Анализ динамики продукции сельского хозяйства

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1 ТЕОРИТИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 4

1.1 Общие сведения  о прогнозировании 4

2 АНАЛИЗ ИМЕЮЩЕГОСЯ  ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА 6

2.1 Показатели  анализа рядов динамики 6

2.3  Проверка  гипотезы существования тенденции  во временном ряду 9

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ  СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 13

3.1 Построение  аддитивной модели временного  ряда 13

3.2 Построение  мультипликативной модели временного  ряда 18

3.3  Проверка  точности модели. Оценка качества модели 21

3.4 Точечный  прогноз 25

3.5 Ряд Фурье 27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 34

ПРИЛОЖЕНИЕ  А 35

ПРИЛОЖЕНИЕ  Б 36

ПРИЛОЖЕНИЕ  В 37

ПРИЛОЖЕНИЕ  Г 40

ПРИЛОЖЕНИЕ  Д 45

 

ВВЕДЕНИЕ

Анализ социально-экономического развития - одно из важнейших заданий  статистики. Информационной базой его  служат динамические ряды.

Решение народно хозяйственных  проблем связано с глубоким анализом и всесторонним учетом объективных  закономерностей экономического и  социального развития в течение  определенного периода времени. Количественным выражением этих закономерностей  могут служить динамические ряды.

Повторяемость, последовательность и порядок явлений можно обнаружить в изменении явлений и процессов  во времени, который происходит под  воздействием разных социальных, экономических, технических и других показателей. Изучение динамики позволяет выявить  и оценить особенности развития явлений в течение времени  под воздействием разных факторов. Знание этих особенностей важно не только для понимания и оценки прошлого, но и для прогнозирования, позволяющего контролировать процессы и руководить ими.

Темой курсовой работы является анализ динамики продукции сельского хозяйства.

Основной целью курсовой работы является закрепление, углубление и обобщение знаний, полученных за время обучения.

Основными задачами курсовой работы являются:

• формулировка целей и задач статистического исследования и определение его роли в решении задач управления;
• теоретическое исследование изучаемой проблемы и сравнительный анализ подходов к её решению;
• формирование системы статистических показателей, необходимых для описания объекта исследования;
• выбор и обоснование системы методов, которые будут использованы при решении поставленных задач;
• практическое применение статистических методов к конкретным задачам экономико-статистического анализа;
• формулировка выводов и рекомендаций, основанных на результатах анализа.

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа  и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных  пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки  данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых  отделов производственных предприятий  и объединений, торговых, страховых  компаний, банков, правительственных  учреждений.

Теперь уже не требуется  проводить вручную трудоемкие расчеты, строить таблицы и графики  — всю эту работу выполняет  компьютер. Человеку же остается исследовательская, творческая работа: постановка задачи, выбор методов прогнозирования, оценка качества полученных моделей, интерпретация  результатов.

1 ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

1.1 Общие сведения о прогнозировании

 

Для решения задач, связанных  с анализом данных при наличии  случайных воздействий, предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. Эти методы позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные прогнозы и оценивать вероятность их выполнения.

Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. prognosis — предвидение, предсказание).

Прогнозирование экономических  явлений и процессов включает в себя следующие этапы:

1. постановка задачи и  сбор необходимой информации;

2. первичная обработка  исходных данных;

3. определение круга возможных  моделей прогнозирования;

4. оценка параметров моделей;

5. исследование качества  выбранных моделей, адекватности  их реальному процессу и выбор  лучшей из моделей;

6. построение прогноза;

7. содержательный анализ  полученного прогноза.

 

1.2 Понятие временного ряда

 

Временной ряд —  это  совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Каждый уровень  временного ряда формируется под  воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

• факторы, формирующие тенденцию  ряда;

• факторы, формирующие циклические  колебания ряда;

• случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней  ряда от времени может принимать  разные формы.

Во-первых, большинство временных  рядов экономических показателей  имеют тенденцию, характеризующую  совокупное долговременное воздействие  множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти  факторы, взятые в отдельности, могут  оказывать разнонаправленное воздействие  на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют  его возрастающую или убывающую  тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим  колебаниям. Эти колебания могут  носить сезонный характер, поскольку  экономическая деятельность ряда отраслей зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию  в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных  городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклическую  компоненту, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты [5, c. 296-297].

