Задачи по математике в экономике

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ  КООПЕРАЦИИ 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по  дисциплине ____________________________________________

 

на  тему:            _____________________________________________

                           _____________________________________________

                           _____________________________________________

  

Студентки_________курса 

______________________

                                                                                                  ФИО 

______________________

                                                        группа, шифр

                                                           Руководитель___________

______________________

   ФИО 

Оценка________________    

 

 

 

Омск 2011

    Задача  №1.

    1. Дайте понятие производственной  функции и изокванты. Что означает  взаимозаменяемость ресурсов?

    2. Производственная функция для  райпо имеет вид:  ,  где f – товарооборот, Х₁ – производственная площадь, тыс. кв. м.; Х₂ – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня и найдите на ней точку С₁ с координатами ; , где = , и точку С₂ с координатами  Х₁^*; Х₂^*, где Х₂^*= . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов ( ; ) и (Х₁^*; Х₂^*). Полученные результаты изобразите графически. 

    Решение:

    1. Функция  называется производственной, если в явном виде выражена зависимость y= , где y – количество единиц некоторого продукта, а =x(x₁,x₂,…x_n) – количество затраченных ресурсов.

    Множество в n-мерном пространстве, определяемое равенством , называется изоквантой функции уровня y₀.

    Если  и , то ресурсы и обеспечивают производство одного и того же количества продукта y₀, т.е. являются взаимозаменяемыми. Знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать увеличением других.

    2. d=577

    

    

    

      

      

    Т.е. 142 работника райпо, используя 4,77 тыс. м² производственной площади, обеспечат товарооборот млн. руб., и такой же товарооборот могут обеспечить 277 работников райпо, используя площадь 2,44 тыс. м².

    Изобразим полученные результаты графически. 

      
 
 

    Задача  №2. 

1. Дать понятие  малоэластичных товаров, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие  товары называются взаимозаменяемыми?
2. Произвести классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

 
 

    Решение: 

    1. Малоэластичный товар - <1;

    среднеэластичный  товар - »1;

    высокоэластичный  товар - >1.

    Взаимозаменяемые  товары – это такие товары, для  которых увеличение цены на i-ый товар приводит к увеличению спроса на j-ый товар, и наоборот.

    2. d=577

    Подставим d в формулы. Получим следующую таблицу эластичностей

 

    Т.к. =0,33<1, то первый товар малоэластичный.

    Т.к. =0,63<1, то второй товар также малоэластичный.

    Т.к. =1,03»1, то первый товар среднеэластичный.

    Т.к. все e_ij<0 при i¹j, то все товары попарно взаимодополняемые. 

    Задача  №3. 

1. Дайте определение  коэффициентов прямых затрат. Где  они могут быть использованы?
2. За отчётный период имел место следующий баланс продукции:

          Х₁ = Х₁₁ + Х₁₂ + Y₁

          Х₂ = Х₂₁ + Х₂₂ + Y₂

    Х₁₁= 800 -                                                             Х₁₂= 700 -

    Х₂₁= 750 -                                                             Х₂₂= 850 -

          Y₁ = 300                                                                    Y₂ = 220

         а) Вычислить коэффициенты прямых  затрат.

         б) Вычислить плановый объём  валовой продукции отраслей, если  план выпуска   конечной продукции ; при условии неизменности технологии производства. 
 
 

    Решение:

    1. Коэффициенты прямых затрат a_ij – это отношение объема продукта i-ой отрасли, используемого за отчетный период j-ой отраслью, к валовому выпуску продукции j-ой отрасли:

    

    Коэффициенты  прямых затрат могут использоваться для определения планового производства валовой продукции отраслей.

    2. d=577

    x₁₁=800-577=223 x₁₂=700-577=123

    x₂₁=750-577=173 x₂₂=850-577=273 

    x₁=223+123+300=646 x₂=173+273+220=666

    а) вычислим коэффициенты прямых затрат

      

      

    Вычислим  плановый объем валовой продукции  отраслей

    

    

    Решим систему методом Крамера

    

    

    

     - плановый объем продукции  первой отрасли

     - плановый объем продукции  второй отрасли 

    Задача  №4. 

    Объяснить смысл элементов платёжной таблицы  и способы выбора стратегий с  позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма – пессимизма.

1. Выберите стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма – пессимизма для следующей платёжной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

 
 
 

    Решение:

    В платежной матрице заголовки  столбцов e_j – перечень возможных эластичностей;

    заголовки строк A_i – стратегии снижения цены на товар;

    элементы, стоящие на пересечении строк  и столбцов a_ij – выручка от реализации товара для i-той стратегии и j-ой эластичности. 

    1. Проблема уценки неходового товара  имеет цель получить возможно  большую выручку от реализации. Предположим, что эластичность  спроса в зависимости от цены  неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены.

    Иными словами, нужно принять решения в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр.

    Обозначим A₁, А₂, .......А_m - стратегии снижения цены на товар на α ₁%, α₂%,........, α _m% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ....... . Если выбрать определенную стратегию А_i, и знать эластичность товара ,то, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара a_ij. Проделав это для всех А, и для всех , получим платежную матрицу. 
 
