Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Динамические экономические модели

Содержание

Введение

Динамические модели экономики – модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих её состояние в определённый момент). Модель является динамической, если как минимум одна её переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

В экономико-математических моделях динамические системы могут отражаться двояко: во-первых, с помощью описания состояния системы в определённые моменты времени; получаются как бы моментальные снимки (или, лучше, кадры фильма о её развитии), называемые статическими моделями. Во-вторых, с помощью динамических моделей экономики, описывающих сам процесс развития системы. Примером первого вида моделей служит межотраслевой баланс (статический), примерами второго – динамические модели межотраслевого баланса, модели теории экономического роста.

Существуют два принципиально различных подхода к построению таких моделей. Первый подход – оптимизационный. Оптимизационная модель позволяет из нескольких альтернативных вариантов выбрать наилучший вариант по любому признаку. Он состоит в выборе из числа возможных траекторий (путей) экономического развития оптимальной траектории (например, обеспечивающей наибольший объём фонда потребления за плановый период). Второй подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе. В этом случае, переходя к экономической динамике, используют понятие «равновесная траектория» (т.е. уравновешенный, сбалансированный экономический рост), которая представляет собой результат взаимодействия множества ячеек экономической системы.

В общем виде динамические модели сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый «способ» говорит о том, что из набора ресурсов х можно в течение единицы времени произвести набор продуктов у), а также (при первом из названных подходов) – критерия оптимальности.

Используемые в реальной динамической модели временные ряды содержат три элемента – тренд, сезонные переменные и случайную переменную (остаток), во многих моделях рыночной экономики выделяется ещё одна составляющая – циклическая. В качестве экзогенных величин могут выступать, например, выявленные статистическим путём макроэкономические зависимости, сведения о демографических процессах и т.п.; в качестве эндогенных величин – темпы роста, показатели экономической эффективности и др.

Математическое описание динамических моделей производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, её состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

По степени агрегирования объектов исследования все экономические модели можно представить как объединение моделей микроэкономики и моделей макроэкономики. В качестве примера макроэкономической динамической модели рассмотрим динамическую модель Леонтьева и модель Неймана. Примером микроэкономической модели выступает модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки.

Динамическая модель Леонтьева

Наиболее известной моделью, разработанной В.В. Леонтьевым, считается модель межотраслевого баланса, которая является статической, поскольку в ней все соотношения отнесены к одному моменту времени. Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты – выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.

Метод “затраты – выпуск” стал универсальным способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики. Он применяется в системе ООН, в США и других странах для прогнозирования и планирования экономики, структуры производства, межотраслевых связей.

В этой модели не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений.

В динамических моделях отражается процесс развития экономики. В них производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объема производства.

Схема динамического межотраслевого баланса представлена в табл. 1.

Таблица 1

Динамический межотраслевой баланс

Отрасли

Промежуточное потребление (текущие затраты)

Валовые инвестиции (изменение основных и оборотных средств)

Конечное потребление, Y

Валовой продукт, X

…

x11

x12

…

x1j

…

x1n

К11

К12

…

K1n

x21

x22

…

x2j

…

x2n

К21

К22

…

K2n

…

xn1

xn2

…

xnj

…

xnn

Кn1

Kn2

…

Knn

Таблица 1 содержит две матрицы, соответствующие первому и второму квадранту статического МОБ. Матрица промежуточного потребления с элементами xij совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

Элементы второй матрицы показывают, какое количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в основные и оборотные средства. В динамической схеме конечный продукт yi включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, незавершенное строительство, на экспорт. Все показатели даны в стоимостной форме.

В таблице выполняются следующие балансовые соотношения:

(1.1)

Как и в статической модели . Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся к периоду (t-1, t). Динамика задается дополнительными соотношениями:

(1.2)

Экономический смысл коэффициентов следующий: они показывают, какое количество продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты называются коэффициентами капитальных вложений или коэффициентами приростной фондоемкости. Систему уравнений (1.1) с учетом (1.2) можно записать как

(1.3)

Представим (1.3) в матричном виде:

, i,j = 1,2,…n.

Из (1.4) следует, что

(E-A-Ф)X(t) = Y(t)-ФХ(t-1), X(t)=(E-A-Ф)-1(Y(t)-ФХ(t-1)) (1.5)

Модель (1.3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева (ДМОБ). Система уравнений (1.3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X(0) и Y(t) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X(t), K(t), t = 1, 2, …, T.

Условием разрешимости системы (1.3) относительно вектора Х(t) является требование det(E − A −Ф) ≠ 0 .

В данной модели предполагается, что прирост продукции в периоде (t – 1, t) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде. Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели, учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу динамических моделей МОБ.

Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (1.3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами

(1.6)

Для ее решения помимо матриц коэффициентов текущих прямых материальных затрат A = ( ) и коэффициентов капитальных затрат Ф = ( ) необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t = 0 (x(0)) и закон изменения величин конечного продукта y(t) на отрезке [0, T].

Решением системы уравнений (1.6) будут значения вектор-функции x(t) на отрезке [0, T]. Условием разрешимости системы (1.6) является detФ ≠ 0 .

Более общей динамической межотраслевой моделью является модель, учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, t=1,2,…, T.

Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими переменными:

– вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

− вектор ввода отраслевых мощностей;

γ −диагональная матрица выбытия мощностей;

– вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных

выпусков);

- вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;

– объем трудовых ресурсов в экономике.

Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году (t = 1, 2, …, T). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║ ║ и матрицы капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║ ║ могут зависеть от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Yt и числовая функция Lt. Решением модели являются векторы Хt и , удовлетворяющие системе неравенств (1.7)-(1.10).

Неравенства (1.7) показывают, что вектор валового продукта Xt должен обеспечивать текущие производственные затраты AХt, затраты продукции на ввод производственных мощностей ФVt и на непроизводственное потребление Yt. Неравенства (1.8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (1.9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (1.10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами.

Модель Неймана

В модели Неймана представлены n продуктов и m способов их производства. Каждый j-й способ задается вектор-столбцом затрат продуктов aj и вектор-столбцом выпусков продуктов bj в расчете на единицу интенсивности процесса:

(1.11)

Это означает, что при единичных интенсивностях j-го производственного процесса потребляется вектор продуктов j a и производится продуктов bj. Векторы (1.11) рассматриваются в натуральных единицах или в постоянных ценах.

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат А и выпусков В с неотрицательными коэффициентами затрат aij и выпусков bij:

Матрицы A и B обладают следующими свойствами:

1) ≥0, ≥0, то есть все элементы матриц неотрицательны;

2) , j=1,..,m, что означает: в каждом из m способов производства потребляется хотя бы один продукт;

3) , i=1,..,n, что означает: каждый продукт производится хотя бы одним способом производства;

Таким образом, каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Через Х(t) обозначим вектор-столбец интенсивностей

Тогда AX(t) – вектор затрат, BX(t) – вектор выпусков при заданном векторе Х(t) интенсивностей процессов.

Модель Неймана является обобщением динамической модели межотраслевого баланса Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта несколькими способами производства, и совпадает с ней, если В = Е.

В модели Неймана имеют место следующие соотношения:

AX(t+1) ≤ BX(t),

X(t) ≥ 0, X(t+1) ≥ 0.

Соотношения (1.12) означают, что при производстве продукции в году (t + 1) расходуется продукция, произведенная в году t.

Вектор p (t)=(p1(t), p2(t),..., pn(t))≥0 называется вектором цен продуктов, произведенных в году t, если он удовлетворяет следующим соотношениям:

p(t+1)B ≤ p(t) A,

p(t) AX(t+1) = p(t) BX (t)

p(t+1) BX(t) = p(t) AX (t).

Если коэффициенты матриц А и В – стоимостные величины в постоянных ценах, то р(t) будет вектором индексов цен.

Первое векторное неравенство в (1.13) означает, что стоимость выпуска продукции для каждого технологического способа производства в году t + 1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.

Из (1.12) и (1.13) следует, что имеют место следующие соотношения

Первое соотношение в (1.14) означает, что цена i-го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).

Второе соотношение (1.14) означает, что j-й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).

Векторы Х(t) и p(t), t = 1, 2, …, T называются траекторией сбалансированного роста в модели Неймана, если они удовлетворяют условиям

X(t+1) = (1+λ) X(t),

p(t+1) = (1+r)-1 p(t)

где λ>0, r>0.

Здесь λ − темп, ρ − норма процента сбалансированного роста.

Из (1.15) следует, что в состоянии сбалансированного роста значения компонент вектора Х(t) пропорционально возрастают, а вектора p(t) – снижаются. При этом имеют место соотношения

X(t+1) = (1+ λ)t X(0),

p(t+1) = (1+ ρ)-t p(0),

где Х(0) и р(0) – начальные значения векторов в году t = 0.

Из (1.15), (1.16) следует, что на траектории сбалансированного роста должны выполняться соотношения

(1+ λ) AX (t) ≤ BX(t),

p(t) B ≤ (1+ ρ) p(t) A,

(1+λ) p(t) AX(t) = p(t) BX(t),

p(t) BX (t) = (1+r) p(t) AX(t),

X(t) ≥0, p(t) ≥0, λ>0, r>0.

Вопрос о существовании траекторий сбалансированного роста решается следующими теоремами.

Первая теорема Неймана. Если матрицы А и В удовлетворяют свойствам 1-3, то система неравенств (1.17) имеет решение X(t), p(t),λ ,ρ, т.е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного роста.

Вторая теорема Неймана. Существует решение X*(t), p*(t),λ*,ρ* системы (1.17), у которого будет максимальный темп роста λ* ≥ λ и минимальная норма процента ρ* ≤ ρ по сравнению с другими решениями. При этом выполняется соотношение

Данное решение называется магистралью, или траекторией максимального сбалансированного роста в модели Неймана.

В модели Леонтьева задача о максимальном сбалансированном росте (магистрали) будет иметь вид

max(1+λ),

X≥(1+λ)AX,

X≥0.

Согласно теореме Фробениуса-Перрона, если А продуктивная матрица, то задача (1.19) имеет решение Х* > 0, (1+λ*) , где (1+λ*) равно наименьшему собственному значению матрицы А большему или равному единице, а Х* соответствующий нормированный собственный вектор. При этом в (1.19) будет достигаться равенство.

Модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки

Основы дифференциального анализа деятельности предприятий как хозрасчётных единиц заложены в работах, вышедших ещё в 1980 г. Предложенные методы позволяли исследовать динамику развития предприятия (т.е. проследить достаточно долговременные последствия принятых решений) с помощью дифференциальных уравнений, содержащих набор наиболее существенных переменных, которые отражают влияние как внешних факторов (например, динамики инвестиций), так и внутренних характеристик предприятия (себестоимость, фондоотдача и т.д.). Предприятие представлялось очень упрощённо, с использованием сильно агрегированных показателей, принимались гипотезы о монопродуктивности предприятия, неизменности и единственности применяемой технологии, что требует в ряде случаев специального обоснования достоверности и применимости получаемых результатов.

Одна из первых экономико-математических моделей, разработанных применительно к малому промышленному предприятию, была описана в 1997 г. и рассматривала промышленное предприятие, функционирующее в экономическом симбиозе с крупной фирмой, являясь имитационной динамической моделью с дискретным временем.

