Елементи теорії кореляції

 

М ІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

БЕРДЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра математичного моделювання  та обчислювальної математики

 

 

 

 

 

 

 

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ

(Курсова робота)

 

 

 

Виконала                                                     Корзун Юлія Олександрівна

                                                                       студентка 3 курсу

                                                                       денної форми навчання

 

Науковий керівник                                      канд. пед. наук,

                                                                       доцент Онуфрієнко О.Г. 

 

 

 

Дата реєстрації в  деканаті                                                                             .

 

 

 

Бердянськ-2010

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………….3

РОЗДІЛ I

          ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ………………5

1.1.Теорія кореляційного  дослідження…………………………………………..5

    1.2.Характеристика методів і критеріїв встановлення залежності між змінними…………………………………………………………………………….15

1.3.Лінійна регресія……………………………………………………………...21

1.3.1.Критерій Фішера…………………………………………………….23

1.3.2.Дисперсія…………………………………………………………….23

1.3.3.Коефіцієнти кореляції………………………………………………24

1.4.Виробнича регресія………………………………………………………….27

1.5.Моделі парної регресії та їх дослідження………………………………….36

РОЗДІЛ II

           ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ…………………...47

     2.1. Реалізація лінійної регресії на прикладі задач……………………………47

    2.2. Реалізація застосування методу найменших квадратів на прикладах…..50

      2.3.Застосування методу лінійної регресії на прикладі………………….......54

ВИСНОВОК………………………………………………………………………..58

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА………………………………………………..59

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Теорія кореляційного дослідження, заснована на уявленнях про відношення кореляційного зв’язку, яка розроблена К.Пірсом і детально викладається у підручниках по математичній статистиці. Тут розглядаються лише методичні аспекти кореляційного психологічного дослідження.

Кореляційним називається дослідження, проведене для підтвердження або спростування гіпотези про статистичний зв'язок між декількома (двома і більш) перемінними. В психології в якості перемінних можуть виступати психічні властивості, процеси, стани й ін.

Повний план кореляційного дослідження являє собою паралелепіпед Р х О х Р, грані якого позначаються як «випробувані», «операції», «тимчасові етапи».

Актуальність  теми: Кореляційний аналіз використовується в медицині для оцінки спостережень та експериментів для допомоги лікарю здійснити висновок про вплив різноманітних факторів (антропологічних, соціальних економічних) на здоров’я людини. Наявність зв’язків між ознаками, що варіюють, виявляється на всіх рівнях організації живих організмів. Кореляційний аналіз дозволяє встановити статистичну залежність при порівнянні двох рядів емпіричних даних, а також оцінити ступінь взаємодії між даними. Дана тема є важливою для проведення  наукових досліджень, оскільки статистичні оцінки, а також встановлення функціональної залежності є важливими атрибутами аналізу експериментальних даних

Мета: формування базових знань з основ застосування ймовірнісно – статистичного апарата для розв’язування теоретичних і практичних економічних задач.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен вміти:

• використовувати у своїй практичній діяльності набуті знання щодо застосовування статистичних методів для дослідження економічних явищ;
• проаналізувати та сформулювати постановку  економічної задачі з використанням найпростіших кореляційних методів;
• використовувати необхідні програмні продукти для аналізу і розв‘язування економічних задач.

Завданнями навчальної дисципліни є формування знань відповідно до освітньо-професійної програми підготовки фахівця.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати:

• теорію кореляційного дослідження;
• методи обчислення ймовірностей ;
• методи обчислення числових характеристик методів і критеріїв;
• основні методи кореляції;
• методи оцінювання достовірності моделей та її параметрів;

При вивченні  навчальної дисципліни звертається увага на:

1. Ознайомлення студентів з основами математичного апарату, необхідного для розв‘язання теоретичних і практичних задач, пов‘язаних з економікою.
2. Розвиток логічного мислення та підвищення загального рівня математичної культури.
3. Формування навичок самостійного вивчення учбової літератури з теорії кореляції.
4. Застосуванню отриманих знань для аналізу, моделювання і розв‘язання прикладних задач.

