Возникновение математики и развитие ее как науки

Контрольная работа №1.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ

ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

 

1. Возникновение  математики и развитие ее как  науки.

        Вопрос о возникновении математики с давних времен интересовал многих ученых и педагогов-практиков. Действительно, интересно знать, как возникли первые математические понятия, как они развивались, пополнялись и постепенно формировались в отдельную науку. Особенно это важно для дошкольной педагогики и методики формирования элементарных математических представлений, которые изучают особенности начального ознакомления ребенка с числом и счетом. Бурное развитие математики тесно связано с тем, что сначала практика, а потом и теория выдвигали перед ней все новые и новые задачи. Для решения практических или теоретических задач приобретенных знаний было недостаточно, приходилось искать новые способы, создавать новые методы формирования знаний.

 

         Первый этап — самый продолжительный. Он охватывает тысячелетия — от начала человеческого общества до XVII в. В этот период формировались и разрабатывались понятия действительного числа, величины, геометрической фигуры. Позже были освоены действия с натуральными числами, дробями, разработаны возможности и способы измерения длины, угла, площади, объема. Второй этап развития математики по продолжительности намного короче, чем первый. Он охватывает XVI — начало XIX в. С XVI в. начинается расцвет математики в Европе. В это время зарождаются новые математические теории, которые принадлежат к области высшей математики.

 

         Выдающимся открытием философии этого периода является признание общности движения и измерения (функции). Следует отметить, что на первом этапе математика несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности. Во втором этапе развития математики основным объектом изучения стали зависимости между изменяющимися величинами.

Особенно бурно на этом этапе развивалась математика в России. В XVI в. появилось много рукописей математического содержания, посвященных арифметике и геометрии. Именно тогда вышла книга по элементарной математике Л.Ф.Магницкого ≪Арифметика≫ (1703 г.). По этой книге обучался математике М.В.Ломоносов.

 

        Третий этап развития математики — с XIX в. до наших дней.

Он характеризуется интенсивным развитием классической высшей математики. Математика стала наукой о количественных и пространственных формах действительного мира в их взаимосвязи. Она переросла предыдущие рамки, ограничивавшие ее изучением чисел, величин, процессов изменения геометрических фигур и их превращений, и стала наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины являются лишь отдельными случаями. Большой вклад в развитие математики внесли российские ученые (М.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, А.М.Колмогоров и др.). Современная математика достигла очень высокого уровня развития. Теперь насчитывается несколько десятков разных областей математики, каждая из которых имеет свое содержание, свои методы исследования и сферы применения.

 

2. Развитие понятия  натурального числа.

        Рассматривая вопрос формирования понятия натурального числа у детей, нужно иметь четкое представление о развитии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изучение истории математики, в частности периода ее зарождения, дает возможность понять основные закономерности

возникновения первых математических понятий: о множестве, числе, величине, об арифметических действиях, системы счисления и др. и использовать эти закономерности с учетом передового педагогического опыта и современных исследований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математики, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практической деятельностью возникла потребность как-то количественно оценивать совокупности. Сначала количество элементов в множествах не отделялось от самих множеств, воспринималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть),

а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно потому, что отдельные предметы четко отличались по своим признакам. На этой стадии развития понятие числа представляло собой также отдельные числа-свойства и числа-качества конкретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.

 

       С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые совокупности, но и создавать совокупности определенного количества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами

другой совокупности или непосредственно с помощью некоторого эталона — зарубок, узелков, части тела человека и др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия. Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой перехода к счету. Однако число как общее свойство равночисленных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке.

 

        Для проведения арифметических операций человек использовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с помощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

 

3. Основные математические  понятия.

Основное понятие в математике — понятие множества. Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: множество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела. Множество характеризуется различными свойствами, т.е. множество задано некоторыми характеристиками. Под этими характеристиками подразумеваются такие свойства, которыми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не принадлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. Множество в отличие от неопределенной множественности имеет границы и может быть охарактеризовано натуральным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества. В начале развития счетной деятельности сравнение множеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элементами множества называют объекты, составляющие множества. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки,

рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек не только выявляет равномощность множеств, но и отсутствие у множества того или другого элемента, той или другой его части. Есть два способа определения мощности множества: первый — пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой — выделение характерологических особенностей множества. Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете парами, тройками, десятками. В этих случаях элементами множества выступает не один предмет, а два, три, десять — совокупность. Основными операциями с множествами являются: объединение, пересечение и вычитание.

 

Объединением (суммой) двух множеств называют треть емножество, которое включает все элементы этих множеств.

Пересечением двух множеств называется множество, которое состоит из их общих элементов.

При вычитании двух множеств получаем третье множество, называемое разностью.

 

Счет — первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего следует подчеркнуть, что это есть установление взаимооднозначного соответствия между двумя множествами. В истории развития человечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночисленность (равенство) или не равночисленность {столько же,меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве одного из множеств стал использовать числовой ряд.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не является постоянной характеристикой, оно относительно к той единице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами — результат будет разный).

Понятие величина в математике рассматривается как основное. Возникло оно в глубокой древности и на протяжении истории развития общества подвергалось ряду обобщений и конкретизации. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же случае мы сужаем понятие величина и будем характеризовать им только размер предметов. Величина предмета — это его относительная характеристика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина является свойством предмета, воспринимаемым различными анализаторами: зрительным, тактильным и двигательным.

Измерение — один из видов математической деятельности. С помощью измерения определяется непрерывная величина: масса, объем, протяженность. В истории развития человеческого общества счет и измерение были, конечно, самыми первыми видами математической деятельности, тесно связанными с элементарными потребностями человека, и прежде всего с определением площадей земельных участков, вместимости сосудов и др.

 

4. Теоретические  основы понятия натурального  числа.

       Понятие натурального числа, как и любое абстрактное понятие, это отражение общих и существенных признаков определенных явлений объективной действительности. Объектом отражения служат количественные отношения действительного мира. Понятие числа у человека возникает в основном так же, как и другие научные понятия, т.е. на основе конкретных представлений, на основе практического опыта. Отличительные черты этого процесса обусловливаются лишь сущностью объектов отражения — количеством.

 

     Для того чтобы выделить постоянные количественные отношения, следует сделать однородные множества переменными, т.е. необходимо разнообразить совокупности предметов. Например, пять шкур, пять мешков зерна, пять пальцев на руке. Эти множества отличаются по содержанию, но они

одинаковы по количеству, что становится очевидно благодаря их сравнению. Количественная сторона данных множеств, оставаясь постоянной, становится заметной, так как отделяется от других качественных и пространственных признаков и обобщается в виде абстрактного понятия числа — всех их по пять. Следующей особенностью количественных отношений является то обстоятельство, что выделение их осуществляется с помощью сравнения. Только сравнение предметов открывает у них количественную сторону как объективное свойство материального мира. Поэтому основным в познании количества является восприятие не самих вещей, а восприятие их изменений — сравнение, умственная деятельность, динамика (Кольман Е.). Эти действия могут быть разными: непосредственное сравнение, счет, измерение, что зависит от природы самих вещей. Если это дискретные (прерывные) величины, то сравниваются они или непосредственно, или с помощью пересчитывания элементов. Если же это

непрерывные величины, то сравнение осуществляется измерением или также непосредственным сравнением. Действия сравнений зависят и от задачи более или менее точно характеризовать количество. Например, восемь штук, четыре килограмма, пять метров и др.

 

       Итак, при формировании у детей понятия числа важно организовать систему действий с совокупностями предметов, научить их различным способам выделения и оценки количества предметов. Усвоение понятия натурального числа у детей даже под влиянием целенаправленного обучения —

длительный процесс. Как и любое познание, оно не простое, не непосредственное, не целостное, а достаточно сложный процесс осознания абстракций, законов, закономерностей. Дети сами не изобретают ни действий, раскрывающих количественную сторону предметного мира, ни названий чисел, ни знаков для обозначения их записи. Это происходит благодаря усвоению ими опыта предыдущих поколений

(опыта взрослых). Однако личный  опыт каждого ребенка также  необходим. Без непосредственного опыта невозможно ни возникновение, ни развитие математических понятий. На каждой ступени обобщения и углубления понятий натурального числа следует обеспечить правильное объединение чувственного и логического элементов познания. Чувственный опыт, как и логические способы раскрытия конк-

ретного понятия, развивается и усовершенствуется. Чувственное познания — это наши ощущения и восприятия.

       На первых этапах возникновения числовых представлений у детей чувственную основу создает оперирование предметами. Для этого им необходимы разные группы (множества) предметов. Дети практически действуют с ними: складывают, раскладывают, нанизывают, накладывают, прикладывают,

пересчитывают. При этом необходимо, чтобы взрослый направлял этот процесс на сравнение множеств по количеству (больше, меньше, поровну). Под влиянием этих действий, вопервых, развиваются операции сравнения и счета; во-вторых, формируется начальное понятие о числе как показателе мощности множества.

В процессе формирования понятия числа особое значение приобретает связь счета с измерением, обучение детей пониманию отношения того или другого объекта (величины) как целого к его части (меры).

Позднее понятие натурального числа углубляется благодаря оперированию самими числами: ознакомление с системой счисления, изучение свойств натурального ряда, выполнение арифметических действий. В результате изменяется само содержание понятия натурального числа, а соответственно этому изменяется также восприятие количества, числовые представления в целом. Важное значение тут приобретает логический элемент познания.

 

5. Виды письменной  нумерации. Системы счисления.

       Цель всякой нумерации — изображение любого натурального числа с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака — 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание — к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, лежащая в основе такой системы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически не пригодна, и ею пользуются только народы, у которых счет не выходит за пределы одного-двух десятков. С развитием человеческого общества увеличиваются знания людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств, измерения больших величин.

 

       Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н.э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки размещались и горизонтально, и вертикально в зависимости от

их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные, так называемые десятки — единицы второго разряда. Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков.

 

       У некоторых народов запись чисел осуществлялась буквами алфавита, которыми пользовались в грамматике. Эта запись имела место у славян, евреев, арабов, грузин. Алфавитная система нумерации впервые была использована в Греции.

 

       Следы алфавитной системы сохранились до нашего времени. Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов, резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации сохранился у нас только для обозначения порядковых числительных. Количественные числа мы никогда не обозначаем

буквами, тем более никогда не оперируем с числами, записанными в алфавитной системе. Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Сейчас существует индийская система записи чисел. Завезена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумерации для записи чисел используется 10 значков, которые называются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до 9. Десятый значок — нуль (0) — означает отсутствие определенного разряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно записать какие угодно большие числа. До XVIII в. на Руси письменные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.

 

       Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сделать вывод о том, что все письменные системы делятся на две большие группы: п о з и ц и о н н ы е и н е п о з и ц и о н н ы е системы счисления. К н е п о з и ц и о н н ы м системам счисления принадлежат: запись чисел иероглифами, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисления — это такая система записи чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он написан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а

алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (единица) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую величину: X — десять единиц, I — единица, независимо от места, на котором они стоят в ряду других знаков.

В п о з и ц и о н н ы х системах каждый знак имеет разное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра ≪2≫ повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая — два десятка, а третья — две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему счисления. Наряду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятиричная, двадцатиричная и др.

 

       Самыми древними приборами для облегчения счета и вычислений были человеческая рука и камешки. Благодаря счету на пальцах возникли пятиричная и десятиричная (десятичная) системы счисления. Верно подмечено ученым математиком Н.Н.Лузиным, что ≪преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмиричной системой≫. В практической деятельности при счете предметов люди использовали камушки, бирки с зарубками, веревки с узелками и др. Первым и более усовершенствованным устройством, специально предназначенным для вычислений, был простой абак, с которого и началось развитие вычислительной техники. Счет с помощью абака, известный уже в Ки-тае, Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры, просуществовал многие тысячелетия, когда на смену абаку пришли письменные вычисления.

 

       Известно несколько разновидностей абака: греческий, который был выполнен в виде глиняной дощечки, на которой твердым предметом проводили линии и в получившиеся углубления (бороздки) клали камешки. Еще более простым был римский абак, на котором камешки могли передвигаться не

по желобам, а просто по линиям, нанесенным на доске. В Китае похожий на абак прибор называли суан-пан, а в Японии — соробан. Основой для этих приборов были шарики, нанизанные на прутики; счетные таблицы, состоящие из горизонтальных линий, соответствующих единицам, десяткам, сотням и т.д., и вертикальных, предназначенных для отдельных слагаемых и сомножителей. На эти линии вык-

ладывались жетоны — до четырех. У наших предков тоже был абак — русские счеты. Они появились в XVI—XVII вв., ими пользуются и в наши дни. Основная заслуга изобретателей абака состоит в использовании позиционной системы счисления. Следующим важным этапом в развитии вычислительной

техники было создание суммирующих машин и арифмометров. Такие машины были сконструированы независимо друг от друга разными изобретателями.

 

       Под термином ≪вычислительная техника≫ понимают совокупность технических систем, т.е. вычислительных машин, математических средств, методов и приемов, используемых для облегчения и ускорения решения трудоемких задач, связанных с обработкой информации (вычислениями), а также

отрасль техники, занимающейся разработкой и эксплуатацией вычислительных машин. Основные функциональные элементы современных вычислительных машин, или компьютеров, выполнены на электронных приборах, поэтому их называют электронными вычислительными машинами — ЭВМ.

 

       Первое аналоговое вычислительное устройство появилось в XVII в. Это была логарифмическая линейка. В XVIII—XIX вв. продолжалось совершенствование механических арифмометров с электрическим приводом. Это усовершенствование носило чисто механический характер и с переходом на электронику утратило свое значение. Исключение составляют лишь машины английского ученого Ч.Бебиджа: разностные (1822) и аналитические (1830). Разностная машина предназначалась для табулирования многочленов и с современной точки зрения была специализированной вычислительной машиной с фиксированной (жесткой) программой. Машина имела ≪память≫ — несколько регистров для хранения чисел. При выполнении заданного числа шагов вычислений срабатывал счетчик числа опера-

ций — раздавался звонок. Результаты выводились на печать — печатающее устройство. Причем по времени эта операция совмещалась с вычислениями.

 

       Первой электронно-вычислительной машиной принято считать машину, разработанную в Пенсинвальском университете США. Эта машина ЭНИАК была построена в 1945 году, имела автоматическое программное управление. Недостатком этой машины было отсутствие запоминающего устройства для хранения команд. Первой ЭВМ, обладающей всеми компонентами современных машин, была английская машина ЭДСАК, построенная в 1949 году в Кембриджском университете. В запоминающем устройстве этой машины размещаются числа (записанные в двоичном коде) и сама программа. Благодаря числовой форме записи команд программы машина может производить различные операции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конспект НОД «Нарядные матрёшки»

Цель: Использование дидактических игр при формировании элементарных математических представлений у детей младшего дошкольного возраста.

Программное содержание:

• Развивать сенсорные представления, мыслительную активность.
• Развивать и обобщать знания детей о количестве предметов (один, много).
• Обогащать словарь дошкольника.
• Воспитывать интерес к народной игрушке, ее красоте.

Образовательные области: Познание, Коммуникация, Социализация

Материал: Набор матрешек до 5 штук, бумажные матрешки для каждого ребенка с комплектом фартуков разных цветов.

Ход непосредственно – образовательной деятельности

Воспитатель: - Дети, у нас сегодня гости. Давайте с ними поздороваемся.

Садитесь на стульчики, мы с вами поиграем.

Давайте посмотрим, какой интересный гость к нам пришел. К нам пришел мишка в гости и принес нам подарок.

Какая коробочка красивая, интересно, что там, давайте посмотрим, что внутри.

Посмотрите дети, какой красивый сюрприз нам мишка принес.

Эта кукла называется – Матрешка.

Давайте ее рассмотрим, какая она яркая, нарядная, красивая, большая, румяная. У нее цветная косыночка и нарядный сарафанчик.

Ребята, матрешка тяжелая и внутри у нее что то есть, послушайте как она гремит. Давайте посмотрим, что там такое.

Матрешка, матрешка, откройся немножко.

Давайте, соберем всех матрёшек- сестричек. (Ребенок собирает всех матрешек).

Ставим все матрешки в ряд.

Посмотрите и скажите, сколько всего матрёшек?

Дети: Много.

Воспитатель: Сколько больших матрёшек?

Дети: Одна.

Воспитатель: Покажите большую матрешку, а теперь маленькую матрешку.

Давайте соберем маленьких матрешек в большую.

Для этого мне нужен помощник.

 

 

Физкультминутка

Воспитатель: Давайте немного отдохнём и попляшем вместе с матрешками.

Все нарядные сестрички На ногах есть черевички, Любим петь и танцевать И с ребятами играть.

Хлопают в ладоши Выставляют поочередно ноги Присесть, встать, руки на поясе Прыжки вокруг себя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д/и «Подбери фартук для матрешки»

На столе разложен  дидактический материал на каждого ребенка.

Воспитатель: У меня есть для вас еще матрешки, но только посмотрите, они совсем не нарядные у них нет фартука, давайте поможем матрешкам и подберём им фартучки такого же цвета, что и косыночка.

Нарядите сначала тех матрешек, которых вы видите у меня на мольберте.

(Дети выходят к мольберту  и подбирают фартуки нужного цвета)

Воспитатель: Теперь так же подберите фартуки своим матрешкам.

Воспитатель: Вот теперь все матрешки стали нарядные.

Ребята, пришло время проститься с нашим гостем.

Итог: Дети, чем мы с вами сейчас занимались? (Играли).

С кем познакомились? Что больше всего понравилось?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дидактические принцыпы математического развития детей.

• Сознательность и активность.
• Наглядность.
• Деятельностный подход.
• Систематичность и последовательность.
• Прочность.
• Постоянная повторяемость.
• Научность.
• Доступность.
• Связь с жизнью.
• Развивающее обучение.
• Индивидуальный и дифференцированный подход.
• Коррекционная направленность и др.

 

Формы работы по математическому развитию дошкольников

 

Форма	Задачи	время	Охват детей	Ведущая роль
Занятие	Дать, повторить, закрепить и систематизировать знания, умения и навыки	Планомерно, регулярно, систематично (длительность и регулярность в соответствии с программой)	Группа или подгруппа (в зависимости от возраста и проблем в развитии)	Воспитатель (или дефек-толог)
Дидактическая игра	Закрепить, применить, расширить ЗУН	На занятии или вне занятий	Группа, подгруппа, один ребенок	Воспитатель и дети
Индивидуальная работа	Уточнить ЗУН и устранить пробелы	На занятии и вне занятий	Один ребенок	Воспитатель
Досуг (математический утренник, праздник, викторина и т. п.)	Увлечь математикой, подвести итоги	1—2 раза в году	Группа или несколько групп	Воспитатель и другие специалисты
Самостоятельная деятельность	Повторить, применить, отработать ЗУН	Во время режимных процессов, бытовых ситуаций, повседневной деятельности	Группа, подгруппа, один ребенок	Дети и воспитатель