Динамические эконометрические модели

Содержание

Введение 2

1 Динамические эконометрические  модели 3

1.1   Модели с  распределенным лагом 4

1.2  Основные случаи  структуры лага 6

2  Метод лагов  Алмон 8

3  Метод Койка 10

4  Оценка параметров  авторегрессии 12

5  Модели адаптивных  ожиданий 14

Заключение 24

Список использованных источников 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 В эконометрическом анализе исследуются воздействия  ряда экономических факторов на результативную переменную, осуществляющих как мгновенно, так и с некоторым запаздыванием. 
      В качестве причин запаздывания рассматриваются следующие: 
          ‒ Психологические факторы, выражающиеся в инертности поведения людей; 
          ‒ Технологические факторы; 
          ‒ Институциональные факторы; 
          ‒ Механизмы формирования экономических показателей. 
      Эконометрическую модель называют динамической, если эта модель отражает динамику последующих переменных в каждый момент времени, т.е. если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени. 
      Динамические модели используются при изучении зависимостей между показателями, для анализа развития во времени которых, в качестве объясняющих переменных используются как текущие значения переменных, так и предыдущие во времени, а также само время t.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Динамические эконометрические  модели

 

Динамические эконометрические модели – это модели, которые  в данный момент времени учитывают  значения входящих в неё переменных, относящихся к текущему и предыдущему  моментам времени.

Все ДЭМ условно разделяются  на 2 вида:

1. Модели, в которых лаговые значения переменных непосредственно включены в модель;
2. Модели, в которых включены переменные, характеризующие желаемый или ожидаемый уровень результативного признака или одного из факторов в момент t.

Модели, в которых лаговые  значения переменных непосредственно  включены в модель делятся на 2 вида:

1. Модели с распределенным лагом – это модели, в которых наряду с текущими значениями факторных переменных содержатся их лаговые значения:

y_t = a₀ + b₀ * x_t +b₁ * x_t-1 + … + b_e * x_t-e +E_t,

где величину е – характеризующую  запаздывание в воздействии фактора  на результат называют лагом.

 

2. Авторегрессионные модели – модели, в которых лаговые значения результата (эндогенные переменные) входят в модель в качестве факторных переменных.

y_t = a + b₀ * x_t + b₁ * y_t-1 + … + b_e * y_t-e + E_t,

 

Временная лаговая переменная возникает вследствие действия многих факторов, которые формируют изменения  результативного признака в прошлые  моменты времени. Например, на выручку от реализации текущего периода оказывают влияние расходы на рекламу в предыдущие моменты времени.

Модели, в которые включены переменные, характеризующие ожидаемый  или желаемый уровень результативного  признака или одного из факторов в  момент времени t.

Этот уровень считается  неизвестным и определяется с  учетом информации, которой располагают  в предыдущий момент времени (t-1).

Данные модели делятся  на 2 вида:

 

1.  Модели адаптивных ожиданий – модели, в которых учитывается ожидаемое значение факторного признака x_t+1. Например, ожидаемое в период (t+1) значение ЗП влияет на уровень безработицы в текущий период t.

 

2. Модели неполной корректировки – это модели, в которых учитывается ожидаемое значение результативного признака y_t. Например, фактический объем прибыли x_t влияет на величину желаемого объема дивидендов y_t.

 

Особенности построения ДЭМ  заключаются:

1. В выборе определения структуры временного лага;
2. В использовании специальных методов параметризации вследствие нарушения предпосылок МНК;
3. В наличии взаимосвязей между двумя динамическими моделями. И в некоторых случаях нужно осуществить переход от типа модели к другому.

 

 

 

1.1 Модели с распределенным лагом

 

                             y_t = a + b₀ * x_t + b₁ * x_t-1 +…+ b_e * x_t-e + E_t                            (1)

 

где  b₀ – краткосрочный мультипликатор, он характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x₁  на 1 единицу в момент t без учета лаговых переменных.

В момент (t+1) совокупное воздействие переменной x_t на результативный показатель  y_t составит: (b₀+b₁). В момент  (t+2) соответственно (b₀+b₁+b₂) и т.д.

, (R<b) – промежуточный мультипликатор

b= – долгосрочный мультипликатор, который характеризует изменение д воздействием единичного изменения х в каждом периоде i=0.

 Относительными коэффициентами модели с распределенным лагом называются величины

                                                             β_i = , i=0,e                                                     (2)

Если b_i имеют одинаковые знаки, то β_i >0 и =>

Таким образом, β_i  является весом для соответствующих значений b_i и β_i измеряют долю общего изменения результативного признака в момент (t+i).        Средним лагом называется лаг, который находится как средняя арифметическая взвешенная:

                                                         e =                                                         (3)

Средний лаг представляет собой средний период, в течение  которого изменяется эндогенная переменная под воздействием экзогенной переменной в данный момент времени t. Чем выше величина среднего лага, тем более длительный период необходим для эндогенного фактора на изменение экзогенного фактора.

Медианный лаг – это лаг, для которого выполняется условие:

                                           _{приблизительно 0,5}                                   (4)

        Медианное значение лага предполагает расчет периода, в течении которого будет реализовано половина общего воздействия экзогенной переменной на эндогенную (х на у).

        Пример: по результатам изучения зависимости объема продаж за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом:

y_t = 0,67+4,5x_t+3x_t-1+1,5x_t-2+0,5x_t-3

         b₀  = 4,5  - краткосрочный мультипликатор  - он показывает, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн.р. приведет к увеличению объемов продаж на 4,5 млн.р.

          b  = =4,5 +3+1,5+0,5=9,5 – долгосрочный мультипликатор, который показывает, что в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) увеличение расходов на рекламу на 1 млн.р. в настоящий момент времени приведет к общему росту объем продаж на 9,5 млн.

         Относительные коэффициенты регрессии:

β₀ = 4,5/9,5 = 0,4737    β₁ = 3/9,5 = 0,3158    β₂ = 1,5/9,5 = 0,1579    β₀ = 0,5/9,5 = 0,052

         Следовательно: 47,37 % общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затрат на рекламу, происходит в текущий момент времени:

31,58% - в момент (t+1)

15,79% - в момент (t+2)

5,2% - в момент (t+1)

е=0,047+1*0,31+2*0,157+3*0,052=0,7876

         Небольшая величина е<1 говорит о том, что большая часть эффекта роста затрат на рекламу проявляется сразу же.

         Сила воздействия лаговых и текущих значений экзогенного признака – различна. С помощью коэффициентов регрессии количественно измеряют силу связи между эндогенной и экзогенными переменными, которые относятся к разным моментам времени. Если построить график зависимости этих коэффициентов от величины лага и получить графическое изображение структуры лага или распределение во времени воздействия факторной переменной на результат.

1.2  Основные случаи  структуры лага

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 – Графики основных случаев структуры лага

 

Применение обычного МНК  к таким моделям в большинстве  случаев затруднено по следующим  причинам:

1) Текущие лаговые значения независимой переменной, как привило, тесно связаны (мультиколлинеарность).

2) При большой величине лага снижается число наблюдений, по которым строится модель и увеличивается число ее факторных признаков, что ведет к потере степеней свободы в модели.

3) В моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков.

Все это приводит к тому, что получаются неустойчивые и неэффективные  оценки параметров, поэтому в большинстве  случаев предположение о структуре  лага основано на рассуждениях экономического характера и проведенных ранее  экономических исследованиях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Метод лагов Алмон

Лаги Алмон – лаги, которые имеют структуру, описываемую с помощью полиномов различных порядков (степень полинома R меньше максимальной величины лага e)

В этом случае зависимость  b_i от величины лага в форме полинома R можно записать:

b_i = c₀ + c₁*i + c₂*i²+…+c_R*i^R                                (5)                                    

Тогда коэффициенты модели (1) b_i можно записать :

b₀ = c₀

b₁ = c₀+c₁+c₂+…+c_R

b₂ = c₀+2c₁+4c₂+…+2^Rc_R

……………………

b_e = c₀+e*c₁+e²*c₂+…+e^R*c_R

Подставим (6) в (1)

y_t = a + с₀ * x_t + (c₀+c₁+c₂+…+c_R) * x_t-1 + (c₀+2c₁+4c₂+…+2^Rc_R)+ b_e * x_t-2+…+ (c₀+e*c₁+e²*c₂+…+e^R*c_R) *x_t-e + E_t        

y_t = a + с₀ (x_t+x_t-1+…+x_t-e)+c₁(x_t-1+x_t-2+…+x_t-e)+c₂(x_t-1+2x_t-2+…+2x_t-e)+…+c₂(x_t-1+2x_t-2+…+e*x_t-e)+E_t 

z_i – коэффициенты при c₁ ;  z₀ = ; z₁ = ; z_R =

Таким образом, модель примет вид:

y_t = a+c₀*z₀+c₁*z₁+…+c_R*z_R+E_R (7)

 

Алгоритмы применения метода Алмон:

1. Определение максимальной величины лага е
2. Определение степени полинома R, описывающий структуру лага (R<е)
3. По соотношениям рассчитать  значения z₀, z₁,….,z_R.
4. Определение параметров уровня линейной регрессии (7) с помощью обычного МНК. (необходима проверка z_i на мультиколлинеарность)

С помощью соотношения (6) рассчитываем параметры модели.

• Для определения максимальной  величины лага е можно использовать:
• Измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями;
• Построение нескольких уровней регрессии при разных е и выбор лучшего;
• Априорную информацию о величине лага.

Для определения степени  полинома R можно использовать следующие рекомендации:

Полином n-ой степени должен быть на единицу больше числа экстремумов в структура лага, если эмпирических данных о структуре лага нет, то степень полинома R определяется по наилучшей модели сравнительной оценкой уровней, построенных для различных значений n. На практике обычно ограничиваются полиномами 2-3-го порядков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3  Метод Койка

 

Допустим для описания некоторого процесса используется модель  с бесконечным лагом:

(8)

 

Параметры данной модели обычным  МНК или с помощью иных стандартных  математических методов определить нельзя поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Поэтому нужны допущения относительно структуры модели.

Рассмотрим случай, когда  воздействие лаговых переменных уменьшается с увеличением лага в геометрической прогрессии.

Пусть лаговые воздействия  описываются соотношением:

 

 

 

1)

2) означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе к 0 тем выше темп снижения воздействия.

         Подставим (9) в (8):

                                             (10)

 

Рассмотрим для периода (t-1) и умножим полученное выражение на слева и справа:

 

                            (11)

 

Вычтем из выражения (3) выражение (4), и получим:

 

 

                                               (12)

 

Полученная модель является двух факторной моделью регрессии (авторегрессии). Определив её параметры , затем можно рассчитать параметры исходной модели (8).

Применение обычного МНК к оценке параметров модели (12) приведет к получению смещенных и несостоятельных оценок. Поэтому вместо МНК может быть применены инструментальные переменные или ММП.

Геометрическая структура  лага позволяет определить величину среднего и медианного лага в модели Койка.

 

Средний лаг:

 

 

 

Величина  интерпретируется как скорость, с которой происходит адаптация результата во времени к изменению факторных признаков.

 

Медианный лаг:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Оценка параметров авторегрессии

 

В общем виде модель авторегрессии  (13) выглядит следующим образом:

 

 

 – промежуточный  мультипликатор, который определяет  общее 

абсолютное изменение  результата у в момент времени  (t+1)

 – это долгосрочный  мультипликатор.

Если - рынок стабильный.

Одним из возможных методов  оценивания параметров модели (13) является метод инструментальных переменных.

Суть метода состоит в  том, что вместо лаговой зависимой  переменной , для которой нарушаются предпосылки МНК об отсутствии автокорреляции и гомоскедастичности остатков используется другая переменная, называемая инструментальной.

Инструментальная переменная должна обладать следующими свойствами:

1) Должна быть тесно  коррелированна с лаговой переменной 

2) Не должна коррелировать  с остатками 

 

Тогда от модели (13) перейдем к модели (14):

                                                                                      (14)

 

В качестве берут   (обычная регрессия)

Далее применяют МНК к (13):

                (15)

 

Таким образом, используют в  качестве инструментальной переменной оценки , исходя из регрессии . Модель авторегресии (13) заменяется на модель с распределенным лагом (15).

 

Замечание:

Метод инструментальных переменных часто приводит к появлению мультиколлиниарности факторов в модели. Эту проблему в определенных случаях разрешают  путем включения в модель с  инструментальными переменными  фактора времени.

Критерий Дарбина-Уотсона  для модели авторегресии не применим, так как она содержит в качестве объясняющих переменных лаговые  значения зависимой переменной.

В этом случае критерий Дарбина-Уотсона  может принимать значение близкое  к 2, как при наличии, так и при  отсутствии автокорреляции остатков.

В этом случае Дарбин предложил  применять h – статистику Дарбина, которая рассчитывается как:

                                              (16)

 – коэффициент автокорреляции  в остатках первого порядка

n – число наблюдений в модели

V – выборочная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной

 

Если :  ≥1.96 – гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается.

Если :  <1.96 – гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.

 

Замечание:

Автокорреляция в остатках по авторегрессионным моделям может  быть устранена с помощью авторегрессионных  преобразований, например, с помощью  моделей ARMA и ARIMA.

 

 

 

5  Модели адаптивных  ожиданий

 

Модели адаптивных ожиданий – это такие модели, в которых учитывается ожидаемое  значение факторного признака в момент времени (t+1), т.е. .

Такая модель в основном характерна для макроэкономических процессов, когда на инвестиции, сбережения и спрос на активы оказывает влияние  ожидания относительного будущего.

Рассмотрим долгосрочную функцию модели адаптивных ожиданий:

                                                                                         (17)

 

- фактическое значение  результативного признака.

  - ожидаемое значение факторного признака.

Механизм формирования ожиданий в этой модели:

Каждый следующий период ожидания корректируется на некоторую  долю α (разность между фактическим  значением независимой переменной и её ожидаемым значением):

  0≤ α≤1   α-коэффициент ожидания. (18)

  (19)

 

Чем ближе  к единице, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется к предыдущим реальным значениям.

Чем ближе  к нулю, тем менее ожидаемое значение отличается от ожидаемого предыдущего периода .

 

Подставим в (17) выражение (19):

                   (20)

 

Запишем (17) для периода (t-1) и умножим полученное выражение на :

 

                                            (21)

 

Вычтем из выражения (20) выражение (21):

 

 

                             (22)

 

(22) – краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий. В отличии от модели долгосрочных ожиданий (17) не содержит ожидаемые значения факторной переменной , которые не возможно получить эмпирическим путем.

 

Для оценки параметров модели (17), сначала оцениваем параметры модели (22), а затем находим параметры модели (17).

 

6   Практическое  применение динамических  эконометрических  моделей

 

Для исходных данных таблицы 1 по значениям ВВП и экспорта выполнить:

1. Графическое отображение и коинтеграцию временных рядов;
2. Построение и оценку модели авторегрессии;
3. Построение модели с распределенным лагом для l=4  в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени;
4. Построение модели с распределенным лагом методом Койка;
5. Определение серединного и медианного лага для каждой модели;
6. Оценку полученных результатов.

 

Таблица 1  -  Валовый внутренний продукт, 1959-2006 гг.