Предмет: кількісні та якісні методи та засоби аналізу закономірностей еволюції систем прикладного напряму, що розвиваються в умовах стохастичної невизначеності.

Завдання дослідження:

• проаналізувати існуючі методи;
• вивчити основні регресії та їх дослідження;
• розглянути приклади застосувань методів при розв`язуванні.

 

 

 

 

Розділ1.

Загальна характеристика теорії кореляції

1. Теорія кореляційного дослідження.

1. Загальна теорія кореляційного дослідження

Стратегія проведення кореляційного  дослідження подібна з квазіекспериментом. Відмінність від квазіексперимента  лише в тім, що керований вплив на об'єкт відсутній. План кореляційного дослідження нескладний. Дослідник висуває гіпотезу про наявність статистичного зв'язку між декількома психічними властивостями індивіда або між визначеними зовнішніми рівнями і психічними станами. При цьому припущення про причинну залежність не обговорюються.

Кореляційним [12,24-26ст.] називається дослідження, проведене для підтвердження або спростування гіпотези про статистичний зв'язок між декількома (двома і більш) перемінними. У психології в якості перемінних можуть виступати психічні властивості, процеси, стани й ін.

«Кореляція» у прямому перекладі означає «співвідношення». Якщо зміна одною перемінної супроводжується зміною іншої, то можна говорити про кореляції цих перемінних. Наявність кореляції двох перемінних нічого не говорить про причинно-наслідкові залежності між ними, але дає можливість висунути таку гіпотезу. Відсутність же кореляції дозволяє відкинути гіпотезу про причинно-наслідковий зв'язок перемінних. Розрізняють кілька інтерпретацій наявності кореляційного зв'язку між двома вимірами:

1. Прямий кореляційний  зв'язок. Рівень одної перемінної  безпосередньо відповідає рівневі  іншої. Прикладом є закон Хіка: швидкість переробки інформації  пропорційна логарифмові від  числа альтернатив. Інший приклад:  кореляція високої особистісної пластичності і схильності до зміни соціальних установок.

2. Кореляція, обумовлена 3-й перемінної. 2 перемінні (а,  с) зв'язані одна з іншої  через 3-ю (в), не обмірювану  в ході дослідження. За правилом  транзитивності, якщо є R (а, b) і  R (b, с), то R (а, с). Прикладом подібної кореляції є встановлений психологами США факт зв'язку рівня інтелекту з рівнем доходів. Якби таке дослідження проводилося в сьогоднішній Росії, то результати були б іншими. Очевидно, уся справа в структурі суспільства. Швидкість упізнання зображення при швидкому пред'явленні і словниковому запасі випробуваних також позитивно корелюють. Сховану перемінну, зумовлюючу цю кореляцію, є загальний інтелект.

3. Випадкова кореляція,  не обумовлена ніякою перемінною.

4. Кореляція, обумовлена неоднорідністю вибірки. Уявимо собі, що вибірка, що ми будемо обстежувати, складається з двох однорідних груп. Наприклад, ми хочемо з'ясувати, чи пов'язана належність до визначеної статі з рівнем екстраверсії. Вважаємо, що «вимір» статі труднощів не викликає, екстраверсію ж вимірюємо за допомогою опитувальника Айзенка ЕТІ-1. У нас 2 групи: чоловіки-математики і жінки-журналістки. Не дивно, якщо ми одержимо лінійну залежність між статтю і рівнем екстраверсії-інтроверсії: більшість чоловіків будуть інтровертами, більшість жінок — екстравертами.

