Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Динамические и частотные характеристики САУ

Содержание

Введение

Целью данной курсовой работы было изучение методов теории автоматического управления на примерах и приобретение навыков применения

математических программных систем для решения практических задач в рамках таких дисциплин как «Теоретические основы автоматического управления», «Основы теории управления».

Современные вычислительные средства позволяют без особого труда и затрат времени решать сложные задачи управления в технических системах не инженерными (адаптированными) методами, а с использованием математических аппаратов любой степени сложности. При этом не требуется помощь программиста для реализации методов и визуализации проводимых исследований. Все это выполняет такая современная математическая система, как MATLAB.

Динамические и частотные характеристики САУ

Исходные данные:

Передаточная функция САУ:

>> w=tf([-3 -1 2],[-2 -7 0 -1])

Transfer function:

3 s^2 + s - 2

-----------------

2 s^3 + 7 s^2 + 1

>> pole(w)

ans =

-3.5399

0.0200 + 0.3753i

0.0200 - 0.3753i

>> zero(w)

ans =

-1.0000

0.6667

>> step(w)

Рисунок 1.1 - Переходная функция

>> impulse(w)

Рисунок 1.2 - Импульсная функция

>> bode(w)

Рисунок 1.3 - Диаграмма Боде (ЛАХ)

>> nyquist(w)

Рисунок 1.4 - Частотный годограф Найквиста

>> ltiview(w)

Анализ и синтез САУ методом корневого годографа

Исходные данные:

Создадим ZPK-объект, найдем полюса и нули разомкнутой системы:

>> s=zpk('s'); W=1/(0.0001*(s^2)+0.003*s+1)

Zero/pole/gain:

10000

-------------------

(s^2 + 30s + 1e004)

>> pole(W)

ans =

-15.0000 +98.8686i

-15.0000 -98.8686i

>> zero(W)

ans =

Empty matrix: 0-by-1

Структура zpk-объекта:

При С = 3 корневой годограф:

Корневой годограф с нанесенным значением Ккр:

Значение Ккр:

Зададим значения 0.5K кр и 0.25K кр и определим значения полюсов.

Корневой годограф при С = 0,5 Ккр = 0.00010198 и С = 0,25 Ккр = 5.1e-005

Рисунок 2.2 - Переходная функция для значения С= Ккр

Видно, что система устойчива.

В работе на основе использования метода корневого годографа получены области значений коэффициента усиления, в которых система автоматического управления является устойчивой.

Описание систем в пространстве состояний

Даны три линейные стационарные системы:

Структурная схема соединения систем:

Приведем систему 1 к виду

Для этого введем переменные:

и, подставив их в исходные уравнения, получим:

; ;

Создадим матрицы всех трех систем в MatLab:

>> A1=[0 1;1 -3]

A1 =

0 1

1 -3

>> B1=[0;-2]

B1 =

-2

>> C1=[1 0]

C1 =

1 0

>> A2=[1 2;3 2]

A2 =

1 2

3 2

>> B2=[1 -1 ;2 1]

B2 =

1 -1

2 1

>> C2=[-4 3]

C2 =

-4 3

>> A3=[1 2;3 -2]

A3 =

1 2

3 -2

>> B3=[-4;1]

B3 =

-4

>> C3=[5 -1;3 1]

C3 =

5 -1

3 1

Создадим ss-объекты:

>> s1=ss(A1,B1,C1,0)

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 1 -3

b =

x1 0

x2 -2

c =

x1 x2

y1 1 0

d =

y1 0

Continuous-time model.

>> s2=ss(A2,B2,C2,0)

a =

x1 x2

x1 1 2

x2 3 2

b =

u1 u2

x1 1 -1

x2 2 1

c =

x1 x2

y1 -4 3

d =

u1 u2

y1 0 0

Continuous-time model.

>> s3=ss(A3,B3,C3,0)

a =

x1 x2

x1 1 2

x2 3 -2

b =

x1 -4

x2 1

c =

x1 x2

y1 5 -1

y2 3 1

d =

y1 0

y2 0

Continuous-time model.

Исследуем управляемость и наблюдаемость каждой системы:

>> rank(ctrb(A1,B1))

ans =

>> rank(obsv(A1,C1))

ans =

>> rank(ctrb(A2,B2))

ans =

>> rank(obsv(A2,C2))

ans =

>> rank(ctrb(A3,B3))

ans =

>> rank(obsv(A3,C3))

ans =

Видно, что во всех случаях ранги матриц управляемости и наблюдаемости совпадают с размерностями пространства состояний.

Получим систему, определяемую соединением.

>> sys=append(s1,s2,s3)

a =

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 0 1 0 0 0 0

x2 1 -3 0 0 0 0

x3 0 0 1 2 0 0

x4 0 0 3 2 0 0

x5 0 0 0 0 1 2

x6 0 0 0 0 3 -2

b =

u1 u2 u3 u4

x1 0 0 0 0

x2 -2 0 0 0

x3 0 1 -1 0

x4 0 2 1 0

x5 0 0 0 -4

x6 0 0 0 1

c =

x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 1 0 0 0 0 0

y2 0 0 -4 3 0 0

y3 0 0 0 0 5 -1

y4 0 0 0 0 3 1

d =

u1 u2 u3 u4

y1 0 0 0 0

y2 0 0 0 0

y3 0 0 0 0

y4 0 0 0 0

Continuous-time model.

>> s_com=connect(sys,[3 1;2 4],[1 3],[2 3])

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 1 -3 0 0

x3 -1 0 1 2

x4 1 0 3 2

b =

u1 u2

x1 0 0

x2 -2 0

x3 0 -1

x4 0 1

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0 0 -4 3

y2 0 0 0 0

d =

u1 u2

y1 0 0

y2 0 0

Continuous-time model.

>> A=s_com.A

A =

0 1 0 0

1 -3 0 0

-1 0 1 2

1 0 3 2

>> B=s_com.B

B =

0 0

-2 0

0 -1

0 1

>> C=s_com.C

C =

0 0 -4 3

0 0 0 0

Проверка управляемости и наблюдаемости системы:

>> rank(ctrb(A,B))

ans =

>> rank(obsv(A,C))

ans =

Система не является полностью управляемой, но является полностью наблюдаемой.

Устойчивость линейных систем

Задана система управления, описываемая конечно-разностными уравнениями в пространстве состояний и известна матрица K, определяющая закон управления u = Kx.

Зададим матрицы, определяющие систему:

>> A=[1 2;3 -2]

A =

1 2

3 -2

>> B=[-4;1]

B =

-4

>> L=[7 9]

L =

7 9

Определим решение уравнения Ляпунова:

>> G=dlyap(A, eye(2))

G =

-0.1551 -0.0764

-0.0764 -0.1736

Произведем расчет главных миноров:

>> det(G(1:1, 1:1))

ans =

-0.1551

>> det(G)

ans =

0.0211

Аналогично можно определить свойство асимптотической устойчивости в управляемой системе:

>> G=dlyap(A+B*L, eye(2))

G =

-0.0539 0.0440

0.0440 -0.0367

>> det(G)

ans =

4.7835e-005

>> det(G(1:1, 1:1))

ans =

-0.0539

По критерию Сильвестра решение не является положительно-определенной матрицей, следовательно, система не является асимптотически устойчивой.

Определение устойчивости матрицы Х на основе метода Раусса-Гурвица:

Создаем М-файл с кодом:

%получение коэффициентов характеристического полинома

lm= poly(A);

%определение размерности

[L, N] =size(lm);

%создание матрицы с нулевыми значениями

g=zeros(N, N);

%заполнение нечетных строк матрицы Гурвица

s=0;

for i=1:2:N

j=1;

j=j+s;

r=0;

for r=2:2:N

g(i, j)=lm(r);

j=j+1;

end

s=s+1;

end

%заполнение четных строк матрицы Гурвица

s=0;

for i=2:2:N

j=1;

j=j+s;

r=0;

for r=1:2:N

g(i, j)=lm(r);

j=j+1;

end

s=s+1;

end

g=g(1:N-1, 1:N-1);

%вычисление главных миноров

minor=1;

for i=1:N-1

dd = det(g(1:i, 1:i));

if dd<0

minor=0;

end

%вывод результатов

if minor==0

disp('СИСТЕМА НЕ УСТОЙЧИВА');

else

disp('СИСТЕМА УСТОЙЧИВА');

end

Вызываем из командного окна MatLab этот файл (rauss.m)

>> rauss

СИСТЕМА НЕ УСТОЙЧИВА

Результат вычисления показывает, что система управления не является асимптотически устойчивой.

График свободного движения системы при начальных условиях показан на рисунках 4.1 и 4.2:

Рисунок 4.4.1 -

Рисунок 4.2 –

График динамики управляемой системы при начальных условиях показан на рисунках 4.3 и 4.4.

Рисунок 3.3 –

Рисунок 3.4 –

Синтез оптимального управления с полной обратной связью

Модель системы:

Функционал качества управления:

Текст m-файла, реализующего поиск оптимального управления:

% Параметры системы

A=[1 2; 2 1];

B=[-2 -3; -4 -1];

% Параметров критерия качества управления

Q=[0 0;0 5];

R=[7/2 1; 1 7/2];

% Время регулирования

T=10;

% Величина шага

SS=0.5;

% Количество шагов

N=T/SS

% Вычисление параметров регулятора

[k p e]= dlqr(A, B, Q, R)

x = zeros(2, N);

u= zeros(2, N-1);

% Начальные условия

x(1,1)=1;

x(2,1)=2;

% Построение графиков динамики системы

for i=1:N-1,

u(:, i)= - k*x(:, i);,

x(:, i+1)=A*x(:, i)+B*u(:, i);

end

x1= x(1,:);

x2= x(2,:);

t = 0:SS:T-SS;

subplot(4, 1, 1);

plot(t, x1, 'b');

subplot(4, 1, 2);

plot(t, x2, 'g');

subplot(4, 1, 3);

plot(SS:SS:T-SS, u(1, :), 'y');

subplot(4, 1, 4);

plot(SS:SS:T-SS, u(2, :), 'r');

Вызов файла optupr.m из командного окна:

>> optupr

k =

-0.4805 -0.1724

-0.0108 -0.3568

p =

0.8462 0.4802

0.4802 5.9488

e =

0.1804

-0.2202

Рисунок 5.1 - Графики динамики системы

Фильтр Калмана

Вид передаточной функции:

Произведем расчет фильтра Калмана:

>> sys=ss(tf(1,[(0.01)^2 2*0.01*0.15 1 0]))

a =

x1 x2 x3

x1 -30 -78.13 0

x2 128 0 0

x3 0 1 0

b =

x1 8

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 9.766

d =

y1 0

Continuous-time model.

>> [A,B,C,D]=ssdata(sys)

A =

-30.0000 -78.1250 0

128.0000 0 0

0 1.0000 0

B =

C =

0 0 9.7656

D =

>> P=ss(A, [B B], C, [D D])

a =

x1 x2 x3

x1 -30 -78.13 0

x2 128 0 0

x3 0 1 0

b =

u1 u2

x1 8 8

x2 0 0

x3 0 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 9.766

d =

u1 u2

y1 0 0

Continuous-time model.

>> Kest=kalman(P,1,0.01)

a =

x1_e x2_e x3_e

x1_e -30 -78.13 121.5

x2_e 128 0 -64.55

x3_e 0 1 -11.36

b =

u1 y1

x1_e 8 -12.44

x2_e 0 6.609

x3_e 0 1.163

c =

x1_e x2_e x3_e

y1_e 0 0 9.766

x1_e 1 0 0

x2_e 0 1 0

x3_e 0 0 1

d =

u1 y1

y1_e 0 0

x1_e 0 0

x2_e 0 0

x3_e 0 0

Input groups:

Name Channels

KnownInput 1

Measurement 2

Output groups:

Name Channels

OutputEstimate 1

StateEstimate 2,3,4

Continuous-time model.

Выполним моделирование системы управления с наблюдателем. Для этого с учетом , введем следующие матрицы:

>> A1=[-1 -6.25 0 0; 16 0 0 0; 0 54 1 -60.2; 0 41.5 16 -41.5]

A1 =

-1.0000 -6.2500 0 0

16.0000 0 0 0

0 54.0000 1.0000 -60.2000

0 41.5000 16.0000 -41.5000

>> B1= [2 2 0; 0 0 0; 2 0 17.3; 0 0 13.3]

B1 =

2.0000 2.0000 0

0 0 0

2.0000 0 17.3000

0 0 13.3000

>> C1=[0 3.125 0 0; 0 0 0 3.125]

C1 =

0 3.1250 0 0

0 0 0 3.1250

Входом системы управления с наблюдателем является вектор u1=[u; w; v], выходом – y1 = [y; ]. Здесь y = 3.125y2, = 3.125y4. Ниже приведен фрагмент программы моделирования и результаты:

t=0:0.001:5;

u=ones(size(t));

w=randn(size(t))*1000^0.5;

v=randn(size(t))*10^0.5;

S=ss(A1, B1, C1, 0);

u1=[u; w; v];

[y1 y4]= lsim(S, u1', t);

plot(t, y1(:,1),'-b',t,y1(:,2),':b')

plot(t, v'+y1(:,1), ':g', t,y1(:,2),'-b')

Рисунок 6.1 - Сравнение измеренного и точного выходных сигналов

Рисунок 6.2 - Сравнение зашумленного и точного значения выхода системы

Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы были приобретены навыки моделирования и анализа систем автоматического управления в среде MatLab, а также навыки поиска оптимального управления и построения наблюдателя Калмана.

Список литературы

1. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами в системе MATLAB. – СПб.: Наука, 1999

2. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов /Под общ. ред. Потемкина В.Г. – М.: Диалог-МИФИ, 1999

3. Семенов В.В., Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Математическая теория управления в примерах и задачах. – М.: МАИ, 1997

4. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. - М.: Машиностроение, 1972

Динамические и частотные характеристики САУ 📙 Курсовая → 🆔 72567

Динамические и частотные характеристики САУ

Введение