Задачи по статистике. 9

Задача 1. 

Имеются следующие  отчетные данные 26 предприятий отрасли: 

 

       С целью изучения зависимости между среднесписочной численностью промышленно-производственного персонала и объемом производства продукции произведите группировку предприятий по среднесписочной численности промышленно-производственного персонала, образовав пять групп с равными интервалами. 

       По  каждой группе и по совокупности предприятий  в целом подсчитайте:

1) число  предприятий;

2) среднесписочную  численность промышленно-производственного персонала (всего и в среднем на одно предприятие);

3) объем  производства продукции (всего  и в среднем на одно предприятие);

4) объем  производства продукции на одного  среднесписочного работника (производительность  труда). 

Результаты  представьте в виде групповой  таблицы. Сделайте выводы. 
 
 

      Решение. 

      Для проведения группировки с равными  интервалами определим величину интервала по формуле:

      

, 

      где k – число групп. 

      

      Следовательно, верхняя граница первого интервала  будет равна 800 + +500 = 1300 чел., то есть первая группа будет 800 – 1300 чел. Остальные  интервалы определяются аналогично.

      Затем определяется число предприятий, попавших в каждую группу в соответствии со среднесписочной численностью персонала.

      Среднесписочная численность персонала по группе определяется суммированием среднесписочной численности ППП предприятий, попавших в группу:

      

      Аналогично  для остальных групп.

      Среднесписочная численность персонала в среднем  на одно предприятие определяется делением среднесписочной численности персонала по i-той группе на число предприятий, вошедших в эту группу:

        

      Аналогично  по остальным группам.

      Объём произведенной продукции по группе и в среднем на одно предприятие  определяется аналогичным образом.

      Производительность  труда по группе предприятий определяется, как:

       , где  - объём произведенной продукции по i-той группе. Для первой группы:

        

      Аналогично  по остальным группам. 

      Таблица. Группировка предприятий по среднесписочной численности персонала.

 

      Вывод:

      В соответствии с проведенной группировкой предприятий можно отметить, что  объём произведенной продукции  находится в прямой зависимости  от среднесписочной численности  промышленно-производственного персонала. То есть с ростом численности ППП на предприятии растёт и объём продукции. 
 

Задача 2. 

Имеются следующие данные о распределении  работников предприятия по длительности производственного стажа:

      На  основании имеющихся данных определите по цехам предприятия и по предприятию в целом:

1) средний производственный стаж работников;

2) модальные  и медианные производственного стажа работников. Поясните экономическое содержание этих показателей;

3) абсолютные  показатели вариации производственного стажа работников;

4) относительные показатели вариации производственного стажа работников. Сравните вариацию производственного стажа работников по цехам предприятия и по предприятию в целом. 
 

Решение. 

     1) Так как исходные данные представлены  в сгруппированном виде, то средний производственный стаж работников по предприятию в целом определим по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве значений признака возьмём середины интервалов. Величина интервала первой и последней группы берётся равной последующего и предыдущего интервала соответственно. То есть значение признака для первой группы будет 0,5, а для последней 13.

=

   Средний стаж по цехам:

   

    

     2) Мода – это значение признака, встречающееся в ряду распределения с наибольшей частотой. Так как ряд интервальный, то мода определяется по формуле:

,

где х_Мо – нижняя граница модального интервала,

      i_Мо – величина модального интервала,

      f_Мо , f_Мо-1 , f_Мо+1 – частота модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

Модальный интервал для всех трёх случаев равен 3 – 5 лет, так как встречается  наиболее часто (f – max).

х_Мо = 3 года

i_Мо = 3.

Мода  для предприятия в целом и  отдельно по цехам равна:

, то есть по предприятию  в целом наиболее часто встречающийся  стаж 4,8 года.

, то есть в цехе № 1 наиболее часто встречающийся стаж 5,25 года.

, то есть в цехе № 2 наиболее часто встречающийся стаж 4,6 года. 

   Медиана – значение признака у той единицы  совокупности, которая делит упорядоченный  ряд на две равные части.

Так как  ряд интервальный, то медиана рассчитывается по формуле:

,

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала,

      i_Ме – величина медианного интервала,

     S_Me-1 – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному.

Медианный интервал во всех трёх случаях равен 3-5 лет, так как половина совокупности приходится именно на этот интервал.

х_Ме = 3 года.

i_Ме = 3.

Рассчитаем  медиану по предприятию в целом  и по каждому цеху:

;

Это означает, что у половины работников предприятия  стаж  менее 4,9 года, а у половины более 4,9 года.

, то есть у половины работников цеха №1  стаж  менее 5,3 года, а у половины более 5,3 года.

, то есть у половины работников  цеха №2 стаж  менее 4,6 года, а у половины более 4,6 года. 

3) Размах  вариации рассчитывается, как:

R = x_max – x_min = 15-0 = 15 лет, то есть амплитуда колеблемости стажа на предприятии 15 лет.

     Среднее линейное отклонение по предприятию  в целом и по отдельным цехам  рассчитаем по формуле:

     Вокруг своей средней величины стаж рабочих по предприятию в целом колеблется в пределах 3,1 года, по цеху № 1 – 3,3 года, а по цеху № 2 – 2,9 года.