Кореляційні зв'язки розрізняються  по своєму виду. Якщо підвищення рівня 0,1 перемінної супроводжується підвищенням  рівня іншої, то мова йде про позитивну  кореляцію. Чим вище особистісна  тривожність, тим більше ризик захворіти виразкою шлунка. Зростання голосності звуку супроводжується відчуттям підвищенням його тону. Якщо ріст рівня однієї перемінної супроводжується зниженням рівня іншої, то ми маємо справу з негативною кореляцією. За даними Зайонца - число дітей у родині негативно корелює з рівнем їхнього інтелекту. Чим боязкіша особа, тим менше в неї шансів зайняти домінуюче положення у групі.

Нульовою [8,45-46 ст.] називається кореляція при відсутності зв'язку перемінних.

У психології практично  немає прикладів строго лінійних зв'язків (позитивних або негативних). Більшість зв'язків — нелінійні. Класичний приклад нелінійної залежності — закон Йеркса—Додсона: зростання мотивації первинно підвищує ефективність навчання, а потім настає зниження продуктивності (ефект «перемотивації»). Іншим прикладом є зв'язок між рівнем мотивації досягнень і вибором задач різних труднощів. Особи, які мотивуються надією на успіх, віддають перевагу завданням середнього діапазону труднощів — частота виборів на шкалі труднощів описуються колоколообразною кривою.

Математичну теорію лінійних кореляцій розробив Пірсон. Її основа і додатки викладаються у відповідних  підручниках і довідниках по математичній статистиці. Нагадаємо, що коефіцієнт лінійної кореляції Пірсона r варіюється від -1 до +1. Він обчислюється шляхом нормування коваріації на добуток їх середньоквадратичних відхилень.

Значимість коефіцієнта  кореляції залежить від прийнятого рівня значимості α і від величини вибірки. Чим більше модуль коефіцієнта кореляції, тим ближче перемінних до лінійної функціональної залежності.

2. Планування кореляційного  дослідження

План кореляційного  дослідження є різновидом квазіекспериментального  плану при відсутності впливу незалежної перемінної залежності. У  більш строгому змісті: тестуємі групи  повинні бути в еквівалентних незмінних умовах. При кореляційному дослідженні усі вимірювані ремінні — залежні. Фактором, що визначає цю залежність, може бути на з перемінних або схована, невимірювана перемінна.

Кореляційне дослідження  розбивається на серію незалежних один від одного вимірювань у групі випробуваних Р. Розрізняють просте і порівняльне кореляційне дослідження. У першому випадку група випробуваних однорідна. В другому випадку ми маємо декілька рандомізіруваних груп, що розрізняються по одному або декільком визначеним критеріям. У загальному виді план такого дослідження описується матрицею виду: Р х О (випробувані х виміри). Результатом цього проходження є матриця кореляцій. Обробку даних можна вести, порівнюючи рядки вихідної матриці або стовпці. Корелюючи між собою рядки, ми співставляємо один з одним випробуваних; кореляції ж інтерпретуються як коефіцієнти подібності — розходження людей між собою. Зрозуміло, Р- кореляції можна обчислювати лише в тому випадку, якщо дані приведені до одній шкальної розмірності, зокрема за допомогою Z-перетворення:

Корелюючи між собою  стовпці, ми перевіряємо гіпотезу про  статистичний зв’язок: вимірюваних  перемінних. У цьому випадку їхня розмірність не має ніякого значення.

Таке дослідження називається  структурним, тому що в підсумку ми одержуємо матрицю кореляцій обмірюваних перемінних, котра виявляє структуру зв'язків між ними.

У дослідницькій практиці часто виникає задача виявити  тимчасові кореляції параметрів або ж знайти зміну структури  кореляцій параметрів у часі. Прикладом таких досліджень є лонгітюди.

План лонгітюдного дослідження  являє собою серію окремих  вимірів однієї або декількох  перемінних через визначені проміжки часу. Лонгітюдне дослідження — це проміжний варіант між квазіекспериментом і кореляційним дослідженням, тому що час інтерпретується дослідником як незалежний перемінний, визначальний рівень залежних (наприклад, особистісних рис).