Данная модель позволяла рассчитать динамику развития промышленного предприятия, осуществляющего диверсификационную стратегию, в состав которой входила деятельность по промышленному производству, коммерции и инновационным разработкам. Функционирование предприятия существенно определялось деятельностью крупного партнёра (фирмы), со стороны которого определялись заявки на производственную, коммерческую и инновационную деятельность малой структуры. Оба предприятия формировали общие фонды, предназначенные для целевого развития предприятий, при этом часть средств этих фондов формировалась за счёт доходов, полученных в результате взаимовыгодного взаимодействия. Полученный результат интерпретировался как «попадание» предприятия в зону одинакового благоприятствования для обоих рассмотренных видов деятельности. Таким образом, данная экономико-математическая модель позволяла рассматривать её как инструмент, позволяющий сформировать необходимые внешние условия функционирования малой фирмы, в частности, стимулировать развитие её производственной деятельности. Таким образом, парадокс истории в том, что концептуальные основы такого анализа оказались малоприменимыми для нового класса объектов – промышленных предприятий, которых ещё не было в период разработки моделей плановой экономики.

С современной точки зрения на данный инструментарий, принципы и гипотезы моделирования, используемые в литературе, в большей степени применимы для малых, нежели крупных предприятий. Малые промышленные предприятия, как правило, узкоспециализированные и монопродуктовые, используют одну технологию, не меняя её в процессе своего функционирования и т.д. Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта новых переменных и взаимосвязей между ними.

Приведём пример. В условиях административно-командной системы управления народным хозяйством предприятие должно было не только произвести продукцию, реализовать её и получить прибыль, но и «заслужить право» оставить часть прибыли в собственном распоряжении в виде фондов экономического стимулирования: фонда развития, фонда поощрения, фонда социально-культурных мероприятий. Размер этих фондов определялся по особой методике и зависел от темпов роста реализации и рентабельности предприятия. Остальная часть прибыли из процесса воспроизводства изымалась (различные обязательные отчисления, платежи в бюджет и т.д.). В настоящее время подобная система формирования фондов развития отсутствует, из прибыли предприятие должно отчислять лишь налоги. Таким образом модели, отражающие динамику воспроизводственного процесса на предприятии в дореформенное и послереформенное время, существенно различны, хотя и предполагают использование общих методических принципов.

Рассмотрим экономико-математические модели, основанные на решении обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих различные способы инвестирования в бизнесе (самофинансирование, государственная поддержка, кредитование). Модели позволяют исследовать динамику развития различных предприятий в зависимости от выбранных инвестиционных стратегий: «чистых» (использование одного инвестиционного источника) и «смешанных» (применение комбинированных схем финансирования), а также выявить условия доступности кредитов.

Немалую роль в формировании ресурсного потенциала любого предприятия играет внешний кредитно-инвестиционный фактор. Его действие проявляется через потоки финансовых средств из различных источников в виде:

1) государственных инвестиций;

2) инвестиций из различных фондов;

3) кредитных ресурсов, предоставляемых банковской системой;

4) кредитных ресурсов, предоставляемых другими юридическими и физическими лицами (кредитные организации, инвестиционные фонды, иностранные инвесторы, ростовщики и т.д.).

Таким образом, внешний кредитно-инвестиционный фактор дополняет действие рассмотренной положительной обратной связи экономического объекта и определяет темпы динамики его развития. При этом важными оказываются как величина осуществляемой кредитно-инвестиционной поддержки и её регулярность (динамика инвестиций во времени), так и другие условия её предоставления (плата за инвестиционный ресурс в виде ставки процента за кредит, сроки возврата кредита и т.д.).

Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, новая система взаимосвязей переменных, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта кредита, налоговых льгот для предприятий и т.п.

Рассмотрим адаптированную к условиям турбулентной среды базовую модель динамики предприятия, использующего внешние инвестиции как форму государственной поддержки (модель М1), представленную С.Р. Хачатряном и предназначенную для промышленных предприятий, функционирующих в условиях, описываемых системой предпосылок:

1) предприятие может развиваться как за счёт внутренних источников (прибыли, амортизации), так и за счёт государственной поддержки в виде инвестиций;