Чаще всего данные содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными  тенденциями во временных рядах  экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. При большем периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические  составляющие, то останется нерегулярная компонента (вектор остатков).

В большинстве случаев  фактический уровень временного ряда можно представить как сумму  или произведение трендовой, циклической  и случайной компонент. Модель, в  которой временной ряд представлен  как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного рада - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов [5, c. 297-298].

Исходные данные динамики продукции сельского хозяйства (млн. бел. руб.) представлены в приложении А (таблица 1.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 АНАЛИЗ ИМЕЮЩЕГОСЯ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА

2.1 Показатели анализа рядов динамики

 

   Для характеристики интенсивности  изменения во времени в статистике используются следующие показатели:

• абсолютный прирост;
• темпы роста;
• темпы прироста;
• абсолютное значение 1% прироста.

 

     Перечисленные показатели могут характеризовать  динамику явления по отношению к  предыдущему периоду либо за интервал, включающий в себя несколько периодов. В соответствии с целью исследования различают цепные и базисные показатели динамики.     

В том случае, если сравнение  производится с периодом или моментом времени, начальным в ряду динамики, то имеют в виду базисный показатель динамики.     

В том же случае, если сравнение  производится с предыдущим годом  или моментом, т.е. база сравнения  переменная, тогда говорят о цепных показателях динамики.

Формулы расчета показателей  динамики приведены в таблице 1.

 

Таблица 1 – Основные показатели динамики

 

Расчет основных показателей  динамики представлен в приложении Б (таблица 2.1).

Базисные показатели характеризуют итоговый результат всех изменений в уровнях ряда от периода базисного уровня до данного (i-го) периода.

Цепные показатели характеризуют интенсивность изменения уровня от одного периода к другому в пределах того промежутка времени, который исследуется.

Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость изменения ряда динамики и определяется как разность между данным уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения.

Коэффициент роста определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста T_t.

Темп прироста K_t определяется как отношение абсолютного прироста данного уровня к предыдущему или базисному.

Абсолютное значение одного процента прироста A_i  служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.

 

Данный показатель рассчитывают по формуле:

 

 

                                (1)

 

 

 

Помимо оценки интенсивности  динамических процессов необходимо дополнить показатели динамики расчетом их средних, а именно:

• cредний уровень ряда;
• cредний абсолютный прирост;
• cредний темп роста;
• cредний темп прироста.

 

 Для расчета среднего уровня ряда необходимо определить вид ряда динамики. Так как объем продукции приводится за год, то есть за интервал времени, следовательно, ряд динамики — интервальный с  равными интервалами. Средний уровень  ряда рассчитывается по формуле средней  арифметической простой:

 

                                                                                         (2)

 

Средний абсолютный прирост может быть рассчитан на основе как цепных, так и базисных абсолютных приростов:

 

                                                                                    (3) 

 

где n — число лет или дат.

Средний темп роста также рассчитывается на основе либо базисного, либо цепных темпов роста:

 

                                 (4)

 

Средний темп прироста:

 

                                                                          (5)

 

 

   На основании рассчитанных показателей  динамики можно сделать следующие  выводы: объем производства за 8 лет увеличился на 8015,3 млрд. бел. рублей, или на 82,7%. В периодах с 2006 по 2007, с 2008 по 2009 и с 2010 по 2011 годах наблюдался спад производства на 7,5% (911,0 млрд. бел. руб.), на 5,5% (870,3 млрд. бел. руб.) и на 3,6% (665,0 млрд. бел. руб.) соответственно. Наибольший рост производства произошел в период с 2009 по 2010 г.— на 24,0%, или на 3553,6 млрд. бел. руб. В среднем за период объем производства составил 14034,09 млрд. бел. руб., выпуск продукции ежегодно увеличивается на 1145,046 млрд. бел. рублей, или на 4,4%.

 

2.2 Автокорреляция уровней  временного ряда и выявление  его структуры

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не   только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда,

сдвинутыми на τ единиц времени, определяется величиной коэффициента    корреляции r(τ). Так как r(τ ) измеряет тесноту связи между уровнями одного и

того же временного ряда, то его принято называть коэффициентом  автокорреляции. При этом τ –  длину временного смещения – называют обычно лагом [4, c. 32].

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле:    

                                                                             

             

                     (6)

 

Порядок коэффициентов автокорреляции определяется временным лагом первого  порядка (при  τ = 1), второго порядка (при τ = 2) и т.д.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого, второго  и последующих порядков называют автокорреляционной функцией. Ее значения могут колебаться от -1 до +1. График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

 Анализ автокорреляционной  функции и корреллограммы позволяет                 определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и корреллограммы можно выявить структуру ряда. Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию, если все коэффициенты автокорреляции высоки, то ряд также содержит тенденцию. Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции порядка τ, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительные исследования. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой f (t) и сезонной S (t) компоненты [5, c. 302]. 

 

Рисунок 1  - Корреллограмма

 

Проанализировав автокорреляционную функцию и коррелограмму (рисунок 1), можно сделать вывод, что ряд содержит циклические колебания периодичностью =12 моментов времени (так как наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 12). Также высоким и значимым оказался коэффициент автокорреляции порядка =1 , это говорит о том, что в ряду присутствует тенденция.

2.3  Проверка гипотезы существования тенденции во временном ряду

 

Прогнозирование временных  рядов целесообразно начинать с  построения графика исследуемого показателя. Однако в нём не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в  этих случаях необходимо выяснить –  существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.                         

Отметим, что о наличии  тренда говорит не только изменение  среднего значения показателя (уменьшение, увеличение), но и изменение дисперсии, автокорреляции, корреляции с другими  показателями и т.д. Тенденцию среднего, дисперсии можно определить визуально из графика исходных данных. Проверка наличия или отсутствия неслучайной (зависящей от времени  t) составляющей сводится к проверке гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда. Процедура проверки может быть осуществлена с помощью различных критериев, например:

 

• «восходящих» и «нисходящих» серий;
• серий, основанный на медиане;
• сравнения средних уровней ряда;
• Фостера-Стюарта [4, c.15].

Рассмотрим критерий сравнения средних уровней ряда.

По этому критерию временной  ряд разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как  самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если временной ряд имеет тенденцию (тренд), то средние, вычисленные для  каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение в средних  значениях несущественно  (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким образом, проверка наличия  тренда в исследуемом ряде сводится к проверке гипотезы о равенстве  средних двух нормально распределённых совокупностей. Для проверки наличия  тенденции существует следующее  правило [4, c.19-20].

Правило. Для того, чтобы при заданном уровнем значимости α проверить нулевую гипотезу H0: M(X₁) = M(X ₂) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормально распределенных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе                H1: M (X₁) ≠ M (X₂) , надо вычислить наблюдаемое значение: 

 

                                        (7)

 

В условии (7) n₁  и  n₂– количество уровней в первой и второй части исходного ряда, а  S²_y1   и   S²_y2 – оценка дисперсии в этих частях. По таблице критических распределений Стьюдента, по заданному уровню значимости α, и числу степеней свободы ν=n₁+n₂−2 найдем критическое значение:    t_табл = t_α;ν = t_α;n1+n2−2.

Если | t_набл | < t_табл, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если |t_набл| > t_табл, то нулевую гипотезу отвергают [4, c.20].

Проверим наличие тренда в исходном ряде с помощью сравнения  средних.                                     

1. Исходный временной  ряд делим на две равные  по числу уровней части n₁=48; n₂=48.

2. Для каждой из этих  частей вычисляем среднее значение  и дисперсию: 

= 951,50;   S²_y1= 551303,84,

= 1387,51;  S²_y2 = 921395,86.

3. Проверяем гипотезу  о равенстве (однородности) дисперсий  обеих частей ряда с помощью  F -критерия Фишера. Для этого большую  дисперсию делим на меньшую и сравниваем с табличным значением

 

        F_расч  = > F_табл  = F_{α; n1−1; n2−1} = F_{0,05;47; 47} = 1,6238.                         

 

Дисперсии в выбранных  частях ряда различаются. С вероятностью 0,95 отвергаем нулевую гипотезу, дисперсии не равны.

4. Используя условие (7) проверим основную гипотезу о  равенстве средних значений  и _{по t − критерию Стьюдента:}

 

 

 

                                                                                                                                                                 

                 

Так как t_{расчтабл}, то отвергаем нулевую гипотезу отвергаем с доверительной вероятностью 0,95. Генеральные средние двух выборок не равны между собой. Вывод: в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.

Наличие тренда видно также  из графика (рисунок 2):

 

Рисунок 2 – Наличие тренда

Данные гипотезы можно  проверить с помощью пакета Microsoft Excel следующим образом (таблица 2 и 3).

 

Таблица 2 – Двухвыборочный F-тест для дисперсии

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	1387,511065	951,5035872
Дисперсия	921395,8644	551303,8434
Наблюдения	48	48
df	47	47
F	1,671303176
P(F<=f) одностороннее	0,0407741
F критическое  одностороннее	1,623755477

 

Таблица 3 - Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	951,5035872	1387,511065
Дисперсия	551303,8434	921395,8644
Наблюдения	48	48
Гипотетическая  разность средних	0
df	88
t-статистика	-2,489186613
P(T<=t) одностороннее	0,007342316
t критическое  одностороннее	1,66235403
P(T<=t) двухстороннее	0,014684633
t критическое  двухстороннее	1,987289823

 

Таким образом, полученные значения в двух таблицах (таблица 2 и таблица 3) подтверждают правильность наших расчётов, что свидетельствует о наличии тренда в исходном ряду.

 

 

 

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

 

Существует несколько подходов при моделировании сезонных или  циклических колебаний:

• расчет значений сезонной компоненты и построение  аддитивной   или мультипликативной модели временного ряда;
• использование рядов Фурье и др.

Наиболее простым является первый метод.

Процесс построения аддитивной и мультипликативной  моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого порядка.

Процесс построения модели включает следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т+S ) или (Т*S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

 

3.1 Построение аддитивной модели временного ряда

 

Для расчетов используем данные о производстве продукции сельского хозяйства за 2004 – 2011 годы, представленные в приложении 1.

Анализ величины коэффициентов  автокорреляции показал, что в данном временном ряде имеются сезонные колебания с периодичностью 12.

Рассчитаем компоненты аддитивной модели.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 12 месяцев  со сдвигом на один момент времени;

б) разделим полученные суммы на 12, найдем скользящие средние, которые не содержат сезонной компоненты. График скользящей средней представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Скользящая средняя в аддитивной модели

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и скользящими средними (см. приложение В таблица 3.1). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:                                                                                          

 

Определим корректирующий коэффициент:

 

                                                    (8)

 

Рассчитаем cкорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом

 

                                                                                                                               (9)

 

Проверим условие равенства  нулю суммы значений сезонной компоненты:

                                                                                       

Полученные значения представлены в приложении В в таблице 3.2.

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Y_t – S_i. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени  и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Т + Е с помощью линейного тренда. В результате получен линейный тренд вида:

                                                 Т = 749,45 + 8,6609*t.  

                                    

График уравнения тренда приведен на рисунке 3.

 

Рисунок 3 – График линейного тренда в аддитивной модели

 

Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры  основных видов трендов в программном  пакете STATISTICA.

Для линейного  тренда имеем следующее уравнение:

 

T = 749,45+8,6609*t.

 

Расчётные данные приведены  на рисунках  4 и 5.

 

 

Рисунок 4 –Коэффициент детерминации для линейной модели

 

Рисунок 5 – Коэффициенты линейной модели

 

Значимость коэффициентов  будем проверять с помощью  t – статистики. Для коэффициентов a0, a1 p – level<0.05, следовательно данные коэффициенты являются значимыми. Значимость коэффициента R² проверим с помощью F – статистики. Из рисунка 4 видно, что для коэффициента R² p-level<0.05, следовательно он является значимым.

Для полинома второй степени имеем:

 

Т = 758,8114+8,0879*t+0,0059*t².

 

Проанализируем расчётные  данные на рисунках 6 и 7.