Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение



МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение  образования 
«Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина»

Физико-математический факультет 
Кафедра алгебры и геометрии

 

 

Курсовая работа

Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение

 


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Брест 2013 
ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….3

ГЛАВА I. Аффинные преобразования плоскости…………………..……...4

    1. Понятие аффинного преобразования плоскости…………………….….4
    2. Способы задания аффинного преобразования плоскости……………....8
    3. Свойства аффинных преобразований плоскости……………………….10
    4. Примеры аффинных преобразований…………………………………...13

ГЛАВА II. Применение аффинных преобразований к решению задач….18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….30

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………31

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований.

Теория аффинных преобразований впервые  была рассмотрена Дарбу.

В работе представлена общая теория для аффинных преобразований плоскости. А также примеры аффинных преобразований, такие как движение, косое сжатие, гомотетия, отражение плоскости относительно прямой   параллельно пересекающей ее прямой  .

Для каждого из рассмотренных  преобразований изучены  и доказаны простейшие свойства: однозначность  аффинного преобразования, преобразование векторов при аффинном преобразовании, сохранение отношения, в котором точка делит отрезок, площадь любого параллелограмма изменяется в одном и том же отношении и т. д. Данные свойства аффинного преобразования широко используются в различных разделах математики, механики и теоретической физики. Рассмотрено применение аффинного преобразования к решению задач.

Актуальность: В курсе аналитической  геометрии при решении задач  очень часто используются аффинные преобразования и их свойства. Поэтому  эта тема очень актуальна.

Объектом исследования данной курсовой работы являются аффинные преобразования на плоскости.

 

Предмет исследования изучение свойств аффинных преобразований на плоскости и применение их на практике.

ГЛАВА I. Аффинные преобразования плоскости

    1. Понятие аффинного преобразования плоскости

Пусть на плоскости фиксирована  аффинная система координат Oe1e2. Преобразование А плоскости называется аффинным, если координаты   y1,y2   образа Y выражаются через координаты  x1,x2  прообраза  X(Y=A(X))  по формулам:

или

,

где   — невырожденная матрица (матрица аффинного преобразования),   координатные столбцы образа Y и прообраза X  (координатные столбцы радиус-векторов   и  ) соответственно,    — координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (2.11) подчеркивается зависимость матрицы преобразования и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.11) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование.

Замечание 1.1

1. Столбец    в (2.11) определяет координаты образа    начала координат. Действительно, подставляя координаты   точки   в (2.11), получаем координаты    точки   . Можно сказать, что при аффинном преобразовании начало координат переносится на вектор а=ō, координатный столбец которого равен а.

 

2. Аффинное преобразование (2.11) в любой другой аффинной системе координат     задается формулами того же вида. Действительно, пусть известны: матрица     перехода от старого базиса  к новому базису    и координатный столбец s вектора переноса начала координат  (рис.2.17). Тогда по формуле

  и 
, (2.1)

где x, y и   — координатные столбцы точек X, Y (радиус-векторов    и   ) в старой    и новой   системах координат.

Подставляя в (2.11), получаем:

учитывая, что матрица   обратимая, выражаем координатный столбец   образа   через координатный столбец   прообраза   в системе координат  :

В результате получили аффинное преобразование вида (2.11):

с матрицей    и координатным столбцом  вектора переноса.

 Таким образом, связь матриц одного и того же аффинного преобразования в разных базисах, а также координатных столбцов вектора переноса, имеет вид:

 

Где     — матрицы (   — координатные столбцы вектора пере-носа)  аффинного преобразования в старом и новом базисах, а   —   матрица перехода от старого базиса к новому.

3. Запишем (2.11), обозначив образ точки   через  :

или

Сравнивая формулы (2.13) аффинного преобразования плоскости с формулами (2.1) аффинного преобразования координат, заключаем, что эти соотношения:    и   будут равносильными, если положить    и   . Действительно, умножая обе части равенства   , следующего из первого соотношения, на матрицу   слева, с учетом равенства  получаем   , т.е.  , что равносильно  .

Таким образом, изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию.

4. Аффинное преобразование плоскости порождает преобразование векторов на плоскости, если рассматривать векторы как упорядоченные пары точек, а именно:  при аффинном преобразовании   каждому вектору    (рассматриваемому как упорядоченная пара точек  ) ставится в соответствие вектор    ( , причем  ), координаты которого выражаются через координаты прообраза   no формулам:

где      —   координатные столбцы векторов (относительно одного и того же базиса),  — матрица аффинного преобразования (в том же ба-зисе).

Это свойство следует  из правила нахождения координат  вектора, согласно которому из координат  конца вектора надо вычесть координаты его начала. Если    — координатные столбцы точек    соответственно, то учитывая (2.13):  ,     и, получаем:

что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    1. Способы задания аффинного преобразования плоскости

Первый способ. Чтобы задать аффинное преобразование плоскости по определению, достаточно указать систему координат   и формулы (2.11), т.е. задать невырожденную матрицу   преобразования и координатный столбец   в (2.11).

Второй способ. Пусть на плоскости заданы две аффинные системы координат: старая     и новая   (рис.2.18). Тогда существует единственное аффинное преобразование   плоскости, которое каждой точке   ставит в соответствие точку   , координаты которой в новой системе координат   совпадают с координатами точки   в старой системе координат.

Действительно, пусть    — вектор переноса начала координат,    — матрица перехода от старого базиса   к новому базису   . Тогда, учитывая (2.1), имеем  .  Подставляя   (координаты образа    в новой системе координат совпадают с координатами прообраза   в старой системе координат), получаем аффинное преобразование

   (2.15)

вида (2.11) с невырожденной матрицей  и столбцом   . Существование аффинного преобразования доказано. Докажем единственность от противного. Пусть преобразование   удовлетворяет тем же условиям, что и  , но для некоторой (хотя бы одной) точки   образы   и   не совпадают. Тогда в новой системе координат   разные точки   и   будут иметь равные координаты (такие же, как координаты точки   в старой системе координат  ), чего быть не. Полученное противоречие доказывает единственность аффинного преобразования.

Таким образом, аффинное преобразование (2.15) может быть задано указанием двух аффинных систем координат. Говорят, что аффинное преобразование задано переходом от одной аффинной системы координат к другой.

Третий способ. Аффинное преобразование плоскости вполне определяется образами трех данных точек, не лежащих на одной прямой, т.е. существует единственное аффинное преобразование, переводящее три точки  , не лежащие на одной прямой, в три точки   , также не лежащие на одной прямой.

В самом деле, заданные точки   и    порождают две аффинные системы координат     и   , где     и    — пары базисных (неколлинеарных) векторов, и тем самым однозначно определяют аффинное преобразование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    1. Свойства аффинных преобразований плоскости

1. Аффинное преобразование  взаимно однозначное, кроме того:

а) преобразование, обратное к аффинному, является также аффинным;

б) композиция аффинных преобразований является также аффинным преобразованием.

2.При аффинном преобразовании  векторы преобразуются следующим  образом:

а) равные векторы — в равные;

б) коллинеарные — в коллинеарные, причем отношение коллинеарных векторов сохраняется;

в) неколлинеарные — в неколлинеарные.

3. При аффинном преобразовании  сохраняется отношение, в котором  точка делит отрезок.

4.При аффинном преобразовании (2.11) площадь любого параллелограмма  изменяется в одном и том  же отношении, т.е. умножается на одно и то же число (называемое  коэффициентом искажения площади):   , где     — площадь параллелограмма, a    — площадь образа этого параллелограмма. Другими словами, коэффициент искажения площади при аффинном преобразовании равен модулю определителя матрицы этого преобразования.

Первое свойство следует из обратимости  матрицы   аффинного преобразования, поскольку из (2.11) можно выразить координаты прообраза через координаты образа:

Заметим, что эти формулы  имеют тот же вид, что и (2.11), т.е. преобразование, обратное к аффинному, является аффинным преобразованием  с матрицей   и вектором переноса  . Композиция аффинных преобразований   и  :

 

также является аффинным преобразованием с матрицей    (невырожденной в силу невырожденности    и  ) и вектором переноса   .