Повний план кореляційного  дослідження являє собою паралелепіпед  Р х О х Р, грані якого  позначаються як «випробувані», «операції», «тимчасові етапи».

Результати дослідження  можна аналізувати по-різному. Крім обчислення Р- і 0-кореляцій виникає  можливість порівняння матриць Р  х О, отриманих у різні періоди  часу, шляхом підрахунку двомірної  кореляції — зв'язку двох перемінних із третьої. Те ж саме стосується і матриць Р х Т і Т х О.

Але частіше дослідники обмежуються обробкою іншого типу, перевіряючи гіпотези про зміну  перемінних у часі, аналізуючи матриці  Р х Т по окремим вимірам.

3. Дослідження кореляції  залежності

Розглянемо основні типи кореляційного дослідження [14, 136-139 ст.].

1. Порівняння двох груп. Цей план лише умовно можна віднести до кореляційних досліджень. Він застосовується для встановлення подібності або розходження двох природних або рандомізірованих груп по виразності тієї або іншої психологічної якості і стану. Допустимо, у вас є бажання з'ясувати, чи відрізняються чоловіки і жінки за рівнем екстраверсії. Для цього ви повинні створити дві репрезентативні вибірки, зрівняні по іншим значимим для екстраверсії-інтроверсії параметрам (по параметрах, що впливає на рівень екстраверсії-інтроверсії), і провести вимір за допомогою тесту ЕРQ). Середні результати в 2 груп порівнюються за допомогою t- критерію Стьюдента. При необхідності порівнюються дисперсії показника екстраверсії за критерієм F.

Найпростіше зіставлення 2 груп містить у собі джерела  ряду артефактів, характерних для  кореляційного дослідження. По-перше, виникає проблема рандомізації груп — вони повинні чітко розділятися  за обраним критерієм, по-друге, реальні виміри відбуваються не одночасно, а різночасно.

По-третє, добре, якщо тестування усередині групи проводять одночасно. Якщо ж окремих випробуваних тестують у різний час, то на результаті може відбитися вплив тимчасового  фактора на величину перемінної.

Стать без особливих зусиль (у тому числі без хірургічного впливу) поміняти сьогодні не можна, але можна перейти з однієї навчальної групи в іншу, а також з класу у клас.

Якщо дослідник задався  метою порівняти дві навчальні  групи за рівнем успішності, він  повинний подбати про те, щоб не відбулося їх «перемішування» у ході дослідження.

Ефект неодночасності вимірів  у двох групах (у випадку припущення значимості цього фактора) можна  було б «забрати» уведенням двох контрольних груп, але тестувати  їх теж прийдеться іншим часом. Зручніше розділити первинні групи навпіл.

Обробка результатів  для виявлення ефекту послідовності  здійснюється методом двофакторного  аналізу 2x2. Порівняння природних (нерандомізірованих) груп ведеться по тім же плані.

2. Одномірне  дослідження однієї групи в різних умовах. План цього дослідження аналогічний попередньому. Але по своїй суті він близький до експерименту, так як умови, у яких знаходиться група, розрізняються. У випадку кореляційного дослідження ми не керуємо рівнем незалежної перемінної, а лише констатуємо зміну поводження індивіда в нових умовах. Прикладом може слугувати зміна рівня тривожності дітей при переході з дитячого саду в 1-й клас школи; група та сама, а умови різні.

Головні артефакти цього  плану — кумуляція ефектів  послідовності і тестування. Крім того, що спотворює вплив на результати може робити ремінний фактор (ефект природного розвитку).

Схема цього плану  виглядає дуже просто: АО1 ВО2, де А и  В — різні умови. Випробувані  можуть відбиратися з генеральної  популяції випадковим образом або представляти собою природну групу.

Обробка даних зводиться  до оцінки подібності між результатами тестування в умовах А и В. Для  контролю ефекту послідовності можна  зробити збалансування і перейти  до кореляційного плану для двох груп.

У цьому випадку ми можемо розглядати А и В як вплив, а план — як квазіексперимент.

3. Кореляційне  дослідження попарно еквівалентних  груп. Цей план використовується при дослідженні близнюків методом внутріпарних кореляцій. Дизиготні або монозиготні близнюки розбиваються на дві групи: у кожній — один близнюк з пари. У близнюків обох груп вимірюють цікавлячого дослідника психічні параметри. Потім обчислюється кореляція між параметрами (О-кореляція) або близнюками (Р-кореляція). Існує безліч більш складних варіантів планів псіхогенетичних досліджень близнюків.

4. Для перевірки  гіпотези про статистичний зв'язок  декількох перемінних, що характеризують  поводження, проводиться багатомірне  кореляційне дослідження. Воно реалізується по наступній програмі. Відбирається група, що являє собою або генеральною сукупністю, або цікавлячу нас популяцію. Відбираються тести, перевірені на надійність і внутрішню валідність. Потім група тестується по визначеній програмі.

Дані дослідження представлені у формі матриці: т х п, де т  — кількість випробуваних, п — тести. Матриця «сирих» даних обробляється, підраховуються коефіцієнти лінійної кореляції. Виходить матриця виду т х п, де п — число тестів. У клітинках матриці — коефіцієнти кореляції, по її діагоналі — одиниці (кореляція тесту із самим собою). Матриця симетрична щодо цієї діагоналі. Кореляції оцінюються на статистичні розходження в такий спосіб: спочатку r переводиться в Z-оцінки, потім для порівняння r застосовується t-критерій Стьюдента. Значимість кореляції оцінюється при її зіставленні з табличним значенням. При порівнянні rексп. і rтеор. приймається гіпотеза про значиму відмінність кореляції від випадкової при заданому значенні точності (а = 0,05 або а - 0,001). У деяких випадках виникає необхідність обчислення множинних кореляцій, приватних кореляцій, кореляційних відносин або редукції розмірності — зменшення числа параметрів.

Для зменшення числа  обмірюваних параметрів використовуються різні методи латентного аналізу. Застосуванню їх у психологічному дослідженні  присвячена безліч публікацій. Головною причиною артефактів, що виникають при проведенні багатомірного психологічного тестування, є реальний фізичний час. При аналізі даних кореляційного дослідження ми відволікаємося від неодночасності проведених вимірів. Крім того, вважається, що результат наступного виміру не залежить від попереднього, тобто не існує ефекту переносу.

Перелічимо основні  артефакти, що виникають у ході застосування цього плану:

1. Ефект послідовності  — попереднє виконання одного  тесту може вплинути на результат виконання іншого (симетричний або асиметричний перенос).

2. Ефект навчання —  при виконанні серії різних  тестових іспитів в учасника  експерименту може підвищуватися  компетентність у тестуванні.

3. Ефекти фонових впливів  і «природного» розвитку приводять до неконтрольованої динаміки стану випробуваного в ході дослідження.

4. Взаємодія процедури  тестування і складу групи  виявляється при дослідженні  неоднорідної групи: інтроверти  гірше здають іспити, чим екстраверти,  «тривожні» гірше справляються  зі швидкісними тестами інтелекту. Тільки замість впливів міняється порядок проведення тестів.

5. Структурне кореляційне  дослідження.

 Від попередніх  варіантів ця схема відрізняється  тим, що дослідник виявляє не  відсутність або наявність значимих  кореляцій, а розходження в рівні значимих кореляційних залежностей між тими самими показниками, обмірюваними в представників різних груп.

