Дедуктивные размышления в начальном курсе математики

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Поволжская государственная  социально-гуманитарная академия»

(ПГСГА)

Факультет начального образования

Кафедра математики, естествознания и методик их преподавания

 

 

 

 

Курсовая работа по математике

Дедуктивные размышления в начальном курсе  математики

 

 

 

Выполнил: студент 1 курса очной формы обучения направления 050100.62 «Педагогическое образование» профили «Начальное образование» и «Иностранный язык» Григорьева Анастасия  Вячеславовна Подпись__________________________       Курсовая работа защищена                  «___»__________________2013 г. Оценка______________________   Научный руководитель: К.п.н. доцент кафедры  Лысогорова Л.В. Подпись________________________

 

 

Самара 2013

Содержание

Введение.             … 3

Глава 1. 

1.1. История возникновения  и этапы развития теории дедукции.    … 6

1.2. Общая характеристика  дедукции и дедуктивных умозаключений.   … 8

1.3. Структура дедуктивных умозаключений.       … 11

1.4. Дедуктивные рассуждения  в курсе математики начальных классов… 14

1.5. Роль математики  в развитии логического мышления детей.  … 18

1.6. Психолого-педагогические  особенности младших школьников. … 21

 

Глава 2.

2.1 Стандарт начального общего образования по математике  … 25

2.2 Обзор авторских  программ                                                                     … 28

Заключение.          … 30

Список литературы.         … 33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

О роли математики в современном мире, о математизации знаний написано немало различных книг. Стало очевидным, что в наше время трудно указать область математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии проблем практики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась бы математическими методами. Необходимо не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знаний состоит не только в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, но и в том, чтобы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности.

Реализация современной  роли математики предполагает улучшение  математической подготовки учащихся, важное место, в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер ее доказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся приемам дедукции всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.

В настоящее время  актуальность умения строить дедуктивные умозаключения возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений. Другими словами, обучение построению дедуктивного умозаключения должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций.

С переходом в среднее  звено школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых именно дедуктивным путем. И если в начальных  классах мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод.

Однако при кажущемся  обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучение школьников с учетом особенностей логического мышления, нет. Существует множество методических пособий по курсу математики в начальной школе, но в ходе нашей работы нам не встретилось ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие развивать в системе логическое мышление школьников на уроках математики, не выходя за рамки курса. Поэтому мы получаем противоречие: с одной стороны мы имеем огромное количество методических пособий и сборников интересных заданий, а с другой – неумение или нежелание учителей обучать детей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, проводить аналитико-синтетическую работу на уроке. Обычно все сводится к записи решения задачи или нахождению значения того или иного выражения. И затрагивая вопрос о целесообразности нашей работы можно сказать, что данное исследование не только возможно, но, на наш взгляд, и необходимо провести.

  Умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) является основным методом математической науки и одним из особых средств усвоения курса математики в средней школе. Осуществление преемственности между обучением в начальных классах и в средней школе очень важно. Уже в младших классах надо проводить определенную работу по формированию умения строить правильные дедуктивные умозаключения. В процессе обучения дедуктивным умозаключениям, обращаясь к наблюдению, сравнению, то есть доступным для них операциям, которые активизируют деятельность и на основе которых они могут самостоятельно сделать вывод. Возможность же использования дедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первый взгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения следует использовать при изучении начального курса математики, так как именно они воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.

И если мы будем строить  дедуктивные умозаключения при  решении математических задач, то с  одной стороны учащиеся будут  учиться правильно мыслить, а  с другой – совершенствовать умение решать поставленные перед ними задачи, аргументировано и доказательно.

Объектом нашего исследования является умение строить дедуктивные умозаключения при решении задач на уроках математики.

Предметом нашего исследования стала методика, позволяющая научить детей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, используя различный математический материал.

Целью нашего исследования являлось рассмотрение системы заданий, позволяющих развивать умение строить дедуктивные умозаключения на уроках математики.

После анализа литературы по интересующему нас вопросу  мы выдвинули гипотезу, что развивать умение строить дедуктивные умозаключения, учить рассуждать и доказывать на уроках математики, возможно при условии использования системы всевозможных задач.

