Интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл, центр тяжести, масса тела, граф, уровни, отношения, матрица

Министерство  образования Российской федерации

Институт  Энергетики и Транспорта

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

им. академика  С. П. Королёва 
 
 
 

Кафедра общеинженерной подготовки 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  высшей математике 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Работу  выполнил:

 студент  гр. 10201

Киселёв И.В. 

Работу  проверил:

 доцент  Осипов А. И. 
 

     Самара,  2007 

Реферат 

Курсовая  работа: …стр., …рис., …табл., …ист. 
 
 
 

интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл, цЕНТР ТЯЖЕСТИ, мАССА ТЕЛА, граф, УРОВНИ, ОТНОШЕНИЯ, МАТРИЦА. 
 
 
 
 
 

Выполнено: решение дифференциальных уравнений Ι порядка, решение дифференциальных уравнений IΙ порядка, вычисление кратных интегралов, определение элементов теории графов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

Задание на работу 
 
 
 
 
 
 

Кафедра общеинженерной подготовки 

ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ

Студенту гр. 10201

ВАРИАНТ № 10 

1. Содержание  задания.

1.1. Применить  методы высшей математики к  решению указанных задач. 

2. Исходные данные

2.1 Задание  кафедры 

3. Перечень и объём графических и текстовых документов.

3.1 Текст работы: ……. Листов А4 

4. Календарный  план выполнения работы. 

 

Основные  обозначения 
 

С – произвольная постоянная; 

x₀, y₀ – заданные числа; 

V – Объём тела; 

М – масса тела; 

σ – площадь поверхности 

XЦ. , YЦ.-координаты центра тяжести. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      В настоящее время актуальным является применение математики для решения целого ряда проблем в различных реальных процессах, происходящих в природе или на разных предприятиях. В данной работе, состоящей из трех частей, проведены расчеты для решения поставленных задач.

      В первой части решены задачи с помощью  дифференциальных уравнений Ι порядка. Вторая часть посвящена дифференциальным уравнениям ΙΙ порядка. В третьей части были рассмотрены кратные интегралы. В четвертой

части содержатся краткие сведения теории графов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Решение дифференциальных уравнений 

        Пусть функция y=f(x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости y от x, а можем установить зависимость между величинами x и y и производными от y по x: y’, y”,…,. , т.е. написать дифференциальное уравнение.

          Из полученной зависимости между  переменной x, y и производными требуется установить непосредственную зависимость y от x, т.е. найти y=f(x) или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение. 

          Определение 1. Дифференциальным  уравнением называется уравнение,  связывающее независимую переменную  x, искомую функцию y=f(x) и ее производные  y’, y”,…,. .

          Символически дифференциальное  уравнение можно записать 

так: 

                                          F (x, y, y’, y”,…,

)=0                                      (1)

или 

                            

                              (2) 

         Если искомая функция y=f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.  

         Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

         Так, например, уравнение

Есть  уравнение первого порядка. 

         Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. 
 
 
 
 
 
 

1.1. Решение дифференциальных уравнений І порядка 
 

      К дифференциальным уравнениям І порядка  относятся уравнения общего вида 

                        F(x, y, y΄) =0        (3)

а также уравнения, разрешенные относительно y΄  

                        y΄ = f(x, y)        (4)

и в форме 

                        P(x, y) dx + Q (x, y) dy =0     (5) 

      Для нахождения решения дифференциальное уравнение интегрируют и получают функцию y=φ(x, C) или уравнение Ф (x, y, C) = 0, где С - произвольная постоянная. Функция называется общим решением уравнения, приведенное уравнение – его общим интегралом.

        Для нахождения частного решения  y = φ (x, C₀)  или частного интеграла Ф (x, y, C₀) = 0  уравнений (3) ÷ (5) задаются начальным условием y(x₀) = y₀, где x₀, y₀ – заданные числа. Эта задача называется задачей Коши.

      В курсе рассматриваются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах.    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1.1.1. Аналитическое решение 

Условие задачи:

      Дифференциальное  уравнение движения самолёта при  пассивном методе полёта на радиостанцию в определённых метеорологических условиях имеет вид , где х, у-координаты местоположения самолета относительно радиостанции. Найти общее решение уравнения.

Указание  к решению: В случае записи исходного уравнения в виде P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 разумно в подстановке y/x=u, y=ux, y´= u´x+u принять dy=xdu+udx

Рис.1 

Решение:

 

Разделим переменные

 
 
 
 
 

Проинтегрируем

Ответ:  
 

1.1.2. Приближённое решение методом Пикара 
 

      Это приближённый метод решения, является обобщением метода последовательных приближений. Для решения задачи Коши применительно к уравнению первого порядка имеем:                                  (6)  

                                           (7) 

Применяя метод  последовательных приближений получим итерационный процесс:                                                                      (8)

На каждой стадии процесса интегрирование выполняется  либо точно, либо численными методами (по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона). 
 

Применительно к данной задаче находим:

  

Смотреть Графики  решений (метод Пикара)

1.1.3. Таблица приближенных значений 

     Таблица№1 

 
 

1.1.4. Графики решений 
 

 

Рис.2

1.1.5. Сравнение методов 

        Из проведенного исследования видно, что наиболее точным методом является метод Рунги-Кутты 2. Его график максимально близко подходит к графику точного решения. Метод Пикара и метод Эйлера дают менее точное приближение. Из рисунка 2 видно, что они вскоре и вовсе разойдутся с графиком точного решения. Метод Рунги-Кутты 1 дает сравнительно среднее приближение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Решение дифференциальных  уравнений ІІ порядка 
 

      Дифференциальным  уравнением ΙΙ порядка называется уравнение, заданное в неявном виде

                  F(x, y, y^', y'') = 0                                                                       (9)

или уравнение, разрешённое относительно старшей производной

                              y'' = f(x, y', y'').                                                                        (10) 

Здесь x – аргумент; y – неизвестная функция.

      Различают общее решение функции y = j (x, C_1, C₂) и общий интеграл (уравнение Ф (x, y,C₁, C₂)) уравнений (8), (9), где C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

      Нахождение  решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , , называется задачей Коши. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения.

  

1.2.1.Аналитическое решение 
 

Условие задачи:

      Решение одной из задач об управление летательного на орбите требует исследования интеграла уравнения,      где x и y-координаты аппарата в системе координат, связанной с наблюдателем. Найти частный интеграл при заданных начальных условиях.                                                                                   

Начальные условия:    

Указания  к решению:

      Данное  уравнение вида не содержит в явном виде независимую переменную x. Для решения полагаем , тогда и получим уравнение I порядка , в котором неизвестной функцией является p(y), а независимой переменной y. 

 

Рис.3 
 

Решение: 

      В данном случае после подстановки  получим ДУ I порядка с разделяющимися переменными: . Разделим переменные и проинтегрируем:

Подставим в  последнее соотношение  , получим ДУ I порядка.

 

Конкретные значения независимых переменных найдем, решая относительно С1, С2 следующую систему , при указанных НУ Окончательно получим С1=2, С2=5 

Ответ: 

Вывод 

      Дифференциальные  уравнения имеют исключительно важное значение для современного естествознания и техники. В данном разделе рассмотрено приложение дифференциальных уравнений к решению задач авиационной тематики.  Дифференциальные уравнения также применяются в механике. Все расчеты по динамике сводятся к решению дифференциальных уравнений. И поэтому они имеют прямое отношение к нашей специальности а, следовательно, их знание необходимо.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                     2. Кратные интегралы 

2.1. Центр тяжести фигуры 

      Центр тяжести – это некоторая осреднённая  точка, в которой может быть сосредоточена  сила веса (тяжести) тела или пластины, то есть момент весов всех элементарных частиц должен быть уравновешен в точке центра тяжести объекта.  

Задание №1

      Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями : y=sinx

и прямой ОА, проходящей через начало координат и точку А (p/2;1) (y³0) 
 
 

 

Рис.4 

Решение:

      Т.к. пластина однородна, то поверхностная  плотность g(x; y) постоянна, поэтому формулы примут вид:

                                            (11)

Вычислим XЦ. , YЦ.

2.2. Площадь поверхности 

      Пусть поверхность задана уравнением z=f(x, y), проекцией функции f(x, y) на плоскость OXY является область D и в этой области функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f′x(x, y)  и  f′y(x, y), тогда площадь поверхности определится соотношением                                                                          (12)

Задание №2

     Найти площадь поверхности сферы , вырезанную цилиндром .  

Графическое представление:

                                                                                    Проекция на плоскость XOY

 

                                                                                                                                         

Рис.5 
 
 
 
 
 

Решение:

      В силу симметрии достаточно вычислить  площадь поверхности только верхней «шапочки» и результат удвоить 

 

Проекция  поверхности на плоскость OXY-круг , следовательно, удобнее перейти к полярным координатам .

Уравнение окружности примет вид 

                               

Вся площадь  поверхности равна 

 

Ответ:  
 

2.3. Объем тела 

     Объём тела, ограниченного поверхностью z=f(x,y), где f(x,y) – неотрицательная функция, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D, которая является ее проекцией на плоскость OXY. 
 
 

Задание №3

Найти объем  тела, ограниченного поверхностями

  (внутри цилиндров)

Графическое представление: 

Проекция  на плоскость XOY  

 
 

Рис.6 

Решение:

      Вычислим 1/8 искомого объема, а именно ту его часть, которая расположена в первом октанте. В качестве области интегрирования придется взять полукруг, границы которого подынтегральная функция

Перейдем к  полярным координатам 

 

Определим границы  интегрирования. Напишем уравнение  данной окружности в полярных координатах        

Следовательно, границы области определяются уравнениями:  

Ответ:   
 

2.4. Масса тела 

      Если  дано некоторое тело объемом V с плотностью ρ=γ(x, y, z), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл

  представляет собой массу М данного тела.  

Задание №4

      Найти массу тела, ограниченного шаром , если  плотность g(x,y,z) пропорциональна кубу расстояния от центра шара и на единице расстояния равна g¢. 
 

Решение:

 
 
 
 
 

Перейдём  к сферическим координатам:

Ответ:  
 

2.5. Геометрические и физические приложения кратных интегралов 

Задание №5

      Найти площадь части поверхности z=y , заключенной внутри цилиндра (y³0). 

Решение:

      Линией пересечения плоскости z-y=0 и цилиндра является эллипс, который проецируется на плоскость XOY в окружность

, т.к. y³0 , то

Целесообразно перейти к полярным координатам 

уравнение в полярных координатах ;

 

Ответ:  

Задание №6

    Найти объем тела, образованного поверхностями  y=5/x , x+y=6 , z=0 ,

z=4. 

Графическое представление:

                                                                                

                            

Проекция  на плоскость XOY

 

Рис.7 
 

Решение:

      
 

Ответ:

Вывод.

      В заключение этого раздела следует  отметить, что кратные интегралы имеют очень широкую область применения. В данной главе показывается как с помощью двойных и тройных интегралов вычисляются координаты центра тяжести, объем, площадь криволинейной поверхности, масса плоских и объемных тел и этим не ограничивается круг их применения. Кроме того, с их помощью можно определять статические моменты, моменты инерции и другие, геометрические и физические характеристики тел. При решении задач с помощью кратных интегралов не требуется использование громоздких формул и вычислений и это является значительным преимуществом этого метода расчета.