Динамические линейные модели экономики: модель динамического межотраслевого баланса и модель Неймана

Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    Динамические  модели экономики — модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

    В общем виде динамические модели экономики  сводятся к описанию следующих экономических  явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый “способ” говорит о том, что из набора ресурсов x можно в  течение единицы времени произвести набор продуктов y), а также критерия оптимальности.

    Математическое  описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

    С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических  процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний  в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

    С точки зрения теоретического анализа  большое значение приобрела динамическая модель фон Неймана. Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики, к которым относятся динамические модели межотраслевого баланса, а также производственная функция, теория экономического роста. 
 

1. Модель межотраслевого баланса

    Межотраслевое моделирование является частью макроэкономического

моделирования и служит для анализа и оценки состояния общего экономического    равновесия    национальной     экономики.    Национальная

экономика в межотраслевом  балансе представлена рядом чистых отраслей,

связанных между собой финансовыми потоками от реализации продукции,

работ и услуг. Чистые отрасли – это условные отрасли, представляющие

производство  одного или нескольких однородных продуктов.

    Динамические  модели межотраслевого баланса —  частный случай динамических моделей  экономики; основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей: напр., капитальных вложений и основных фондов (что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).

Основные  предположения модели межотраслевого баланса:

• каждая отрасль выпускает ровно один продукт
• каждый продукт выпускается ровно одной отраслью
• число продуктов равно числу отраслей
• измерять интенсивность работы отрасли можно объёмом выпуска соответствующего продукта
• затраты любого продукта в каждой отрасли прямо пропорциональны её интенсивности

    Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам. Главные показатели здесь – коэффициенты полных и прямых затрат.

    Динамическая  модель межотраслевого баланса характеризует  производственные связи народного  хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.

    Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.

Таблица межотраслевого баланса производства и распределения

продукции, работ и услуг

    В первом квадранте отражены данные о взаимных поставках продукции,

работ, услуг  между отраслями. Первый квадрант называется квадрантом

промежуточного  потребления и характеризует  промежуточное потребление

(затраты)  или промежуточный спрос отраслей  при производстве продукции,

работ, услуг:

    Xij – стоимость продукции i-й отрасли, поставленной в j-ю отрасль в

течение года, или стоимость продукции i-й отрасли, потребленной j-й

отраслью  в течение года;

    i-я строка – промежуточное потребление продукции i-й отрасли всеми

отраслями;

    j-й столбец – потребление (затраты) в j-й отрасли продукции всех

отраслей  при производстве своей продукции;

    Xi – стоимость валового продукта, произведенного i-й отраслью в

течение года.

    Второй  квадрант называется квадрантом конечного  использования

(потребления)  или конечного спроса. В нем  представлено конечное использование продукции отраслей, распределенное на конечное потребление (Сi), инвестиции (Ii), экспорт (Ei) и импорт (Mi), сальдо во внешней торговле (Ei – Mi). Конечное потребление включает потребление домашних хозяйств (населения), государства и некоммерческих организаций.

    Третий  квадрант называется квадрантом добавленной  стоимости. В нем

представлена  добавленная стоимость, присоединенная в отраслях к затратам

продукции других отраслей при производстве продукции, работ, услуг.

Добавленная стоимость, произведенная в отраслях народного  хозяйства,

включает: оплату труда (Vj), амортизацию (потребление основного капитала)

(Cj), чистый доход (mj). Четвертый квадрант не заполняется.

    В состав отраслей в МОБ входят отрасли материального производства:

промышленность (энергетика, машиностроение, легкая и  пищевая

промышленность, строительство, сельское хозяйство) и  отрасли

нематериальных  услуг (жилищно-коммунальное хозяйство, банковская сфера, здравоохранение, образование, наука и др.). В реальный межотраслевой баланс входит около 30 отраслей. Межотраслевой баланс за прошедший год называется отчетным межотраслевым балансом. 

1. 1. Динамическая модель Леонтьева

    Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты – выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.

    Метод “затраты – выпуск” стал универсальным  способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики. Он применяется в системе ООН, в США и других странах для прогнозирования и планирования экономики, структуры производства, межотраслевых связей.

    В динамических моделях отражается процесс развития экономики. В них

производственные  капитальные вложения выделяются из состава конечной

продукции, исследуется их структура и влияние  на рост объема производства.

    Схема динамического межотраслевого баланса  представлена в таблице

    Таблица содержит две матрицы. Элементы второй матрицы показывают, какое количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в основные и оборотные средства.

    В динамической схеме конечный продукт у_i включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление

непроизводственной  сферы, незавершенное строительство, на экспорт. Все

показатели  даны в стоимостной форме.

    В таблице выполняются следующие  балансовые соотношения:

    Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся  к периоду 

    (t-1,t). Динамика задается дополнительными соотношениями:

    Экономический смысл коэффициентов ϕij = Кij /ΔХj следующий: они

показывают, какое  количество продукции i-й отрасли должно быть вложено в

j-ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в

рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты ϕij называются

коэффициентами  капитальных вложений или коэффициентами приростной

фондоемкости. Систему уравнений (1) с учетом (2) можно записать как:

       (3)

Представим (3) в матричном виде:

                                      (4)

Из (4) следует, что

  (5)

    Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева. Система уравнений (3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X(0) и Y(t) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X(t), K(t), t = 1, 2, …, T.

Условием  разрешимости системы (3) относительно вектора Х(t) является требование det (E − A − Ф) ≠ 0

    В данной модели предполагается, что  прирост продукции в периоде

(t – 1, t) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде.

    Для коротких периодов это предположение  нереально, т.к. существуют

отставания  во времени (временные лаги) между  вложением средств в

производственные  фонды и приростом выпуска  продукции. Модели,

учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу

динамических  моделей межотраслевого баланса.

Если  перейти к непрерывному времени, то уравнения (3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами:

    Для ее решения помимо матриц коэффициентов  текущих прямых

материальных  затрат A = (aij) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (ϕij)

необходимо  знать уровни валового выпуска в  начальный момент времени

t = 0 (x(0)) и закон изменения величин конечного продукта y(t) на отрезке [0,T].

    Решением  системы уравнений (6) будут значения вектор-функции x(t)

на  отрезке [0, T]. Условием разрешимости системы (6) является det Ф ≠ 0 .

    Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,

учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:

                                                                               (7)

                                                                                                        (8)

                                                                                                 (9)

                                                     (10)

    Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими

переменными:

Хt – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

vt – вектор ввода отраслевых мощностей;

γ − диагональная матрица выбытия мощностей;

x t – вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);

lt =(l₁ , l₂ ,..., l_n )t вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;

Lt – объем трудовых ресурсов в экономике.

    Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году

(t = 1, 2, …, T). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║аij║ и матрицы

капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║фij║ могут

зависеть  от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Yt и числовая функция Lt. Решением модели являются векторы Хt и x t , удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).

    Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта Xt должен

обеспечивать  текущие производственные затраты  AХt, затраты продукции на

ввод  производственных мощностей ФVt и на непроизводственное потребление Yt. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. 2. Построение динамической модели Леонтьева

     Определим величины, характеризующие изменения валового выпуска 5 отраслей по 7 временным интервалам.

     Теперь  воспроизведем матрицу D. Коэффициент d_ij матрицы D равен количеству продукции отрасли i, необходимой для увеличения на единицу (в стоимостном выражении) фонда отрасли j. Коэффициенты d_ij именуются коэффициентами капиталоемкости приростов ОПФ.