Докажем второе свойство. Пусть ненулевые векторы   и  коллинеарны, причем   . Надо доказать, что их образы  и    также коллинеарны и   . Действительно, если   и   — координатные столбцы векторов    и   , то  . Тогда для координатных столбцов   и   (векторов   и  ) по формуле (2.14) получаем:

 то есть 

 

Следовательно,   , т.е. векторы     и   коллинеарны и   . Если же хотя бы один из векторов нулевой, например,   , то его образ (по свойству 2) также нулевой вектор   , который коллинеарен любому вектору  . При   получаем, что равные векторы преобразуются в равные. Наконец, неколлинеарные векторы не могут преобразоваться в коллинеарные, поскольку в этом случае при обратном преобразовании коллинеарные векторы преобразуются в неколлинеарные, что противоречит пункту 2,"б".

Третье свойство следует из второго (см. пункт 2,"б"). Действительно, пусть точки     отображаются в точки    соответственно. Если точка   делит отрезок   в отношении   , то векторы     и    коллинеарные и   . По свойству 2 пункта "б" векторы    и   также коллинеарны и   , т.е. точка   делит отрезок   в отношении   .

Обсудим четвертое свойство. На рис. 2.20 заштрихованы параллелограмм, построенный на базисных векторах   , и его образ (параллелограмм, построенный на базисных векторах  ). Справедливость утверждения для параллелограммов следует из свойства 3 матрицы перехода от одного базиса к другому. Любой параллелограмм разбивается диагональю на два равных треугольника. Следовательно, утверждение справедливо для треугольников, а значит и для многоугольников, поскольку любой многоугольник разбивается на конечное число треугольников. Средствами математического анализа это свойство может быть распространено на произвольную измеримую плоскую фигуру.

Замечание 1.2

1. Третье свойство является характеристическим  для аффинного преобразования  и может быть взято в качестве  эквивалентного определения.

2. Преобразование (2.11) для произвольной  квадратной матрицы   (быть может, вырожденной) называется линейным, при этом матрица  называется матрицей линейного преобразования. Любое аффинное преобразование является линейным, но не всякое линейное преобразование является аффинным.

3. Квадратные матрицы    и  , связанные соотношением   , называются подобными, а матрица   — преобразующей. В силу (2.12) матрицы аффинного преобразования в разных базисах оказываются подобными, причем преобразующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.

 

 

1.4 Примеры аффинных преобразований

1. Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между точками, т.е. расстояние между образами    и   равно расстоянию между их прообразами   и  :   .

Из определения следует, что при движении сохраняются  углы, так как из равенства треугольников     и     (по трем сторонам) следует равенство соответствующих углов.

Таким образом, при движении прямоугольная система координат  переходит в прямоугольную (рис.2.21,а). Получили формулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:

(такое движение называется собственным)

(такое движение называется несобственным)

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что собственное движение является аффинным преобразованием  с матрицей   ,  а несобственное — с матрицей  . На рис.2.21a изображены исходная система координат   и новая система координат   , в которой координаты образа   любой точки совпадают с координатами прообраза   в старой системе координат    (см. второй способ задания аффинного преобразования).

2. Гомотетией с центром в точке   с коэффициентом   называется преобразование плоскости, при котором каждой точке  ставится в соответствие такая точка  , что   (рис.2.21,б).

Докажем, что гомотетия является аффинным преобразованием. Для этого выберем аффинную систему координат   , начало которой совпадает с центром гомотетии. Пусть точка   имеет координаты  , тогда ее образ   при гомотетии имеет координаты 

Сравнивая эти формулы с (2.11) делаем вывод, что гомотетия есть аффинное преобразование с матрицей   и нулевым столбцом  .

Определим гомотетию, используя второй способ задания аффинного преобразования. Для старой системы координат   построим новую аффинную систему координат   , в которой координаты образа   при гомотетии совпадают с координатами прообраза   в старой системе координат. Примем точку   за начало (точка   совпадает с точкой  ), а векторы   ,   в качестве нового базиса. Найдем координаты точки   в системе координат   :

Поскольку  , то точки   и   имеют равные координаты в аффинных системах координат    и   соответственно.

Наоборот, если заданы аффинные системы  координат    и  , то существует единственное аффинное преобразование, при котором координаты точки   (в системе координат   ) совпадают с координатами образа   (в новой системе координат   ), и это преобразование является гомотетией.

3. Сжатием плоскости к прямой   вдоль пересекающей ее прямой   с коэффициентом   (косым сжатием) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка   , принадлежащая прямой   , остается неподвижной (преобразуется в себя:   ), а каждой точке  , не лежащей на прямой   , ставится в соответствие такая точка  , что  , где     — проекция точки   на прямую    вдоль прямой    (рис.2.22,а). При   это преобразование называют растяже-нием.