     Дисперсии для предприятия в целом и  для каждого цеха определим по формуле:

Среднеквадратическое  отклонение рассчитывается по формуле:

 

     Таким образом, колеблемость производственного  стажа по предприятию в целом равна 5,3±3,7 года; по первому цеху   5,7±3,9 года; по второму цеху 4,9±3,6 года. 

4) Коэффициент  осцилляции рассчитывается, как:

Для цеха № 1:

Для цеха № 2:

Относительное линейное отклонение для предприятия в целом и по цехам определим следующим образом:

Коэффициент вариации:

     В соответствии с рассчитанными относительными показателями вариации колеблемость производственного стажа по предприятию в целом и отдельно по цехам почти одинаковая. Но коэффициент вариации во всех трёх случаях значительно больше 33%. Это говорит о том, что выборка количественно неоднородная.

Задача 3.

     В целях изучения норм расходования сырья  при изготовлении продукции на заводе проведена 20%-ная механическая выборка  изделий из партии, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе:

      На  основании данных выборочного обследования определите:

1)  среднюю массу готовых изделий;

2) среднее квадратическое  отклонение и коэффициент вариации веса готовых изделий;

3) с вероятностью 0,997 возможные пределы, в которых ожидается средняя масса изделия в партии;

4) с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса стандартной продукции в партии при условии, что к ней относится продукция с массой от 80 до 86 г.

Сделайте выводы. 

Решение. 

   

1. Средняя масса  изделия определяется по формуле  средней арифметической взвешенной:

= = =83г.;

х_i – значения признака;

f_i – частоты каждого из вариантов признака.

2. Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

,

Коэффициент вариации рассчитывается, как:

3. Пределы, в которых ожидается средняя масса изделия в партии готовой продукции рассчитывается, как:

,

где - предельная ошибка выборки. Так как выборка бесповторная ошибка  рассчитывается по формуле (т.к. p = 0,997, то t = 3):

4. Пределы удельного  веса стандартной продукции в  партии определяются, как:

,

где w = (34+97+36)/200 = 0,835

Предельная  ошибка доли ( т.к. p = 0,954, то t = 2):

   Вывод: 1) Средняя масса готового изделия составляет 83г.

      2) Среднеквадратическое отклонение  равно 2 г.,  а коэффициент вариации  очень низкий и не превышает  33%. Это значит, что выборка является  статистически однородной.

      3) Средняя масса изделия в партии  готовой продукции находится  в пределах от 82,62 г. до 83,38 г.

      4) Удельный вес стандартной продукции  в партии колеблется в пределах  от 0,788 до 0,882. 
 

Задача 4.

     Имеются следующие данные о численности  работников предприятия за 2000 – 2005 гг:

 

      Для анализа динамики численности работников предприятия определите:

1) абсолютные  приросты, темпы роста и темпы  прироста по годам и к 2000 г., абсолютное значение одного процента прироста (снижения) по годам. Полученные показатели представьте в виде таблицы;

2) среднегодовую численность работников предприятия за 2000-2005 гг.;

3) среднегодовые  абсолютный прирост, темп роста  и темп прироста численности работников предприятия за 2000-2005 гг.

      Постройте график динамики численности работников предприятия за 2000-2005 гг. Сделайте выводы. 

     Решение.

     Найдем  среднегодовую численность работников предприятия для каждого года.

     

     

     

     

     

     

1. Абсолютный  прирост рассчитывается по формуле:

                   цепной     ∆y_i^ц= y_i - y_i-1

     ∆y₁^ц = y₁ – y₀ = 342-325,5 = 16,5 чел.

     ∆y₂^ц = y₂ – y₁ =357,5-342=15,5 чел. и т.д. 

                   базисный ∆y_i^б= y_i – y_б, где y_i , y_i-1, y_б, - уровень ряда за рассматриваемый, предшествующий и базисный период соответственно.

     ∆y₁^б= y₁– y₀ = 342-325,5 = 16,5 чел.

     ∆y₂^б= y₂– y₀ = 357,5-325,5 = 32 чел. и т.д. 

     Темп  роста (снижения) рассчитывается, как:

     цепной 

     

       

     и т.д.

     базисный 

     

       

     и т.д. 

     Темпы прироста рассчитываются, как:

     цепной ∆Т_i^ц = Т_i^ц -100

     ∆Т₁^ц = Т₁^ц -100 = 105,1-100=5,1%

     ∆Т₂^ц = Т₂^ц -100 = 104,5-100=4,5%

     и т.д. 

     базисный  ∆Т_i^б = Т_i^б -100

     ∆Т₁^б = Т₁^б -100 = 105,1-100=5,1%

     ∆Т₂^б = Т₂^б -100 = 109,8-100 = 9,8%

     и т.д. 

     Абсолютное  значение одного процента прироста определяется, как:

     

     

       и т.д.

     Результаты  вычислений приведены в следующей  таблице: 
 
 

     Таблица. Динамика численности работников предприятия за 2000 – 2005 гг.