Задачи по статистике. 26

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Задача №1 …...………………………………………………….………………3

2. Задача №2 ………………………………………….…………………………..6

3. Задача №3 …...………………………………………………….………………7

4. Задача №4 ………………………………………….………………………….11

5. Задача №5 …...………………………………………………….……………14

6. Задача №6 ………………………………………….………………………..15

7. Задача №7 …...………………………………………………….……………18

8. Задача №8 ………………………………………….………………………….19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Задача  № 1 

    Имеются данные о сумме активов и кредитных  вложений 25 коммерческих банков:

 

    С целью изучения зависимости суммы  активов и кредитных вложений коммерческих банков произведите группировку  банков по кредитным вложениям (факторный  признак), образовав пять групп с  равными интервалами.

      По  каждой группе и совокупности банков подсчитайте:

1. число банков;
2. сумму кредитных вложений – всего и в среднем на один банк;
3. сумму активов – всего и в среднем на один банк.

      Результаты  представьте в виде групповой  таблицы. Напишите краткие выводы. 
 

Решение: 

    Прежде  всего, определим величину интервала. Величина равного интервала рассчитывается по формуле:

i =

,

где X_max и X_min – максимальное и минимальное значения признака, а n – число групп

X_max = 3900; X_min = 350;  n = 5.

i =

= 710 (млрд. руб.)

    Производим  группировку банков по размеру кредитных вложений с интервалом в 710 млрд. руб., для чего строим рабочую таблицу 1: 

Таблица 1. 

Распределение банков по размеру кредитных вложений 

 

    Для установления наличия и характера  связи между суммами активов и кредитных вложений коммерческих банков по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу 2. 

Таблица 2. 

Зависимость суммы активов от

кредитных вложений коммерческих банков 

 

    Для определения кредитных вложений в среднем на один банк, а также  суммы активов в среднем на один банк воспользуемся формулой определения средней арифметической простой:

    

= ,

где х – индивидуальные значения признака (вариант);

  – среднее значение признака;

  n – число значений признака. 

= 9050 / 13 = 696,15    = 15554 / 13 = 1196,46

= 5297 / 4 = 1324,25    = 9391 / 4 = 2347,75

= 9079 / 4 = 2269,75    = 18491 / 4 = 4622,75

= 5271 / 2 = 2635,5    = 12481 / 2 = 6240,5

= 7319 / 2 = 3659,5    = 13615 / 2 = 6807,5 

      Данные  таблицы 2 показывают, что с ростом кредитных вложений банка, средняя  сумма активов одного банка увеличивается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость. Теснота связи между исследуемыми признаками измерена эмпирическим корреляционным отношением в задаче №8. 
 

2. Задача № 2 

    Имеются следующие данные о производственных показателях за отчетный период двух фабрик:

    Вычислите для двух фабрик вместе:

1. Средний процент выполнения плана выпуска продукции.
2. Средний процент стандартной продукции.

    Укажите виды средних, которые требуются  для вычисления этих показателей. 

Решение: 

      Для вычисления указанных выше показателей  используем среднюю гармоническую взвешенную. Средняя гармоническая взвешенная применяется в том случае, когда не известна численность совокупности (f) и варианты (х) приходится взвешивать по объему признака (w).

      Средняя гармоническая взвешенная исчисляется  по формуле:

             = , 

где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f. 

      Основой выбора вида средней является реальное содержание определяемого показателя:

процентная  ставка =

.

      Средний процент выполнения плана выпуска продукции равен отношению фактически выпущенной продукции к плановому выпуску продукции. В данном задаче отсутствуют прямые данные о плановом выпуске продукции (f). Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив фактически выпущенную продукцию (w) на процент выполнения плана (х). Средний процент выполнения плана выпуска продукции равен:  

= = = = = 0,99 или 99,0%. 

      Таким же образом рассчитываем средний процент стандартной продукции. Он будет равен: 

= = = = = 0,87 или 87,0%. 
 

    3. Задача № 3

    В целях изучения урожайности подсолнечника  в колхозах области проведено 5%-ное  выборочное обследование 100 га посевов, отобранных в случайном порядке, в результате которого получены следующие  данные:

    На  основании этих данных вычислите:

1. Среднюю урожайность подсолнечника с 1 га.
2. Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя урожайность подсолнечника в области.
1. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса посевных площадей области с урожайностью от 15 до 19 ц/га.

    Напишите  краткие выводы. 

Решение: 

      Для расчета средней урожайности  подсолнечника с 1 га и среднего квадратического  отклонения строим расчетную таблицу 1. 

 

     1. Определим среднюю урожайность подсолнечника с 1 га:

     Для расчета средней урожайности подсолнечника используем среднюю арифметическую взвешенную. Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака (варианты) встречаются в совокупности несколько раз. Она исчисляется по формуле:

      = , где f – частота (как часто встречается каждый вариант).

= = = = = 15,7. 

      2. Определим среднее квадратическое отклонение: 

σ =

= = = = = =2,1 

      Определим средний квадрат отклонений (дисперсию):

      Дисперсия признака (σ²) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической: 

σ² =

= = 4,415

     3. Определим коэффициент вариации: 

      Для сравнения размеров вариации различных  признаков, а также для сравнения  степени вариации одноименных признаков  в нескольких совокупностях исчисляется  относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V), который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: 

V =

= = 13,37%. 

      4. С вероятностью 0,997 определим предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя урожайность подсолнечника в области: 

= 5% или 0,05  

n = 100 га   

m = 15,7        

t = 3    

    

 w – ? Δ_w – ?   

     Определим долю средней урожайности в выборочной совокупности:

w = , где m – число единиц в выборочной совокупности, обладающих изучаемым признаком; n – число единиц выборочной совокупности 

w =

= 0,16 или 16%.

Из 100 проверенных  гектар посевов 16% со средней урожайностью. 

     Определим предельную ошибку выборочного наблюдения: 

Δ_w = t

= 3 = 3 = 3 = 3 = 0,09 или 9,0%.

Доверительные интервалы для доли будут равны:

     p = w Δ_w

     p = 16% 9%, тогда 16% – 9% p 16% + 9%.

     Доля  средней урожайности будет находиться в пределах от 7 до 25% при вероятности 0,997. 

     5. С вероятностью 0,997 определим предельную  ошибку выборочной доли и границы  удельного веса посевных площадей  области с урожайностью от 15 до 19 ц/га. 

= 5% или 0,05  

n = 100 га   

m = 60        

t = 3    

    

 w – ? Δ_w – ?   

     Определим удельный вес посевных площадей области с урожайностью от 15 до 19 ц/га для чего используем следующую формулу:

d =

, где где d – удельный вес частей совокупности

d =

= 60.

     Определим долю посевных площадей области с урожайностью от 15 до 19 ц/га в выборочной совокупности:

w = , где m – число единиц в выборочной совокупности, обладающих изучаемым признаком; n – число единиц выборочной совокупности 

w =

= 0,6 или 60%.

Из 100 проверенных  гектар посевов 60% с урожайностью от 15 до 19 ц/га. 

     Определим предельную ошибку выборочного наблюдения: 

Δ_w = t

= 3 = 3 = 3 = = 0,15 или 15,0%.

Доверительные интервалы для доли будут равны:

     p = w Δ_w

     p = 60% 15%, тогда 60% – 15% p 60% + 15%.

     Доля  посевных площадей области с урожайностью от 15 до 19 ц/га будет находиться в пределах от 45% до 75% при вероятности 0,997. 

4. Задача  № 4

    Ввод  в действие жилых домов предприятиями  и организациями всех форм собственности  в РФ характеризуется следующими данными:

    Для анализа ввода в действие жилых  домов в Российской Федерации  за 2002-2007 гг. определите:

1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели представьте в таблице.
2. Среднегодовой ввод в действие жилых домов.
3. Среднегодовой темп роста и прироста (снижения) ввода в действие жилых домов:

а) за 2002-2007 гг.;

б) за 1997-2002 гг.

    Постройте график динамики ввода в действие жилых домов за 1997-2007 гг.

    Напишите  краткие выводы. 

Решение: 

1. Определим абсолютные приросты:

  цепные      базисные

    y_ц = у_i – y_i-1       y_б = у_i – y_о 

y₀₂=41,0–61,7=-20,7 млн. кв.м.   y₉₇=61,7–41,0=20,7 млн. кв.м.

y₀₃=34,3–41,0=-6,7 млн. кв.м.          y₀₃=34,3–41,0=-6,7 млн. кв.м.

y₀₄=32,7–34,3=-1,6 млн. кв.м.   y₀₄=32,7–41,0=-8,3 млн. кв.м.

y₀₅=30,7–32,7=-2 млн. кв.м.    y₀₅=30,7–41,0=-10,3 млн. кв.м.

y₀₆=32,0–30,7=1,3 млн. кв.м.   y₀₆=32,0–41,0=-9 млн. кв.м.

y₀₇=30,3–32,0=-1,7 млн. кв.м.   y₀₇=30,3–41,0=-10,7 млн. кв.м. 

Определим темпы роста:

цепные      базисные

     k =       k =  

     k₀₂= =0,66     k₉₇= =1,51

     k₀₃= =0,83     k₀₃= =0,83

     k₀₄= =0,95     k₀₄= =0,70

     k₀₅= =0,93     k₀₅= =0,74

     k₀₆= =1,04     k₀₆= =0,78

     k₀₇= =0,94     k₀₇= =0,73 

Определим темпы прироста:

цепные      базисные

         Δk_ц = k_ц % – 100    Δk_б = k % – 100 

Δk₀₂=66–100=-34 %    Δk₉₇=151–100=51 %

Δk₀₃=83–100=-17 %    Δk₀₃=83–100=-17 %

Δk₀₄=95–100=-5 %    Δk₀₄=70–100=-30 %

Δk₀₅=93–100=-7 %    Δk₀₅=74–100=-26 %

Δk₀₆=104–100=4 %    Δk₀₆=78–100=-22 %

Δk₀₇=94–100=-6 %    Δk₀₇=73–100=-27 % 

Определим абсолютное значение одного процента прироста:

А % =

или А % = 0,01 у_i-1

А %₉₇=0,01 х 61,7 = 0,617 млн. кв.м.

А %₀₂=0,01 х 41,0 = 0,410 млн. кв.м.

А %₀₃=0,01 х 34,3 = 0,343 млн. кв.м.

А %₀₄=0,01 х 32,7 = 0,327 млн. кв.м.

А %₀₅=0,01 х 30,7 = 0,307 млн. кв.м.

А %₀₆=0,01 х 32,0 = 0,320 млн. кв.м.

А %₀₇=0,01 х 30,3 = 0,303 млн. кв.м. 

Все перечисленные  показатели динамики оформляем в  итоговую таблицу. 
 

Таблица 1. 

Показатели  динамики ввода в действие жилых домов в Российской Федерации за 2002-2007 гг.