В частности, сжатием к прямой  с коэффициентом   называют сжатие в направлении, перпендикулярном прямой   , то есть в случае, когда прямая   перпендикулярна прямой   (рис.2.21,6).

Покажем, что это аффинное преобразование. Выберем аффинную систему координат     так, чтобы ее начало совпадало с точкой   пересечения прямых   и  , а векторы     и    принадлежали прямым   и   соответственно. Из формулы   следует, что при сжатии абсцисса точки   не изменяется, а ордината умножается на коэффициент сжатия  :

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что сжатие является аффинным преобразованием с матрицей     и нулевым столбцом  .

4. Отражением плоскости относительно прямой   параллельно пересекающей ее прямой   (вдоль прямой  ) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка  , принадлежащая прямой  , остается неподвижной (преобразуется в себя:  ), а каждой точке  , не лежащей на прямой  , ставится в соответствие такая точка  , что   , где    — проекция точки  на прямую   вдоль прямой   (рис.2.23,а).

Это преобразование является аффинным, поскольку оно не изменяет расстояний между точками, т.е. представляет собой движение. Выберем систему  координат   так, чтобы ее начало совпадало с точкой   пересечения прямых    и  , а векторы     и  принадлежали прямым   и   соответственно. Найдем матрицу   преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку    и  ,  то   .

5. Проекцией плоскости на прямую   параллельно пересекающей ее прямой   (вдоль прямой  ) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка  , принадлежащая прямой  , остается неподвижной (преобразуется в себя:  ), а каждой точке  , не лежащей на прямой  , ставится в соответствие ее проекция   на прямую   вдоль прямой   (рис.2.23,б).

Это преобразование является линейным, но не является аффинным. В  самом деле, выберем аффинную систему  координат    так, чтобы ее начало совпадало с точкой    пересечения прямых   и  , а векторы    и    принадлежали прямым   и   соответственно. Найдем матрицу   преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку  и  , то  . Как видим, матрица   преобразования вырожденная, поэтому преобразование не является аффинным, но является линейным.

6. Инверсией плоскости относительно окружности радиуса   с центром в точке   называется преобразование плоскости, при котором точки, принадлежащие данной окружности, остаются неподвижными (преобразуются в себя), а каждой точке  , отличной от  , ставится в соответствие такая точка  , что  (рис.2.24), т.е. радиус-векторы    и    образа и прообраза коллинеарны, а произведение их длин равно квадрату радиуса окружности (при   длины радиус-векторов взаимно обратные:

).

 Для взаимной однозначности  преобразования предполагают, что  точка О отображается в некоторую  "бесконечно удаленную точку"  плоскости. Преобразование инверсии  называется также зеркальным отражением в окружности.

Это преобразование не является линейным (и, следовательно, аффинным). В самом деле, выберем прямоугольную систему координат   , начало которой совпадает с центром данной окружности. Выразим прямоугольные координаты     образа    через координаты    прообраза  . Записывая равенство  в  координатной форме, получаем:

что отличается от (2.11), так как зависимость нелинейная.

Замечания 1.3

1. Справедливо утверждение: любое аффинное преобразование плоскости можно представить в виде композиции, движения и двух сжатий (во взаимно перпендикулярных направлениях).

2. В пункте 3 замечаний 2.4 показано, что изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию. Например, при повороте плоскости на угол    вокруг начала системы координат   (рис.2.25,а) координаты точек меняются так же, как при повороте системы координат    на угол, равный  , т.е. при переходе к системе координат   (рис.2.25,б).

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА II. Применение аффинных преобразований к решению задач.

Задача №1. В прямоугольной системе координат   на плоскости заданы векторы     и точки 

Требуется найти:

а) матрицу перехода     от стандартного базиса    к базису  ;

б) ориентацию базиса  ;

в) матрицу перехода    от стандартного базиса    к базису   ;

г) матрицу перехода   от базиса    к базису   ;

д) координаты вектора   в базисе  ;

е) координаты точки   в системе координат  .

