Алгоритм построения оптимального префиксного кода

Содержание

Введение

Развитие программ-архиваторов позволило добиться не только сжатия без потерь, но также возможности создания многотомных архивов и архивов в различных форматах. Сжатие информации - проблема, имеющая достаточно давнюю историю, гораздо более давнюю, нежели история развития вычислительной техники, которая (история) обычно шла параллельно с историей развития проблемы кодирования и шифровки информации.

Все алгоритмы сжатия оперируют входным потоком информации, минимальной единицей которой является бит, а максимальной - несколько бит, байт или несколько байт. Целью процесса сжатия, как правило, есть получение более компактного выходного потока информационных единиц из некоторого изначально некомпактного входного потока при помощи некоторого их преобразования.

Основными техническими характеристиками процессов сжатия и результатов их работы являются:

- степень сжатия (compress rating) или отношение (ratio) объемов исходного и результирующего потоков;

- скорость сжатия - время, затрачиваемое на сжатие некоторого объема информации входного потока, до получения из него эквивалентного выходного потока;

- качество сжатия - величина, показывающая на сколько сильно упакован выходной поток, при помощи применения к нему повторного сжатия по этому же или иному алгоритму.

В этой работе мы рассмотрим один из самых распространенных методов сжатия данных. Речь пойдет о коде Хаффмена (Huffman code) или минимально-избыточном префиксном коде (minimum-redundancy prefix code).

Первым такой алгоритм опубликовал Дэвид Хаффмен (David Huffman) в 1952 году. Идея, лежащая в основе кода Хаффмена, достаточно проста. Вместо того чтобы кодировать все символы одинаковым числом бит (как это сделано, например, в ASCII кодировке, где на каждый символ отводится ровно по 8 бит),  кодируются символы, которые встречаются чаще, меньшим числом бит, чем те, которые встречаются реже. Кодирование Хаффмена является простым алгоритмом для построения кодов переменной длины, имеющих минимальную среднюю длину. Этот весьма популярный алгоритм служит основой многих компьютерных программ сжатия текстовой и графической информации. Некоторые из них используют непосредственно алгоритм Хаффмена, а другие берут его в качестве одной из ступеней многоуровневого процесса сжатия. Метод Хаффмена производит идеальное сжатие (то есть, сжимает данные до их энтропии), если вероятности символов точно равны отрицательным степеням числа 2. Алгоритм начинает строить кодовое дерево снизу вверх, затем скользит вниз по дереву, чтобы построить каждый индивидуальный код справа налево (от самого младшего бита к самому старшему). Начиная с работ Д.Хаффмена 1952 года, этот алгоритм являлся предметом многих исследований.

Глава 1 Сжатие данных

1. Представление и сжатие данных

Рассмотрим двойственность природы данных: с одной стороны, содержимое информации, а с другой - ее физическое представление. В 1950 году Клод Шеннон (Claude Shannon) заложил основы теории информации, в том числе идею о том, что данные могут быть представлены определенным минимальным количеством битов. Эта величина получила название энтропии данных (термин был заимствован из термодинамики).

В качестве простого примера  рассмотрим исследование понятия вероятности  с помощью монеты. Можно было бы подбросить монету множество раз, построить  большую таблицу результатов, а  затем выполнить определенный статистический анализ этого большого набора данных с целью формулирования или доказательства какой-то теоремы. Для построения набора данных, результаты подбрасывания монеты можно было бы записывать несколькими различными способами: можно было бы записывать слова "орел" или "решка"; можно было бы записывать буквы "О" или "Р"; или же можно было бы записывать единственный бит (например "да" или "нет", в зависимости от того, на какую сторону падает монета). Согласно теории информации, результат каждого подбрасывания монеты можно закодировать единственным битом, поэтому последний приведенный вариант был бы наиболее эффективным с точки зрения объема памяти, необходимого для кодирования результатов. С этой точки зрения первый вариант является наиболее расточительным, поскольку для записи результата единственного подбрасывания монеты требовалось бы четыре или пять символов.

Однако посмотрим на это под другим углом: во всех приведенных  примерах записи данных мы сохраняем  одни и те же результаты - одну и ту же информацию - используя все меньший и меньший объем памяти. Другими словами, мы выполняем сжатие данных.

Сжатие данных (data compression) - это алгоритм эффективного кодирования  информации, при котором она занимает меньший объем памяти, нежели ранее. Мы избавляемся от избыточности (redundancy), т.е. удаляем из физического представления данных те биты, которые в действительности не требуются, оставляя только то количество битов, которое необходимо для представления информации в соответствии со значением энтропии. Существует показатель эффективности сжатия данных: коэффициент сжатия (compression ratio). Он вычисляется путем вычитания из единицы частного от деления размера сжатых данных на размер исходных данных и обычно выражается в процентах. Например, если размер сжатых данных равен 1000 бит, а несжатых - 4000 бит, коэффициент сжатия составит 75%, т.е. мы избавились от трех четвертей исходного количества битов.

Конечно, сжатые данные могут  быть записаны в форме недоступной  для непосредственного считывания и понимания человеком. Люди нуждаются в определенной избыточности представления данных, способствующей их эффективному распознаванию и пониманию. Применительно к эксперименту с подбрасыванием монеты последовательности символов "О" и "Р" обладают большей наглядностью, чем 8-битовые значения байтов. (Возможно, что для большей наглядности пришлось бы разбить последовательности символов "О" и "Р" на группы, скажем, по 10 символов в каждой.) Иначе говоря, возможность выполнения сжатия данных бесполезна, если отсутствует возможность их последующего восстановления. Эту обратную операцию называют декодированием (decoding).

Существует два основных типа сжатия данных: с потерями (lossy) и без потерь (lossless). Сжатие без  потерь проще для понимания. Это  метод сжатия данных, когда при восстановлении данных возвращается точная копия исходных данных. Такой тип обеспечивает при распаковке упакованного файла  создание файла, который имеет в точности то же содержимое, что и оригинал перед его сжатием. И напротив, сжатие с потерями не позволяет при восстановлении получить те же исходные данные. Это кажется недостатком, но для определенных типов данных, таких как данные изображений и звука, различие между восстановленными и исходными данными не имеет особого значения: наши зрение и слух не в состоянии уловить образовавшиеся различия. В общем случае алгоритмы сжатия с потерями обеспечивают более эффективное сжатие, чем алгоритмы сжатия без потерь (в противном случае их не стоило бы использовать вообще). Для примера можно сравнить предназначенный для хранения изображений формат с потерями JPEG с форматом без потерь GIF. Множество форматов потокового аудио и видео, используемых в Internet для загрузки мультимедиа-материалов, являются алгоритмами сжатия с потерями.

1.2  Основа всех методов сжатия

В основе всех методов сжатия лежит простая идея: если представлять часто используемые элементы короткими кодами, а редко используемые - длинными кодами, то для хранения блока данных требуется меньший объем памяти, чем если бы все элементы представлялись кодами одинаковой длины.

Точная связь  между вероятностями и кодами установлена в теореме Шеннона  о кодировании источника, которая  гласит, что элемент s_h вероятность появления которого равняется p(s,), выгоднее всего представлять -1о& p(sj) битами. Если при кодировании размер кодов всегда в точности получается равным -log₂ p(s,) битам, то в этом случае длина закодированной последовательности будет минимальной для всех возможных способов кодирования. Если распределение вероятностей F= {pis,} неизменно, и вероятности появления элементов независимы, то мы можем найти среднюю длину кодов как среднее взвешенное.

Это значение также  называется энтропией распределения вероятностей F или энтропией источника в заданный момент времени.

Ни один компрессор не может сжать любой файл. После обработки любым компрессором размер части файлов уменьшится, а оставшейся части -увеличится или останется неизменным. Данный факт можно доказать исходя из неравномерности кодирования, т. е. разной длины используемых кодов, но наиболее прост для понимания следующий комбинаторный аргумент.

Существует 2^л различных файлов длины п бит, где л = 0, 1, 2,... Если размер каждого такого файла в результате обработки уменьшается хотя бы на 1 бит, то 2^л исходным файлам будет соответствовать самое большее 2^л-1 различающихся сжатых файлов. Тогда, по крайней мере, одному архивному файлу будет соответствовать несколько различающихся исходных, и, следовательно, его декодирование без потерь информации невозможно в принципе.

1.3 Обзор существующих программ сжатия данных без потерь

В настоящее время  существует очень много алгоритмов сжатия данных без потерь. Наиболее распространенными являются такие, как: Lossless JPEG, алгоритм Хаффмена, алгоритмы группы KWE

Существует довольно много реализаций алгоритма группы KWE, среди которых наиболее распространенными являются алгоритм Лемпеля-Зива (алгоритм LZ) и его модификация алгоритм Лемпеля-Зива-Велча (алгоритм LZW).Для алгоритма LZ основан на создании своеобразного словаря, где каждое слово получает свой порядковый номер, и в результате сжатый файл содержит не предложения, а последовательность чисел, что существенно сокращает его размер. Алгоритм начинает работу с почти пустым словарем, который содержит только одну закодированную строку, так называемая NULL-строка. Когда происходит считывание очередного символа входной последовательности данных, то он прибавляется к текущей строке. Это будет продолжаться до тех пор, пока текущая строка соответствует какой-нибудь фразе из словаря. В момент, когда текущая строка представляет собой последнее совпадение со словарем плюс только что прочитанный символ сообщения, кодер выдает код, который состоит из индекса совпадения и следующего за ним символа, который нарушил совпадение строк, а новая фраза, состоящая из совпадающего индекса и следующего за ним символа – записывается в словарь. Если эта фраза появляется еще раз, то она может быть использована для построения более длинной фразы. Это способствует повышению сжатия информации. Семейство LZ-подобных алгоритмов могут различаться, например, методом поиска повторяющихся цепочек.

Алгоритм Lossless JPEG разработан группой экспертов в области фотографии (Joint Photographic Expert Group). В отличие от JBIG, Lossless JPEG ориентирован на полноцветные 24-битные или 8-битные в градациях серого изображения без палитры. Коэффициенты сжатия: 20, 2, 1. Lossless JPEG рекомендуется применять в тех приложениях, где необходимо побитовое соответствие исходного и декомпрессированного изображений. Этот формат разрабатывался, прежде всего, для хранения изображений в медицинских целях, то есть для тех случаев, когда важно иметь большое изображение без малейших потерь качества.

Суть алгоритма кодирования  по методу Хаффмена в том, что некоторые  символы из стандартного 256-символьного набора в произвольном тексте могут встречаться чаще среднего периода повтора, а другие – реже. Следовательно, если для записи распространенных символов использовать короткие последовательности бит, длиной меньше 8, а для записи редких символов – длинные, то суммарный объем файла уменьшится. В результате получается систематизация данных в виде дерева («двоичное дерево»).  Алгоритм Хаффмена основан на этой идее с той лишь разницей, что она применяется ко всем символам алфавита. На первом шаге определяются числа повторений (веса) всех символов. На втором шаге строится дерево кодирования. Используются две структуры данных - массив и дерево, в массив заносятся все символы и их веса, дерево пусто. Затем находим два самых редких символа, исключаются из массива и добавляются в дерево (листья). Также создается новый узел дерева с весом равным сумме весов найденных символов и содержащий ссылки на эти символы. Этот узел добавляется в массив. Процедура повторяется пока в массиве не останется один элемент. Третий шаг - собственно кодирование.

Эта работа и посвящена алгоритму Хаффмена.

Глава 2 Коды Хаффмена

2.1 Кодирование Хаффмена

Один из первых алгоритмов эффективного кодирования информации был предложен  Д. А. Хаффменом в 1952 году. Идея алгоритма состоит в следующем: зная вероятности вхождения символов в сообщение, можно описать процедуру построения кодов переменной длины, состоящих из целого количества битов. Символам с большей вероятностью присваиваются более короткие коды. Коды Хаффмена имеют уникальный префикс, что и позволяет однозначно их декодировать, несмотря на их переменную длину.

Классический алгоритм Хаффмена на входе получает таблицу частот встречаемости символов в сообщении. Далее на основании этой таблицы строится дерево кодирования Хаффмена (Н-дерево). Алгоритм построения Н-дерева прост и элегантен:

• символы входного алфавита образуют список свободных узлов. Каждый лист имеет вес, который может быть равен либо вероятности, либо количеству вхождений символа в сжимаемое сообщение;
• выбираются два свободных узла дерева с наименьшими весами.
• создается их родитель с весом, равным их суммарному весу;
• родитель добавляется в список свободных узлов, а двое его детей удаляются из этого списка;
• одной дуге, выходящей из родителя, ставится в соответствие бит 1, другой — бит 0;
• шаги, начиная со второго, повторяются до тех пор, пока в списке свободных узлов не останется только один свободный узел. Он и будет считаться корнем дерева.

Допустим, у нас есть следующая таблица частот: 15 7 6 6 5 А Б В Г Д

Этот процесс можно  представить как построение дерева, корень которого — символ с суммой вероятностей объединенных символов, получившийся при объединении символов из последнего шага, его n0 потомков —  символы из предыдущего шага и  т. д.

Чтобы определить код для каждого из символов, входящих в сообщение, мы должны пройти путь от листа дерева, соответствующего этому символу, до корня дерева, накапливая биты при перемещении по ветвям дерева. Полученная таким образом последовательность битов является кодом данного символа, записанным в обратном порядке.

Для данной таблицы символов коды Хаффмена будут выглядеть следующим образом. А Б В Г Д 0 100 101 110 111

Поскольку ни один из полученных кодов не является префиксом другого, они могут быть однозначно декодированы при чтений их из потока. Кроме того, наиболее частый символ сообщения А закодирован наименьшим количеством битов, а наиболее редкий символ Д — наибольшим.

Классический алгоритм Хаффмена имеет один существенный недостаток. Для восстановления содержимого сжатого сообщения декодер должен знать таблицу частот, которой пользовался кодер. Следовательно, длина сжатого сообщения увеличивается на длину таблицы частот, которая должна посылаться впереди данных, что может свести на нет все усилия по сжатию сообщения. Кроме того, необходимость наличия полной частотной статистики перед началом собственно кодирования требует двух проходов по сообщению: одного для построения модели сообщения (таблицы частот и Н-дерева), другого для собственно кодирования.

2.2 Особенности кодирования Хаффмена

В создании алгоритма  адаптивного кодирования Хаффмена наибольшие сложности возникают  при разработке процедуры ОбновитьМодельСимволом(); можно было бы просто вставить внутрь этой процедуры полное построение дерева кодирования Хаффмена. В результате мы получили бы самый медленный в мире алгоритм сжатия, так как построение Н-дерева — это слишком большая работа и производить её при обработке каждого символа неразумно. К счастью, существует способ модифицировать уже существующее Н-дерево так, чтобы отобразить обработку нового символа. Обновление дерева при считывании очередного символа сообщения состоит из двух операций. Первая — увеличение веса узлов дерева. Вначале увеличиваем вес листа, соответствующего считанному символу, на единицу. Затем увеличиваем вес родителя, чтобы привести его в соответствие с новыми значениями веса у детей. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не доберемся до корня дерева. Среднее число операций увеличения веса равно среднему количеству битов, необходимых для того, чтобы закодировать символ. Вторая операция — перестановка узлов дерева — требуется тогда, когда увеличение веса узла приводит к нарушению свойства упорядоченности, то есть тогда, когда увеличенный вес узла стал больше, чем вес следующего по порядку узла. Если и дальше продолжать обрабатывать увеличение веса, двигаясь к корню дерева, то наше дерево перестанет быть деревом Хаффмена.

Чтобы сохранить упорядоченность  дерева кодирования, алгоритм работает следующим образом. Пусть новый увеличенный вес узла равен W+1. Тогда начинаем двигаться по списку в сторону увеличения веса, пока не найдем последний узел с весом W. Переставим текущий и найденный узлы между собой в списке, восстанавливая таким образом порядок в дереве. (При этом родители каждого из узлов тоже изменятся.) На этом операция перестановки заканчивается. После перестановки операция увеличения веса узлов продолжается дальше. Следующий узел, вес которого будет увеличен алгоритмом, — это новый родитель узла, увеличение веса которого вызвало перестановку.

В процессе работы алгоритма  сжатия вес узлов в дереве кодирования  Хаффмена неуклонно растет. Первая проблема возникает тогда, когда  вес корня дерева начинает превосходить вместимость ячейки, в которой  он хранится. Как правило, это 16-битовое значение и, следовательно, не может быть больше, чем 65535. Вторая проблема, заслуживающая ещё большего внимания, может возникнуть значительно раньше, когда размер самого длинного кода Хаффмена превосходит вместимость ячейки, которая используется для того, чтобы передать его в выходной поток. Декодеру все равно, какой длины код он декодирует, поскольку он движется сверху вниз по дереву кодирования, выбирая из входного потока по одному биту. Кодер же должен начинать от листа дерева и двигаться вверх к корню, собирая биты, которые нужно передать. Обычно это происходит с переменной типа «целое», и, когда длина кода Хаффмена превосходит размер типа «целое» в битах, наступает переполнение. Можно доказать, что максимальную длину код Хаффмена для сообщений с одним и тем же входным алфавитом будет иметь, если частоты символов образует последовательность Фибоначчи. Сообщение с частотами символов, равными числам Фибоначчи до Fib (18), — это отличный способ протестировать работу программы сжатия по Хаффмену.

Принимая во внимание сказанное выше, алгоритм обновления дерева Хаффмена должен быть изменен  следующим образом: при увеличении веса нужно проверять его на достижение допустимого максимума. Если мы достигли максимума, то необходимо «масштабировать» вес, обычно разделив вес листьев на целое число, например, 2, а потом пересчитав вес всех остальных узлов. Однако при делении веса пополам возникает проблема, связанная с тем, что после выполнения этой операции дерево может изменить свою форму. Объясняется это тем, что мы делим целые числа и при делении отбрасываем дробную часть.

Правильно организованное дерево Хаффмена после масштабирования  может иметь форму, значительно  отличающуюся от исходной. Это происходит потому, что масштабирование приводит к потере точности нашей статистики. Но со сбором новой статистики последствия этих «ошибок» практически сходят на нет. Масштабирование веса — довольно дорогостоящая операция, так как она приводит к необходимости заново строить все дерево кодирования. Но, так как необходимость в ней возникает относительно редко, то с этим можно смириться.

Масштабирование веса узлов  дерева через определенные интервалы  дает неожиданный результат. Несмотря на то, что при масштабировании  происходит потеря точности статистики, тесты показывают, что оно приводит к лучшим показателям сжатия, чем если бы масштабирование откладывалось. Это можно объяснить тем, что текущие символы сжимаемого потока больше «похожи» на своих близких предшественников, чем на тех, которые встречались намного раньше. Масштабирование приводит к уменьшению влияния «давних» символов на статистику и к увеличению влияния на неё «недавних» символов. Это очень сложно измерить количественно, но, в принципе, масштабирование оказывает положительное влияние на степень сжатия информации. Эксперименты с масштабированием в различных точках процесса сжатия показывают, что степень сжатия сильно зависит от момента масштабирования веса, но не существует правила выбора оптимального момента масштабирования для программы, ориентированной на сжатие любых типов информации.

2.3 Применение кодирования Хаффмена

С тех пор, как  Д.А.Хаффмен опубликовал свою работу "Метод построения кодов с минимальной  избыточностью", его алгоритм кодирования  стал базой для огромного количества дальнейших исследований в этой области. Сжатие данных по Хаффмену применяется при сжатии фото- и видеоизображений (JPEG, стандарты сжатия MPEG), в архиваторах (PKZIP, LZH и др.), в протоколах передачи данных MNP5 и MNP7.

По сей день в компьютерных журналах можно найти большое количество публикаций, посвященных как различным реализациям алгоритма Хаффмена, так и поискам его лучшего применения.

Кодирование Хаффмена используется в коммерческих программах сжатия, встроено в некоторые телефаксы  и даже используется в алгоритме JPEG сжатия графических изображений с потерями. 

На практике используются его разновидности. Так, в некоторых  случаях резонно либо использовать постоянную таблицу, либо строить ее "адаптивно", т.е. в процессе архивации/разархивации. Эти приемы избавляют нас от двух проходов по изображению и необходимости хранения таблицы вместе с файлом. Кодирование с фиксированной таблицей применяется в качестве последнего этапа архивации в JPEG и в некоторых других алгоритмах.

Применение кода Хаффмена гарантирует возможность декодирования. Таким образом, можно заключить, что существует метод построения оптимального неравномерного алфавитного кода.

Глава 3 Алгоритм построения оптимального префиксного кода

3.1 Характеристики алгоритма Хаффмена

Алгоритм Хаффмена — адаптивный жадный алгоритм оптимального префиксного кодирования алфавита с минимальной избыточностью.

Рассмотрим  характеристики, применяемые  к алгоритму Хаффмена:

• худший, средний и лучший коэффициенты сжатия. То есть доля, на которую возрастет изображение, если исходные данные будут наихудшими; некий среднестатистический коэффициент для того класса изображений, на который ориентирован алгоритм; и, наконец, лучший коэффициент. Последний необходим лишь теоретически, поскольку показывает степень сжатия наилучшего (как правило, абсолютно черного) изображения, иногда фиксированного размера;
• класс изображений, на который ориентирован алгоритм. Иногда указано также, почему на других классах изображений получаются худшие результаты;
• симметричность. Отношение характеристики алгоритма кодирования к аналогичной характеристике при декодировании. Характеризует ресурсоемкость процессов кодирования и декодирования. Для нас наиболее важной является симметричность по времени: отношение времени кодирования ко времени декодирования. Иногда нам потребуется симметричность по памяти;
• есть ли потери качества? И если есть, то за счет чего изменяется коэффициент архивации? Дело в том, что у большинства алгоритмов сжатия с потерей информации существует возможность изменения коэффициента сжатия;
• характерные особенности алгоритма и изображений, к которым его применяют. Здесь могут указываться наиболее важные для алгоритма свойства, которые могут стать определяющими при его выборе.

Согласно вышеуказанным представлениям характеристик разберем значения характеристик классического алгоритма Хаффмена:

• коэффициенты компрессии: 8, 1,5, 1 (лучший, средний, худший коэффициенты);
• класс изображений: практически не применяется к изображениям в чистом виде. Обычно используется как один из этапов компрессии в более сложных схемах;
• симметричность: 2 (за счет того, что требует двух проходов по массиву сжимаемых данных);
• потери качества: без потерь;
• характерные особенности: единственный алгоритм, который не увеличивает размера исходных данных в худшем случае (если не считать необходимости хранить таблицу перекодировки вместе с файлом).

3.2 Принцип работы алгоритма  Хаффмена

Кодирование – это  правило, описывающее отображение  одного набора знаков в другой набор  знаков. Тогда отображаемый набор  знаков называется исходным алфавитом, а набор знаков, который используется для отображения, – кодовым алфавитом, или алфавитом для кодирования. При этом кодированию подлежат как отдельные символы исходного алфавита, так и их комбинации. Аналогично для построения кода используются как отдельные символы кодового алфавита, так и их комбинации.

Проанализируем принцип работы алгоритма Хаффмена. Алгоритм Хаффмена  использует только частоту появления одинаковых байт в изображении. Сопоставляет символам входного потока, которые встречаются большее число раз, цепочку бит меньшей длины. И, напротив, встречающимися редко — цепочку большей длины. Сжимая файл по алгоритму Хаффмена первое, что мы должны сделать – это необходимо прочитать файл полностью и подсчитать сколько раз встречается каждый символ из расширенного набора ASCII. Если мы будем учитывать все 256 символов, то для нас не будет разницы в сжатии текстового и EXE файла.

После подсчета частоты  вхождения каждого символа, необходимо просмотреть таблицу кодов ASCII и  сформировать мнимую компоновку между  кодами по убыванию. То есть, не меняя местонахождение каждого символа из таблицы в памяти отсортировать таблицу ссылок на них по убыванию. Каждую ссылку из последней таблицы назовем «узлом». В дальнейшем (в дереве) мы будем позже размещать указатели, которые будут указывает на этот «узел». Для ясности давайте рассмотрим пример:

Мы имеем файл длиной в 100 байт и имеющий 6 различных символов в себе. Мы подсчитали вхождение каждого из символов в файл и получили данные, представленные в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Вхождение  символов в файл

Теперь мы берем эти  числа и будем называть их частотой вхождения для каждого символа. Представим это в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Частота  вхождения символов

Мы возьмем из последней таблицы символы с наименьшей частотой. В нашем случае это D (5) и какой либо символ из F или A (10), можно взять любой из них, например, A.

Сформируем из узлов D и A новый узел, частота вхождения для которого будет равна сумме частот D и A: Рисунок 3.1 – Формирование нового узла