Год	ВВП(Y)	Экспорт (X)	Год	ВВП(Y)	Экспорт (X)
1959	506,6	22,7	1983	3536,7	277
1960	526,4	27	1984	3933,2	302,4
1961	544,7	27,6	1985	4220,3	302
1962	585,6	29,1	1986	4462,8	320,5
1963	617,7	31,1	1987	4739,5	363,9
1964	663,6	35	1988	5103,8	444,1
1965	719,1	37,1	1989	5484,4	503,3
1966	787,8	40,9	1990	5803,1	552,4
1967	832,6	43,5	1991	5995,9	635,3
1968	910	47,9	1992	6337,7	655,8
1969	984,6	51,9	1993	6657,4	720,9
1970	1038,5	59,7	1994	7072,2	812,2
1971	1127,1	63	1995	7397,7	868,6
1972	1238,3	70,8	1996	7816,9	955,3
1973	1382,7	95,3	1997	8304,3	955,9
1974	1500	126,7	1998	8747	991,2
1975	1638,3	138,7	1999	9268,4	1096,3
1976	1825,3	149,5	2000	9817	1032,8
1977	2030,9	159,4	2001	10128	1005,9
1978	2294,7	186,9	2002	10469,6	1040,8
1979	2563,3	230,1	2003	10960,8	1178,1
1980	2789,5	280,8	2004	11712,5	1303,1
1981	3128,4	305,2	2005	12455,8	1447,3
1982	3255	283,2	2006	12996	1635,3

 

 

 

Построим графики временных  рядов  y_t   и  x_t: 

Рис.1- Вид диаграммы динамики ВВП и экспорта в России

Видно, что тенденции этих рядов совпадают. Выполним проверку гипотезы H₀  об отсутствии коинтеграции между рядами ВВП и экспорта.

Уравнение парной регрессии  между  y_t   и  x_t   и графическое сглаживание этой зависимости приведено ниже, показаны все статистические характеристики уравнения.

Рис. 2 - Вид диаграммы рассеяния для зависимости ВВП и экспорта

Таким образом, получили уравнение 

 

Используя полученное уравнение, определим теоретические значения и погрешности.

Таблица 2 – Фрагмент рабочего листа после добавления к исходным данным теоретических значений и  погрешностей

Год	ВВП(Yt)	Экспорт (Xt)	Теоретические(Yt)	Погрешность e(t)	Погрешность e(t-1)
1959	506,6	22,7	902,554	-395,954
1960	526,4	27	938,33	-411,93	-395,954
1961	544,7	27,6	943,322	-398,622	-411,93
1962	585,6	29,1	955,802	-370,202	-398,622
1963	617,7	31,1	972,442	-354,742	-370,202
1964	663,6	35	1004,89	-341,29	-354,742
1965	719,1	37,1	1022,362	-303,262	-341,29
1966	787,8	40,9	1053,978	-266,178	-303,262
1967	832,6	43,5	1075,61	-243,01	-266,178
1968	910	47,9	1112,218	-202,218	-243,01
1969	984,6	51,9	1145,498	-160,898	-202,218
1970	1038,5	59,7	1210,394	-171,894	-160,898
1971	1127,1	63	1237,85	-110,75	-171,894
1972	1238,3	70,8	1302,746	-64,446	-110,75

Выполнили оценку парной регрессии  для погрешностей. В результате получили:

 

Критическое значение τ, рассчитанные  Инглом и Грэнджером для уровня значимости 5%, составляет 1,9439. В нашем случае, фактическое значение составляет 9,01, которое превышает табличное.  Следовательно, гипотезу об отсутствии коинтеграции между рядами отклоняем и изменение переменной y_t происходит параллельно с изменением переменной x_t.

Построение модели авторегрессии.

Таблица 3

Год	ВВП(Y)	Экспорт (X)	Y(t-1)	X(t-1)
1959	506,6	22,7
1960	526,4	27	506,6	22,7
1961	544,7	27,6	526,4	27
1962	585,6	29,1	544,7	27,6
1963	617,7	31,1	585,6	29,1
1964	663,6	35	617,7	31,1
1965	719,1	37,1	663,6	35
1966	787,8	40,9	719,1	37,1
1967	832,6	43,5	787,8	40,9
1968	910	47,9	832,6	43,5
1969	984,6	51,9	910	47,9
1970	1038,5	59,7	984,6	51,9
1971	1127,1	63	1038,5	59,7
1972	1238,3	70,8	1127,1	63