Аффинная система координат на плоскости

ФГОУ ВПО «ЧУВАШСКИЙ   ГОСУДАРСТВЕННЫЙ   УНИВЕРСИТЕТ

им. И.Н.Ульянова» 
 
 

Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

 Аффинная  система координат на плоскости

                                                Выполнил: студент 1-го курса

                                                 факультета РТЭ-41-11,

                 Топчубаев К.Э. 
 
 
 

                                      Проверила:   Иванова С.В.

            
 

                                                  

                                                 Чебоксары  2011 год 
 

Содержание 

1. Понятие аффинной системы координат. Координаты точек и векторов.
2. Действие над векторами в координатной форме (сложение и вычитание двух векторов, умножение вектора на число).
3. Деление отрезка в данном отношении.
4. Перенос начала координат.
5. Переход от одной аффинной системы координат к другой аффинной системе координат: а) с тем же началом; б) с изменением начала координат.
6. Матрица перехода. Свойства матрицы перехода.
7. Литература

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                            
 
 
 
 
 
 
 

1. Аффинная система  координат на плоскости.

Аффинная  система координат на плоскости , называется упорядоченная совокупность двух пересекающихся осей координат задающихся точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных векторов

е₁ = ОЕ₁  и   е₂ = ОЕ₂   на рисунке слева,   данных   в   определенном   порядке:е₁ есть первый, а е₂ —второй вектор; векторы е₁ и е₂ определяют

         рис.1 рис.2

две оси, пересекающиеся в точке О, — первую и вторую ось координат— и являются по определению единичными векторами этих осей. Первая ось называется также осью абсцисс или осью Ох, а вторая — осью ординат или осью Оу данной координатной системы. Сама система координат обозначается через Ое₁ е₂ или через Оху.

Пусть М—какая-нибудь точка плоскости; обозначим через М_x и М_y проекции точки М соответственно на первую и вторую ось координат   на рисунке 1,2 . Алгебраические значения векторов ОМ_Х и ОМ_y являются

соответственно  первой и второй координатой (абсциссой и ординатой) точки М.

Любая пара   чисел   х, у  однозначно  определяет   точку   М, для которой х является первой, а у — второй координатой. В самом деле, искомая точка М является концом вектора ОМ, проектирующегося на векторы ОМ_Х = хе₁   и   ОМ_у = уе₂. Значит, OM=xe₁ + ye₂,

т. е. вектор ОМ  есть диагональ параллелограмма, построенного ОМ_{х =}хе₁

и ОМ_y =ye₂ , чем точка М определена однозначно . Точка М с координатами  x , y обозначается так: М=(х,y). 

                                          Рис. .3

Система координат Ое₁ е₂ включает в себя базис е₁ , е₂ многообразия всех векторов на плоскости. Координаты произвольного вектора ư относительно базиса е₁, e₂ называются координатами   вектора  и   относительно системы координат Oe₁e₂; они являются алгебраическими значениями проекций вектора ư на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 1.3). Вектор ư с координатами  х,   у обозначается  так: ư = {х, y} ; тогдa

ư =xe₁+ye₂.

Условие x = 0 характеризует векторы, коллинеарные оси ординат, а условие у = 0 характеризует векторы,   коллинеарные  оси абсцисс.

Очевидно, координаты любой точки М в данной системе координат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат.

Замечание 1. Если точка О' отлична от точки О, то

О'М = ОМ;

поэтому координаты точек зависят от выбора начала координат.

Начало  координат О разбивает каждую из координатных осей на две полуоси: положительную, идущую от начала координат в положительном направлении (т. е. в направлении единичного вектора этой оси), и отрицательную.

Ось абсцисс состоит из всех точек, ординаты которых равны нулю; она разбивает плоскость на две полуплоскости; та, в которой лежит положительная полуось оси ординат, характеризуется тем, что ординаты лежащих в ней точек положительны; во второй полуплоскости лежат точки с отрицательными ординатами. Аналогично ось ординат состоит из всех точек, абсциссы которых равны нулю; она разбивает плоскость на две полуплоскости; точки той из них, в которой лежит положительная полуось оси абсцисс, имеют положительные абсциссы; точки другой полуплоскости имеют отрицательные абсциссы. 
 

                                                        Рис .4 

  Совокупность  обеих   координатных осей   разбивает  плоскость на 
четыре области, называемые «квадрантами» (рис.4); в первом квадранте лежат   точки,   обе координаты которых положительны , во втором – точки с отрицательной абсциссой и положительной ординатой ,в – третьем точки, обе  координаты которых отрицательны,  и  в четвертом —точки, у которых абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Обе координаты начала координат, очевидно, равны нулю: О = (0, 0).

