Дедекиндовы кольца

1.ОЗНАЧЕННЯ ДЕДЕКІНДОВИХ КІЛЕЦЬ

Нехай А- цілісне кільце. Очевидно, що наступні поняття еквівалентні:

1. Ненульові прості ідеали із А попарно  не зрівнянні по відношенню до включення
2. Ненульові прості ідеали кільця А максимальні
3. Ненульові прості ідеали кільця А мають висоту 1

Означення

Дедекіндовим кільцем називається кільце Крулля , всі ненульові прості ідеали якого максимальні.

Моя перша задача –  довести, що в дедекіндовому кільці розклад ідеалів на прості ідеали однозначний. Кроки, направленні на доведення цього результату , приведуть нас до  інших важливих характеристик дедекіндових областей.

Ми почнемо з  доведення простих лемм , які розглядають обратимі  дробові ідеали.  В цих лемах R позначає область цілісності , К – її поле частних, І – множина всіх дробових ідеалів.

Лема 1

Якщо  обратім , то має єдиний обратний ; останній дорівнює R:. Отже необхідна і достатня умова обратимости  ідеалу – це рівність

Доведення

Якщо  , то . З іншого боку, . З цього випливає, що якщо  ' – обратний ідеал до , то , що і треба було довести. 

Лема 2

Якщо кожний ідеал  в , відмінний від (0), має обернений, то - група по множенню .

Доведення

Кожний дробовий ідеал а може бути у вигляді , де b- цілий ідеал, а d- ненульовий  елемент  R. Якщо b має обернений в, то допускає в ролі оберненого. Оскільки множення ідеалів асоціативне и кожен елемент І має обернений, то І – група.

Лема 3

Обратимий ідеал , що розглядається, як R- модуль , має скінченний базис.

Доведення

Оскільки , існує дві скінченних множини ,   (i=1,...,n) елементів і ', таких що .  Для кожного х із маємо включення , звідси , є скінченним базисом для .

Лема 4

Якщо скінченна  множина  цілих ідеалів така, що добуток ,обратимо, то кожний    обратим. Зокрема, якщо добуток    цілих ідеалів є головним ідеалом, то кожний    обратим.

Доведення

З отримаємо,що ,-, 
 

Лема 5

Для добутку цілих  обратимих  простих ідеалів розклад на прості ідеали однозначний.

Доведення

Нехай - добуток простих обратимих ідеалів. Припустимо також, що , де - прості ідеали. Виберемо мінімальний елемент з множини , наприклад . Оскільки міститься в., то деякий наприклад , міститься в . Аналогічно, оскільки .. міститься в , деякий , припустимо , міститься в . Звідси .З мінімальності випливає , що . Перемножуючи співвідношення на. , отримаємо рівність . Тепер лема випливає з індукції (n); випадок n=1 тривіальний.

Теорема 1

В дедекіндовому кільці R кожен власний простий ідеал є обратимим та максимальним.

Доведення

Спочатку покажемо, що в R кожний обратимий  власний простий ідеал є максимальним. Розглянемо елемент α з R, який не лежить в , та ідеали , . Оскільки R- дедекіндова область, то ;, де , - прості  ідеали. Нехай R- кільце класів вычетов та a- клас елемента a по модулю . Маємо рівності , іде ідеали  і прості. По лемі 4 ці прості ідеали обратимы. Оскільки , лема 5 показує , що ідеали - це  ідеали , повторені кожний два рази; більш точно: , і ми можемо перенумерувати таким чином, щоб . Це означає,   і . З цього випливає співвідношення .Таким  чином, кожний елемент з може бути записаний у вигляді ,,. Звідси, , звідки , так як ; іншими словами, міститься у . Оскільки включення очевидне, то отримаємо рівність .Так як обратим за припущенням , то ми помножимо цю рівність на і отримаємо ,що . Але - будь-який елемент доповнення в , і тим самим максимальність доведена.

Якщо це дійсно так, то для доведення теореми ми повинні  лиш показати. Що кожний простий  ідеал  обратим. Візьмемо ненульовий елемент і запишемо , де - прості ідеали. Оскільки містить , то він містить деякий . Але по лемі  4, кожний обратим. Звідси, кожний максимальний по першій частині доведення. Так як ідеал містить один з , наприклад , то , так що і обратим і максимальний.

 Теорема 2

Нехай - дедекіндова область. Кожний дробовий ідеал в обратим і може бути записаний єдиним чином у вигляді :                   , де - цілі числа, такі що для даного чисел , відмінних від нуля, скінченна кількість. Для того щоб , необхідно і достатньо, щоб для кожного . Мають місце співвідношення:

                    (2)

                 (3)

                              (4)

Ідеали i рівні, до того ж =   (5)

Доведення

Оскільки дробовий ідеал може бути записаний у вигляді , де і - цілі ідеали , і так як за означенням і можна подати у вигляді добутку простих ідеалів, теорема 1 показує, що ми можемо записати , де і – прості ідеали в . Таким чином, обратим за теоремою 1. Ми можемо припустити , що для всіх , . Якщо ми маємо інший розклад , наприклад , для всіх  і , то співвідношення , і однозначність розкладу цілих ідеалів показують, що , Це доводить однозначність розкладу для дробових ідеалів і формулу 1. Оскільки обратим , умовa еквівалентна включенню , тобто . Це в свою чергу еквівалентно нерівності для всіх простих ідеалів із ,так як цілі ідеали - це ті, що характеризуються умовою для всіх .Іншими словами, умова рівносильна тому, що , тобто    для всіх .Ця характеристика включення показує безпосередньо те, що де , є найменшим ідеалом , який містить і , що , де - найбільший ідеал , який містить і . Це доводить формули 2 і 3. Формула 4 тривіальна. І нарешті, так як , то . З іншого боку , , звідки маємо . Отже, . Це доводить твердження відносно , і формула 5 безпосередньо звідси випливає.

Теорема 3

Нехай - область цілісності. Для того щоб було дедекіндовою  областю, необхідно і достатньо, щоб множина дробових ідеалів була групою по множенню.

Доведення

Необхідність очевидна, оскільки кожний дробовий ідеал дедекіндової області обратим за теоремою 2. Навпаки, якщо - група. То кожний ідеал в   має скінченний базис і нетереве. Використовуючи нетеревість , ми можемо тепер довести , що кожний власний цілий ідеал з є добутком максимальних ідеалів, і це закінчить доведення теореми. Припускаючи супротивне, отримаємо, що серед ідеалів , які неє добутком максимальних ідеалів, існує максимальний, наприклад ; не є максимальним ідеалом в за припущенням. Звідси, він строго міститься в деякому максимальному ідеалі . Ідеал існує і є цілим ідеалом, який строго містить ; дійсно , з ми отримали б .З цього випливає,   - добуток максимальних ідеалів і - також добуток максимальних ідеалів. Це суперечить припущенню і доводить теорему 3.

Теорема 4

Нехай - область цілісності . Для того щоб була дедекіндовим кільцем, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла наступні умови:

1. Область нетерова
2. Кожний власний простий ідеал максимальний
3. цілозамкнута

Доведення

Необхідність 1) випливає з теореми 2 і леми 3; необхідність 2)- із теореми 1. Що стосується 3), то розглянемо елемент поля частних області , що є цілим над існує спільний знаменник в , такий, що для кожного . Значить, для кожного простого ідеалу має місце рівність ,для всіх . Так як і - цілі числа, то з цього , тобто для кожного простого ідеалу , і . Звідси, область цілозамкнута.  Оскільки в даному випадку нам дано,що нетереве , то для доведення дедекіндовості ми повинні лишень показати, що кожний власний простий ідеал в має обернений. Зазначимо, що якщо - деякий ненульовий елемент з , то повинен містити якийсь простий ідеал головного ідеалу і звідси сам повинен бути прости ідеалом ідеалу , так як всі власні прості ідеали в максимальні. Доведення теореми буде завершене, якщо ми доведемо наступну лему:

Лема 6

Нехай - нетерова цілозамкнута область , і нехай )  - максимальний ідеал в . Якщо - простий ідеал головного ідеалу , то має обернений.

Доведення

За припущенням, . Якщо тоді - деякий елемент з , що не лежить в , то ;  . Отже, ми показали, що .Припустимо  тепер, що не має оберненого. Тоді , і так як максимальний, то . Далі, ) і - скінченний - модуль, оскільки нетереве; на кінець, - область цілісності. Тому звідси випливає, що при кожний елемент цілий над , і значить, належить , так як цілозамкнуте. Іншими словами , всупереч нерівності , доведеної вище.

Теорема 6

Нехай - цілозамнена нетерова область, що має єдиний максимальний ідеал . Якщо дробовий ідеал відмінний від , то є головним ідеалом ; кожний ненульовий елемент із може бути записаний однозначно у вигляді , де - елемент , що має обернений; єдиними власними ідеалами кільця є ідеали виду

Теорема  7

В цілозамкнутій нетеровій області прості ідеали будь-якого власного головного ідеалу суть мінімальні  прості ідеали в .

2. РОЗКЛАД ІДЕАЛІВ  В ДОБУТОК ПРОСТИХ ІДЕАЛІВ 

Нехай - дедекіндове кільце, - впорядкована мультиплікативна  група ненульових дробових ідеалів кільця і - група дивізорів кільця .Ізоморфізм групи на групу ставе у відповідність ненульовим простим ідеалам із екстремальні девізори; звідси,мультиплікативна група допускає в ролі базиса множину ненульових простих ідеалів кільця . Іншими словами, будь-який ненульовий дробовий ідеал кільця допускає , і до того ж єдиний, розклад наступного вигляду:

,                       (1)

де добуток розповсюджується на всі ненульові прості ідеали кільця , а показники , за винятком деякого скінченого числа, дорівнює нулю. При цьому ідеал є цілим тоді і тільки тоді, коли всі , невід’ємні.  Співвідношення (1)  називається розкладом на прості множники. Зокрема, якщо - головний ідеал, то для будь-якого маємо , де , означає суттєве нормування, відповідаючи . Нехай                                      - два ненульових дробових ідеали з . Тоді має місце рівність:

.         (2)

Окрім того, 

,    (3)

,        (4)

.       (5)

 Дійсно, співвідношення (2) очевидне. Співвідношення (3) випливає з (2). Оскільки, рівність рівносильна формулі

div = div – div .

3. ТЕОРЕМА ПРО АПРОКСИМАЦІЇ  В ДЕДЕКІНДОВИХ КІЛЬЦЯХ.

Нехай - дедекіндове кільце, - його поле частих і - множина ненульових простих ідеалів кільця *. Для позначимо через відповідне значиме нормування кільця . Нехай - попарно різні елементи множини , - цілі раціональні числа і - елементи поля .Тоді існує такий елемент , що для i для будь-якого , відмінного від .  Замінюючи, якщо це необхідно, числа на великі, ми можемо допустити, що всі невід’ємні. Розглянемо спочатку випадок, коли лежать в ; нам, очевидно, необхідно знайти елемент , що задовольняє порівнянням , а як нам вже відомо такий існує. Перейдемо до загального випадку. Можна записати , де , лежать  в . Положив , ми прийдемо до питання про знаходження такого , щоб, з однієї сторони, була виконана умова і, з іншого боку, умова для будь-якого , відмінного від . Оскільки, для всіх, окрім скінченного числа, індексів , ми прийшли до попереднього випадку ; припущення доведено.

Припущення 2 можна  представити у вигляді теореми  про щільність. Тобто, для будь-якого нехай означає поповнення поля відносно нормування ; розглянемо добуток . Елемент цього добутку називають обмеженим аделем кільця , якщо для всіх , за винятком скінченного числа, . Зрозуміло,що множина обмежених аделів є підкільцем  кільця , яке містить добуток . Розглянемо на топологію добутку, відносно узгоджена зі структурою адитивної групи, в котрій околі нуля в утворює фундаментальну систему околів нуля. Топологія узгоджена й зі структурою кільця на . Дійсно, зрозуміло, що аксіома (AV_II) з загальної топології виконується, оскільки топологія , індукційна топологією * на , узгоджена із структурою кільця на . З іншого боку, для будь-якого існує така скінченна підмножина в що якщо покласти то ,так як відкрита в при будь-якому, то * є фундаментальною системою околів нуля в топології добутку   ;  ця остання узгоджена із структурою кільця на вказаному добутку, в силу чого виконується також і аксіома (AV_I). Таким чином наше припущення доведено. Зрозуміло, що є відкритим підкільцем в , отже і також представляє собою повне кільце.

Для будь-якого нехай ∆ () позначає елемент , такий,  що для будь-якого ; оскільки для всіх, окрім скінченного числа, значень , справедливе включення ∆ () ; звідси, визначений гомоморфізм , котрий ін'єктивний, якщо . Елементи множини називають головними обмеженими аделями: зрозуміло, що

Припущення 3. Кільце (відповідно ) ототожнюється с поповненням кільця (відповідно поля ) відносно топологіі кільця, фундаментальна система околів нуля якої утворена усіма цілими ненульовими ідеалами кільця . Можна довести, що ∆() щільно в, використовуючи припущення 2.

Розглянемо тепер  мультиплікативну групу , утворену матрицями , для яких ; якщо наділити , топологією добутку, то вона индуцирует на , топологію, узгодженню із структурою групи на . Дійсно, достатньо встановити, що відображення неперервне на ; але так як матриця унімодулярна, то відомо, що елементами із є мінори матриці , тобто деякі многочлени від елементів матриці , а це і доводить наше твердження. Якщо ототожнювати з підкільцем в за допомогою відображення ∆, то група перетвориться в підгрупу в .  

Припущення 4. Група щільна в групі . Нехай -замикання групи в групі . Оскільки, щільна в , то містить всі матриці вигляду для і . Для будь-якого і будь-якого . Позначимо через обмежений адель , в якому для ; ми вже бачимо, що містить матриці при . Але відомо, що матриця вигляду де ,породжують групу . Для кожної матриці позначимо через її канонічний образ в групі. Ми бачимо, що для будь-якого містить всі матриці, для яких при будь-якому. Оскільки є групою, то в ній міститься також і всі такі матриці , що для всіх, окрім скінченого числа, ідеалів; але означення топології на показує, що множина цих матриць щільна в .

4. ПОДАЛЬШІ ВЛАСТИВОСТІ ДЕДЕКІНДОВИХ ОБЛАСТЕЙ

Теорема 1

Дедекіндова область з скінченим числом власних простих ідеалів є областю головних ідеалів.

Доведення

Достатньо показати, що кожний - головний, а для цього ми повинні лише показати , що існує елемент в , такий, що і для , так як в цьому випадку розклад на прості ідеали може бути тільки. Оскільки - нетерова область, то , згідно з цим існує елемент , що не лежить в . В якості елемента ми можемо взяти розв’язок системи порівнянь ,   . Так як ідеали , попарно комаксимальні , ця система має розв’язок .

Наслідок 1

В дедекіндовій області кожний власний ідеал має базис, що складається з двох елементів.

Виберемо ненульовий елемент  в. Оскільки - кільце головних ідеалів, то ідеал - головний. Нехай - елемент з класу , клас віднімання якого по модулю породжує . Очевидно, що тоді -базис

Китайська теорема  про залишки

Дедекіндова  область має наступну властивість:

(КТЗ)  Для даного скінченного числа ідеалів та елементів області система порівнянь має розвязок в тоді і тільки тоді, коли для .

Доведення

Властивість КТЗ пов’язана  з дистрибутивністю операцій і відносно одна одної в множині ідеалів дедекіндової області ; якщо дано три ідеали , то 

.

 у випадку дедекіндової області ці співвідношення дистрибутивності легко перевіряються використанням теореми 2: вони еквівалентні рівностям 
 
 
 

;ці співвідношення  в свою чергу прямо слідують  із того, що в множині звичайних  цілих чисел кожна операція  min і max дистрибутивна відносно іншої – факт, перевіряється безпосередньо. Якщо це дійсно так. То доведення теореми 2 випливає з наступної теореми:

Теорема 3  
Для даного кільця властивість КЗТ еквівалентна дистрибутивності кожної з операцій і відносно іншої в множині всіх ідеалів кільця .

Доведення

Зауважимо, що в КЗТ  частина «тільки тоді », очевидно справедлива в будь-якому кільці ; тому ми будемо ігнорувати її , що не відноситься до доведення. Розглянемо спочатку випадок . Якщо , то ; . Ми можемо тоді взяти в якості розв’язку порівнянь , .Таким чином, (КЗТ) має місце при . Доведемо тепер, що умови дистрибутивності  ведуть (КЗТ) для будь-якого числа порівнянь. Використовуючи індукцію по , ми повинні лише проконтролювати крок від – до . Нам потрібно вирішити порівнянь ,таких, що , знаючи, що будь-яка система з попарно сумісних порівнянь  має розв’язок. Ми знаємо рішення системи перших порівнянь:. Тоді дана система порівнянь еквівалентна , ; іншими словами , вона еквівалентна системі з двох порівнянь , . Як доведено раніше, ця система має розв’язок , якщо . Припустимо, що закон дистрибутивності  

має місце для ідеалів  з . Тоді наша умова разрешимости може бути  записана наступним чином

,

а ця умова дійсно виконується , оскільки і за припущенням ,. Умова разрешимости, таким чином, виконується. І дана система порівнянь має рішення. Тому закон дистрибутивності (Д) веде за собою виконання (КЗТ).

   Навпаки, доведемо, що обидва закони дистрибутивності  слідують із справедливості (КЗТ)  для . Що стосується (Д) то ліва частина, очевидно, міститься в правій,і звідси достатньо довести, що будь-який елемент з належить . За припущенням ; з , з , з . Тепере ми спробуємо записати у вигляді , де лежить в , а – в . Це еквівалентно тому, щоб знайти такий елемент в , що , тобто знайти рішення трьох порівнянь ; ; .   Оскільки , то ці порівняння попарно сумісні , і рішення існує за (КЗТ). Тому (Д₁) доведено.

   Із того, що  доведено вище, ми безпосередньо  заключаємо, що (КЗТ) має місце  для будь-якого . для доведення другого закону дистрибутивності

   (Д₂)

 , зауважимо знову, що права сторона міститься в лівій, і, таким чином, достатньо довести, що будь-який елемент з є елементом з . Запис у вигляді , , еквівалентна розвязку системи чотирьох порівнянь ; ; . Оскільки шість умов сумісності , виконуються, система має по (КЗТ) рішення.   

5. ПРИКЛАДИ

1. Область головних ідеалів є дедекіндовою областю.
2. Кільце частки дедекіндової області по відношенню до мультиплікативної системи є дедекіндовою областю. Дійсно, кожний ідеал в - розширений ідеал ; оскільки , то ,і ідеали - або прості ідеали, або дорівнюють .
3. Якщо - дедекіндова область і - скінчене алгебраїчне розширення її поля часних, то ціле замикання в - також дедекіндова область. Зокрема,оскільки кільце цілих раціональних чисел і кільце поліномів від однієї змінної є дедекіндовими областями, то кільце цілих алгебраїчних чисел і кільце цілих функцій поля алгебраїчних функцій від однієї змінної – також дедекіндові області.