ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Кемеровский  государственный университет» 

Кафедра математического анализа 
 
 
 

Комаровой Марины Владимировны

 Голоморфные дифференциалы на конечной римановой поверхности  
 
 
 
 
 
 

2011

Содержание

Введение 3

Глава 1. Голоморфные дифференциалы  на римановой поверхности  с проколами. 3

1.1.Введение 3

1.2. Голоморфные  λ-  дифференциалы на  проколотых римановых  поверхностях. 4

1.3. Внутреннее время  и глобальное Лорановское  разложение на  римановой поверхности. 9

1.4. Алгебра Вирасоро  для N> 2. 11

Глава 2. Кричевера –  Новикова базис на проколотой римановой  поверхности. 13

2.1. Введение 13

2.2.  Голоморфные λ  -дифференциалы на N-кратных  проколотых поверхностях. 14

2.3. Расширенная алгебра  Вирасоро на N- проколотой  сфере. 21

Глава 3.  Введение в римановы поверхности, алгебраические кривые и проблемы модулей. 26

Список литературы 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Голоморфные дифференциалы на римановой поверхности  нашли применения в геометрической теории функции, в аналитической  теории чисел, в уравнениях математической физики и в теоретической физики (Новиков С.П., Кричевер И.М., Дик Р., Шлихенмайер М.).

      В данной работе составлен реферат  по трем английским статьям Дика и Шлихенмайера, в которых находятся размерности и базисы в пространствах мероморфных дифференциалов на римановых поверхностях с проколами в зависимости от дивизора и его степени. Описаны связи таких дифференциалов с алгебрами Вирасоро и центральных расширений таких алгебр.

Глава 1. Голоморфные дифференциалы на римановой поверхности с проколами.

1.1.Введение

     Исследование  динамики в голоморфных или антиголоморфных λ- дифференциалов  на римановых поверхностях были начаты с замечаниями,  что эти дифференциалы входят в теорию Фаддеева -Попова как локальные сечения для грассмановых линейных расслоений. Кроме того, хорошо известно, что линейные расслоения играют важную роль в описании модулярных деформаций сложных структур.

     Как обычно в физике динамика конформных полей было анализирована многими  в терминах локальных сечений, что  влечёт локальный операторный формализм.

     Другой в высшей степени полезный подход был начат в пионерских работах Кричевера и Новикова ,  которые разрешали формализации,  глобальных операторов на дважды проколотой римановой поверхности произвольного рода.

     Кроме того локальный подход не в коем случае не устарел. Недавно,  базисы голоморфных λ- дифференциалов на  дважды проколотой поверхности представленные Кричивером и Новиковым, были обобщены на случай произвольного числа проколов. 

1.2. Голоморфные  λ-  дифференциалы на  проколотых римановых  поверхностях.

     В этой работе будем обозначать через  пространство мероморфных λ- дифференциалов  ω на компактных римановых поверхностях Х рода g c условием (ω)≥ D(P) для любых точек P X, где D – дивизор на X и λ принимает целочисленные значения.

     Размерность пространств  голоморфных λ-диференциалов выведеные в таблице 1 являются известными следствиями теоремы Риманна-Роха

λ- 1)(g-1)-degD+dim и имеется изоморфизм . Так же известно, что 

Таблица 1. Размерности пространств голоморфных абелевых дифференциалов.

     Эти результаты были использованы  в  различных областях в теории струн и конформной теории поля. Кроме того, до недавнего времени такой таблице недоставало мероморфного λ-дифференциала. Пробелы  могут  быть заполнены следующим способом :     

Точка P X называется λ-общей  относительно дивизора D, если вронксиан

 из базиса   не тождественный нуль в P или   = 0.

Из-за компактности X существует только конечное множество не λ-общих точек для заданного дивизора D. Тогда имеем следующую лемму :

Пусть P есть  λ-общая точка относительно дивизора  D. Тогда для любого положительного целого числа γ выполняется :

dim

Для обращения  в нуль дивизора  не общих точек  является, конечно, λ – Вейерштрасс  точки. Доказательство - непосредственное обобщение классического доказательства.

     Дивизор D является λ-общим, только если его конечное множество точек, где дивизор не исчезает, может быть записан таким способом  

и для всех P_j .

Если D (P_j) > 0, то точка  P_j будет λ-общей относительно дивизора   

 Если D (P_j) <0, то P_j будет (1- λ)-общей относительно  

Следовательно для дивизора D будем предполагать,  что он λ-общий всюду и значения  λ определенны из контекста.

     Дополнительным  применением теоремы Римана -Роха и леммы возможно вычислить таблицу 2:

А) |λ- 1)(g-1)| > g и D будет λ-общий: 

В) или g=1 и D будет 0-общий: 

C) D будет 1-общий:

deg

таблица 2. Размерностей пространства мероморфных абелевых дифференциалов.

Доказательство  проходится  индукцией по числу N проколов, появляющих в дивизоре  D.

     Через Y=X\{P₁ ,…P_N } обозначит проколотую поверхность, ассоциированную с X и дивизором D=.

Непосредственным  следствием из таблицы 2 будут некоторые  следствия:

А) |λ- 1)(g-1)| > g:

Если D=  будет λ-общий для любой перенумерации точки и degD= , то существует, с точностью до умножения на константу, λ- дифференциал ω, который будет мероморфным на Х и голоморфным на Y, а ;

В) или g=1:

Если D=  будет 0-общий для любой перенумерации точек и degD=-g, и , или если  D – пустой, тогда существует, с точностью до умножения на константу, единственная функция f, которая будет мероморфна на  Х и голоморфна на  Y  и .

C) λ=1:

 Если  D= будет 1-общий для любой перенумерации точек и degD=g-2  и , или degD=g-2  и , или D=g-1  и , тогда существует, с точностью до умножения на постоянную,  естественный дифференциал µ, который мероморфен на X, и голоморфных на Y и .

Поскольку корректные порядки полюсов является определенными, то не трудно записать ниже представление для единственного определенного λ- дифференциала  в терминах простых форм и тета функций. Это было сделано для N=2 уже Бонора. Обобщение N≥2 требует только небольших модификаций:

Если дан дивизор   проколов D степени 0 , то относительно естественного отображения из  группы Пикара   Pic(X)  в многообразия Якоби   Jac(X). Для Х будем снова обозначать через D (без путанице в обозначении, так как D теперь обозначает одновременно дивизор и его класс эквивалентности по модулю главных дивизоров) и если будет  класс римановых дивизоров, то квазипериодический g/2-дифференциал с div()=0 можно будет построить: 

Если дивизор   удовлетворяет условию dimΩ_-E (X)=0 , будет конечно базисной точкой для отображения Якоби из дивизоров с ненулевой степени. Обычно опускают матрицу периодов в аргументе тета функции.

Для g≥2 , λ- дифференциалы упомянутые в следствии будет иметь вид общем случае: 
 

В специальном случае

, D=0 :

, D≥0: 

Показатели  в формуле выше определяется по требованию на порядки полюсов и правильное поведение преобразования, в то время как аргументы тета функции являются фиксированными по  свойствам периодичности.

В общем случае, g  нулей для  будут определены по теореме Римана: 

Хотя в случае λ=1, D≥0 теорема Римана дает для недостающие g-1 нулей: 

В особом случае g=1  все  λ- дифференциалы могут  быть построены из λ=0. Здесь разумно  использовать Вейерштрассову  функцию. Для случая 2- проколов это было получено, где центральное расширено соответствующей Кричеверу -  Новику алгебры было также сделано.

     Случай g=0  рассмотрим подробно в разделе 1.4. Если  множество проколов допускает только дивизоры, которые являются -общими, и если эти дивизоры, степени которых и порядки полюсов удовлетворяют условиям следствия, являются -общими при любом задании проколов, тогда возможно записать ниже базис Кричевер – Новикова  из голоморфных -дифференциалов на Y, которые мероморфны на X. Получим следующий результат:

А) |λ- 1)(g-1)| > g: 

B) λ=0: 

C) λ=1:

B₁ (Y)={µ₂ (β); β<-1  или  β≥g}

Простое доказательство полноты этих множеств из таблицы 2, и доказывается следующим способом: линейная  независимость легко доказывается из различия порядков полюсов. Кроме того, для E>D  и так как любой мероморфный дифференциал на Х, который голоморфен на Y, будет содержаться в   с  D выбранным достаточно малым. Для этого достаточно заменить, что  (m+1) – мерное пространство с D=[2 λ(g-1)-g-m-и

А) если  |λ- 1)(g-1)| > g, то  β_j < 0, ;

B) если λ=0, то β_j < -g , ;

C) если  λ=1, то  β_j < -1 , .

Будет  порождено  точно (m+1) дифференциалами из .

1.3. Внутреннее время  и глобальное Лорановское разложение на римановой поверхности.

     Проколотые  поверхности Римана несут естественное понятие внутреннего времени . Чтобы ввести это, удобно переключиться из

{µ₀ (β)=µ[g-1-β,β,0,..0], 0≤ β <g}  к обычным голоморфным дифференциалам, определенным через гомологический базис петель выбранный в виде:

µ₀ (β)=,    ,   .

Кроме того предположим, что все дифференциалы ν₂   =µ [-1,-1,g,0,..0] и                         ν_j   =µ [-1,g,0,..0,-1,0..0], нормализованный так что его вычет 1 в P₁.

Тогда каждый абелев дифференциал вида будет определять внутренний эволюционный параметр через , где

dτ=Re k-Re ω_i

где суммирование подразумевается от 1 до g. Если коэффициенты α^j и их суммы отличны от  0, то время τ принимает по предположению число ± в проколах. Это понятие внутреннего времени влечет,  что существует другая естественная дуальность между –дифференциалам и –дифференциалами на  Y, согласно двойственности Серра . Если S_j обозначает что множество индексов для которых τ(P_j ,P₀ )=- , j и C_τ={P; τ(P,P₀ )=τ}, то дуальное спаривание для  –дифференциалов ω и () –дифференциалов υ

<ω,v>=

     Чтобы представить глобальное Лорановско разложение на  Y для это необходим ортогональный базис раздела 1.2. Это будет рассматриваться для

|λ- 1)(g-1)| > g.  Для простоты предполагаем, что все α^j > 0 в определении k. Тогда начальная точка на Х это Р₁ и скалярное произведение сводится к вычетам произведения в точке Р₁ . Как и раньше ω будет –дифференциалом, а v будет   –дифференциалом. Тогда, с подходящей нормализацией, ω₂(β)  и v₂(-1-β), β может служить как отправная точка для построения ортонормированного базиса, а эта отправная точка будет точный оригинал Кричевера- Новикова базиса  на дважды проколотой поверхности, который был ортогональный с самого начала. Теперь  В_λ(Y)  ортонормализирован через

Ω₂(β)=ω₂(β) , V₂(β)=v₂(-1-β)/<ω₂(β), v₂(-1-β)>,

Ω_j (β)=ω_j (β) –

V_j(β) = 

Тогда есть единственное разложение  любого мероморфического –дифференциала Т на Х, который будет голоморфен на Y, в виде: 

Так как это совместимо с анализом начальных значений задачи, уравнения подобно этому будем называть равным времени разложением в физике.

     Поскольку T мероморфен, сумма по γ остановится после конечного числа шагов. Однако, наш опыт с гармоническим анализом  показывает, что вышеупомянутое уравнение удовлетворяется поточечно на Y, или в смысле среднего, или в смысле распределения также для подходящего класса голоморфных λ-дифференциалов на Y с существенными особенностями в некоторых из проколов.

     Если, в случае λ = 2, T интерпретируется как  классический энергетический тензор импульса (момента), в виде L_j(γ)=<T, V_j(γ)>, то это сводится для N = 2 и g = 0 к известной Вирасоро алгебре .

1.4. Алгебра Вирасоро для N> 2.

     Это известно, что алгебра Вирасоро без центрального расширения алгебра Vec(S ¹ ) векторных полей на окружности. Из работ Кричевера и Новикова, мы изучим, что это появляется в теории струн как алгебра Ли с базисом мероморфных векторных полей на S², которые являются голоморфными на дважды проколотой сфере, и как это может быть обобщено к дважды проколотой  риманой поверхности произвольного рода. Результирующая  алгебра Ли с базисом мероморфных векторных полей, голоморфных вне двух проколов, была тогда проанализирована качественно вычислениями около проколов. Наконец, структурные  коэффициенты должны быть вычислены явно по формулы раздела 1.2.

     По  техническим причинам сконцентрируемся здесь на случае сферы с N проколами. Это интересно в его собственном случае, но только как аппроксимация к глобальному формализму, описанному здесь, но также и ввиду локального формализма, который играет роль , рассматривающий единственный путь на Y, который содержит все проколы.

Поскольку это  не является более сложным, давайте  рассматривать с начала действие на модуле из λ-дифференциалов:

L_γω=λωδ_zv^z+v^zδ_zω

Здесь и в  следующих уравнениях, v будет вектором.

     Будем  использовать карты U_j вокруг проколов, так что z_j(P_j)=0, z₁(P_j)=c_j для j ≥2, и в областях наложения z₁=c_j/(1+c_jz_j) единственные λ-дифференциалы раздела 1.2 будут в этих координатах иметь следующий вид:

ω[-2λ-

и действие на базисе мероморфных векторных полей на сфере, которые являются голоморфны вне N проколов, на соответствующем базисе λ-дифференциалов, будет явно в виде: 

  при j k,  β<0, γ<0: 
 

при k 2, β≥0: 

при j 2, γ≥0: 
 

Если  часть последних уравнений должны анализироваться далее согласно j> 2, n ≥0:

ω_j(n)=

Рассмотрения  на другие представления этой алгебры и ее роли в конформной теории поля, на проколотых поверхностях остается для будущей работы.

   Изучение проколотых поверхностей Римана предлагает следующие три пути:

1. Концептуально самый ясный, но возможно также наиболее трудный, путь мог бы начаться от "явных" формул раздела 1.2, рассматривающего сначала поверхности римана произвольного рода.
2. Другой подход использовал бы локальный формализм, уже упомянутый и, по-видимому, приведет к интенсивному исследованию алгебры Вирасоро на N-проколотой сфере.

Подобным образом, голоморфные λ-диференциалы  на сферах с N проколами, могли бы быть обсуждены как динамические степени свободы, и как корреляционные функции, в структуре "шьющего подхода" к более высокому роду струнных вершин.

     Конечно, большая часть необходимой технологии была уже развита  общими усилиями многих физиков и математиков.

Глава 2. Кричевера – Новикова базис на проколотой римановой поверхности.

2.1. Введение

     Обобщение алгебры Вирасоро на Римановой поверхности высокого рода  Кричевером и Новиковым начато по приложению в формализме оператора на более высоких поверхностях о представлениях алгебры Кричевер – Новикова и соотношений в алгебрах Kacа – Mуди и алгебры Вирасоро, и о их супер симметрических расширениях . Базис из мероморфных λ-дифференциалов, введенных Кричевером и Новиковым, таким образом уже доказал свою большую роль в наших начинаниях по конформной  теории поля на более высокой Римановой поверхности и играет важную роль в развитии взаимодействующей теории струн. Первый шаг в этом направлении – можем заметить факт, что хорошая ручная конструкция Кричевера и Новикова может быть обобщена на N – кратно проколотой Римановой поверхности и не ограничивается случаем дважды проколотой поверхности.

     В разделе 2.2 мы изложим, как единственное существование некоторых голоморфных λ-дифференциалов на N – проколотых поверхностях следует из теоремы Римана – Роха и некоторых лемм, которые будут здесь установлены. Кричевер – Новиков базис  для голоморфных λ -дифференциалов на дважды проколотой поверхности будет обобщен затем на случай большего количества проколов. В разделе 2.3 соответствующее расширение алгебры Вирасоро на N – проколотой сфере исследовано в некоторых деталях.

2.2.  Голоморфные λ  -дифференциалы на N-кратных проколотых поверхностях.

     Прежде, чем приступить к  исследованию голоморфных λ – дифференциалов на проколотой Римановой поверхности, введем понятия, в котором X обозначает компактную Риманову поверхность рода g,  µ^λ(Х) является пространством мероморфных λ – дифференциалов на X, то есть ω  µ^λ(Х)  выглядит в локальных координатах

ω = f(z)dz^λ для λ≥0,

ω = f(z)(∂/∂z)^-λ для λ<0. Тогда  

 будет пространство мероморфных λ-дифференциалом, чьи дивизоры кратны дивизору D. Соответствующие множество мероморфных функций и мероморфных векторных полей как обычно обозначается 

Читатель, незнакомый с этими понятиями, может консультироваться  по книге М. Шлихенмаера .

     Чтобы получить информацию о , нам нужны три основные средства: 1) сначала будет теорема Римана – Роха , которую пишем в виде наиболее подходящей для дальнейших приложений: 

Второе средство - лемма: 

где γ≥0 является некоторым целым числом и P может  быть любой точкой в X, которая отвечает следующему требованию: если {ω_j ,1≤ j ≤ d = } некоторый базис , то вронксиан 

не должен обращаться в нуль в P.

Это условие, конечно, исключает только конечное множество точек потому что иначе из-за компактности X и теоремы единственности W была бы тождественный нуль.

     Для доказательства леммы мы отмечаем, что  
     для  

будет влечь существование нетождественного λ – дифференциала 

Но это противоречит W≠0. Следовательно, для 

размерность Ω^λ _–D-γP (X) должна уменьшиться с до 0. Для γ→γ+1 размерность может уменьшиться только на самое большее на единицу. Чтобы показать это предполагают, что ω и различные элементы

 
 тривиально влечет  существование некоторой линейной комбинации ω и содержащейся в . Это заканчивает доказательство леммы. В случае N = 2, не использовалась  лемма для мероморфных дифференциалов.

     Третье  средство, в котором мы нуждаемся, является таблица 1, которая является известным следствием теоремы Римана – Роха и , если 2λ(g-1)-deg D < 0. 

Таблица 1. Размерностей пространств голоморфных дифференциалов.

     Следовательно, ограничим внимание на дивизоре D, который  удовлетворяет следующим требованиям:

Если D (P) > 0, то P должен удовлетворить условиям леммы относительно , и если D (P) <0, то условия должны выполняться относительно .

     Используя таблицу 1 по другим приложениям теоремы  Римана – Роха и леммы, возможно построить таблицу 2: 
 

        B) λ=0 или g=1 

        C) λ=1 

Таблица 2. Размерностей пространств мероморфных дифференциалов.

     Доказательства этих результатов будут очевидны, но длинными вычислениями по таблице 1, сначала для двух точек Р с ненулевыми  D(P),  а затем для произвольного конечного числа N проколов по переходу от N до N+1. Основной шаг есть вычисления прямо из леммы для D(P) > 0 и по теореме Римана – Роха для  

     Для D=γP таблица 2 выражает Вейштрассовы пробелы для точки Р.

Применяя эти результаты можно построить Кричевера — Новикова базис для мероморфных λ — дифференциалов  на X, с голоморфными вне N фиксированных точек. Соответствующие дивизоры запишем символическим способом как 

Если | (2λ-l) (g-1) | > g, то λ — дифференциалы  ω голоморфные вне P_j , которые удовлетворяют условию 

существует и являются единственно определенными, с точностью до умножения на константу, по множеству целых чисел

Это следует  из таблицы 2 подстановкой D (P_j ) =: 

Будем обозначать такие λ — дифференциалы через 

Тогда базис  для всех мероморфных λ – дифференциалов, голоморфных вне проколов  X \{P₁ ,…P_N}, дается множеством 

Для  доказательства этого утверждения сначала заметим, что есть линейная независимость дифференциалов из этого множества. Кроме того  

для D’>D.  Следовательно, достаточно  доказать  для достаточно малых D, что будет порожден дифференциалами из этих множеств. Для окончания рассмотрим дивизор 

с β_j <0 и m

Соответствующее (m+l) – мерное пространство, содержит множество  

Это завершает  рассмотрение случая | (2λ-l)(g-1) |> g.

     Работа  в других случаях требует большей осторожности:

 Для λ=0 или  g = 1 мероморфные функции f, которые являются, голоморфными вне точек P_j , будут с точностью до умножения на  константу, единственно определятся по своим порядкам в P_j , если  
 

Для N> 2 часть этих функций дает некоторое базисное множество:

{f[- g - γ₂ , γ₂ ,0,…0], γ₂  <- g или γ₂ >0} U

U {f [-g-l- γ₂, γ₂, l,0,...0], -g ≤ γ₂ <0} U {f [0... 0] }U

U { U

U {

Доказательство  этого утверждения подобно прежнему. Для N = 2 Кричевера – Новикова базис спускает части, соответствующих для j> 2.

Мероморфный 1-диференциал µ, голоморфный  вне точек , будет единственно определятся по своим порядкам в , если: 

или 

или 

Это дает некоторый  базис мероморфных 1- дифференциала, голоморфных на X\{P₁,…P_N} для N> 2:

{µ[ g-2 - γ₂ , γ₂ ,0,…0], γ₂  <- 1 или γ₂ ≥ g} U

U {µ [g-l- γ₂, γ₂, 0,...0], 0≤ γ₂ <g} U {µ [-1,-1,g,0... 0] }U

U { U

U {

     Доказательство  снова проводится подобно  случаю | (2λ-1) (g-l) | > g. Базис для дважды проколотой поверхности [2] будет получаться упущением частей, связанных с P_j для j> 2. В работах [1,2] абелевы дифференциалы третьего рода с полюсом порядков -1 будут единственно определятся не по требованию g-кратности нулю, но по условию на чисто мнимые периоды по всем циклам C: 
 

Схематично как  эти понятия интегрируются временем τ на римановой поверхности: 

Этот эволюционный параметр  имеет свойства τ(P ₁ )= - ∞, τ(P ₂ )=  ∞, если будет выбрано положительное [1]. Это поддерживает  интерпретацию дважды проколотых поверхностей как собственную энергию графов  и можно обобщить это понятие на N – кратно проколотые  поверхности. Для достижения этого множества проколов в соответствии с S_j = {Р_j, 1 ≤ j ≤ I} и S_f = { Р_j, I ≤ j ≤ N }. Кроме того введем некоторые сокращения:

µ₀ (γ)= µ [g-1-γ,γ,0,0…0] для 0 ≤ γ < g,