  Замечание 2. Система координат на плоскости с началом Q единичными векторами е₁ и е₂ определяет на каждой координатной оси свою систему    координат,    началом которой является точка О, а единичным вектором—лежащий на данной оси вектор е₁ или е₂. Очевидно, каждая из координат точки М есть координата проекции этой точки на соответствующую координатную ось.

  Аналогично  координаты вектора ư = АВ суть координаты проекций А_ХВ_Х и АyВу этого вектора на оси координат, т. е. алгебраические значения векторов А_ХВ_Х и А_yВ_y на соответствующей оси.

  Два вектора  АВ и CD равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

  Если  А = (х₁ у₂),   В = (х₂, у₂), то для  координат  х, у вектора

  АВ  имеем:                           x=x₂ - x₁,

  y=y₂ – y₁.

  Достаточно  доказать первое из этих равенств. Координата х есть алгебраическое значение вектора А_ХВ_Х на оси абсцисс на рисунке 5

  x=(A_xB_x);

  кроме того , x₁=(OA_x), x₂=(OB_x). По лемме Шаля имеем 

  (OA_x)+ (A_xB_x)= (OB_x),

  т.е. x₁+x=x₂, откуда утверждение следует.

   
 
 

        Рис.5 рис.6

  Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. 
 

  2 Действие над вектором  в координатной  форме 

  Теорема 1. Координаты суммы двух векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т. е. если относительно общей аффинной системы координат на плоскости заданы векторы

  a={x₁ ,y₁ } и b={x₂ ,y₂},

  то

  a+b={x₁ +x₂  , y₁ +y₂ }.

  Доказательство. Пусть в общей аффинной системе координат на плоскости a={x₁ y₁}, b = {x₂ у₂}. Спроектируем векторы a, b и а + b на ось Ох параллельно оси Оу. Пусть пр. а, пр. b и пр. (а +b)—эти проекции. На основании теоремы о проекциях векторов и  о координатах векторов имеем коорд. пр. (a +b) = коорд. (пр. а +пр. b) = Koopд. пр. а + коорд.  пр. b.  Но по определению координат вектора кoopд. пр. а=x , коорд. пр. b=x  , коорд. пр. (a +b)  есть первая координата вектора  a +b.

  Таким образом, первая координата вектора  а+b равна x₁+x₂ Аналогично доказывается, что вторая координата вектора а+b равна у₁+y₂  .

  Теорема 2. Координаты разности а—Ь двух векторов равны разностям соответствующих координат а и b, т. е. если относительно общей аффинной системы координат на плоскости даны векторы

  a={x₁ ,y₁ } и b={x₂ ,y₂}, 

  то

  a—b = {x₁—x₂, y₁—y₂}. Для доказательства достаточно заметить, что

  a—b= a+(-b)

  то

  -b={ -x , -y }.

  Теорема 3. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям этого числа на соответствующие координаты вектора, т. е. если относительно общей аффинной системы координат задан вектор а ={х, у} , то

  λa ={λx , λy }.

  Доказательство . Пусть пр. а—-проекция вектора а на ось Ох параллельно оси Оу. В силу теоремы о проекциях векторов и  о

координатах векторов имеем  коорд. пр. (λa)= коорд. (λ пр. а) = λ (коорд. пр. а) = λx.

  Аналогично  доказывается, что  вторая координата вектора λa равна λу.

 

  3.Деление  отрезка в данном  отношении 

  Пусть в пространстве дана прямая d и на ней направленный отрезок АВ. Даны

  два произвольных вещественных числа  аив , изи которых  по крайней мере одно отлично от нуля.

  По определению  деления отрезка точка М делит  отрезок АВ в отношении аив ,если

  АМ:МВ=a:b.

  Задача  состоит в том , чтобы по данным аив  и по координатам точек А и В

  Найти координаты точек М.

  Лемма.  Пусть  на  плоскости   (соответственно  в пространстве)

  даны  две  прямые d и   d' и прямая   (соответственно плоскость)  б,

  не  параллельная ни   одной из  прямых  d, d'.  Пусть  А', В', М' —

  произвольные  три  точки  на  прямой   d'\ обозначим через А, В, № их проекции вдоль б на прямую d. Тогда

  

  Доказательство  леммы в случае плоскости и  пространства, по существу, одно и то же.

  Излагаем  его в более сложном случае пространства.

