Вариация массовых явлений, ее показатели и способы расчета

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариация массовых явлений, ее показатели и способы расчета

 

Введение

 

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Колеблемость отдельных  значений характеризуют показатели вариации. Термин «вариация» произошел  от лат. variatio - изменение, колеблемость, различие. Однако не все различия принято  называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины изучаемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают случайную и систематическую вариации. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, можно оценить, насколько однородной является совокупность. Для характеристики совокупностей и исчисленных средних величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средними.

Цель данной работы –  произвести анализ понятия вариации массовых явлений и определить основные показатели ее оценки.

 

 

 

 

 

 

1. Понятие вариации массовых явлений

 

При изучении явлений  и процессов общественной жизни  статистика встречается с разнообразной вариацией (изменчивостью) признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности.

Вариация - это различие в значениях какого - либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же момент времени. Величины признаков изменяются под действием различных факторов. И, следовательно, чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, т.к. помогает изучить сущность явления. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (продолжительность жизни, доходы и расходы населения и т.д.) для принятия научно-обоснованных управленческих решений.

Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих  основных этапов:

1. Построение вариационного ряда.
2. Графическое изображение вариационного ряда.
3. Расчет показателей центра распределение и структурных характеристик вариационного ряда.
4. Расчет показателей размера и интенсивности вариации.
5. Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Построение вариационного  ряда (ряда распределения) – это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным его значением.

В составе любого вариационного  ряда можно выделить три основных элемента: варианты, частоты, частости.

Варианты – это значения, которые принимает исследуемый признак.

Если варианты представлены в виде целочисленных величин, вариационный ряд называют дискретным, если в  виде интервалов – интервальным.

Частоты вариационного  ряда – абсолютная численность отдельных групп с различными значениями признака.

Частости вариационного  ряда – удельные весы (доли) отдельных  групп в общей численности  совокупности.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой  совокупности, которое весьма существенно  для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало. Т.к. в одном случае вариация признака мала, в другом – велика, а это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины. Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в этом случае будет более реально представить всю совокупность. Поэтому ограничиваться вычислением одной средней нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней. Итак, для характеристики колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей:

Основа показателей - общая оценка отклонений значений показателей элементов совокупности от средней.

 

 

2. Основные показатели  вариации массовых явлений

 

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и  относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся:

1. размах колебаний;
2. среднее линейное отклонение;
3. среднее квадратическое отклонение;
4. дисперсия;
5. квартильное отклонение.

Размах представляет собой разность между максимальной и минимальной величиной признака и является простейшей характеристикой  вариации:

         (1)

Однако, размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду.

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от их средней. Если данные не сгруппированы, то рассчитывается невзвешенное среднее линейное отклонение. Для сгруппированных данных, представленных в виде вариационного ряда, используется взвешенное среднее линейное отклонение, где весами выступают частоты соответствующих вариант

Данные разновидности  отклонений рассчитываются невзвешенное

- среднее линейное отклонение:

         (2)

где X - значение показателя;

- среднее арифметическое значение;

n – число признаков.

- взвешенное среднее линейное отклонение:

         (3)

где f – частоты.

Среднее линейное отклонение в чистом виде для анализа не применяют. Оно  ввиду использования модуля не очень  удобно для расчетов, что и объясняет малую употребительность данной характеристики вариации.

Дисперсия - показатель вариации, выражающий  средний квадрат отклонений вариант  от средних величин в зависимости  от образующего вариационного фактора.

Дисперсия также, как и среднее квадратическое отклонение бывает невзвешенной (для несгруппированных данных) и взвешенной (для сгурппированных данных). Они рассчитываются:

- невзвешенная дисперсия:

         (4)

- взвешенная дисперсия:

         (5)

Показатель  дисперсии более объективно отражает меру вариации на практике.

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением, или стандартным отклонением, и обозначается σ .

