Интеграл Лебега

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

 

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Факультет физико-математического  образования, информатики

и программирования

 

Кафедра математики и математических методов в экономике

 

 

 

 

К У Р С О В А Я    Р А Б О Т А

 

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

 

 

 

Выполнила:

Горбатенко Елена Сергеевна, студентка группы ПМИ, II курса ФМОИиП,

очной формы обучения

 

Научный руководитель:

Верещагин Борис Михайлович,

кандидат физико –  математических наук,

доцент кафедры МиММЭ

 

 

 

 

Мурманск

2013

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………3

ГЛАВА 1. ……………………………………………………………………4

1.1. Простые функции ……………………………………………………...4

1.2. Интеграл Лебега от простых функций……………………………… 5

ГЛАВА 2…………………………………………………………………... 9

2.1. Определение интеграла Лебега……………………………………... 9

2.2. Основные свойства интеграла……………………………………… 18

2.3. Предельный переход под знаком интеграла ….………………….....26

ГЛАВА 3. ……………………………………………………………………31

3.1. Сравнение интегралов Римана и Лебега ….………………………....31

3.2. Примеры ….…………………………………………………….……...40

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29

ИСТОЧНИКИ И ЛИТЕРАТУРА 45

 

 

 

 

 

Введение

 

Понятие интеграла Римана, известное  из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково  для функций, заданных на любых пространствах  с мерой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций  одного переменного, а затем уже  с соответствующими изменениями  переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла.

Всюду, где не оговорено  противное, будет рассматриваться  некоторая полная s-аддитивная мера m, определенная на s-алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А Ì Х будут предполагаться измеримыми, а функции f(x) - определенными для xÎ Х и измеримыми.

 

ГЛАВА 1.

1. Простые функции

 

Определение 1. Функция f(x), определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется  следующей теоремой.

Теорема 1. Функция f(x), принимающая не более чем счетное число различных значений

 

y₁, y₂, … , y_n, … ,

 

измерима в  том и только том случае, если все множества

 

A_n={x : ¦(x)=y_n}

 

измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое A_n есть прообраз одноточечного множества {y_n}, а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f^-1(B) любого борелевского множества есть объединение не более чем счетного числа измеримых множеств A_n, т. е. измерим.

Использование простых  функций в построении интеграла  Лебега будет основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию f(x) и положим f_n(х)=m/п, если т/п f(x)<(m+1)/n (здесь т - целые, а п - целые положительные). Ясно, что функции f_n(x) простые; при п® они равномерно сходятся к f(x), так как çf(x)- f_n(x)ç£1/n.

 

1.1 Интеграл Лебега для простых функций

 

Мы введем понятие  интеграла Лебега сначала для  функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих  конечное или счетное число значений.

Пусть f—некоторая простая функция, принимающая значения

 

y₁, y₂, … , y_n, … ; y_i y_j при i j,

 

и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.

Естественно определить интеграл от функции f по множеству А равенством

 

=

 

где A_n={x: x A, f(x)=y_n}, (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему определению (в котором по понятным причинам заранее постулируется абсолютная сходимость ряда).

Определение 2. Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой (по мере m) на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.

В этом определении предполагается, что все у_n различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида c_km(B_k) и не предполагая, что все c_k различны. Это позволяет сделать следующая лемма.

Лемма. Пусть А= , B_i B_j=Æ при i j и пусть на каждом множестве B_k функция f принимает только одно значение c_k; тогда

= , (2) причем функция f интегрируема на А в том и только том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство. Легко видеть, что каждое множество

 

А_n={х: хÎА, f(x)=y_n}

 

является объединением тех B_k, для которых с_k=y_n. Поэтому

 

= = .

 

Так как мера неотрицательна, то

 

= = ,

 

т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Установим некоторые  свойства интеграла Лебега от простых функций

 

A) = + ,

 

причем из существования  интегралов в правой части равенства  следует существование интеграла  в левой.

Для доказательства предположим, что f принимает значения f_i на множествах F_i Ì A, a g — значения g_j на множествах G_j Ì A, так что

J₁= = , (3)

J₂= = . (4)

 

Тогда в силу леммы

 

J= = ; (5)

 

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом

 

J=J₁+J₂.

 

Б) Для любого постоянного k

 

=k ,

 

причем из существования  интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части. (Проверяется непосредственно.)

В) Ограниченная на множестве А простая функция f интегрируема на А, причем, если ½f(x)½£ M на A, то

 

½ ½£ M_m(A).

 

(Проверяется непосредственно.)

 

ГЛАВА 2.

2. Определение интеграла Лебега

 

Классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматривается конечная функция f(x), заданная на сегменте [a, b]; этот сегмент разбивается на части точками

 

x₀ = a < x₁ < x₂ < ¼ < x_n = b

 

в каждой части [x_k, x_k+1] выбирается точка x_k и составляется риманова сумма

 

s = .

 

Если сумма s при стремлении к нулю числа

 

l = max(x_k+1 – x_k).

 

стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a, b], ни от выбора точек x_k, то этот предел I называется интегралом Римана функции f(x) и обозначается символом

 

.

 

Иногда, желая подчеркнуть, что  речь идет именно о римановом интеграле, пишут

 

(R) .

 

Функции, для которых  интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что  всякая непрерывная функция интегрируема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируемые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет  интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Дирихле , которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

 

1, если x рационально,

y(x) =

0, если x иррационально.

 

Легко видеть, что эта функция  не интегрируема (R), ибо сумма s обращается в 0, если все точки x иррациональны и s = 1, если все рациональны.

Таким образом, риманово определение  интеграла страдает существенными  недостатками - даже очень простые  функции оказываются неинтегрируемыми.

Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.

Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана s, мы дробим сегмент [a, b] на мелкие части [x₀, x₁], [x₁, x₂], ¼ ,[x_n-1, x_n] (назовем их через e₀, e₁, ¼ , e_n-1), в каждой части e_k берем точку x_k и, составив сумму

 

s = ,

 

требуем, чтобы она  имела предел, не зависящий от выбора точек x_k в множествах е_k. Иначе говоря, каждая точка х из множества е_k может быть взята за x_k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы s. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки x_k мало изменяет величину f(x_k). Но что же объединяет между собой различные точки х множества e_k? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо е_k есть малый сегмент [x_k, x_k+1].

Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки x_k в пределах множества e_k мало влияет на величину суммы s, но для функция разрывной это вовсе не так.

Иначе можно сказать, что множества e_k составлены так, что только для непрерывных функций значение f(x_k) можно считать нормальным представителем других значений функции на e_k.

Таким образом, самое  определение риманова интеграла  можно считать вполне оправданным  лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R) необходимо, чтобы рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».

Желая обобщить понятие  интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества e_k не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [a, b], расположенный на оси абсцисс, а сегмент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f(x):

 

A = y_o < y₁ < ¼ < y_n = B

 

Если составить множества e_k так:

 

e_k = E(y_k £ f < y_k+1),

 

то ясно, что различный  точкам х Î е_k и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим  представителем значений функции на множестве e_k может служить, например, y_k, так что естественно положить в основу понятия интеграла сумму

 

.

 

Перейдем теперь к точному изложению  вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f(x), причем

 

A<f(x)<B. (1)

 

Разобьем сегмент [А, В] на части точками

 

y_o = A < y₁ < y₂ < ¼ < y_n = B

 

и соотнесем каждому полусегменту [у_k , у_k+1) множество

 

e_k = E(y_k £ f < y_k+1)

 

Легко проверить четыре свойства множеств e_k:

1) Множества e_k попарно не пересекаются: e_ke_k¢ = 0 (k ¹ k').

2) Эти множества измеримы.

 

3) E =

4) тЕ =

 

Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S:

2. S = S =

 

Если мы положим

 

l = max (y_k+1 – y_k),

 

то будем иметь

 

0 £ S – s £ lmE. (2)

 

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s₀ и S₀. Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется

 

s₀ £ s, S £ S₀.

Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство. Допустим, что

 

y_i < < y_i+1. (3)

 

Тогда при k ¹ i полусегменты [y_k, у_k+1), а с ними и множества e_k, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [y_i, y_i+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

 

[y_i, ), [ , y_i+1),

 

в связи с чем и  множество e_i разбивается на два множества

 

= E(y_i £ f < ), = E( £ f < y_i+1).

 

Очевидно, что

 

e_i = + , = 0,

 

так что

 

me_i = m + m . (4)

 

Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s₀ заменой слагаемого y_ime_i двумя слагаемыми y_im + m , откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s ³ s₀.

Для верхних сумм рассуждение  аналогично.

Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.

Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s₁ и s₂ и верхние суммы S₁ и S₂.

Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s₃ и S₃, то, в силу леммы, s₁ £ s₃, S₃ £ S₂, откуда, в связи с тем, что s₃ £ S₃, ясно, что s₁ £ S₂, а это и требовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S₀. Так как для всякой нижней суммы s будет s £ S₀, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U = sup{s}.

Тогда, ясно, что

 

U £ S₀.

 

Ввиду произвольности суммы S₀, последнее неравенство доказывает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через V его точную нижнюю границу

 

V = inf{S}.

 

Очевидно, при любом  способе дробления будет

 

S £ U £ V £ S.

Но, как мы отмечали, S – s £ lmE, откуда

0 £ V – U £ lmE

 

и, так как l произвольно мало, то

 

U = V.

 

Определение. Общее значение чисел U и V называется интегралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом

 

(L)

 

В тех случаях, когда  смешение с другими видами интеграла  исключено, пишут просто

 

 

В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы

 

(L)

 

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, интегрируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1. Если l ® 0, то суммы Лебега s и S стремятся

к интегралу 

Теорема непосредственно  вытекает из неравенств

 

S £ £ S, S – s £ l× mE.

 

Из этой теоремы, между  прочим, следует, что значение интеграла  Лебега, которое в силу самого определения  его связано с числами А и В, на самом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

 

A < f(x) < В, A < f(x) <B*,

 

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

 

A = у₀ < у₁ < ¼ < y_n = В,

 

причем включим и  точку В* в число точек деления В* = у_т.

Если мы составим множества e_k, то легко убедиться, что

 

e_k = 0 (k ³ m).

 

Значит,

 

s = = = s*,

 

где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сегмента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, найдем, что

 

I = I*,

 

где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегментам [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отражается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора точек А и В.

 

3. Основные  свойства  интеграла

 

В этом параграфе мы установим ряд  свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f(x) £ b, то

 

a× mE £ £ b× mE.

 

Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим

 

A = a - , B = b + ,

то окажется, что

A < f(x) < B,

 

и суммы Лебега можно  будет составлять, дробя сегмент [А, В].

Но еслиA £ y_k £ B, то, очевидно,

 

A £ £ B

 

или, что то же самое,

 

A× mE £ s £ B× mE,

 

откуда и в пределе

mE £ £ mE.

 

В силу произвольности числа n, теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то

 

= c× mE.

 

Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет

 

= 0.

 

Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств

 

E = (E_k = 0, k ¹ k^’),

то

=

 

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

 

Е = + ( = 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

 

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у₀, y₁,¼ , у_n, составим множества

 

e_k = E(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’= E’(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’’= E’’(y_k £ f < y_k+1),

 

то, очевидно, будем иметь

e_k = e_k^’ + e_k^’’ (e_k^’e_k^’’ = 0),

 

откуда

 

= +

 

н в пределе, при l ® 0,

 

= +

 

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим  теорему на случай любого конечного  числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда

 

E = .

 

В этом случае

 

 = mE,

 

так что при n ® ¥ будет

 

® 0. (*)

 

Заметив это, положим

 

= R_n.

 

Так как для конечного  числа слагаемых множеств теорема  уже доказана, то

 

= + .

 

В силу теоремы о среднем

 

A× mR_n £ £ B× mR_n,

а в силу (*) мера mR_n множества R_n стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что

 

® 0.

Но это и означает, что

=

 

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то

 

= .

 

Действительно, если

 

А = Е(f ¹ g), B = E(f = g),

то mA = 0 и

= = 0.

 

На множестве же В обе функции тождественны и

 

= .

 

Остается сложить это  равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.

Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на сегменте [-1, +1], так:

 

 1 при x ³ 0,

f(x) =

 -1 при x < 0,

 

то

= + = -1 + 1 = 0,

 

хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.

Однако справедливо

Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю

 

 (f(x) ³ 0),

 

то эта функция  эквивалентна нулю.

В самом деле, легко  видеть, что

 

E(f>0) = .

 

Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n₀, что

 

mE = s > 0.

 Полагая

 

A = E , B = B - A,

 

мы имели бы, что

 

 ³ s, ³ 0,

 

и, складывая эти неравенства, мы получили бы

 

 ³ s,

 

что противоречит условию.

Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и F(x), то

 

= + .

 

Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то

 

= c .

 

Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то

 = - .

 

Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если

 

f(x) £ F(x),

то

 £ .

 

Действительно, функция F(x)—f(x) не отрицательна, так что

 

 - = ³ 0.

 

Теорема 6. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то

 

 £

4. Предельный  переход под знаком интеграла

 

Здесь мы рассмотрим следующий  вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций

 

f₁(x), f₂(x), f₃(x), ¼ , f_n(x), ¼

 

которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой ограниченной функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение

 

= (1)

 

Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции f_n(x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:

 

 n при xÎ ,

f_n(x) =

0 при x ,

 

то при всяком x Î [0, 1] будет

 

f_n(x) = 0, но = 1,

 

и этот интеграл не стремится к  нулю.

Поэтому естественно  поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию f_n(x), чтобы равенство (1) все же имело место.

Мы ограничимся доказательством  следующей теоремы.

Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f₁(x), f₂(x), f₃(x), ¼ измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции F(х)

 

f_n(x) Þ F(x).

 

Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х

 

 < K,

то

= (1)

 

Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Î Е будет

 

 £ K. (2)

 

В самом деле, из последовательности {f_n(x)} можно (на основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность { (x)}, которая сходится к F(x) почти везде. Во всех точках, где

 

(x) ® F(x),

 

можно перейти к пределу в  неравенстве  < K, что и приводит к (2).

Пусть теперь s есть положительное число. Положим,

 

A_n(s) = E( )³s), B_n(s) = E( )<s.

Тогда