  Утверждение леммы очевидно, если d'\\d (рис. 41). Пусть прямые d и й' не параллельны между собою.   Проводим через точку А 

  

        Рис.7 

 

прямую d" (рис. ), параллельную прямой d', и обозначим через В" и М" проекции точек В и М на прямую d" (вдоль плоскости 6). Плоскость я, определяемая прямыми d и d", пересекает плоскость д_м, проходящую через точку М параллельно плоскости б, по прямой, проходящей через точки М и М". Прямые ММ" и ВВ", лежащие в плоскости я, параллельны между собою, так что по известной теореме элементарной геометрии

  

  при этом ,если точка М лежит внутри или  вне отрезка АВ, то и точка М  будет лежать соответственно внутри или вне отрезка  АВ, так что  в равенстве (1)  можно отрезки  считать направленными , то есть написать пропорцию 

  

        Рис.8

  Если  обозначить   через А_х В_х, М_х проекции   точек А, В, М на ось абсцисс, то из этой леммы сразу следует, что

  АМ : МВ=а;D = А_xМ_x : М_xВ_x =(А_xМ_x) : (М_xВ_x).

  Но (на оси О_х ) имеем (А_xМ_x)=x - x₁, (М_xВ_x)=x₂ – x₁ , так что

  (x - x₁):( x₂ – x₁)=α:β,

   откуда 
 

  и аналогично

  

  что дает во всех случаях определенную точку  М=(х, у) прямой, за исключением случая α+β=0, т. е. α:β=-1 (когда получаем единственную несобственную, или «бесконечно удалённую», точку нашей прямой).

  При а = в точка  М будет   серединой  отрезка АВ, и для координат  середины отрезка мы получаем следующие формулы:

  

  Если  α+β=0 и β=0, то , пологая   α/ β = λ , можем переписать полученные

  формулы в виде

  

  4.Перенос  начала координат

В аналитической  геометрии основное значение имеет  так называемая задача преобразования координат. Она заключается в следующем. Даны две систем координат (на плоскости или в пространстве) –«старая» и «новая». Требуется, зная координаты какой- ни будь точки или вектора в одной системе координат, найти координаты той же точки или вектора в другой системе.

Предположим, что  даны две координатные системы, у  которых одни и те же единичные  векторы е₁,е₂,е₃   но разные начала О и О’ , так что новая система координат О’е₁e₂e₃  получается из старой Ое₁е₂е₃ сдвигом на вектор ОО’. (рис.9) При этом  даны координаты  О’=(a,b,c). Мы уже знаем, что в этом случае координаты каждого вектора u в обеих системах одинаковы, потому что этими векторами являются координаты вектора u относительно одного и того же базиса е₁ е₂ е3 т.е. коэффициенты х,у,z,  в представлении

U=xe₁+ye₂+ze₃    

Посмотрим как  связаны между собой координаты x,y,z, и x’, y’,z’, произвольной точки М в обеих системах. Числа x,y,z, суть координаты вектора ОМ (рис.10.) а числа x’,y’,z’- координаты вектора О’М (относительно того же базиса е₁ е₂ е₃) но

ОМ=ОО’+О’М    (1) 
 

 

                           Рис.9.

Причем для  векторов ОМ, ОО’, О’М  имеем

ОМ={x,y,z}  ОО’={a,b,c}  О’М={x’, y’, z’} так что векторное равенство(1) равносильно совокупности трех числовых равенств:

Х=a+x’

y=b+y’ (2)

z=c=z’

эти формулы  и решаю поставленную задачу.

В случае плоскости  вместо трех равенств (2) получаем: если координаты нового начала О’ относительно старой системы координат  суть a,b, так что О’=(a,b) в старой системе, то координаты x, y произвольной точки М в старой системе выражаются через координаты той же точки в новой системе формулами

                               

Х=a+x’ (3)

Y=b+y’ 

5.Переход от одной аффинной системы координат к другой. 6. Матрица перехода

  А)Переход  от одной аффинной системы координат  к другой с тем же началом.

  Как мы знаем, аффинная координатная система, или,  как мы будем кратко говорить,   аффинный   репер, в плоскости   есть   двойка   некомпланарных векторов е₁, е₂ данных в определенном порядке и приложенных  к точке О— началу репера.

  Двойка векторов, е₁, е₂, называется иногда базисом репера (или координатной системы); название основано на том, что эти векторы образуют базис многообразия всех (свободных) векторов двумерной плоскости .