В отличие от дисперсии, этот показатель, также показывающий степень вариации признака, имеет размерность самого признака, а не его квадрата, что представляет определенное удобство. Далее мы увидим, что стандартное отклонение имеет важное значение в теории оценивания неизвестных параметров (например, среднего генеральной совокупности) и в теории ошибок выборочного наблюдения.

Среднее квадратическое отклонение, также бывает взвешенным и невзвешенным, и рассчитывается:

- для невзвешенного среднего квадратического отклонения:

         (6)

- для взвешенного среднего квадратического отклонения:

        (7)

Квартильное отклонение (d_k) применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:

          (8)

где Q1 и Q1 - соответственно третья и первая квартили распределения.

Квартиль - значения признака, которые делят ранжированный  ряд на четыре равные по численности  части. Таких величин будет три: первая квар-тиль (Q1), вторая квартиль (Q2), третья квартиль (Q3). Вторая квартиль явля-ется медианой. Вычисление квартилей является аналогичным  вычислению медианы.

Абсолютные показатели вариации, за исключением дисперсии, имеют те же единицы измерения, что и исследуемый  показатель вариационного ряда. Поэтому, если экономическая интерпретация, например, среднего линейного отклонения, проста и понятна физически, то в случае с дисперсией она затруднена. Однако дисперсия рассчитывается в статистическом анализе гораздо чаще, чем другие показатели вариации. Связано это с тем, что дисперсия широко используется в таких видах статистического анализа, как корреляционный, регрессионный, дисперсионный, при оценках результатов выборочного наблюдения. Кроме того, именно с помощью дисперсии можно оценить влияние случайных и систематических факторов на формирование значений случайной величины.

Для сравнения вариации одного и  того же показателя в разных совокупностях (например, заработной платы двух рекламных  агентств) или вариации разных показателей  в одной совокупности (например, вариации заработной платы и возраста в одном рекламном агентстве) используют относительные показатели вариации. К ним относят:

1. коэффициент осцилляции (отношение размаха вариации к средней величине признака);
2. линейный коэффициент вариации (отношение срденего линейного отклонения к средней величине признака);
3. коэффициент вариации (отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака).

Формулы расчета относительных  показателей вариации:

- для коэффициента осцилляции:

         (9)

где V_R - коэффициент осцилляции;

- для линейного коэффициента вариации:

                 (10)

где V_a - линейный коэффициент вариации;

- для коэффициент вариации

                (11)

где V_σ – коэффициент вариации.

Показатель вариации отражает тенденцию  развития явления, т.e. действие главных  факторов. Показатель вариации выражается в процентах или коэффициентах.

Из приведенных формул видно, что  чем больше коэффициент V приближен  к нулю, тем меньше вариация значений признака.

В статистической практике наиболее часто применяется коэффициент  вариации. Он используется не только для  сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

 

 

3. Графическое изображение вариационного ряда

 

Графическое изображение  вариационных рядов облегчает их анализ и позволяет судить о форме  распределения. Для графического изображения вариационного ряда в статистике строят гистограмму, полигон и кумуляту распределения.

Гистограмма – столбиковая  диаграмма, для построения которой  на оси абсцисс откладывают отрезки, равные величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строят прямоугольники, высота которых в принятом масштабе по оси ординат соответствует частотам (или частостям).

Для графического изображения  дискретного вариационного ряда применяют полигон распределения, для построения которого необходимо соединить прямыми отрезками точки с координатами x, w. Крайние точки полученного графика соединяют с точками по оси абсцисс, отстающими на одно деление в принятом масштабе от минимального и максимального значения вариант. Полигон может быть построен и для интервального вариационного ряда, для этого в качестве координат по оси абсцисс используют середины интервалов. Очевидно, что гистограмма легко может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, при этом середины верхних сторон двух крайних прямоугольников соединить с осью абсцисс в точках отстоящих в принятом масштабе на величину интервалов от середины первого и последнего интервалов.

Кумулята распределения  строится по накопленным частотам (частостям). Накопленные частоты (частости) определяют последовательным суммированием частот (частостей), они показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака. При построение кумуляты интервального ряда нижней границе первого интервала соответствует нулевая частота (частость), верхней – вся частота (частость) первого интервала. Верхней границе второго интервала – сумма частот (частостей) первого и второго интервалов и т. д. Верхней границе последнего интервала – сумма накопленных частот (частостей) во всех интервалах, что соответствует общей численности изучаемой совокупности или 100%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Вариация – это  различие в значениях какого- либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Для всех показателей  вариации общим является следующие:

- если показатель вариации близко к нулю (т.е. индивидуальные значения признака мало отличаются друг от друга), то средняя арифметическая будет достаточно показательной (надежной) характеристикой данной совокупности;

- если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием (величина показателя вариации сильно отличается от нуля, является большой), то средняя арифметическая будет ненадежной и ее практическое применение будет ограничено.

 

 

 

 

Задача №1

 

Количество пенсионеров  в области на конец года характеризуется  следующими данными:

	1995 г.	1996 г.
Всего пенсионеров	435,8	436,0
в том числе получающих пенсию
а) по возрасту	324,6	324,1
б) по инвалидности	54,3	54,7
в) в случае потери кормильца	36,2	36,0
г) по выслуге лет	10,6	11,4
д) социальные пенсии	10,1	9,8

 

С целью изучения структуры  пенсионных выплат: а) определите относительные величины, характеризующие структуру пенсионного обеспечения в 1995 и 1996 гг. 2) изобразите полученные показатели в виде секторных диаграмм. 3) Сделайте выводы о структурных сдвигах в пенсионных выплатах.

 

Решение

 

Для определения относительной  величины, которые могли бы характеризовать  составим соответственную таблицу (табл.1.1).

 

Таблица 1.1  Структурные изменения выплат пенсий

                        за период1995-1996 гг.

	1995 г.		1997 г.
	абсолютный  показатель	удельный  вес в структуре (%)	абсолютный  показатель	удельный  вес в структуре (%)
Всего пенсионеров	435,8	100	436	100,0
в том числе получающих пенсию
а) по возрасту	324,6	74,5	324,1	74,3
б) по инвалидности	54,3	12,5	54,7	12,5
в) в случае потери кормильца	36,2	8,3	36	8,3
г) по выслуге лет	10,6	2,4	11,4	2,6
д) социальные пенсии	10,1	2,3	9,8	2,2

 

В таблице, которая расположена  выше (табл.1.1) для изучения структурного изменения пенсионных выплат, выделено удельный вес каждой группы пенсионеров в объеме общего количества пенсионеров.

Для определения удельного  веса в общей структуре, в процентном выражении, использовалась следующая  формула:

         

где В_і – удельный вес i-го показателя в общей структуре;

n_i – количество пенсионеров i-ой группы;

N – общее количество пенсионеров.

Таким образом, мы можем просмотреть структуру выплат пенсий и проследить структурные изменения по годам.

Для большей наглядности  построим секторные диаграммы, которые будут отражать структурные изменения в выплатах пенсий по годам.

 

Рисунок 1.1 – Диаграмма структуры пенсионеров на 1995 г., %

 

 

Рисунок 1.2 – Диаграмма структуры пенсионеров на 1996 г., %

 

Таким образом, из табл.1.1, можно увидеть, что наибольший удельный вес в структуре пенсионеров занимают пенсионеры по возрасту, при этом их доля снизилась в 1996 году на 0,2 п.п.

Удельный вес пенсионеров по инвалидности и в случае потери кормильца за период 1995-1996 гг. в общем количестве не изменился и составил 12,5% и 8,3% соответственно. А удельный вес пенсионеров по выслуге лет вырос на 0,2 пункта, и в 1996 г. составил 2,6%, по сравнению с 1995 г. – 2,4%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

 

На предприятии было проведено 5% выборочное обследование возраста производственного оборудования методом случайного бесповоротного отбора. В результате обследования получены следующие данные:

 

Срок эксплуатации, лет	До 4	4-8	8-12	12 и более
Количество единиц оборудования	25	40	20	15

 

Определить: а) средний возраст производственного оборудования; б) моду и медиану; в) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации; д) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и пределы, в которых ожидается средний возраст всего производственного оборудования.

 

Решение

 

Для нахождения необходимых  показателей, необходимо определить, какой  из показателей является факторным  признаком, а который, является частотой. В нашем случае, срок эксплуатации – является факторным признаком, а количество единиц оборудования – частотой.

 

Таблица 2.1 Определение частоты принадлежности оборудования к   выделенным группам в зависимости от срока эксплуатации

Срок эксплуатации, лет	Количество единиц оборудования, шт (f)	Середина  интервала (х)	x*f
до 4	25	2	50
4-8	40	6	240
8-12	20	10	200
12 и более	15	14	210
Всего	100	32	700

 

1. Найдем средний возраст  оборудования по формуле средневзвешенной арифметической:

          

2.  Найдем моду и  медиану для нашей выборки.

Мода определяется по формуле:

      

де х_Мо – нижний модальный предел интервала;

і – величина модального интервала;

f₂, f₁, f₃ – модальный, предмодальный та послемодальный интервалы.

Для нашей выборки  мода будет равна:

Медиана определяется по формуле:

        

Для нашей выборки  медиана будет равна:

3.  Найдем дисперсию  и среднее отклонение

Для бесповторного выборочного обследования, дисперсия рассчитывается по формуле:

        

Найдем среднее квардатическое отклонение:

          

То есть, бредне квадратическое отклонение в нашем случае будет  равно:

Коэффициент вариации:

         

То есть коэффициент  вариации в нашем случае будет  равен:

Такое значение коэффициента вариации означает, что совокупность имеет признак, который довольно существенно изменяется относительно отдельных единиц выборки, т.е. типичность для данной средней является небольшой.

4.  Определим предельную ошибку средней выборочной и возможные границы, в которых ожидается среднее время горения лампочек для изучения их качества, с вероятностью 0,954.

Определим предельную ошибку и возможные пределы для бесповторной выборки, которая определяется по формуле:

         

где ∆_х –    предельная ошибка средней выборки;        

n –   численность  выборочной совокупности;

N – численность генеральной  совокупности;

- коэффициент доверия;

- показатель дисперсии выборки.

Для нашей задачи n = 100,

При уровне вероятности  коэффициент доверия составит:

Таким образом, рассчитаем предельную ошибку средней выборочной при заданном уровне вероятности:

То есть, предельная ошибка средней выборочной при вероятности 0,954 составит +/-0,77 (лет), т.е. средний возраст оборудования, будет колебаться в этих границах.

Поскольку мы нашли, что  средней возраст оборудования 7 лет, то возможные границы колебания составят:

Для верхней границы:

Для нижней границы:

Таким образом, средний возраст оборудования будет колебаться в пределах 6,23 – 7,77 лет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Ковтун Н.В., Столяров Г.С. Загальна теорія статистики: Курс лекцій. – К.: Четверта хвиля, 1996. – 286 с.;
2. Методические указания для практических работ по курсу «Статистика». – Сумы: СумГУ, 1995. – 41 с.;
3. Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2000. – 464с.;
4. Статистика: Підручник /А.В. Головач, А.М.Єріна, О.В. Козирєв та ін../ За ред. А.В.Головача, А.М. Єріної, О.В. Козирєва. – К.: Вища шк.., 1993. – 326 с.;
5. Статистика: Підручник / С. С. Герасименко, А. В. Головач,  
   А. М. Єріна та ін.; За наук. ред. д-ра екон. наук С. С. Герасименка. -  
   2-ге вид., перероб. і доп. - К.: КНЕУ, 2000. - 467 с.;
6. Общая теория статистики /Г.С. Кильдишев, В.Е. Овсинеко, П.М., П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. – М.: Финансі и статистика, 1980. – 416 с.