Пояснемо цей випадок  прикладом. Допустимо, нам необхідно  перевірити гіпотезу про те, чи впливає  стать батька і стать дитини на подібність або розходження їхніх особистісних рис, наприклад рівня нейротизму по Айзенку. Для цього ми повинні провести дослідження реальних груп — родин. Потім обчислюються коефіцієнти кореляції рівнів тривожності батьків і дітей. Виходять 4 основних коефіцієнти кореляції: 1) мати-дочка; 2) мати-син; 3) батько-дочка; 4) батько-син, і дві додаткових: 5) сини-дочки; 6) мати-батько. Якщо нас цікавить лише порівняння подібності-розходження першої групи кореляцій, а не дослідження асортативності, то ми будуємо 4-клітинну таблицю 2 х2.

Кореляції піддаються - перетворенню і порівнюються по t-критерію Стьюдента.

Тут приведений найпростіший приклад структурного кореляційного  дослідження. У дослідницькій практиці зустрічаються більш складні  версії структурних кореляційних досліджень. Найчастіше вони проводяться в психології індивідуальності (Б. Г. Ананьев і його школа), психології праці і навчання (В. Д. Шадриков), психофізіології індивідуальних розходжень (Б. М. Теплов, В. Д. Небилицин, В. М. Р Салов і ін.), психосемантике (В. Ф. Петренко, А. Г. Шмельов і ін.).

6. Лонгітюдне кореляційне  дослідження. Лонгітюдне дослідження - варіант квазіекспериментальних дослідницьких планів. Що впливає на перемінну психолога, що проводить лонгітюдне дослідження, вважає час. Воно є аналогом плану тестування однієї групи в різних умовах. Тільки умови вважаються константними. Результатом будь-якого тимчасового дослідження є побудова тимчасового тренда вимірюваних перемінних, що можуть бути аналітично описаний тими або іншими функціональними залежностями.

Лонгітюдне кореляційне  дослідження будується за планом тимчасових серій з тестуванням  групи через задані проміжки часу. Крім ефектів навчання, послідовності  і т.д. у лонгітюдному дослідженні  варто враховувати ефект вибування: не усіх випробуваних, що спочатку приймали участь в експерименті, вдається обстежувати через якийсь визначений час. Можлива взаємодія ефектів вибування і тестування (відмовлення від участі в наступному обстеженні) і т.д.

Структурне лонгітюдне дослідження відрізняється від  простого лонгітюда тим, що нас цікавить не стільки зміна центральної тенденції або розкиду який-небудь перемінної, скільки зміна зв'язків між перемінними. Такого роду дослідження широко поширені у психогенетиці.

Обробка й інтерпретація  даних кореляційного дослідження. Дані структурного кореляційного дослідження являють собою одну або кілька матриць:

«випробувані» х «тести»

Первинна обробка полягає  в підрахунку коефіцієнтів статистичного  зв'язку між двома і більш перемінними. Вибір міри зв'язку визначається шкалою, за допомогою якої зроблені виміри.

1. Якщо виміри зроблені  по дихотомічній шкалі, то для  підрахунку тісноти зв'язку ознак  застосовується коефіцієнт φ. Дихотомічну шкалу часто плутають зі шкалою найменувань (навіть у допомога зі статистики; див., наприклад, Дж. Гласі і Дж. Стенлі. Статистичні методи в педагогіці і психології, 1976) Дихотомічна шкала — варіант шкали інтервалів; для неї застосовні всі статистичні методи шкали інтервалів.

2. Дані представлені  в порядковій шкалі. Мірою зв'язку, що відповідає шкалі порядку, є коефіцієнт Кендела. Він заснований на підрахунку розбіжностей у порядку проходження ранжировок X і У. Є ряд випробуваних: спочатку ми вибудовуємо цей ряд у порядку убування маси тіла, а потім — у порядку убування росту. Для кожної пари підраховується число збігів і інверсій: збіг, якщо їхній порядок по X і В однаковий; інверсія, якщо порядок різний. Різниця числа «збігів» і числа «інверсій», ділена на п (п - 1)/2, дає коефіцієнт t. Алгоритм підрахунку приведений у допомога зі статистики і в будь-якому статпакеті для персональних комп'ютерів.