  Если  наряду с репером Ое₁е₂  который будем условно называть «старым» дан «новый» репер с началом О' и базисом е₁', е₂' то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора u) в одной из двух систем координат найти координаты той же точки (того же вектора) в другой системе. Простейший случай этой задачи — когда оба репера имеют один и тот же базис е_1; е₂ и отличаются между собою только началом. Предположим теперь, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы е₁', е₂' своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты а_ik (i,k=1, 2, 3) в равенствах

   e'=a₁₁e₁+a₂₁e₂,

  e'=a₁₂e₁+a₂₂e₂,                     (1) 

  Матрица

  А*=

   называется матрицей перехода от базиса e_l, е₂ к базису е₁', е₂', а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы е₁', е₂' линейно независимы, то детерминант матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырождающаяся матрица. Так как векторы е₁, е₂ образуют базис, то каждый из векторов е₁, е₂ в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов е₁', е₂':

  e₁ = a'₁₁e'₁ + a _'21е '₂,

  е₂ = а'₁₂е '₁ + а'₂₂е '₂,                      (1') 

  —уравнения (1) однозначно   разрешимы   относительно   старых   единичных векторов е₁, е₂.

  Посмотрим, как   связаны   между    собою   координаты  х, у и х', у' произвольной точки М (произвольного вектора u = ОМ) в старой и новой координатных системах.

  Вектор  u=ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов е₁, е₂ с коэффициентами х, у и, во-вторых, как линейная комбинация векторов е₁', е₂' с коэффициентами х', у', так что имеем тождество

  u = xe₁ + уe₂  = х'е'₁ + у'е'₂ .

  Вносим  в это тождество выражения  e'₁, e'₂ из (1); получаем

  u = xe₁ + уe₂ = х'(а₁₁е₁ + а₁₂е₂) + у' (a₁₂e₁ + а₂₂е₂) 

  или, группируя по-новому  члены,

  u =  xe₁ + уе₂ = (а₁₁x' + а₁₂у' ) e₁ + (а₂₁х' + a₂₂y' ) е₂ .

  Но вектор u единственным   образом   представляется   как линейная комбинация  векторов   e_l, e₂,   следовательно,   коэффициенты   при векторах e_l, e₂ в   левой и правой  частях последнего  равенства должны быть одни и те же, т. е.

   x = a₁₁x' + a₁₂y' + a₁₃z',

  у = а₂₁х' + а₂₂у' + a₂₃z',  (2) 

  Эти   формулы   и   выражают   старые   координаты   х,   у   точки М (вектора u) через новые.

  Матрица  А=

  дающая  это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению  к матрице А* перехода от базиса е₁, е₂ к базису е'₁ е'₂. Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант. Следовательно, уравнения (2) однозначно решаются относительно х', y' по правилу Крамера: 

   , .

  Разлагая  в этих формулах числители по элементам  столбца х, у, получаем

   x' = a'₁₁x + a'₁₂y ,

  y' = a'₂₁x + a'₂₂y ,                                        (2')

  где

  а'_ik=                                               (3)

  и A_ki, есть адъюнкта элемента а_ki в матрице А.

  Определение.   Пусть матрица А — не вырождающаяся матрица. Матрица

  

  где а'_ki определены формулами (3),  называется матрицей,  обратной к матрице

  А= ,

  обозначается  через А^-1. Другими словами:   если матрица А выражает координаты   х,  у (т.е.   координаты   относительно базиса е₁, е₂) через координаты х', у' (относительно базиса е₁', е₂'), то обратная матрица определяется как матрица, выражающая координаты  х', у',   через   координаты х, у,  причем безразлично, понимаем ли  мы под  координатами   координаты точки или вектора

       Б)Переход от одной аффинной системы координат к другой изменением начала координат.

  Общий случай перехода от репера Ое₁е₂ к реперу О'е₁'е₂' сводится к комбинации двух случаев: переноса начала  и перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами Ое₁е₂ и О'е₁'е₂' еще третий, «промежуточный», имеющий   начало   О'=(х₀, у₀)   и   базис   е₁, е₂;   координаты точки относительно   этого   промежуточного   репера обозначим через х'', у". Тогда х=х_о + х", у=у_о + у", где х", у" выражаются  через х', у' по  формулам  (2)  (в которых,  естественно, надо х, у (слева) соответственно заменить на х", у"). Получаем окончательно:

   х = х_о + а₁₁х' + а₁₂у',

  у = у_о + а₂₁х' + а₂₂у'.                                (4) 

  Это и  есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. 

                               
 
 
 
 

                 Список использованной литературы:

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. – М.: Наука. 1968.
2. Атанасян Л.С. Геометрия / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение 1973. Ч.1
3. Атанасян Л.С. Геометрия / Л.С. Атанасян, В.Г. Базылев. – М.: Просвещение, 1987. Ч.2
4. Базылев В.Т. Геометрия / В.Т.Базылев, К.И. Дуничев, В.П.Иваницкая. – М.: 1974 Ч.1
5. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В.Ефимов. – М.: Наука, 1967
6. Паранасский И.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики / И.В.Парнасский, О.Е.Парнасская. – М.:Просвещение 1978.
7. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия / А.В.Погорелов. – М.: Наука, 1968