Назовем задачи, которые определили содержание и структуру нашего исследования в его теоретической и экспериментальной частях:

1. Исследовать вопрос возникновения и развития теории дедукции: её историко-теоретический аспект.
2. Изучить основные понятия о дедукции и дедуктивных умозаключений.
3. Рассмотреть психолого-педагогические особенности младших школьников.
4. Рассмотреть логико-психологические проблемы начального курса  математики в учебном процессе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.

1. 1. История возникновения и этапы развития теории дедукции.

Чтобы повысить общекультурный уровень учащихся, учителю необходимо знать, как же возникла дедукция и  какие этапы проходила.

Впервые теория дедукции была обстоятельно разработана Аристотелем. Он выяснил требования, которым должны отвечать отдельные мысли, входящие в состав дедуктивного умозаключения; определил значение терминов и раскрыл правила некоторых видов дедуктивных умозаключений. Положительной стороной аристотелевского учения о дедукции является то, что в нем отобразились реальные закономерности объективного мира.

Переоценка дедукции и ее роли в процессе познания особенно характерна для Декарта. Он считал, что к познанию вещей человек  приходит двумя путями: путем опыта  и дедукции. Но опыт вводит часто нас в заблуждение, тогда как дедукция избавлена от, этого недостатка.

   Английский философ Д. С. Милль утверждал, что дедукции вообще не существует, что дедукция - это только момент индукции. По его мнению, люди всегда заключают от наблюдавшихся случаев к наблюдавшимся случаям, а общая мысль, с которой начинается дедуктивное умозаключение, - это всего лишь словесный оборот, обозначающий суммирование тех случаев, которые находились в нашем наблюдении, только запись об отдельных случаях, сделанная для удобства. Единичные случаи, по его мнению, представляют собою единственное основание вывода.

В процессе изучения индукции и дедукции можно рассматривать  их раздельно, но в действительности, говорил русский логик Рутковский, все наиболее важные и обширные научные исследования пользуются одной из них столько же, сколько и другой, ибо всякое полное научное исследование состоит в соединении индуктивных и дедуктивных приемов мышления.¹

В правильном мышлении, таким  образом, одинаково важны и индукция, и дедукция. Они составляют две неразрывные стороны единого процесса познания, которые дополняют друг друга. Нельзя себе представить такое мышление, которое совершается только индуктивно или только дедуктивно. Индукция в процессе реального опытного исследования осуществляется в неразрывной связи с дедукцией.

Под термином “дедукция” в узком смысле слова понимают также следующее:

1. Метод исследования, заключающийся в следующем: переход  от знания более общих положений  к знанию менее общих положений. 

2. Форма изложения материала в книге, лекции, докладе, в беседе, когда от общих положений, правил, законов идут к менее общим положениям, правилам, законам.²

Из всего выше сказанного мы можем сделать вывод, что учителю  необходимо не только знать историю, но и знать определение дедукции, а так же правила ее построения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 2.  Общая характеристика дедукции и дедуктивных умозаключений.

Дедукция (лат. deductio - выведение) - в широком смысле слова - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем (по законам логики) из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью, либо аксиомой, либо гипотезой. Последняя мысль данного вывода называется заключением.³

Процессы дедукции на строгом уровне описываются в  исчислениях математической логики.

В узком смысле слова, принятом в традиционной логике, под  термином “дедукция” понимают дедуктивное  умозаключение, то есть такое умозаключение, в результате которого получается новое знание о предмете или группе предметов на основании уже имеющегося некоторого знания о них, и применения к ним некоторого правила логики.

Дедуктивное умозаключение, являющееся предметом традиционной логики, применяется нами всякий раз, когда требуется рассмотреть какое - либо явление на основании уже известного нам общего положения и вывести в отношении этого явления необходимое заключение.

Структура дедуктивного умозаключения и принудительный характер его правил, заставляющих принять заключение, логически вытекающее из посылок, отобразили самые распространенные отношения между предметами материального мира: отношения рода, вида и особи, то есть общего, частного и единичного.

Именно это и отобразилось в дедуктивном умозаключении: единичное и частное подводится под общее.