Часто для обробки  даних, отриманих за допомогою шкали  порядку, використовують коефіцієнт рангової кореляції Спірмена, що є модифікацією коефіцієнта Пірсона для натурального ряду чисел (рангів). Ніякого відношення до порядкової шкали він не має. Але його рекомендують застосовувати в тому випадку, якщо один вимір зроблений по шкалі порядків, а інше — по шкалі інтервалів.

3. Дані отримані по  шкалі інтервалів, або відносин. У цьому випадку застосовується  стандартний коефіцієнт кореляції Пірсона або коефіцієнт рангової кореляції Спірмена. У тому випадку, якщо одна перемінна є дихотомічною, а інша — інтервальной, використовується так називаний бісеріальний коефіцієнт кореляції.

Нарешті, якщо дослідник  думає, що зв'язку між перемінними нелінійні, він обчислює кореляційне відношення, що характеризує величину нелінійної статистичної залежності двох перемінних.

Кореляційне дослідження  завершується висновком про статистичну  значимість установлених (або невстановлених) залежностей між перемінними.

1.2.Характеристика методів і критеріїв встановлення залежності між змінними

 Кореляційний аналіз

Кореляційний зв'язок представляє собою частковий  випадок статистичного зв'язку М(Y|X = x) = y(x), тобто математичне очікування змінної Y, при умові, що випадкова величина Х приймає значення х.

 1.Параметрична кореляція (коефіцієнт кореляції Пірсона)

Значення коефіцієнта  кореляції обчислюється по формулі:

   (2.1)

Коефіцієнт кореляції [2, 78-80 ст.] показує тісноту лінійного зв'язку між двома вибірками випадкових величин. Його значення змінюється від -1 (мал. 1.1, r_xy = -0,8), що відповідає зворотному зв'язку, до +1 (мал. 1.2, r_xy = 0,8), що відповідає прямо пропорційного зв'язку (значення 0, означає відсутність зв'язку - мал. 1.3).

Малюнок 1.1. Приклад зворотньої кореляційної залежності

Малюнок 1.2. Приклад прямої кореляційної залежності

Малюнок 1.3. Приклад діаграми розсіювання при відсутності зв'язку між змінними

Оскільки ми маємо  справу з випадковими величинами, однієї величини коефіцієнта парної кореляції для висновку недостатньо. Необхідно перевірити, чи значимо  він відрізняється від нуля. Це можна зробити за допомогою критерію Стъюдента. Фактично перевіряється гіпотеза про рівність коефіцієнта кореляції кулю. Для цього розраховується критериальное значення по формулі:

   (2.2)

де r - значення коефіцієнта кореляції, a N - кількість спостережень.

Якщо розрахункове значення t (t_pac) більше табличного, узятого з N - 2 ступенями волі, нульова гіпотеза відкидається. Це означає, що коефіцієнт кореляції значимий відрізняється від нуля (з обраним рівнем значимості). Напівширина довірчого інтервалу для коефіцієнта кореляції визначається по формулі:

   (2.3)

де N - число спостережень, по яких розраховується коефіцієнт кореляції; r - значення коефіцієнта кореляції; t_n-2p - табличне значення критерію Стьюдента, узятого з N - 2 ступеня волі.

Зауваження. Слід пам'ятати, що коефіцієнт кореляції показує міру тільки лінійоного зв'язку. Тому у випадках, коли залежність між змінними носить більш складний характер, коефіцієнт кореляції буде показувати відсутність зв'язку. Приклад - на мал. 1.4. між змінними існує залежність другого порядку (описується квадратним рівнянням), тоді як коефіцієнт кореляції буде близьким до нуля. Тому, для виявлення складних залежностей між змінними використовують інші статистичні методи, зокрема регресійний аналіз.

Малюнок 1.4. Приклад нелінійного зв'язку між змінними