 
 
 

    В таблице представлен подробный  перечень различных ситуаций.

 

    Для принятия решения можно использовать следующие способы.

    а) Позиция крайнего пессимизма:

    Он  заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии А_i, эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α _i будет минимально возможной, т.е.

    α _i=min (α _i1, α _i2. . . α _{i n})

    Вычислив  все величины α _i (α ₁, α ₂,....... α _m), нужно взять наибольшую из них α:

    α =max (α _i)

    Та  стратегия, которая соответствует  числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

    б) Позиция крайнего оптимизма:

    Предположим, что при выборе любой стратегии  А _i, эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β _i  наибольшая, т.е.

    β _i = max(α ₁, α ₂,....... α _m)

    Вычислив  все β _i нужно взять наибольшую из них β

    β =max (β _i)

    Та  стратегия, которая соответствует  величине β и есть искомая.

    Данная  стратегия отражает надежду на самый  лучший исход из всех возможных.

    в) Позиция пессимизма - оптимизма:

    Рассмотрим  величину Н:

    

    где λ - числовой параметр, 0£λ£1.

    Предлагается  выбирать стратегию, соответствующую  величине Н.

    При λ=0 , H=max α _i = α , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

    При λ =1, Н= max β _i = β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

    Вообще, величина Н при изменении λ  от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии.

    γ =max (γ _i)

    Стратегию, на которой достигается величина γ, называют соответствующей подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

    Подставим d=577 в формулы. Получим следующую таблицу:

 

    Найдем  по каждой строке таблицы минимальное  из чисел a_i, максимальное b_i и вычислим их полусумму

 

    a=max(a₁, a₂, a₃)=max(43, 33, 27)=43, Þ А₁ – стратегия крайнего пессимизма. Ожидаемый выигрыш равен 43 единицы.

    b=max(b₁, b₂, b₃)=max(97, 53, 63)=97, Þ А₁ – стратегия крайнего оптимизма. Ожидаемый выигрыш равен 97 единиц.

    g=max(g₁, g₂, g₃)=max(70, 43, 45)=70, Þ А₁ – стратегия оптимизма-пессимизма. Ожидаемый выигрыш равен 70 единиц. 

    Задача  №5.

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?
2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

 

    Решение:

    1. К системам массового обслуживания  относятся магазины, рестораны, автозаправочные  станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты.

    Общую схему СМО можно представить  в следующем виде: 

 Поток обслуженных

                 

                 требований требований

 

    Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина Х с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:

    F(t) = , t ,

где параметр (треб./ед. времени) характеризует интенсивность входящего потока.

    Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в  порядке поступления.

    Для обслуживания примем предположения, что  все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

    F(t) = , t , 

где параметр (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания. 

    Работу  СМО характеризуют следующие  экономические показатели:

    P_k – доля времени работы k каналов, k=0,1,…,n;

    L – средняя длина очереди

    P₀ – вероятность того, что система свободна

    П – вероятность образования очереди

    P_отк – вероятность отказа в обслуживании

    g – относительная пропускная способность

    А – абсолютная пропускная способность

    n_зан – среднее количество занятых каналов

    t_ож - среднее время нахождения в очереди

    2. d=577

      треб./мин

      треб./мин

    

     (p₀=28,5%)

    

    Если  интенсивность станет равной треб./мин, то в силу условия 12,3 < 2×8,77 условие стационарности СМО выполняется. Рассчитаем среднюю длину очереди:

    

    

    

    При интенсивности m=8,77 и интенсивности входа l=9,77 требований в минуту доля времени простоя касс будет 28,5% времени, а средняя длина очереди 0,501 (треб.). Если же интенсивность входа станет равной 12,3 треб./мин, то средняя длина очереди увеличится в 2,713 раза. 
 

    Задача  №6.

1. Сформулировать задачу оптимального управления запасами.
2. Дать экономическую интерпретацию предельной арендной платы.
3. Сделать вывод о целесообразности аренды дополнительных складских ёмкостей или о необходимости сокращения объёма заказываемой партии товара с учётом имеющихся складских ёмкостей при сравнении фактической  α ( ) и предельной λ ( ) арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

                                

    Решение:

    1. Задача оптимального управления  запасами формулируется следующим  образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.

    2. Показатель l, определяемый по формуле , экономически интерпретируется как предельная арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата меньше или равна предельной, то аренда выгодна, в противном случае аренда не выгодна.

    3. d=577

    

    

    a<l, Þ фактическая предельная плата меньше арендной предельной платы, поэтому аренда дополнительных складских емкостей выгодна. 

Задача  №7.

1. Дать понятие генеральной и выборочной совокупностей.
2. Определить соотношения между доверительными интервалами при:

       а) фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , надёжности Р и различных значениях объёма выборки

       n₁ =610 - ;                              n₂ = - 490;

       б) фиксированных значениях среднеквадратического отклонения , объёма выборки n и различных значениях надёжности

                                     

       в) фиксированных значениях надёжности Р, объёма выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения

                                      

    Решение:

    1. Генеральной совокупностью называют  множество однородных объектов, изучаемых относительно некоторого количественного признака или группы признаков.

<