2) рассматриваются три различных стратегии государственной поддержки бизнеса: а) постоянная (с фиксированными объёмами инвестиций для каждого периода); б) линейно возрастающая (с известным постоянным темпом роста инвестиций); в) нелинейно возрастающая (с нарастающим темпом и минимальным уровнем гарантированного государственного субсидирования). Собственная инвестиционная стратегия предприятия определяется долей чистой прибыли (которая предполагается постоянной), отчисляемой на реинвестирование;

3) основные производственные фонды являются единственным лимитирующим фактором, от которого зависит выпуск продукции;

4) любое предприятие функционирует при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи;

5) производственная деятельность описывается однофакторной функцией Леонтьева. Темпы развития предприятия характеризуются динамикой основных производственных фондов, которые, в свою очередь, определяются величиной инвестиционных ресурсов (отчислениями от прибыли и величиной финансовой поддержки), а также влиянием внешних факторов с возмущением, прогнозировать которые мы не можем (инфляция, рост цен на сырьё).

Данная модель является адаптированной к изменениям внешней среды путём введения в выражение (2.5) обобщённой функции, которая определяет появление возмущений в момент времени t0 , и величины внешних возмущений α, оказывающей влияние на основные производственные фонды.

Зависимости между основными переменными модели предприятия показывают взаимосвязь между агрегированными переменными (такими, как объём выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их прироста, общая и чистая прибыль, сумма налоговых отчислений и т.д.) и могут быть представлены следующей совокупностью уравнений:

P(t) = fA(t), (2.1)

Mоб(t) = (1-c) P(t), (2.2)

M(t) = Mоб(t) – N(t), (2.3)

N(t) = τ1P(t) + τ2KЛ (1- ξ) Mоб(t), (2.4)

dA/dt = ξM(t) + I(t) + αδ(t), (2.5)

t ϵ [0;T], t0 ϵ [0;T), ξ ϵ [0;1], KЛ ϵ (0;1]

(2.6)

где Р(t) – выпуск продукции в момент t в стоимостном выражении; f – показатель фондоотдачи; A(t) – стоимость основных производственных фондов; с – доля удельной себестоимости выпуска продукции в стоимостном выражении; Mоб(t) – общая прибыль предприятия; M(t) – чистая прибыль предприятия за вычетом налоговых отчислений; N(t) – сумма налоговых отчислений; τ1, τ2 – ставки налогообложения на объём выпуска и прибыль соответственно; ξ – доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование, 0≤ξ≤ 1; KЛ – коэффициент, отражающий долю реинвестируемых средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению (не все реинвестируемые средства освобождаются от налогов), характеризующий соотношение общей и чистой прибыли предприятия, и оцениваемый статистическим путём 0<KЛ≤1; (t) – внешние инвестиции, полученные предприятием; q(t) – функция Хевисайда (обобщённая функция); α – величина внешних возмущений.

При этом уравнения: (2.1) – определяет линейную производственную функцию промышленного предприятия; (2.2) – характеризует процесс формирования его общей прибыли за вычетом издержек производства; (2.3) – описывает величину чистой прибыли за вычетом общей суммы налоговых отчислений; (2.4) – требует специальных пояснений. Уравнение является обобщённым способом расчёта налоговых отчислений, представляющим собой линейную комбинацию альтернативных вариантов налогообложения, действующих в бизнесе (предполагается, что переменные τ1, τ2 могут принимать нулевые значения при отсутствии соответствующего налогового варианта). С достаточной условностью можно выделить три группы вариантов, определяющих зависимость налогов от: 1) объёмов производства; 2) общей прибыли; 3) объёмов производства и общей прибыли. Так, в российских условиях, характеризующихся множественностью вариантов налогообложения, налоги могут рассчитываться по одной из трёх схем: общей (третья группа); упрощённой в двух вариантах (первая и вторая группа соответственно); вменённому доходу (первая группа). В целях общности описания в соотношении (2.4) учтён также вариант льготного налогообложения инвестиционно активных предприятий, в соответствии с которым реинвестированная часть чистой прибыли M(t) не облагается налогом. Таким образом, имеем:

Динамические экономические модели 📙 Курсовая → 🆔 72585