Дедукция играет большую  роль в нашем мышлении. Во всех случаях, когда конкретный факт мы подводим под общее правило и затем  из общего правила выводим какое-то заключение в отношении этого  конкретного факта, мы делаем заключение в форме дедукции. И если посылки истинны, то правильность вывода будет зависеть от того, насколько строго мы придерживались правил дедукции, в которых отобразились закономерности материального мира. Так, чтобы удостовериться в том, что заключение действительно вытекает из посылок, которые иногда даже не все высказываются, а только подразумеваются, мы придаем дедуктивному рассуждению форму силлогизма: находим большую посылку, подводим под нее меньшую посылку и затем выводим заключение. При этом обращаем внимание на то, насколько в умозаключении соблюдены правила силлогизма. Применение дедукции на основе формализации рассуждений облегчает  нахождение логических ошибок и способствует более точному выражению мысли.⁴

Анализируя практику мышления, можно обнаружить самые разнообразные виды умозаключений.

Они различаются:

1. числом посылок - одна, две и более;
2. типом суждений - простое или сложное;
3. видом суждений - атрибутивное или реляционное;
4. степенью вероятности вывода - достоверный или вероятный.

Всякое умозаключение  вообще представляет собой логическое следование одних знаний из других, в зависимости от характера этого  следования, от направленности хода мысли  в умозаключении. Можно выделить три коренных, фундаментальных типа, которые и будут положены в основу последующего анализа выводного знания. Это дедукция, индукция и традукция.

Наряду с делением умозаключений по строгости вывода огромное значение имеет их классификация  по направленности логического следования, то есть по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному в посылках и заключении. С этой точки зрения различают три вида умозаключений:

1. дедуктивные (от общего знания к частному);
2. индуктивные (от частного знания к общему);
3. умозаключения по аналогии (от частного знания к частному).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 3. Структура дедуктивных умозаключений.

Умозаключение — это  способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Этот способ представляет собой переход от некоторых высказываний, фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию и соответственно к знанию о наличии ситуации, которую описывает это высказывание.

Переход от некоторых  высказываний (посылок умозаключения) к высказыванию (заключению) в умозаключении  может совершаться на основе интуитивного усмотрения какой-то связи - такие умозаключения называют содержательными; или путем логического выведения одного высказывания из других - это умозаключения формально-логического характера. В первом случае оно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае его можно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя и является предметом изучения логики.⁵

В содержательных умозаключениях мы оперируем, по существу, не с самими высказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности, которые эти высказывания представляют. Это и отличает содержательные умозаключения от умозаключений как операций логического характера, называемых иногда формализованными умозаключениями. В этих умозаключениях операции совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем по правилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний. Для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этого рода и всегда возможен спор - рассуждает ли человек правильно или нет. Именно формализованные умозаключения являются предметом изучения логики. И именно их мы имеем в виду в дальнейшем.

В умозаключении, как  мы уже говорили, различают посылки - высказывания, представляющие исходное знание, и заключение - высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.

В естественном языке  существуют слова и словосочетания, указывающие как на заключение («значит», «следовательно», «отсюда видно», «поэтому»), так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ведь»). Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным: вначале заключение - потом посылки; заключение может находиться «между посылками».

Понятие умозаключения  как логической операции тесно связано  с понятием логического следования. Учитывая эту связь, мы различаем  правильные и неправильные умозаключения.

Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению, является правильным, если между посылками и заключением имеется отношение логического следования. В противном случае - если между посылками и заключением нет такого отношения - умозаключение неправильно.

В делении умозаключений  на правильные и неправильные мы должны различать отношение логического следования двух видов – дедуктивное и индуктивное. Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе - при истинности посылок - обеспечивает лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности). Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Первые иначе еще называют демонстративными (достоверными), а вторые - правдоподобными (проблематичными).⁶

Мы можем заключить, что учителю, как специалисту, необходимо знать и уметь строить умозаключения. Именно от качества знания этого вопроса зависит реализация поставленных нами целей и задач. Но для того, чтобы более подробно рассмотреть этот вопрос на практике, нам надо увидеть роль и место, занимаемое дедуктивными умозаключениями в курсе математики начальных классов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 4. Дедуктивные рассуждения  в курсе математики начальных  классов.

Особенность дедуктивных  рассуждений в начальных классах  заключается, прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуют в курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных умозаключений при решении задач необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно могли пользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимо проводить пропедевтику по исследуемой теме. Начинать надо с самого элементарного и далее продвигаться к более сложным заданиям, таким, как решение нестандартных математических задач.

Например: приступая к  составлению таблиц, необходимо сосредоточить  внимание учащихся на общем выводе. Уже в самом начале обучения мы проводим пропедевтику использования дедуктивных умозаключений. Вот образец рассуждений:

1. Если к числу прибавим один, то получим следующее число;
2. К одному прибавим один, получим следующее число два;
3. К двум прибавим один, получим следующее число три.

При решении примеров на порядок действий рассуждения учащихся носят дедуктивный характер. В качестве общей посылки выступает правило выполнения порядка действий в выражении, в качестве частной – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка действий. Данные знания понадобятся нам в дальнейшем при решении задач и различными формами работы над ней.

Для того чтобы заинтересовать детей математической логикой мы должны разработать интересные и  увлекательные задания, которые дети с удовольствием выполняли бы и которые послужили бы пропедевтикой для решения нестандартных задач. Приведем некоторые задания для примера:

«Ответьте, правильно  ли данное рассуждение (умозаключение), Если нет, то почему?»

1. Пианино – это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино.
2. Классные комнаты надо проветривать. Квартира – это не классная комната. Значит, ее не надо проветривать.
3. Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые. Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4.

Можно использовать также  задания на продолжение рассуждений, например:   Закончи следующие рассуждения:

1. Домашние животные полезны. Лошадь и осел – домашние животные …
2. Все деревья растения. Тополь и березы растения …
3. Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше. При счете 3 называют раньше 5 …⁷

Описанная выше работа ни в коем случае не превышает требование программы по математике для начальных классов, так как, уделяя значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, доведенных до автоматизма навыков вычисления, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, лежащих в основе изучаемых математических фактов, и осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями. А данную работу нельзя проводить, не формируя у детей умения рассуждать.

Логико-психологические  проблемы начальной математики как учебного предмета, в последнее время у нас и за рубежом часто обсуждаются. Вопрос стоит о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению к начальной и средней школ.

В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается  понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н.Бурбаки). Это обстоятельство тесно  связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, то есть с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.

Развитие мышления, совершенствование  умственных операций, способности рассуждать прямым образом зависят от методов обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Широкие возможности в этом плане дает решение логических задач.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции", имеющие сложные  математические определения, не могут  быть связаны с формированием  математических представлений у  маленьких детей.

Прежде всего, следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления.

В последние десятилетия  особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Жаном Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка.⁸

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 5. Роль математики  в развитии логического мышления  детей.

Математика способствует развитию творческого мышления, заставляя  искать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и суть их доказательств, изучать специфику работы творческой мысли выдающихся ученых. В математике логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать общую логическую культуру мышления;  и основным моментом воспитательной функции математического образования считается развитие у учащихся способностей к полноценной аргументации. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучных дискуссий аргументацию почти не удается сделать исчерпывающей, в математике же дело обстоит иначе: «Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы … Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценной аргументации».⁹ А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные требования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них – борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, борьба за полноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций.

Математический стиль  мышления, по характеристике А. Я. Хинчина. Определяется следующими особенностями:

1. Доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждений;
2. Лаконизм - сознательное стремление всегда находить кратчайший из ведущих к данной цели логический путь;
3. Четкое разбиение хода рассуждений;
4. Скрупулезная точность символики.

Указанные черты стиля  математического мышления школьников, позволяют развитию их интеллектуального  потенциала. На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями.¹⁰

Никто не будет спорить  с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как  это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование).

Роль математики в  развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач.

Кроме того, решение нестандартных  логических задач способно привить интерес ребенка к изучению  математики. В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н.Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и что вряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс.

Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик  не умел решать простые, примитивные  задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более  сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу.