Автономные системы и фазовые пространства

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

 ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО  УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Экономический факультет

Кафедра математики и информатики

 

 

 

Курсовая работа

на тему:

Автономные системы  дифференциальных уравнений 

и их фазовые пространства

 

 

 

 

 

 

Выполнила студентка 2 курса                       Научный руководитель

Группы ПМиИ-21                                              к.ф.-м.н., ст. пр.

Артемьева О.А._________                             Трегубова А.Х.________

«____»__________2011г.                                «____»_________2011г. 

 

 

Стерлитамак 2011

Содержание

                    Введение…………………………………………………………………………………………………………….3 

§1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка……………………….......................................................4

§2. Свойства решений автономных систем……………………………………………………….6

§3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы………………………..10

§4. Функция последования……………………………………………………………………………...17

Заключение……………………………………………………………………………………………………….22

Список литературы……………………………………………………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое  число задач, решение которых  сводится к дифференциальным уравнениям.

Предметом исследования моей курсовой работы является применение автономных систем дифференциальных уравнений и их фазовых пространств.

 Теория дифференциальных уравнений – одно из самых основных орудий математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.

Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и  все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество  всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством.

Так, например, классическая механика рассматривает движение систем, будущее и прошлое которых  однозначно определяются начальным  положениями и начальными скоростями все точек системы. Фазовое пространство механической системы – это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы.

При отборе материала для  курсовой работы использовала основные идеи и методы, применяемые для решения автономных систем дифференциальных уравнений.

Цель данной работы заключается в изучении и применение автономных систем дифференциальных уравнений и их фазовых пространств в жизни.

В соответствии с целью сформулированы следующие задачи работы:

1) Дать механическую интерпретацию нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка.

2) Показать примеры.

§1. Механическая интерпретация нормальной системы  дифференциальных уравнений первого  порядка.

Теорема существования и единственности решения Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области пространства Rⁿ⁺¹ проходит единственная интегральная кривая.

Здесь дадим еще одну интерпретацию  системы дифференциальных уравнений  первого порядка, особенно важную для  приложений в механике и  физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее рассматривать как время; искомые функции обозначим через x_1,x₂,…,x_n и будем считать, что они задают закон движения x_i=x_i(t), i=1,n, материально й точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек n- мерного пространства, которое и называют фазовым пространством переменных (x_1,x₂,…,x_n)=x_. Тогда нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка примет вид                  

dxi/dt=fi(t, x1,x2,…,xn )= fi(t, x), i=1,n

(1)

Система  (1) в каждый момент времени t в данной точке (x_1,x₂,…,x_n) фазового пространства определяет вектор скорости f=(f₁ ,f₂ ,…, f_n) движущейся материальной точки, т.е. система (1) задает поле скоростей в пространстве (x_1,x₂,…,x_n). Решением системы (1) является такой закон движения x=x(t)=(x₁(t)_, x₂(t) ,… , x_n(t)) материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость f. При такой интерпретации система (1) называется динамической системой, а каждое ее решение – движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (1), так как интегральная кривая расположена в Rⁿ⁺¹). Задачи Коши для системы (1) теперь состоит в том, что требуется найти движение x_i=φ(t), i=1,n, системы (1), удовлетворяющее при t=t₀ начальным условиям

xi(t0)= φ(t0)=xi(0), i=1,n.

(2)

Это значит, найти закон  движения       

xi= φi(t,t0, , x1(0),x2(0),…,xn (0) )= φi(t,t0, , x0 ),

(3)

        определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t₀ занимала начальное положение x₀=( x₁⁽⁰⁾_,  x₂⁽⁰⁾,…, x_n ⁽⁰⁾).

Для обеспечения существования  и единственности решения задачи Коши для системы (1), т.е. задачи (1) и (2), предположим, что все функции f_i(t, x) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ∂ f_i(t,x) /∂x_k,  k=,  в цилиндрической области Q= D×( - ∞,+∞ ), где D – ограниченная замкнутая область пространства Rⁿ переменных (x_1,x₂,…,x_n), t (- ∞,+∞ ).

В силу теоремы Пикара решение (3) задачи Коши определяется в малой  окрестности точки (t₀, x₀) области Q. Будем предполагать, что это решение продолжено на всю числовую ось - ∞ < t < +∞.

Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда  ее правые части явно не зависят  от t:

dxi/dt=fi( x1,x2,…,xn )= fi( x), i=

(4)

где функции f_i (x) и ∂ f_i /∂x_j, i.j=1,n, определены и непрерывны в области D Rⁿ. Тогда D является фазовым пространством системы (4).

Систему уравнений (4)  называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.

Например, автономная система  x₁= x₂, x₂=-x₁ имеет общее решение

x₁=C₁cos(t+C₂), x₂=C₁sin(t+C₂).

В пространстве R³ переменных x_1,x_2,t эти функции изображаются винтовыми линиями, а в фазовом пространстве переменных x_1,x₂ (здесь оно вся плоскость R²) – окружностями x₁²+x₂²=С₁². Каждая окружность изображает бесконечное множество решений, отличающихся только значениями С_1. Точка x₁=x₂=0 является особой точкой – центром.

 

§2. Свойства решений автономных систем

Лемма1. Если x_i=φ(t), i=– решение автономной системы (4), то для любой постоянной С x_i=φ(t+С), i=, также является решением этой системы.

Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции имеем                 φi(t+C)=( φi(t+С) )= φi(t+С),

(5)

        По условию при любом t R справедливы равенства

φ_i(t)=f_i(φ₁(t), φ₂(t),…, φ_n(t)),i=

Заменяя в этих тождествах t на t+C, получим

φi(t+C)=fi(φ1(t+С), φ2(t+С),…, φn(t+С)),i=.

(6)

Тогда из равенства (5) и (6)  следует требуемое утверждение.

Лемма 2. Если x_i=φ(t) и x_i=ψ(t), i=, - два решения системы (4) и φ_i(t₁)=ψ_i(t₂), то ψ_i(t)= φ_i(t+C), где С=t₁-t₂ т.е. если траектории x_i=φ_i(t) и       x_i= ψ_i(t), имеют общую точку, то эти траектории совпадают.

Доказательство. В силу леммы 1 функции x_i=φ_i(t+C), i=, С=t₁-t₂ являются решением системы (4). В силу равенства φ_i(t₁)=ψ_i(t₂) при t=t₂ имеем

x_i(t₂)=φ_i(t₂+C)= φ_i(t₁)=ψ_i(t₂)

Следовательно, решения x_i=φ_i(t+C) и x_i=ψ_i(t), i=, удовлетворяют при t=t₂ одинаковым начальным условиям , поэтому, в силу единственности решения задачи Коши для системы (4), они совпадают, т.е. φ_i(t+C)=ψ_i(t) , i=.

Лемма 2 показывает, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, при этом второе решение описывает ту же самую траекторию, что и первое, но с «запозданием» на время С.

Следствие 1. Решение автономной системы (4) не может войти в особую точку за конечное время.

Доказательство. Пусть a=(a₁,a₂,…,a_n) – особая точка системы (4), т.е. x_i=a_i является решением этой системы. Если траектории решений x_i=a_i и x_i=φ_i(t) не совпадают, то они не имеют общих точек. Следовательно, x_i≠φ_i(t) при всех t. Решение φ_i(t), i= системы (4) может приближаться к особой точке только при или

Лемма 3. Решения автономной системы (4) обладают групповым свойством, т.е. если x_i=φ_i(t,x₀) i= - решение системы (4),удовлетворяющее начальному условию: φ_i(0,x₀)=x_i⁽⁰⁾, i= то

φ_i(t, φ(,x₀))= φ_i(t+,x₀).

Доказательство. Пусть x_i⁽¹⁾= φ_i(,x₀), i=. Тогда φ_i⁽¹⁾=φ_i(t,φ())=φ_i (t,x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾)– решение системы (4). В силу леммы 1,  φ_i⁽²⁾= φ_i(,x₀) , i=, также является решением системы (4). При этом в точке t=0:

φ_i⁽¹⁾(0)=φ_i (0,x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾)=x_i⁽¹⁾, i=;

φ_i⁽²⁾(0)=φ_i (,x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_n⁽⁰⁾)=x_i⁽¹⁾, i=.

Следовательно, решения φ_i⁽¹⁾(t) и φ_i⁽²⁾(t) системы (4) удовлетворяют одним и тем же  условиям. Тогда на основании теоремы единственности они совпадают. Тем самым справедливость равенства (7) доказана.

Наглядный смысл леммы 3 состоит  в следующем: чтобы выяснить куда точка x₀ переместится за время t+, надо выяснить, в какую точку она перейдет за время t, а затем куда эта вторая точка перейдет за время .

Определение. Пусть x_i=φ_i(t), i=, – решение автономной системы (4), определенное на всей прямой  - ∞ < t < + ∞. Число С называется периодом решения x_i=φ_i(t), i=, если φ_i(t+C)= φ_i(t), i=, при всех t R.

Пусть F – множество всех периодов решения x_i=φ_i(t), i=, системы (4). Это множество непусто, так как 0 F.

Лемма4. а) Если С F, то -С F. б) Если C₁ C₂ F , то C₁+ C₂  F. в) F – замкнутое множество.

Доказательство. а) Поскольку С – период, то для любого t: φ_i(t+C)= φ_i(t) ), i=. Заменяя в этом тождестве t на t-C, получим φ_i(t)= φ_i(t-C) , i=, и это означает, что –С есть период.

б) φ_i(t+C₁+С₂)= φ_i(t+С₁ )=φ_i(t), i=

в) Пусть C₀ – произвольная предельная точка множества F. Тогда существует последовательность C_n из F такая, что C₀. Тогда в силу непрерывности решения φ_i(t) имеем

φ_i(t+C₀)= φ_i(t+ )= φ_i( = φ_i(t), i=

Отсюда следует, что C₀ F, значит, F есть замкнутое множество.

Решение системы (4) вида x_i=a_i, i= где a_i – постоянные, называется положением равновесия или точкой покоя. Ясно, что x_i=a_i, i= , является положением равновесия системы (1) только тогда, когда f_i(a₁,a₂, … , a_n)=0, i=.

Теорема 1. Пусть траектория x_i=φ_i(t), i=, автономной системы (4) сама себя пересекает, т.е. φ_i(t₁)=φ_i(t₂) при t₁≠t₂  И числа t₁ и t₂ принадлежит интервалу r₁< t< r₂ определения решения x_i=φ_i(t), i=. Тогда решение x_i=φ_i(t), i= , может быть продолжено на всю прямую - ∞ < t < + ∞ и имеет место одна из следующих возможностей: 1) для все t имеет место равенство φ_i(t)=a_i, i=, т.е. решение φ_i(t) является положением равновесия, т.е. точка (φ₁(t), φ₂(t), … , φ_n(t)) не движется при изменении t, а стоит на месте;

2) существует  число Т>0  такое, что при любом t имеет место равенство

φ_i(t+T)=φ_i(t), i=,

но при 0 <|t₁-t₂|<T хотя бы для одного I, i=, имеет место неравенство φ_i(t₁)≠ φ_i(t₂).

В случае 2) решение x_i=φ_i(t), i=, системы (4) называется периодической, а его траектория – замкнутой траекторией или циклом.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и для определенности t₁< t₂. В силу леммы 2 при C = t₁ - t₂ имеем

φi(t)=φi(t+C), i=,

(8)

Функции x_i=φ_i(t+C), i=, являются решением системы (4) при r₁ - C< t< r₂ - C, и, кроме того, в силу равенства (8), решения                                            φ_i(t) и  φ_i(t+C) совпадают на общей части их областей определения, т.е. при r₁ - C< t< r₂ - C. Значит, решение

x_i=ψ_i(t)=

является   продолжением решения x_i=φ_i(t), i=, на  интервалe       (r₁ - C, r₂ ). Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения x_i=φ_i(t), i=, определенное на интервале (- ∞,r₂). На основании равенства φ_i(t)=φ_i( t-C), i= аналогично найдем продолжение решения x_i=φ_i(t), i= с интервала (- ∞,r₂) на всю числовую прямую - ∞ < t < + ∞. Таким образом, решение x_i=φ_i(t), i= можно считать определенным при всех t R и из самого способа продолжения следует, что постоянная   C= >0 является периодом этого решения. Пусть F - множество периодов решения x_i=φ_i(t), i=. Могут представиться две возможности: а) F содержит сколь угодно малые положительные числа; б) в F существует наименьшее положительное число.

В случае а) найдется бесконечно малая последовательность положительных  периодов C_n, т.е. C_n>0 и C_n 0 при n +∞. Пусть t – произвольная фиксированная точка из R. Рассмотрим последовательность дробных частей чисел t/C_n:

 

a_n= - = – α_n,

 

где α_n = – целая часть числа, которая ограничена, и поэтому . Числа α_nC_n будучи целыми кратными периодов C_n, сами также являются периодами решения φ_i(t), i=. Тoгда 43

φ_i(t)= φ_i(t- α_nC_n).

Переходя здесь к пределу  при n +∞, получим

  φ_i(t)==φ_i(₎₌ φ_i(₎₌ φ_i(0).

Следовательно, в случае а) решение x_i=φ_i(t), является положением равновесия. В случае б) при любом t ϵ R имеет место равенство

φ_i(t+T)= φ_i(t), i=.

Покажем, что φ_i(t₁)≠φ_i(t₂) при всех t₁ и t₂, удовлетворяющих неравенству 0 < |t₁-t₂|<T, и при некоторoм i, i=. Допустим противное, т.е. существуют t₁ и t₂ такие, что 0 < |t₁-t₂|<T и при всех i=: φ_i(t)= φ_i(t+C), где С=t₁-t₂ >0. В силу леммы 2, φ_i(t)= φ_i(t+C), где С=t₁-t₂ >0. Значит, С=t₁-t₂ служит положительным периодом решения φ_i(t), i= и С<T, а это противоречит условию, что Т- наименьший положительный период решения φ_i(t), i=.

Из доказанной теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 2. Траектория любого непродолжаемого решения автономной системы (4) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траекторией, либо траекторией без самопересечений.

 

§3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы.

Рассмотрим определенное решения x_i=φ_i(t), i=, или в векторной форме x=φ(t)  системы (4) и соответствущую ему тректорию l в фазовом пространстве D.

Точка =() ϵ D называется предельной точкой решения x=φ(t)  (или траектории l) при t+∞, если существует последовательность t+∞,, для которых φ(t_n) . Совокупность всех таких точек называется предельным множеством при t+∞, для данного решения. Аналогично определяются понятия α– предельной точки и α – предельного множества при t-∞.  (Предельные точки, множества при t+∞ и при t-∞ называют также соответственно ω – предельными и α – предельными точками, множествами решения x=φ(t)   системы (4)).

Приведем примеры.

1.Пусть при t+∞,  траектория l по спирали приближается к циклу . Тогда этот цикл и является предельным множеством для l при t+∞. Действительно, выбирая любую точку ϵ , посторим точки a₁=x(t₁), a₂=x(t₂), a₃=x(t₃), …  так, как показaно на рис.1 , последовательность котрых сходится к точке

Рис.1

Если цикл является предельным множеством при t+∞  или t-∞ для отличной от него траектории, то он называется предельным циклом, т.е. предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при t+∞ или при t-∞  .

Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории (как внешние, так и внутренние) приближаются к нему только при t+∞, неустойчивым – если только при t+∞,   полуустойчивым – если только с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при t+∞,   а с другой стороны при t-∞  или наоборот.

2. Tочка покоя системы (4) является своей едиснтвенной предельной точкой как при t+∞, так и при t-∞. Замкнутая траектория является своим собственным предельным множеством.

3. Для траектории x= ( x R¹) множество предельных точек при t+∞,   состоит из единственной точки x=0. Для траектории x₁=ρ, x₁=ρ , ρ=const>0, множество предельных точек при t- ∞ есть точка x₁=x₂=0, а множество предельныx точек при t+∞, есть окружность x₁²+x₂²=ρ².

Рассмотрим свойства предельных множеств, причем для определенности при t+∞.

Лемма 5. Предельное множество траектории замкнуто.

Доказательство. Пусть – предельное множество траектории l, заданной решением x=φ(t) . Пусть – произвольная предельная точка . Тогда существует последовательность такая, что при k. По определению предельного множества для любого k найдется последовательность t_kn ∞, для которой x (t_kn) при n. Выберем t_k   так, чтобы t_k>k и расстояние ρ(x(t_k),)< . Тогда при t_k +∞ (k)имеем

ρ(x(t_k),) ρ(x(t_k),) + ρ()< + ρ()

 a это означает, что есть предельная точка l при t+∞, т.е ϵ .

Лемма 6. Предельное множество состоит из целых траекторий, т.е. это означает, что если , то и вся траектория l с начальной точкой целиком принадлежит .

Доказательствo. Пусть исходная траектория l определена решением x=φ(t,t₀,x₀). Тогда φ(t_n,t₀,x₀) при 432 и при любом фиксированном t на основании леммы 3

φ(t_n+t, t₀, x₀) = φ(t₀, t₀, φ(t₀+ t_n,t₀,x₀))

φ(t_n, t₀, x₀),

 т.е φ(t_n,t₀,x₀) .

Лемма 7. Для того чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория, определенная решением x=φ(t), «уходила в бесконечность», т.е.

i²(t) при t

Дoказательство. Если условие (9) не выполнено, то найдется шар B: d² в Rⁿ, внутри которого траектория решения x=φ(t) содержит точки при как угодно больших t. Тогда существует последовательность t_{k, для которой} φ(t_k) B. Выделяя из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность, найдем при t предельную точку решения x=φ(t).

Лемма 8. Для того, чтобы предельное множество состояло из одной точки , необходимо и достаточно, чтобы траектория l решения x=φ(t)   входила в точку при , т.е. при .

Действительно, достаточность очевидна. Пусть   – единственная предельная точка траектории l. Зададим произвольное  >0 и надо показать, что для всех достаточно больших t расстояние ρ(x(t),)<. Допустим противное. Тогда существует последовательность t_{k и ρ}(x(t_k),). По определению предельной точки   найдется последовательность t_{k, для которой}  ρ(x(t_k),). Из этих рассуждений в силу непрерывности функции φ(t) следует, что существует новая последовательность и ρ(x(t),) = . Выделяя из ограниченной последовательности x(t_k) сходящуюся подпоследовательность, при получим новую предельную точку , для которой ρ(,)=. Следовательно, кроме , имеется еще, по крайней мере, одна предельная точка траектории l.

Оказывается, когда размерность фазового пространства n=2, то о предельном поведении траекторий на фазовой плоскости можно установить больше интересных фактов, чем в случае n>2. Это установили математики А. Пуанкаре и И. Бендиксон. Здесь приведем несколько утверждений, принадлежащих им.

В качественной теории дифференциальных уравнений важную роль играют признаки, которые позволяют выделить области  на фазовой плоскости, где содержатся или отсутствуют предельные циклы.

Утверждение 1. Внутри области G, ограниченной замкнутой траекторией системы (4) (n=2) и целиком лежащей на фазовой плоскости, существует по крайней мере одна особая точка.

Отсюда, в частности, следует, что если в некоторой области  фазового плоскости нет особой точки  системы (4), то в этой области нет  и замкнутых траекторий.

Утверждение 2. Пусть G- ограниченная замкнутая область, лежащая на плоскости системы (4) и не содержащая ее особых точек. Если траектория l решения x=φ(t) системы (4) при n=2 в начальный момент времени t=t₀ выходит их точки, лежащей в области G, и остается в G при всех t₀, то траектория l либо сама является замкнутой, либо с течением времени она по спирали наматывается на замкнутую траекторию.

Коротко это утверждение  можно сформулировать так: ограниченное предельное множество траектории l, не содержащее особых точек, состоит из замкнутой траектории.

Из утверждений 1 и 2 вытекает следующий принцип кольцевой области: пусть на фазовой плоскости системы (4) построена кольцевая область G, через границы которой все интегральные кривые при t₀ входят в нее или одновременно все выходят из G, тогда если эта G не содержит особых точек, то внутри G содержится предельный цикл.

Внутренняя граница кольца может вырождаться в особую точку.

Эти геометрические признаки весьма трудны при практическом применении, так как не указаны правила  построения нужных кольцевых областей. Наиболее употребляемый прием –  это рассмотрение семейства замкнутых  дифференцируемых непересекающихся кривых F(x,y)=C=const. Такое семействo называют топографической системой. В качестве такой системы рассмотрим семейство концентрических окружностей: x²+y²=C². Производная от функции F(x,y)= x²+y² в силу данной системы

=P(x,y),  =Q(x,y)

(10)

 

Имеет вид 

=2x+2y=2(xP+yQ)

(11)

Отсюда вытекает

Утверждение 3. Если существуют такие две постоянные r₀ и r₁,       r₀ <r₁ что для x²+y²=r₀² выражение xP+yQ, а для x²+y²=r₁² выражение xP+yQ и в кольце G между окружностями r=r₀ и r=r₁ нет особых точек системы (10), то в G содержится устойчивый предельный цикл; если знаки xP+yQ обратны указанным, то в кольце G имеется неустойчивый предельный цикл.

В самом деле, равенство (11) в первом случае показывает, что  через круги x²+y²=r₀² и x²+y²=r₁² интегральные кривые системы (10) не могут выходить из кольцевой области G при росте параметра t, а во втором случае  при уменьшении параметра t.

Утверждение 4. Если в односвязной замкнутой области фазовой плоскости выражение P_x+Q_y  сохраняет знак и не тождественно обращается в нуль, то в этой области система (10) не имеет замкнутых траекторий.

Доказательство. Пусть G – односвязная замкнутая область на фазовой плоскости, граница Г которой целиком состоит из траекторий системы (10). Тогда по формуле Грина

=0,

Но это возможно только тогда, когда выражение P_x+Q_y  меняет знак внутри области G.

В плоском случае предельные циклы могут быть соответственно трех видов (рис.2 ): устойчивые (а), неустойчивые (б) и полуустойчивые (в).

Рис.2

Пример 1. Показать, что система уравнений на плоскости (x₁,x₂)=(x,y)

 

Имеет единственное положение  равновесия (0,0) и устойчивый предельный цикл.

Решение. Для исследования данной системы удобно на фазовой плоскости (х,у) перейти к полярным координатам х=rcosφ, y=rsinφ. Тогда из данной  системы получаем следующие уравнения для определения r^I и φ^I(t):

r cosφ – r sinφ*φ= - r sinφ+ r cosφ (1- r),

r sinφ+ r cosφ*φ= r cosφ+ r sinφ (1- r).

Отсюда имеем

r¹=r*(1-r), φ¹=1.

Первое из этих уравнений  имеет 2 частных решения r=0 и r=1. В области 0 < r <1 производная r¹(t)>0, следовательно, решение r(t) возрастает от нуля до единицы, а в области r>1, напротив, r¹(t) и функция r(t) убывает от бесконечности к единице. Поскольку φ=t+φ₀, то при r≠0 и r≠1 все траектории при с обеих сторон от окружности r=1 приближаются по спирали к ней. Следовательно, окружность r=1 является, устойчивым предельным циклом. Положение равновесия x=y=0 есть устойчивый фокус.

Пример 2. Показать, что нелинейное уравнение

+ f(x) +g(x) = 0, x=x(t),

где функции  f(x) , g(x) непрерывно-дифференцируемы на сегменте                a x b и f(x)  cохраняет там знак, в полосе a x b не может иметь предельных циклов.