)+(1- 1)*[a(12)+(12)]=0,3*52/0,8526+(1-0,3)*   58,51+1,26)=18,297+41,839=60,14;

   b(13)= 3*[a(13)–a(12)]+(1- 3)*b(12)=0,3*(60,14-58,51)+(1-0,3)* *1,26 =0,483+0,882=1,37;

    F(13)= 2*Y(13)/a(13)+(1- 2)*F(9)=0,6*52/60,14+(1-0,6)*0,8526= =0,5188+0,341=0,8598.

Для t=14

    Yp (14)=[a(13)+1*b(13)] *F(10)=(60,14+1*1,37)*1,0634=65,41;

 a(14)= 1*Y(14)/F(10)+(1- 1)*[a(13)+b(13)]=0,3*64/1,0634+(1-0,3)* *(60,14+1,37) =18,0553+43,057=61,11;

   b(14)= 3*[a(14)–a(13)]+(1- 3)*b(13)=0,3*(61,11-60,14)+(1-0,3)* *1,37=0,291+0,959=1,25;

    F(14)= 2*Y(14)/a(14)+(1- 2)*F(10)=0,6*64/61,11+(1-0,6)*

*1,0634 =0,6284+0,4254=1,0538.

Для t=15

    Yp (15)=[a(14)+1*b(14)]*F(11)=(61,11+1*1,25)*1,2484=77,85;

 a(15)= 1*Y(15)/F(11)+(1- 1)*[a(14)+b(14)]=0,3*77/1,2484+(1-0,3)* *(61,11+1,25)=18,5037+43,652=62,16;

  b(15)= 3*[a(15)–a(14)]+(1- 3)*b(14)=0,3*(62,16-61,11)+(1-0,3)* *1,25 =0,315+0,875=1,19;

   F(15)= 2*Y(15)/a(15)+(1- 2)*F(11)=0,6×77/62,16+(1-0,6)*1,2484= =0,7432+0,4994=1,2426.

Для t=16

    Yp (16)=[a(15)+1*b(15)]*F(12)=(62,16+1*1,19)*0,7605=48,18;

 a(16)= 1*Y(16)/F(12)+(1- 1)*[a(15)+b(15)]=0,3*47/0,7605+(1-0,3)* *(62,16+1,19)=18,5404+44,345=62,89;

   b(16)= 3×[a(16)–a(15)]+(1- 3)×b(15)=0,3×(62,89-62,16)+(1-0,3)* *1,19=0,219+0,833=1,05;

  F(16)= 2*Y(16)/a(16)+(1- 2)*F(12)=0,6*47/62,89+(1-0,6)*0,7605= =0,4484+0,3042.

    Построим модель Хольта – Уинтерса (табл.1.3).

 

Таблица 1.3.

Модель Хольта-Уинтерса

t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Yр(t)

Абс.погр., E(t)

Отн.погр., в %

1

2

3

4

5

6

7

8

0

  

47

0,79

0,8608

      

1

41

47,74

0,78

0,8596

41,14

-0,14

0,0034

2

52

48,46

0,76

1,0744

52,23

-0,23

0,0044

3

62

49,04

0,71

1,2686

62,77

-0,77

0,0124

4

40

50,15

0,83

0,7919

38,96

1,04

0,0260

5

44

51,04

0,85

0,8610

43,82

0,18

0,0041

6

56

51,96

0,87

1,0765

55,75

0,25

0,0045

7

68

53,06

1,71

1,2763

67,02

0,98

0,0144

8

41

53,87

2,01

0,7735

43,37

-2,37

0,0578

9

47

55,49

1,89

0,8526

48,11

-1,11

0,0240

10

60

56,89

1,74

1,0634

61,77

-1,77

0,0295

11

71

57,73

1,47

1,2484

74,83

-3,83

0,0539

12

44

58,51

1,26

0,7605

45,79

-1,79

0,0407

13

52

60,14

1,37

0,8598

50,96

1,04

0,0200

14

64

61,11

1,25

1,0538

65,41

-1,41

0,0220

15

77

62,16

1,19

1,2426

77,85

-0,85

0,0110

16

47

62,89

1,05

0,7526

48,18

-1,18

0,0251

Сумма

            

0,3532


 

2. Проверка качества модели.

    Для того, чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу (табл.1.4).

 

Таблица 1.4

Промежуточные расчеты  для оценки адекватности модели

Квартал

t

Отклон,

E(t)

Точки поворота

E(t

[E(t)-E(t-1)

E(t)× E(t-1)

1

2

4

5

6

7

1

-0,14

-

0,02

-

-

2

-0,23

0

0,05

0,0081

0,0322

3

-0,77

1

0,59

0,2916

0,1771

4

1,04

1

1,08

3,2761

-0,8008

5

0,18

1

0,03

0,7396

0,1872

6

0,25

0

0,06

0,0049

0,045

7

0,98

1

0,96

0,5329

0,245

8

-2,37

1

5,62

11,2225

-2,3226

9

-1,11

1

1,23

1,5876

2,6307

10

-1,77

0

3,13

0,4356

1,9647

11

-3,83

1

14,67

4,2436

6,7791

12

-1,79

0

3,20

4,1616

6,8557

13

1,04

1

1,08

8,0089

-1,8616

14

-1,41

1

1,99

6,0025

-1,4664

15

-0,85

1

0,72

0,3136

1,1985

16

-1,18

-

1,39

0,1089

1,003

Сумма

-11,96

10

35,82

40,94

14,67


 

2.1.  Проверка точности  модели.