Дано:                                   ПСК   

 


Найти:          а) матрицу перехода     от стандартного базиса     к базису  ;

б) ориентацию базиса  ;

в) матрицу перехода     от стандартного

 базиса    к базису   ;

г) матрицу перехода   

от базиса    к базису   ;

д) координаты вектора   в базисе  ;

е) координаты точки   в системе координат  .

Решение:

а) Составляем искомую  матрицу  , записывая координаты векторов   по столбцам:    .

б) Определитель найденной  матрицы   положительный: , поэтому базис   ориентирован также как стандартный, т.е. является правым.

в) Составляем искомую  матрицу  , записывая координаты векторов   (в указанном порядке) по столбцам: .

г) Учитывая свойство 2, матрицей перехода от базиса   к базису   служит матрица, обратная для   :

д) Вектор   является радиус-вектором точки  , поэтому известны его координаты   в стандартном базисе   . Составим координатный столбец   вектора   в стандартном базисе. Координатный столбец   этого вектора относительно базиса    связан с его координатным столбцом   формулой  ,  следующей из свойства 2 матрицы перехода. Учитывая пункт "г", вычисляем

, то есть 
.

е) Составляем координатный столбец   , вектора   (радиус-вектор точки  ) и записываем связь (2.8):

Решая эту систему, находим  координаты   точки   в системе координат  .

Задача №2. В прямоугольной системе координат   заданы точки:

Требуется вывести формулы (2.11) аффинного преобразования   , отображающего точки    в точки  , и найти координаты образа   точки  :

а) в системе координат ;

б) в заданной прямоугольной  системе координат.

Дано:    – прямоугольная

системе координат

т. Q(2,1)

т. A(6,4)

т. B(-2,4)

т. X(2,7)

т. Q’(10,3)

т. A’ (10,5)

т. B’ (6,6)


Вывести: формулу аффинного  преобразования А;

Найти: координаты образа Y=A(X) точки Х

а) в системе координат ;

б) в заданной ПСК

Решение:

а) Искомое преобразование   отображает систему координат    в систему координат   , где   ,  . Формулы, задающие такое преобразование  , имеют вид (2.15), где   — координатный столбец вектора  в базисе  , а   — матрица перехода от базиса    к базису   .  По рисунку учитывая, что   и    определяем разложения векторов    по базису   :

Следовательно, в системе координат   преобразование (2.15) имеет вид:

поскольку согласно (2.2) матрица перехода формируется путем записи по столбцам координат векторов   в базисе  .

Найдем координаты образа точки  . В системе координат   точка   имеет координаты   , так как   . Подставляя в найденные формулы координаты прообраза, получаем искомые координаты образа:

Заметим, что в новой  системе координат     точка     имеет координаты   , которые совпадают с координатами точки     в старой системе координат  .

б) Подставляя в (2.11) координаты образов и прообразов, получаем:

Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем:

  и
т.е.

Решая эту систему, находим элементы матрицы , после чего определяем  столбец   . Таким образом, искомое преобразование   в заданной прямоугольной системе координат имеет вид:

Найдем координаты образа точки  :

т.е.   .

Получим теперь формулы аффинного преобразования   в системе координат  , используя связи (2.12). Учитывая, что переход от прямоугольной системы координат    системе координат    определяется матрицей    столбцом   поскольку   ,    ,   находим

 

 

 

что совпадает с результатами пункта "а".

Задача №3. Пусть на плоскости задана окружность. В результате прямого сжатия плоскости к прямой    с коэффициентом   в направлении, перпендикулярном  , окружность преобразуется в кривую, называемую эллипсом, а центр окружности — в центр эллипса. При этом образом каждого диаметра окружности служит диаметр эллипса, т.е. хорда, проходящая через центр эллипса.

Доказать, что:

а) для любого данного  диаметра     эллипса существует единственный диаметр   , который делит пополам все хорды, параллельные данному диаметру;

б) существуют два взаимно  перпендикулярных диаметра эллипса, называемых его главными осями.

 

 

 

Дано:        окружность (О, ОА)

Коэффициент сжатия   


Доказать: а) для любого данного  диметра    эллипса существует единственный

диаметр, который делит пополам

все хорды, параллельные

 данному диаметру;

б) существуют два взаимно 

перпендикулярных диаметра

Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение 📙 Курсовая → 🆔 33106

Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение 📙 Курсовая → 🆔 33106

Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение