Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1Основные понятия и определения 4

2 Уравнения в полных дифференциалах 7

3 Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 13

4.Интегрирующий множитель 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического  уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении  между величинами, изменяющимися  с течением времени, например экономичность  двигателя, измеряемая расстоянием, которое  автомашина может проехать на одном  литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями  и их производными. В данной работе рассмотрены уравнения в полных дифференциалах. Физический смысл этих уравнений в том, что они показывают элементарную работу в потенциальном силовом поле. 

Данная работа несет реферативный характер.

Курсовая работа содержит  4 главы.

 В первой описываются основные определения и утверждения, необходимые для изучения данного вопроса. Во второй главе рассмотрена и доказана теорема существования и единственности решения.

 В третьей  главе рассматривается алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах и примеры. В четвертой главе рассматривается интегрирующий множитель и примеры.

 

1Основные понятия и определения

Определение1.1 Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, (включая саму эту точку). Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом f '(x₀), т.е.

Определение 1.2 Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).

Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x₀, y₀) D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

,

.

Определение 1.3 Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение представимо в виде x₀+) – f(x₀)=A+o(, где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Определение 1.4 Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х₀ и обозначается символом df(x₀), т.е. df(x₀)=A 

Определение 1.5 Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке P₀(x₀;y₀), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается  =df(x₀;y₀)=(x₀;y₀) ∆x+(x₀;y₀) ∆y.

Определение 1.6 Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C₁,C_2,C₃,...C_n), зависящее от n произвольных постоянных.

Определение 1.7 Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C₁,C_2,C₃,...C_n) = 0.

Определение 1.8 Частный интеграл дифференциального уравнения — это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

 Определение  1.9 Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределенного интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C, где каждому C соответствует определенная кривая семейства.

Определение 1.10 Функция µ=µ(x,y)≠0 называется интегрирующим множителем для уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, если уравнение    µ(x,y)P(x,y)dx+µ(x,y)Q(x,y)dy=0 является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению Q=. Если (не зависит от y), то . Аналогично, если (не зависит от x), то

 

 

 

 

Теорема 1.1  Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M₀(u₀, х₀, у₀) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M₀. Тогда, если в точке M₀ функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точки M₀’(х₀, у₀) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u₀ | < ε и является решением уравнения F( х, у,u) = 0, причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M₀’.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Уравнения в полных дифференциалах

Определение 2.1 Дифференциальное уравнение вида   P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0                                   

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Общее решение уравнения  в полных дифференциалах определяется формулой

u(x, y)=C, где C − произвольная постоянная.

Теорема 2.1 Чтобы дифференциальное выражение

 , где функции P и Q определены и непрерывны в области D плоскости XOY и имеют в ней непрерывные частные производные, представляло полный дифференциал некоторой функции u (х, у), необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие                                                                                      

Доказательство.

Необходимость . Пусть существует функция u (х, у) такая, что выполняется равенство P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0Докажем, что тогда выполняется и равенство . По определению полного дифференциала

dy, но тогда из P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 следует, что

 ,  Q(x,y)                                                          

Дифференцируем обе части  этих равенств: , ,

следовательно   
Поскольку смешанные производные равны, необходимость доказана.

Достаточность. Пусть равенство выполняется. Надо доказать, что и P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 в этом случае справедливо, то есть выполняется соотношение dx + .

Таким образом, задача сводится к отысканию функции u (х, у), частные производные которой подчинялись бы равенствам и Q(x,y).

Найдём эту функцию. Проинтегрируем уравнение , записав решение в виде: U(x, y) = где (x₀, y₀) принадлежит D,

φ(y) -  произвольная функция аргумента у, заменяющая произвольную постоянную, поскольку интегрирование произведено по х, в предположении, что у = c o n s t (то есть у сохраняет неизменное значение).

Определим функцию φ(y) так, чтобы удовлетворялось и равенство Q(x,y). Продифференцируем функцию U(x, y) =

по у: =.

Используя теорему о дифференцировании  интеграла с переменным верхним пределом и равенство Q(x,y), запишем: Q(x,y)=.

Применяя соотношение , получаем:  .

Вычислим последний интеграл: –Q(x₀, y),

а, значит, следовательно

Подставляя φ(y) в U(x, y) =, получаем окончательно:

U(x,y)=, c=const.                 

 Теорема 2.3 Пусть в прямоугольнике M: a<x<b, c<y<d

Функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе с их частными производными

     и , причем всюду в M выполняется условие и Q(x,y) не обращается в нуль. Тогда через каждую точку (x₀,y₀) прямоугольника M проходит одна и только одна интегральная линия уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

 

 

Доказательство. 

Как было только что указано, в прямоугольнике M существует функция z(x,y), полный дифференциал которой равен левой части P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Но так как Q0, то уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 можно переписать в эквивалентом виде: P(x,y)+Q(x,y)y’=0 или с учетом равенств  , Q   так: Поэтому функция y(x) является решением уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 тогда и только тогда, когда z(x,y(x))≡C                                               

Этому уравнению, если C≠z(x₀,y₀), не может удовлетворять линия, проходящая через точку (x₀,y₀). Если же C=z(x₀,y₀), то из теоремы о неявной функции следует, что уравнение z(x,y(x))≡C определяет линию, проходящую через точку (x₀,y₀), и притом только одну. Теорема доказана.

Лемма 2.1 Всякая непрерывная на множестве  функция f(x,y)  равномерно непрерывна по x на [x₀-, x₀ +и по y на [y₀-, y₀ +.

Лемма 2.2 Если последовательность непрерывных на [функций y_n(x) равномерно на [  сходится к функции y(x), то функция y(x) также непрерывна на [.

Лемма 2.3 Если функция f(x,y)  равномерно непрерывна в G и последовательность {y_n(x)} равномерно сходится к y(x) на , то последовательность f[x,y_n(x)]  равномерно сходится к f[x,y(x)]  на [x₀-, x₀ +.

Лемма 2.4 Если функция f(x,y) равномерно непрерывна в G и   (x)=y(x) равномерно на [x₀-, x₀ +, то 

   для    x₀, x [x₀-, x₀ +.   

Теорема 2.4 Пусть функция f(x,y) непрерывна на множестве  и удовлетворяет условию Липшица по y. Пусть М является верхней границей для  на G, а . Тогда задача Коши  y’=f(x, y), y(x₀)=y₀   имеет на отрезке [x₀ -, x₀ +] единственное решение.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что задача Коши эквивалентна интегральному уравнению y(x)=y₀+                                              

В самом деле, пусть дифференцируемая функция y(x) является решением интегрального уравнения y(x)=y₀+ . Тогда, очевидно, y(x₀)=y₀. Дифференцируя y(x)=y₀+ , получим  .

  Обратно, пусть y(x) является решением задачи Коши y’=f(x, y), y(x₀)=y₀ на [x₀,x]. Интегрируя это тождество, получим, следовательно y(x)=y₀+и y(x) является решением уравнения y(x)=y₀+ .

Поставим своей целью  определение интегральной кривой, выходящей  из точки (x₀, y₀) и идущей в сторону возрастания x>x₀. Для x<x₀  рассуждения могут быть проведены аналогично.

  Выбор  естественен. Действительно, с одной стороны является необходимым требование . С другой стороны, требование  обусловлено тем, что если y=y(x) есть решение задачи Коши на

 [x₀,x₀+, то из условия  следует, что |y(x)-y₀ |(x-x₀), а эта граница не превосходит b только при . x- x₀

Применим метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения  решения на [x₀, x₀+] возьмем y(x)y₀. y₁(x)=y₀+ 

Предположим, что y_k(x) определено на [x₀, x₀ +, непрерывно и  удовлетворяет неравенству . |y_k(x)-y₀ | , k=0,1,..,n.

Положим   y_n+1(x)=y₀+.                                         

Так как функция  f[x, y_n(x)]определена и непрерывна на [x₀, x₀+], то же самое верно и для y_n+1(x).

Ясно также, что .              

Следовательно, все функции  y₁(x), y₂(x),… определены и непрерывны на [x₀, x₀+]  и |y_i(x) – y₀|.

Докажем по индукции, что 

                                                      (2.1_n)

n=0,1,…, где L – постоянная Липшица для . Ясно, что (2.1₀) верно. Предположим, что верны соотношения (2.1₁), (2.1₂) ,…, (2.1_n-1).

Из y_n+1(x)=y₀+ при n получим           

Рассмотрим ряды

Второй из этих рядов, как известно, сходится и в силу  (2.1_n) является мажорирующим для первого. В свою очередь третий ряд мажорирует второй. Поэтому первый ряд сходится равномерно. Но его частичные суммы:

S_n+1(x)=y₀+y₁-y₀+…+y_n-y_n-1=y_n(x). Значит последовательность S_n+1(x)=y_n(x) сходится равномерно  при  к некоторой функции y(x). Функция y(x) по лемме (2.2) непрерывна на [x₀, x₀+]. По леммам (2.1) и (2.3) функции f[x, y_n(x)] равномерно стремятся к f[x, y(x)]. По лемме (2.4) в равенстве y_n+1(x)=y₀+ можно перейти к пределу под знаком интеграла, и мы получим y(x)=y₀+.

Итак, y(x)  – решение задачи Коши на [x₀, x₀+].

Докажем его единственность. Пусть y=z(x) – какое-либо решение задачи Коши на [x₀, x₀+].  z(x)=y₀+                                  

Используя индукцию, докажем  оценку

  , x₀                                  (2.2)  

Из y_n+1(x)=y₀+ и z(x)=y₀+ следует

Переходя в (2.2) к пределу при n, получаем

 |y(x) - z(x) Теорема доказана.

3 Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

           

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

           

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

           

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

           

Отсюда получаем выражение  для производной неизвестной  функции φ(y):

           

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

      

 

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в 
   виде:

           

Пример 3.1           Решить дифференциальное уравнение  2xydx + (x2 + 3y2)dy = 0.           Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные  производные равны:         Запишем следующую систему  дифференциальных уравнений для  определения функции u(x,y):         Интегрируя первое уравнение  по x, получаем:         Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение:         Интегрируя последнее  уравнение, находим неизвестную  функцию φ(y):          так что общее решение  данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид:   , где C − произвольная постоянная.

Пример 3.2

Найти решение уравнения  (6x2 − y +3)dx + (3y2 − x − 2)dy = 0.            Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:         Как видно, имеем уравнение в полных дифференциалах. Запишем систему уравнений для определения функции u(x,y):         проинтегрируем первое уравнение  по переменной x, полагая, что y является константой. В результате получаем:         Здесь мы ввели непрерывную  дифференцируемую функцию φ(y) вместо постоянной C.   Подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:         + φ'(y)= Получаем уравнение для  производной φ'(y):         Интегрируя, находим функцию φ(y):         Таким образом, функция u(x,y) определяется формулой         Следовательно, общее решение  уравнения описывается следующим  неявным выражением:         где C − произвольное действительное число.

Пример 3. 3

Решить дифференциальное уравнение  e ydx + (2y + xe y)dy = 0.            Решение. Сначала проверим, что данное уравнение будет являться уравнением в полных дифференциалах:         Видно, что . Найдем далее функцию u(x, y) из системы уравнений:         Следовательно,         Теперь продифференцируем  выражение по переменной y и приравняем к. В результате получим выражение для производной φ'(y):         Таким образом мы находим φ(y) и всю функцию u(x,y):   . Следовательно, общее решение  дифференциального уравнения записывается в виде:    .

Пример 3.4

Решить уравнение  (2xy − sin x)dx + (x2 - cos y)dy = 0.            Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку         Найдем функцию u(x,y) из системы двух уравнений:         Интегрируя первое уравнение  по переменной x, получаем:         Подставляя во второе уравнение, имеем:         Следовательно,         Тогда функция u(x,y) определятся выражением         а общее решение дифференциального  уравнения описывается неявной  формулой

Пример 3.5

Решить уравнение )dx - 2ydy=0.          Решение. Сначала выясним, имеем ли мы дело с уравнением в полных дифференциалах:         Как видно, . Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x,y), удовлетворяющую системе уравнений:         Интегрируем первое уравнение:         где φ(y) − некоторая неизвестная функция, зависящая от y. Мы определим ее позже.     Подставим результат во второе уравнение системы:         Интегрируя последнее  выражение, находим функцию φ(y):         где C − константа.     Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения описывается уравнением:

Пример 3.6

Решить дифференциальное уравнение с начальным условием  y(1) = 1.            Решение. Проверим, что уравнение  является уравнением в полных дифференциалах.         Частные производные будут  равны         Следовательно, мы имеем  дело с уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, далее запишем следующую  систему уравнений для определения  функции u(x,y):         В данном случае удобнее  проинтегрировать второе уравнение  по переменной y, u(x,y)= Теперь продифференцируем  это выражение по переменной x:         Итак, общее решение дифференциального  уравнения в неявном виде определятся  выражением: .   Найдем теперь частное  решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1. Подставляя начальные значения, определяем постоянную C:         Следовательно, частное решение  данной задачи Коши имеет вид:

         Пример 3.7 Найти общий интеграл уравнения

(ye^xy+2xy)dx+(xe^xy+x²-2y)dy=0.

         Решение. 

Проверим равенство частных  производных, предположив  , где , ;

Имеем уравнение в полных дифференциалах.

Ищем функцию u (х, у)= (при интегрировании второго слагаемого предполагаем х = const ):

 
=  
=  
+ ,

, где  .

 Нашли общий интеграл дифференциального уравнения .

4 Интегрирующий множитель

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 является уравнением в полных дифференциалах. Теоретически всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию , называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если  интегрирующий множитель уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения .                    

  Найти функцию из уравнения в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение

 значительно упрощается.

Теорема 4.1 Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 имеет общий интеграл

U(x, y)=C, где U есть интеграл уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 в рассматриваемой области, имеющий непрерывные частные производные второго порядка, то это уравнение имеет интегрирующий множитель.

Доказательство.

Действительно, так как  U(x,y) есть интеграл уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, то dU=0 в силу этого уравнения, т.е.                                              

где dy определяется уравнением P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, так как dx и dy удовлетворяют системе уравнений:

                                              (4.1)

 

Это однородная линейная система  имеет ненулевое решение ( ибо dx, как дифференциал независимой переменной, произволен). Поэтому справедливо тождество

                                                       (4.2)

или

                                           (4.3)

Поэтому

 

т. е. левая часть уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 становится полным дифференциалом после умножения на функцию , определяемую равенством (4.3). Следовательно, есть интегрирующий множитель уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.                                             

Случай 1. Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е. , то имеем

.

Случай 2. Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е. , то

.

Случай 3. Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 имеет интегрирующий множитель вида , где - известная функция, то

.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что данное уравнение  не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий  множитель  . Поскольку выражение

не зависит от y, то уравнение для определения примет вид

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными  одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим  общее решение:

.

Пример 4.2 Решить уравнение (xy² − 2y³)dx + (3 − 2xy²)dy = 0.  
         Решение.

Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, поскольку      

 

Попробуем определить его  общее решение, используя интегрирующий  множитель. Вычислим разность      

 

Заметим, что выражение       

 

зависит только от y. Поэтому, интегрирующий множитель µ также будет функцией одной переменной y. Мы можем найти его из уравнения      

 

Интегрируя, находим:      

 

Выбирая в качестве интегрирующего множителя и затем умножая на него исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах:      

 

В самом деле, теперь видно, что      

 

Отметим, что при умножении  на интегрирующий множитель мы потеряли решение  y = 0. Это можно доказать прямой подстановкой решения  y = 0 в исходное дифференциальное уравнение.  
 
Теперь найдем функцию u из системы уравнений:      

 

Из первого уравнения  следует, что      

 

Из второго уравнения  находим:      

 

Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения:      

 

где C − произвольная постоянная.

Пример 4.3 Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, найти интегрирующий  множитель, зависящий только от одной  переменной нельзя. Будем искать интегрирующий  множитель в виде . Пусть , тогда уравнение для нахождения примет вид

,

интегрируя, которое находим

.

Умножая обе части исходного  уравнения на данный интегрирующий  множитель, получаем уравнение в  полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема 4.2 Если - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что .

Тогда , где - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях  находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Доказательство.

Пусть - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

.

Тогда, в силу приведенной  выше теоремы, функции

являются интегрирующими множителями для первого и  второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции  φ₁ и φ₂ так, чтобы выполнялось равенство

,

то интегрирующим множителем для уравнения 

,

очевидно, является функция

.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 1962.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2003.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
4. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство Московского Университета, 1984.