ПАКЕТЫ  ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

В настоящее  время программные средства, ориентированные  на решение математических задач (при этом, под математической понимается любая задача, алгоритм которой может быть описан в терминах того или иного раздела математики), весьма обширны и условно могут быть дифференцированы на пять уровней:

1. встроенные средства различной степени развития той или иной системы программирования;  (системы программирования, как Basic, С, Pascal)
2. специальные языки программирования; (Fortran, Prolog)
3. узкоспециальные.( пакеты MacMath, Phaser, Eureka)
4. специальные (пакеты StatGraf, Macsyma, Dynamics, Derive)
5. общие пакеты. (MathCAD, REDUCE, MatLab)

Наконец, современное  развитие компьютерных технологий, ориентированных  на создание интегрированных пакетов multimedia- технологии привело к появлению нового уровня математических пакетов, из которых наиболее известными являются пакеты MAPLE V фирмы Maple Software Inc. и Mathematica фирмы Wolfram Research Inc.

Пакет MATHCAD как средство решения математических задач.

Общая характеристика пакета

Пакет имеет  естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты их набора типа предлагаемых в Microsoft Equation

Mathcad оборудован  текстовым процессором, позволяющим,  например, оформить статью без помощи специализированных средств.

Особенности ввода:

• Мнимая единица записывается как i или j сразу после числового множителя.
• Углы по умолчанию задаются в радианах.
• Латинские буквы, цифры и знаки операций, включая возведение в степень
• указывающие прядок действий круглые скобки

- набираются  непосредственно с клавиатуры.

Нажатие [Ctrl+G] вслед  за набором латинской буквы преобразует  ее в греческую.

Умножение набирается как *, деление — посредством /. В  процессе ввода, знак умножения автоматически заменяется точкой, а делимое и делитель представляются как числитель и знаменатель дроби. Знак возведения в степень переводит последующее выражение в показатель степени, а открывающая квадратная скобка — в индекс. Возврат на основной уровень строки, (а также переход к набору знаменателя) выполняется нажатием [Space].

Набор \ вызывает шаблон для квадратного корня, апострофа  — появление круглых скобок вокруг выделенного подвыражения, вертикальной черты — шаблон для вычисления абсолютной величины или определителя матрицы.

Присваивание  переменным; числовых значений производится набором конструкции <имя>:<число> (двоеточие будет заменено знаком присваивания).

Например x:6 получаем на экране x:=6.<

Вывод результатов  выполняется по нажатию клавиши [=]. Знаки равенства в условиях и уравнениях набираются только по [Ctrl+=]. Набор завершается нажатием [Enter] или щелчком мышью вне поля набора.

Интерфейс пакета MATHCAD

MathCAD работает  с документами. С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области.

Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение - слева направо и сверху вниз. Точка ввода на рабочем листе отмечается красным крестиком он называется «визир»

Математические  выражения

К основным элементам  математических выражений MathCAD относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

Операторы - элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.

К типам данных относятся числовые константы, обычные  и системные переменные, массивы (векторы и матрицы)

Функции

Функция - выражение, согласно которому проводятся некоторые  вычисления с аргументами и определяется его числовое значение.

Следует особо  отметить разницу между аргументами  и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после  имени функции, являются ее аргументами  и заменяются при вычислении функции  значениями из скобок.

Переменные в  правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции.

Главным признаком  функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные. Способы вставки встроенной функции

• Выбрать пункт меню Вставка / Функция. 
• Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E. 
• Щелкнуть на кнопке

Текстовые области

Текстовая область  предназначена для небольших  кусков текста - подписей, комментариев и т. п. Вставляется с помощью  команды Вставка / Текстовая область или комбинации клавиш Shift + " (двойная кавычка).

Графические области

Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим MathCAD на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика:

1. Установить визир в пустом месте рабочего документа.
2. Выбрать команду Вставка / График / Х-У график, или нажать комбинацию клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку Графики. Появится шаблон декартового графика.
3. Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую - вторую и так до 10, например х1, х2, …
4. Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую - вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или соответствующие выражения.
5. Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y).

Пример:

Решение математических задач  с помощью MATHCAD

Численное решение нелинейного  уравнения 

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root.

root( f(х1, x2, …), х1, a, b )

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы

f(х1, x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 -имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b - необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Приближенные  значения корней (начальные приближения) могут быть:

1. Известны из физического смысла задачи.
2. Найдены графическим способом.

Наиболее распространен  графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0 - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

Пример решения  нелинейного уравнения:

Нахождение  корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

_nxⁿ _{+ ... + v2x}² _{+ v1x + v0,}

_{лучше использовать функцию  polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.}

_Polyroots(v)

_{возвращает  корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.}

_{Аргументы: v - вектор, содержащий коэффициенты полинома.}

_{Вектор v удобно создавать  использую команду  Символы Þ Коэффициенты полинома.}

_{Пример  нахождения корней полинома:}  

_{Решение систем уравнений}

_{MathCAD дает возможность  решать также и  системы уравнений.  Максимальное число  уравнений и переменных  равно 50. Результатом  решения системы  будет численное  значение искомого корня.}

_{Для решения системы  уравнений необходимо выполнить следующее:}

1. _{Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.}
2. _{Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.}
3. _{Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,}
4. _{Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).}

_{Find(z1, z2, . . .)}

_{Возвращает  точное решение системы  уравнений. Число  аргументов должно быть равно числу неизвестных.}

_{Ключевое  слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.}

_{Блоки решения уравнений  не могут быть вложены  друг в друга, каждый блок может иметь  только одно ключевое слово Given и имя функции Find.}

_{Пример  решение системы  уравнений в MathCAD.}

_{Возможности пакета MAPLE для решения  математических задач.}

_{Общая характеристика пакета}

_{Документ  системы Maple состоит  из различных объектов — текстовых областей, областей ввода, графических областей, секций, подсекций и т.д. На экране дисплея в среде Maple по умолчанию строки ввода прописаны красным цветом, ответ системы - синим, комментарии пользователя - черным. В строках рабочего листа после приглашения > набираются команды состоящие главным образом ввызове ее процедур. Команды выполняются последовательно сверху вниз. Команды Maple завершаются символами : или ; (первый вариант подавляет вывод). Часть строки после символа. # воспринимается как комментарий.}  

_{Типы  данных}

_{Входной язык пакета Maple не предусматривает  обязательного объявления типов переменных. К встроенным типам  данных, относятся  рациональные, вещественные (с плавающей точкой), логические и символьные.}

_{Система имеет встроенные константы Pi, I = . Основание натуральных логарифмов е отсутствует, и работа с ним: заменяется ссылками на функцию ехр. В частности, собственно е приходится представлять как ехр(1). Бесконечность задается словом infinity. Все переменные по умолчанию считаются комплексными.}

_{Из  элементарных объектов могут быть сформированы более сложные – множества и списки. Элементы множества перечисляются через запятую в фигурных скобках и порядок их не важен, элементы списка – в [  ] и порядок важен. Обычно решения уравнений выдаются в виде списка.}

_{Операторы обработки}

_{Для формирования выражений используют стандартные символы +, -, *, /, ^, !.}

_{Чтобы запомнить результаты вычислений необходимо присвоить некоторой  переменной это значение. Ссылки на результаты трех предшествующих пунктов рабочего листа осуществляются с помощью знака %. Соответствующей кратности. Например:}

_{>ex:=expand((x+l)*(x~2-x+l)); #перемножить}

_ex:=x^3+1

_{>factor(%); #разложить на множители выражение, полученное в предыдущем пункте}

_{(x+l)(x^2-x+l)}

_{Примеры использования Maple для  решения математических задач}

_{Решение уравнений и систем уравнений}

_{Используется  оператор Solve(выражение, переменная);}

_{Пример:}    

_{>ex:=x^2+2*x-12;}

_{>sol:=solve(ex,x);}

_{>sol:=[1,-1, ,- ];}

_{Если  необходимо решить систему  уравнений по одной  или нескольким переменным данные необходимо вводить  как множества - в  фигурных скобках.}

_{Эквивалентные преобразования}

_{subs – выполняет замену переменных во втором аргументе согласно первому.}

_{Пример:         > subs (x=sqrt(r), 3*x+x^2);}

_{expand - разворачивает произведения и функции сложных аргументов в суммы}

_{Пример:}        

_{> expand((x+3)*(x-2));}

_{> expand(cos(x-y));}

_{factor выполняет противоположные преобразования.}

_{Пример:}  

_{> factor(x^3-1,complex);}

_{normal - приводит выражение к форме многочленов или дробей, числитель и знаменатель которых – взаимно простые полиномы с целыми коэффициентами.}

_{Пример:} 

_{> normal ((x^2-y^2)/(x-y)^3);}

_{combine – пытается объединить показатели степенных функций-сомножителей и понизить степени тригонометрических функций переходом к кратным углам.}

_{Пример:} 

_{>combine(4*sin(x)^3,trig);}

_{>combine(exp(x)^2*exp(y),exp);} 

_{Операции  математического  анализа}

_{Графические возможности пакета Maple}

_{Построение  двумерных и трехмерных графиков.}

_{Используется  команда Plot (f,h,v,options) где  f – задаваемая функция, h – диапазон аргумента (по умолчанию –10,10), v – диапазон значений функции (необязателен), options – опции, задающие вид координат, внешний вид графика и т.п.} 

_{Столь же просто, как и  график обычной функции в Декартовой системе координат, можно построить график трехмерной поверхности. В данном случае задана функция двух переменных Z(x,y):=sin(x*y) и ее график строится с использованием графической функции plot3d.}