Динамические линейные модели экономики

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РОБОТОТЕХНИКИ

КАФЕДРА «ФИНАНСЫ,  ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

(1310.2.ЕН.Ф.01.03.03)

 По дисциплине «Математическое моделирование»

Динамические линейные модели экономики

 

 

 

 

 

 

ВЫПОЛНИЛ:

Студент гр.ЭФ-301                                                                     Ахмадуллина А.З.

 

РУКОВОДИТЕЛЬ:                                                                          Туктарова П.А.

 

 

 

Уфа 2014

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Кафедра Финансы, денежное обращение и экономическая безопасность

ЗАДАНИЕ

на курсовое проектирование по дисциплине  «Математическое моделирование»

Студент      Ахмадуллина А.З.    Группа ЭФ-301         Консультант Туктарова П.А.

1.Тема курсовой работы:  Динамические  линейные модели экономики  

__________________________________________________________________2.Основное содержание: Динамические линейные модели экономики и типы задач, решаемых с их помощью; Динамическая модель межотраслевого баланса , Модель Неймана, Численная реализация моделей.

3. Требования к оформлению

3.1. Пояснительная записка  должна быть оформлена в редакторе  Microsoft ® Word  в соответствии с требованиями                 ГОСТ

ЕСКД, ЕСПД, ГОСТ, СТП, др

В пояснительной записке должны содержаться следующие разделы:

1. Динамические линейные модели, и задачи решаемые с помощью их

2. Динамическая модель межотраслевого баланса, модель Неймана

3. Численная реализация  моделей 

3.2. Графическая часть  должна содержать:

□ текст программ

□ результаты расчетов

□ графическую интерпретацию результатов расчетов

Дата выдачи  06.03.2014                            Дата окончания  28.05.2014   

Руководитель ___________________________

План–график выполнения курсовой работы

 

Наименование этапа работ	Трудоем-кость выполнения, час.	Процент к общей трудоемкости выполнения	Срок предъявления консультанту
Получение и согласование задания	0,3	1	5 неделя
Анализ теоретических основ исследуемой темы	6	20	8 неделя
Выполнение задания к теме курсовой работы	9	30	10 неделя
Численная реализация исследуемых моделей	6	21	12 неделя
Анализ полученных решений	2	7	13 неделя
Оформление графических материалов	3,7	12	14 неделя
Составление и оформление курсовой работы и подготовка к защите	2,7	9	15 неделя
Защита	0,3	1	16 неделя
Итого	30	100

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………….5

1.Динамические линейные модели экономики…………………………..7

1.1.Примеры линейного динамического  программирования……………8

2.Динамическая модель межотраслевого баланса …………………….15

2.1.Модель Неймана……………………………………………………...17

3.Численная реализация моделей………………………………………24

Заключение………………………………………………………………30

Список использованной литературы……………………………………31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Динамические модели экономики — модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый “способ” говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y), а также критерия оптимальности.

Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрела динамическая модель фон Неймана. Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики, к которым относятся динамические модели межотраслевого баланса, а также производственная функция, теория экономического роста.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Динамические линейные модели экономики

Исследование свойств общей системы линейных неравенств ведется с XIX в., а первая оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными ограничениями была сформулирована в З0-е годы XX в. Одним из первых зарубежных ученых, заложивших основы линейного программирования, является Джон фон Нейман, широко известный математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх. Среди отечественных ученых большой вклад в теорию линейной оптимизации внесли лауреат Нобелевской премии Л.В. Канторович, Н.Н. Моисеев, Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин и многие другие.

Линейное программирование традиционно считается одним из разделов исследования операций, который изучает методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

В классическом математическом анализе исследуется общая постановка задачи определения условного экстремума, однако в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского сектора традиционных результатов математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем. Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование, т.е. формализованное описание изучаемого процесса и исследование его с помощью математического аппарата.

Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно более широкий спектр факторов, влияющих на поведение объекта, используя при этом по возможности несложные соотношения. Именно в связи с этим процесс моделирования часто носит многоэтапный характер. Сначала строится относительно простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются данной формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. При этом во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что значительное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями, а следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

1. Примеры моделей линейного программирования:

Ниже будут рассмотрены несколько ситуаций, исследование которых возможно с применением средств линейного программирования. Так как основным показателем в этих ситуациях является экономический-- стоимость, то соответствующие модели являются экономико-математическими.

Задача о раскрое материалов. На обработку поступает материал одного образца в количестве d единиц. Требуется изготовить из него к разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам а1,..., ак. Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, при этом использование i-го способа (i=1,…,n) дает bij, единиц j-го изделия (j = 1,...,k).

Требуется найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Экономико-математическая модель этой задачи может быть сформулирована следующим образом. Обозначим xi-- число единиц материалов, раскраиваемых i-м способом, и x -- число изготавливаемых комплектов изделий.

Учитывая, что общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, получим:

(1)

Условие комплектности выразится уравнениями:

(j=1,…,k)(2)

Очевидно, что

xi0 (i=1,…,n)(3)

Целью является определить такое решение Х= (x1,…,xn), удовлетворяющее ограничениям (1)-(3), при котором функция F = x принимает максимальное значение. Проиллюстрируем рассмотренную задачу следующим примером Для изготовления брусьев длиной 1,5 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 200 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Чтобы сформулировать соответствующую оптимизационную задачу линейного программирования, определим все возможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл. 1).

Таблица 1

Способ распила i	Число получаемых брусьев различной длины
	1,5	3,0	5,0
1	4	-	-
2	2	1	-
3	-	2	-
4	-	-	1

 

Обозначим через xi-- число бревен, распиленных i-м способом (i = 1.2, 3, 4); х --число комплектов брусьев.

С учетом того, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, оптимизационная экономико-математическая модель примет следующий вид

х > max

при ограничениях:

x1+x2+x3+x4=200

4x1+2x2=2x

x2+2x3=x

x4=2x

xi0 (i=1,2,3,4)

Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия. Пусть предприятие может выпускать n различных видов продукции. Для выпуска этих видов продукции предприятие использует М видов материально-сырьевых ресурсов и N видов оборудования. Необходимо определить объемы производства предприятия (т.е. его производственную программу) на заданном интервале планирования [0, Т], чтобы максимизировать валовую прибыль предприятия.

Далее будем полагать, что валовая прибыль есть выручка, полученная от реализации продукции за вычетом условно-постоянных и переменных затрат. Иными словами, необходимо максимизировать целевую функцию вида:

(4)

где ai -- цена реализации продукции вида i;

bi -- переменные затраты на выпуск одной единицы продукции вида i;

Zp -- условно постоянные затраты, которые будем предполагать независимыми от вектора х = (x1,..., xn).

При этом должны быть выполнены ограничения на объемы используемых материально-сырьевых ресурсов и время использования оборудования на интервале [0,T].

Обозначим через Lj(j = l,...,M) объем запасов материально-сырьевых ресурсов вида j, а через фk (k = 1,..., N) -- время, в течение которого может быть использовано оборудование вида k. Известно потребление материально-сырьевых ресурсов вида j на выпуск одной единицы продукции вида i, которое обозначим через lij (i = 1,..., n; j = 1,...,М). Известно также tik -- время загрузки одной единицы оборудования вида k изготовления одной единицы продукции вида i (i = 1,..., n; k = 1,..., N). Через mk обозначим количество единиц оборудования вида k (k=l,...,N).

При введенных обозначениях ограничения на объем потребляемых материально-сырьевых ресурсов могут быть заданы таким образом:

(j=1,…,M)(5)

Ограничения на производственные мощности задаются следующими неравенствами

k=1,…,N(6)

Кроме того, переменные

xi0 i=1,…,n (7)

Таким образом, задача выбора производственной программы, максимизирующей прибыль, заключается в выборе такого плана выпуск х = (х1...,хn), который удовлетворял бы ограничениям (5)-(7) и максимизировал бы функцию (4).

В некоторых случаях предприятие должно поставить заранее оговоренные объемы продукции Vt другим хозяйствующим субъектам и тогда в рассматриваемой модели вместо ограничения (1.7) может быть включено ограничение вида:

xt> Vt i= 1, ...,n.

Задача о диете. Рассмотрим задачу составления душевого рациона питания минимальной стоимости, которое бы содержало определенные питательные вещества в необходимых объемах. Будем предполагать, что имеется известный перечень продуктов из n наименований (хлеб, сахар, масло, молоко, мясо и т.д.), которые мы будем обозначать буквами F1,...,Fn. Кроме того, рассматриваются такие характеристики продуктов (питательные вещества), как белки, жиры, витамины, минеральные вещества и другие. Обозначим эти компоненты буквами N1,...,Nm. Предположим, что для каждого продукта Fi известно (i = 1,...,n) количественное содержание в одной единице продукта указанных выше компонент. В этом случае можно составить таблицу, содержащую характеристику продуктов:

F1,F2,…Fj…Fn

_____________

N1a11a12…a1j…a1N

N2a21a22…a2j…a2N

Niai1ai2…aij…aiN

Nmam1am2…amj…amN

Элементы этой таблицы образуют матрицу, имеющую m строк и n столбцов. Обозначим ее через A и назовем матрицей питательности. Предположим, что мы составили рацион х = (х1,x2,...,хn) на некоторый период (например, месяц). Иными словами, мы планируем каждому человеку на месяц х, единиц (килограммов) продукта F1,x2 единиц продукта F2 и т.д. Нетрудно вычислить, какое количество витаминов, жиров, белков и прочих питательных веществ получит человек за этот период. Например, компонента N1 присутствует в этом рационе в количестве

a11x1+ a12x2+…+ a1nxn

поскольку согласно условию в x1 единицах продукта F1 согласно матрице питательности содержится a11x1 единиц компоненты N1; к этому количеству добавляется порция а12x2 вещества N1 из х2 единиц продукта F2 и т.д. Аналогично можно определить и количество всех остальных веществ Ni в составляемом рационе (х1,..., хn).

Допустим, что имеются определенные физиологические требования, касающиеся необходимого количества питательных веществ в Ni (i/ = 1,..., N) в планируемый срок. Пусть эти требования заданы вектором b = (b1...,bn), i-я компонента которого bi указывает минимально необходимое содержание компонента Ni в рационе. Это означает, что коэффициенты xi вектора х должны удовлетворять следующей системе ограничений:

a11x1+ a12x2+…+ a1nxn?b1

a21x1+ a22x2+…+ a2nxn?b2 (8)

am1x1+ am2x2+…+ amnxn?bm

Кроме того, из содержательного смысла задачи очевидно, что все переменные х1,...,хn неотрицательны и поэтому к ограничениям (8) добавляются еще неравенства

x1?0; x2?0;… xn?0; (9)

Учитывая, что в большинстве случаев ограничениям (8) и (9) удовлетворяет бесконечно много рационов, выберем тот из них, стоимость которого минимальна.

Пусть цены на продукты F1,...,Fn равны соответственно с1,…,cn

Следовательно, стоимость всего рациона х = (х1..., хn) может быть записана в виде

c1x1+ c2x2+…+ cnxn>min (10)

Окончательно формулировка задачи о диете заключается в том, чтобы среди всех векторов х = (x1,...,хn) удовлетворяющих ограничениям (8) и (9) выбрать такой, для которого целевая функция (10) принимает минимальное значение.

Транспортная задача. Имеется m пунктов S1,..., Sm производства однородного продукта (угля, цемента, нефти и т.п.), при этом объем производства в пункте Si равен ai единиц. Произведенный продукт потребляется в пунктах Q1...Qn и потребность в нем в пункте Qj составляет kj единиц (j = 1,...,n). Требуется составить план перевозок из пунктов Si (i = 1,...,m) в пункты Qj(j = 1,..., n), чтобы удовлетворить потребности в продукте bj, минимизировав транспортные расходы.

Пусть стоимость перевозок одной единицы продукта из пункта Si в пункт Qi равна cij. Будем далее предполагать, что при перевозке хij единиц продукта из Si в Qj транспортные расходы равны cijxij.

Назовем планом перевозок набор чисел хij ci = 1,..., m; j = 1,..., n, удовлетворяющий ограничениям:

xij?0, i=1,2,…,m; j=1,…,n (11)

Содержательный смысл уравнений (11) состоит в том, что из пункта Si при плане хij вывозится во все пункты Qj объем , который должен быть равен запасу ai. В пункт Qj поступает из всех пунктов Si суммарное количество продукта, которое в точности должно быть равно потребности bj.

При плане перевозок (хij) транспортные расходы составят величину

(12)

Окончательное формирование транспортной задачи таково: среди всех наборов чисел (хij), удовлетворяющих ограничениям (11), найти набор, минимизирующий (12).

 

 

2. Динамическая  модель межотраслевого баланса

Динамические модели межотраслевого баланса— частный случай динамических моделей экономики; основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей: напр., капитальных вложений и основных фондов (что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).

Единообразного метода решения этой задачи пока нет. В принципе она может решаться следующим образом (при условии, что в Д. м. МОБ, как и в статическом МОБ, связи принимаются линейными). В отличие от уравнений статического МОБ, где конечный продукт каждой отрасли представлен одним слагаемым, здесь он распадается на два — фонд накопления и фонд непроизводственного потребления.

Система уравнений в этом случае записывается так:

 
(i, j = 1, 2, ..., n),

где Mi — часть продукции i-й отрасли, идущая в фонд накопления (она не равна нулю только в т. н. фондообразующих отраслях — строительстве, машиностроении); wi — часть продукции i-й отрасли, выделяемая на непроизводственное потребление. Такие модели с разделением конечного продукта называются моделями леонтьевского типа(по имени американского экономиста В. Леонтьева).

Ту часть фонда накопления, которая передается  фондообразующей отраслью i в j-ю отрасль, обозначим Mij. Тогда общий объем капитальных вложений, направляемых в j-ю отрасль, определяется по формуле

Отсюда, зная коэффициент фондоотдачи в j-й отрасли, можно вычислить прирост ее валовой продукции. Таким образом, получаем описание цикла воспроизводства (обычно за один год) — от создания фондов до выявления возросших в результате их использования производственных возможностей.

Конечно, здесь допущено много нереалистичных упрощений (напр., новые средства производства немедленно дают продукцию, тогда как в действительности для этого требуется существенный лаг). Но модель показывает, что для управления процессом решающее значение имеет соотношение между фондом накопления и фондом потребления конечной продукции.

Отечественными экономистами были разработаны разные типы Д. м. МОБ, в том числе более сложные, но зато и более адекватно описывающие динамику экономического развития (хотя и здесь еще упрощения существенны).

Во-первых, модели с обратной рекурсией, в которых балансы производства и распределения продукции за последний год планового периода сочетаются с уравнениями потребности в капитальных вложениях за весь плановый период. На втором этапе решения такой модели показатели производства продукции и капитальных вложений распределяются по всем годам планового периода в направлении от последнего года к первому (откуда и название модели).

Во-вторых, модели поэтапного расчета объемов производства продукции и капитальных вложений для каждого года планового периода. Они представляются обычно как совокупность балансов производства продукции и капитальных вложений, потребность в которых для будущих лет устанавливается путем нормирования незавершенного строительства.

В-третьих, модели с явным учетом лага капитальных вложений, в которых показана прямая и обратная их связь во времени с показателями производства продукции. С одной стороны, объемы продукции отраслей, создающих средства производства (фондосоздающих), зависят от тенденций развития производства в будущем. С другой стороны, потребность в приросте фондов в данном году во многом зависит от их динамики в прошлом. Модели с явным учетом лага капитальных вложений точнее других отражают процессы воспроизводства, но они и сложнее по структуре. Кроме того, их трудно обеспечить необходимой информацией.

Укрупненная 18-отраслевая Д. м. МОБ практически применялась бывш. Госпланом СССР при разработке наметок основных показателей долгосрочного социального и экономического развития страны. Расчеты по этой модели отражали физический рост объемов производства и отраслевое распределение производственных ресурсов (капитальные вложения, численность занятых, структура материального производства, распределение продукции отдельных отраслей для текущего производственного потребления, производственного и непроизводственного накопления, непроизводственное потребление, внешнеторговый оборот и т. д.).

В стране, отказавшейся от централизованного директивного планирования, подобные модели могут использоваться в прогнозных и аналитических расчетах, что подтверждается опытом ученых-экономистов в США и др. странах.

2.1 Модель Неймана

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:  
 
1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;  
 
2.производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;  
 
3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;  
 
4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;  
 
5. цены товаров изменяются во времени.  
        Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале [0,Т] с точками t=0,1,……,Т рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.  
         Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через ytJ (  
j=1,…,m). Заметим, что ytJ является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и ytJ  ≥0.  
Предположим, что функционирование j-го процесса (  
j=1,…,m) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве а1j ,  а2j ,  ….  ,    аnj ,  и дает выпуск товаров в количестве  
b1j ,  b2j ,  ….  ,    bnj .   
           Введем обозначения аj = (а1j ,  а2j ,  ….  ,    аnj ), bj = (b1j ,  b2j ,  ….  ,    bnj). Пара (аj ,  
bj) характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару(аj ,  
bj)  можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности  ytJ  соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как (аj ytJ  ,  bj ytJ) . Поэтому последовательность пар 
 (а1 ,  b1) ,  (а2 ,  b2) ,  …….   ,  (аm ,  bm)   
представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами. 

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами  
         а11       а12  ….  а1m 

         а21       а22  ….  а2m    
А =  …    …   …    …

        аn1       аn2  ….  аnm        ,

 

     

          b11       b12  ….  b1m 

          b21       b22  ….  b2m    
В =     …    …   …    … 
          bn1       bn2  ….  bnm     

 

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор  называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами   :  
                  
       Говорят, что в производственном процессе    базисные процессы участвуют с интенсивностями    . Как видно из, неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной. Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов  
,                                                                                 
 
которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин   . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а   интерпретировать как вектор валового выпуска, то превращается в леонтьевскую технологию.  
       Продолжим описание модели Неймана. Затраты      в момент t не могут превышать выпуска     , соответствующего предыдущему моментуt-1 

Время	…	t-1	t	t+1	…
Затраты
Выпуск

 

 

Поэтому должны выполняться условия:  
                                                                                                где   - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.  
Обозначим через  , вектор цен товаров. Неравенство можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть:                                                                                        Прибыль базисного процесса    на отрезке [t-1,T] равна величине 
   , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как   , а выручку - как  .

Время	…	t-1	t	t+1	…
Издержки
Выручка

 

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если    , неприбыльны, если                                                                                         
         В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен"  ,  т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.  
         Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. При равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство является отражением этого факта. Поэтому, если в для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:  
 
 
то должно быть   . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью.  
Отсюда                                                                                  
         Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений:  
  
 
   
 
                                                                                         
где     и       - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Численная реализация моделей.