Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Задач по "Теории вероятностей"

Задание 7.1.

Рейсовый катер может опоздать вследствие двух независимых причин: плохой погоды и неисправности оборудования. Вероятность плохой погоды равна 0,3, вероятность неисправности 0,4. Найти вероятность того, что катер опоздает: а) только по причине плохой погоды; б) по любым причинам.

Решение. Обозначим через A, B случайные события, наступающие в случаях, когда катер опаздывает по причине плохой погоды или неисправности соответственно, р(А)=0,3, р(В)=0,4. Введем также события: С – катер опаздывает только по причине плохой погоды, D – по любым причинам.

а) Представим событие в виде С=А·. Применяя теорему умножения вероятностей и учитывая очевидную из условия независимость событий А, В находим

Р(С) = Р(А · ) = Р(А) · Р() = 0,3 ·(1-0,4)=0,3*0,6=0,18

б) Согласно условию D=А·+·В+АВ. По теореме сложения вероятностей с учетом несовместности слагаемых имеем

Р(D) = P(А·+·В+АВ) = P(А·) + P(·В)+Р(АВ)

Вновь применяя теорему умножения при независимых сомножителях находим

P(D) = P(A)·P() + P()·P(B) +Р(АВ)= P(A) · (1- P(B)) + (1- P(A)) · P(B)+Р(А)Р(В) =

= 0,3(1-0,4) + (1-0,3)0,4+0,3*0,4 = 0,3*0,6*0,7*0,4*0,3*0,4=0,006.

Задание 7.2.

При сборке подшипников используются шарики, 30% которых поставляет цех 1 и 70% - цех 2. Доли брака в цехах составляют 0,1 и 0,05 соответственно. а) Найти вероятность брака подшипника; б) подшипник оказался бракованным. Найти вероятность того, что виновником является цех 1.

Решение. Обозначим через Н_i (i = 1,2) гипотезу - кинескоп изготовлен i-тым заводом. Очевидно, что Н₁, Н₂ несовместны и Н₁ + Н₂ = I - достоверное событие. Из условия видно также, что Р(Н₁) = 0,3 , Р(Н₂) = 0,7. Обозначим через А событие: очередной кинескоп окажется нестандартным.

а) По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = Р(А / Н₁) · Р(Н₁) + Р(А / Н₂) · Р(Н₂).

Согласно условию Р(А / Н₁) = 0,1, Р(А / Н₂) = 0,05 ,

поэтому Р(А) = 0,1·0,3 + 0,05·0,7 = 0,03+0,035=0,065.

б) Для вычисления искомой вероятности Р(Н₁/ А) используем формулу Байеса

Задание 7.3.

Построить ряд распределения, функцию распределения и ее график, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X - числа наступлений случайного события А в указанной ниже серии независимых испытаний.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, извлекается наугад шар (если он белый, то наступило А), который затем возвращается в урну. Опыт повторяется 3 раза.

Решение.

Случайная величина (СВ)Х - число белых шаров - может принимать значения 0, 1, 2. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли при р = 2/5=0,4, q = 1- 0,4 = 0,6.

, ,

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

x_i	0	1	2
p_i	0,36	0,48	0,16

Функция распределения по определению равна F(x) = P( X < x ) и запишется:

График

F(x)

0,8

0,4

0,2

1 2 3

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

D[x] = 1,12 – 0,64 = 0,48.

Задание 7.4. По заданной функции распределения F(x) случайной величины СВ X найти плотность распределения и построить ее график. Вычислить вероятность P(a≤X≤b) попадания значения СВ в заданный интервал, математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Плотность распределения определяется по формуле

и показана на рисунке

f(x)

2/9

0 9 x

Искомая вероятность равна:

Математическое ожидание и дисперсия запишутся:

Задание 7.5.

Найти вероятность попадания в заданный интервал [a,b] значения нормально распределенной случайной величины X, если известно её математическое ожидание M[X] и дисперсия D[X].

M[X]	D[X]		b
7	4	3	10

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле

Среднеквадратическое отклонение поэтому

Здесь учтена нечётность вспомогательной функции

Берём её значение из таблицы: Ф(1,5) = 0,87 , Ф(2) = 0,95 ,

откуда Р = 0,82 .

Задание 7.6.

В партии из n изделий каждое может оказаться стандартным с вероятностью p. С помощью локальной и интегральной формул Муавра-Лапласа вычислить вероятность того, что число стандартных деталей в партии будет:

а) равно m; б) заключено между m₁ и m₂.

m₁

m₂

0,4

350

137

135

155

Решение. а) Искомая вероятность при n >> 1, np >> 1 вычисляется по локальной формуле (q = 1 - p)

где вспомогательная функция имеет вид: .

Для х = 0,33 имеем после вычислений р₁ = 0,26.

б) Вероятность вычисляется с помощью интегральной формулы

откуда с помощью таблицы для Ф(х) и имеем Р₂ = 0,9 + 0,42 =1,32

Задание 7.7. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность распределения

Найти вероятность попаданий значения (X,Y) в область х₁ ≤ х ≤ х₂ , y₁ ≤ y ≤ y₂ , вероятность попадания значения Х в интервал х₁ ≤ х ≤ х₂ , математическое ожидание

М[x] и условное математическое ожидание M[Y/X = x].

a = 2, в = 5, х₁ = 1, х₂ = 9, у₁ = - 4, у₂ = 3.

a	b	x₁	x₂	y₁	y₂
5	3	2	4	-4	1

Решение. Найдём вероятность попадания в область S(х₁ ≤ х ≤ х₂ , y₁ ≤ y ≤ y₂ ) по формуле Р(х₁ ≤ X ≤ х₂ , y₁ ≤ Y ≤ y₂ ) =

При вычислении интеграла учитывается та часть области S, где f ≠ 0,

т.е. 0 ≤ х ≤ 4, 0 ≤ у ≤ 1:

Плотность вероятности для составляющей Х имеет вид: .

Если х < 0 или х > 5, то f(x, y) = 0 и f1(x) = 0. При 0 ≤ х ≤ 5 находим

Таким образом плотность имеет вид:

(1)

Тогда

Условное математическое ожидание М[Y/X = x] определяется с помощью условной плотности распределения f2(y/x) составляющей Y (т.е. плотности СВ Y при условии, что СВ Х приняла известное значение х):

(2)

Согласно (1) СВ Х может принимать лишь значения 0 ≤ х ≤ 5, поэтому из (2), (1) и условия задачи получаем

Искомое математическое ожидание равно

(3)

Полученная зависимость называется уравнением регрессии Y на Х.

Задание 7.8. СВ Х имеет плотность распределения. Для СВ Y = φ(Х) найти её плотность распределения g(y), вероятность P(а ≤ Y ≤ в), математическое ожидание

M[Y] и дисперсию D[Y].

Решение. Плотность распределения СВ Y = φ(x) даётся формулой

g(y) = f(ψ(y))/ψ'(y)/ (1)

где х = ψ(у) - функция, обратная к у = φ(х). В данном случае у = φ(х) = x+4,

х = ψ(у) = у + 4. Согласно и условию задачи находим

Остальные величины можно вычислить с помощью g(y) или непосредственно через f(x) по формулам

Задание 7.9.

Задана матрица перехода системы из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг . Найти матрицу перехода из состояния i в состояние j за два шага.

a	b	C	D
0,4	0,6	0,5	0,5

Решение. Заданная матрица имеет вид:

Матрица перехода i → j за n шагов равна Аⁿ и для n = 2 запишется

Задача 8.1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка, представленная в виде статистического ряда (в первой строке указаны выборочные значения x_i, во второй - соответствующие им частоты n_i). Требуется вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию D_в, исправленную выборочную дисперсию S² и среднеквадратическое отклонение S, эмпирическую функцию распределения.

x_i	2	3	4	5	6	7	8
n_i	4	11	25	30	15	10	5

Решение. Объём выборки равен . Выборочные среднее и дисперсия вычисляются по формулам

Исправленная выборочная дисперсия равна

Тогда "исправленное" выборочное среднеквадратическое отклонение будет

Задача 8.2.

По заданным выборочным среднему и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностью p доверительный интервал для математического ожидания M[X], если

а) известно (принять ),

б) неизвестно,

а также доверительный интервал для . Число степеней свободы принять равным 3.

	s	N	p
18,7	5,4	200	0,99

Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

(s [X]=5,4), доверительный интервал для математического ожидания можно запи-сать

где корень уравнения Φ(t) = g/2 = 0.495 отыскивается из таблицы значений функ-ции Лапласа

и равен t = 2.58. Вычисляя величину

находим доверительный интервал (17.715;19.658).

б) Если СКО неизвестно, в качестве его оценки принимается значение s (s [X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при g = 0.99 и числе степеней свободы, равном 3 (t=4.54). Тогда доверительный интервал имеет вид (16.97; 20.43).

Доверительный интервал для s [X] запишется

s(1- q) < s [X] < (1 + q)

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности g =0.99 и объёма выборки n=200 равно q = 0.4. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 5,4(1-0.4) = 3.24, s(1+q) =5.4(1+0,4) = 7.56,

т.е., 3.24 < s [X] <7.56.

Задача 8.3.

1.Выборку значений СВ Х, указанную в условии задачи 8.1 сгруппировать, разбивая отрезок [a,b] (а = min х_i; b = max х_i) на 5 интервалов с границами

и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена по нормальному закону и принимая в качестве параметров М[X], s[X] их оценки , s вычислить теоретические частоты интерва-лов.

3. С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α =0.1проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём.

x_i	2	3	4	5	6	7	8
n_i	4	11	25	30	15	10	5

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а=min x_i = 2, в = max x_i = 8, поэтому (в-а)/5=1.2 и границы интервалов будут ξ₀ = 2, ξ₁ = 2+1.2=3.2, ξ₂ = 3.2+1.2=4.4, ξ₃=4.4+1.2=5.6, ξ₄ =5.6+1.2= 6.8, ξ₅ = 6.8+1.2=8.

Эмпирическая частота r_j интервала (j =0,..,4) подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j=0) интервал [2;3.2] попало 4+11=15 значений, поэтому r₀ =15/100 =0.15. Aналогично, r₁= 0.25, r₂=0.3, r₃=0.2, r₄=0.15.

2. Примем в качестве параметров нормального распределения Х вычисленные в задаче 8.1 значения точечных оценок

M[X] = = 4.91, s[X] = s = 1.44

Теоретические частоты интервалов (j =0,1,..,4) являются вероятностями

С помощью таблиц интеграла Лапласа находим

3. Вычисляем значение

По таблице распределения χ² Пирсона для доверительной вероятности g = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы n = 3 находим значение . Поскольку гипотезу о нормальном распределении СВ Х следует считать не противоречащей выборочным данным.

Задание 8.4.

По заданной корреляционной таблице найти выборочные средние среднеквадратические отклонения s_x, s_y, коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии Y на X. Вычислить условные средние по данным таблицы и с помощью выборочного уравнения регрессии и найти наибольшее их отклонение.