    Будем считать, что условие точности выполнено, если сумма относительной погрешности Eотн(t) в среднем не превышает 5 %.   Суммарное значение относительных погрешностей составляет 0,1777, что дает среднюю величину  0,3532 / 16 = 0,0221 (или 2,21 %). Так как 2,21 % < 5 %, то условие точности выполнено.

2.2.  Проверка условия адекватности  модели.

    Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

    Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0. В первой и последней строке ставится прочерк, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

    Общее число поворотных точек в нашей задаче равно p = 10.

    Рассчитаем значение q:

q = int [2× (N-2)/3 – 2×

].

    Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.

    При N = 16

q = int [2× (16-2)/3 – 2* ] = 6.

    Так как количество поворотных точек p больше q (p = 10; q = 6), то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

    Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

  1. по d-критерию Дарбина – Уотсона;
  2. по первому коэффициенту автокорреляции r(1).
  3. d = =40,94/35,82=1,14.

d=1,14; =1,10; =1,37

    Так как полученное значение d=1,14 и находится в промежутке <d<,то критерий Дарбина-Уотсона не даёт ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. Следовательно необходимо воспользоваться другими критериями (нпример, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

  1. r(1) = = 14,67/35,82=0,41.

Так как ǀǀ=0,41>=0,32, то уровни ряда остатков зависимы.

    Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:

RS = (E max –E min)/S,

где E max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S – среднее квадратическое отклонение.

E max  = 1,04; E min = -3,83; Е max - Е min =1,04-(-3,83)=4,87;

RS =4,87/1,55 = 3,14.

    Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые даны (от 3 до 4,21). Так как 3 < 3,14 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

    Так как выполняются все условия адекватности модели, то данную модель можно считать удовлетворительной и использовать ее для расчета прогнозных показателей Yp(t) на четыре квартала вперед.

 

2.3. Расчет  прогнозных значений.

    Составим прогноз на четыре шага вперед (т. е. на 1 год, с t = 17 по t = 20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16), можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).

 

Для t=17 имеем:

    Yp(17)=Yp(16+1) = [a(16) + 1*b(16)]*F(16+1-4) = [a(16) + 1*b(16)]*F(13) = =(62,87+1*1,05)*0,8598 = 55,0.

Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20):

Для t=18

    Yp(18) = Yp(16+2) = [a(16) + 2*b(16)] *F(16+2-4) = [a(16) + 2*b(16)]*F(14)= = (62,89 + 2*1,05)*1,0538=68,5;

Для t=19

    Yp(19) = Yp(16+3) =[a(16) + 3*b(16)]*F(16+3-4)=[a(16) + 3*b(16)]*F(15) = (62,89+ 3*1,05)*1,2426 =82,1;

Для t=20

    Yp(20) =Yp(16+4)=[a(16) + 4*b(16)] *F(16+4-4) = [a(16) + 4*b(16)]*F(16) = (62,89+4*1,05)*0,7526=50,5.

    На нижеприведенном рисунке (рис. 1) проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения данных о кредитах на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

              Рис. 1 Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

    Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

    - экспоненциальную  скользящую среднюю;

    - момент;

    - скорость изменения  цен;

    - индекс относительной  силы;

    - %R, %K, %D.

    Расчёты проводить  для всех дней, для которых  эти расчёты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

 

Цены

Дни

Макс.

Мин.

Закр.

1

650

618

645

2

680

630

632

3

657

627

657

4

687

650

654

5

690

660

689

6

739

985

725

7

725

695

715

8

780

723

780

9

858

814

845

10

872

840

871


      Решение:

  1. Расчет экспоненциальной скользящей средней.

    При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

где k = 2/(n+1);

Ct   - цена закрытия t-го дня;

EMAt  - значение EMA текущего дня t.

    Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

MAt = (Ct-n+1 + Ct-n+2 +…+Ct)/n,

где Ct – цена закрытия  t-го дня;

MAt  - значение скользящего среднего текущего дня t.

    Расчеты представим в таблице (табл. 6) и изобразим на ценовом графике (рис. 2) экспоненциальную скользящую среднюю.

Таблица 2.1

Расчет EMA

t

Ht

Lt

Ct

EMAt

1

650

618

645

x

2

680

630

632

x

3

657

627

657

x

4

687

650

654

647

5

690

660

689

661

6

739

685

725

683

7

725

695

715

693

8

780

723

780

722

9

858

814

845

763

10

872

840

871

799

Вариант 9 📙 Контрольная → 🆔 13079

Вариант 9 📙 Контрольная → 🆔 13079

Вариант 9