Исследование активного RC-фильтра

Санкт-Петербургский государственный  университет телекоммуникаций 
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

По предмету ОТЦ

 

«Исследование активного RC-фильтра»

 

63 вариант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка группы СК-94

Коваленко Екатерина

 

 

Проверил: профессор

Филин Владимир Алексеевич

 

 

 

 

 

2011 г.

 

В курсовой работе требуется:

 
 

1. Найти операторную передаточную функцию (ОПФ) фильтра, составив и решив систему узловых уравнений: 
   
2. Получить выражения для АЧХ и  ФЧХ фильтра, построить их графики и указать тип фильтра; 
   
3. Найти передаточную характеристику первого звена фильтра и построить ее график; 
   
4. Оценить допустимую величину ступенчатого воздействия на фильтр, если напряжение на входе усилителя второго звена фильтра, во избежание его перегрузки, не должно превышать 0,2 В; 
   
5. Получить выражения и построить графики: спектральной плотности амплитуд, спектра фаз, спектральной плотности энергии колебаний на входе и выходе фильтра, если к его входу подведен одиночный импульс заданной формы. Оценить области концентрации энергии воздействия и реакции, показать на графике ширину спектра; 
   
6. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости; 
   
7. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе первого усилителя звена. Убедиться в устойчивости фильтра по критерию Найквиста; 
   
8. Определить, при каких значениях коэффициента усиления усилителя первого звена фильтра, цепь будет находиться строго на границе устойчивости, и чему при этом равна частота свободных колебаний в каскаде. 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение передаточной функции фильтра

 

 

Рис 1. Схема фильтра (63 вариант)

 

 

Электрическим фильтром называется линейная четырехполюсная цепь, выделяющая из состава сложного электрического колебания, подведенного в ее входу, частотные составляющие, расположенные в заданной полосе частот (полосе пропускания), и подавляющая частотные составляющие, расположенные в других полосах частот (полосах задерживания).

 

В низкочастотной микроэлектронике широкое  применение находят активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов), образующих линейные усилители. Обычно такие фильтры формируются в виде каскадного соединения четырехполюсников, обладающих относительно простой структурой и называемых звеньями ARC-фильтра.

 

Операторной передаточной функцией называется отношение операторной реакции  цепи к операторному воздействию  при нулевых начальных условиях. ОПФ фильтра может быть найдена как произведение передаточных функций отдельных звеньев.

 

В нашем случае она будет иметь  вид:

 

= =

 

Причем степень передаточной функции  каждого звена не превышает числа два.

 

Разобьем заданную схему фильтра  на два каскадно-соединенных звена (разбиение произведем после усилителя 1-го звена) и определим для каждого  звена операторную передаточную функцию с помощью метода узловых  напряжений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет ОПФ 1-го звена.

 

Рис 2. Схема 1-го звена фильтра

 

 

Рис 3. Эквивалентная схема  замещения 1-го звена фильтра

 

 

Операторная передаточная функция  первого звена будет равна:

 

 

 

Составим уравнение узлов по методу узловых напряжений с учетом следующих замен:

 

           

 

 

         (1), (2)

 

 

Выразим напряжение через напряжения и из уравнения (2):

 

    

 

 

 

Для того, что бы найти отношение  подставим полученные выражения для и в уравнение (1), получим:

 

 

 

Перенесем слагаемые с  в правую часть уравнения, а слагаемые с оставим в левой части, предварительно вынеся за скобки:

 

 

 

Выразим отношение  :

 

 

 

 

 

 

Разделим числитель и знаменатель  на , окончательно получим выражение для передаточной функции первого звена фильтра:

 

                    (3)

 

 

Знаменатель передаточной функции  звена содержит характеристический полином второго порядка, формально  совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

 

 

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью полюса и формальной резонансной частотой.

 

 

 

 

 

где и Q - резонансная частота и добротность контура соответственно.

 

Проанализируем звено при помощи программы FSTMEAN. При помощи блока символьного анализа получим следующую формулу:

 

 

 

 

Преобразуем ее, учитывая, что:

 

 

 

Получим:

 

 

 

 

 

Формула, полученная аналитически, полностью совпадает с формулой, полученной при помощи блока символьного анализа программы FASTMEAN.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет ОПФ 2-го звена.

 

 

Рис 4. Схема 2-го звена фильтра

 

 

 

Воспользуемся схемой замещения усилителей, входящих в состав звена, и приведем схему к виду:

 

 

 

Рис 5. Эквивалентная схема замещения 2-го звена фильтра

 

 

 

 

Операторная передаточная функция  первого звена будет равна:

 

 

 

Составим уравнения узлов по методу узловых напряжений с учетом следующих замен:

 

 

 

            (4) , (5)

 

 

Выразим напряжение через напряжения и из уравнения (5):

 

 

 

 

 

Для того, чтобы найти отношение  , подставим полученные выражения для и в уравнение (4), получим:

 

 

 

 

Перенесем слагаемые с  в правую часть уравнения, а слагаемые с оставим в левой части, предварительно вынеся за скобки:

 

 

 

 

Выразим отношение  :

 

 

Разделим числитель и знаменатель на , окончательно получим выражение передаточной функции первого звена фильтра:

 

       (6)

 

 

Знаменатель передаточной функции  звена содержит характеристический полином второго порядка, формально  совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

 

Аналогичные коэффициенты знаменателя  передаточной функции звена называются добротностью полюса и формальной резонансной  частотой.

 

 

 

 

где и Q - резонансная частота и добротность контура соответственно.

 

Проанализируем  звено при помощи программы FSTMEAN. При помощи блока символьного анализа получим следующую формулу:

 

 

Преобразуем ее, учитывая, что:

 

 

Получим:

 

 

Формула, полученная аналитически, полностью  совпадает с формулой, полученной при помощи блока символьного  анализа программы FASTMEAN.

 

 

Определение передаточной функции  фильтра

 

Передаточная функция всего фильтра находится как произведение передаточных функций первого и второго звена:

 

        (7)

Расчет АЧХ и ФЧХ  фильтра

 

 

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это функция, показывающая зависимость модуля комплексного коэффициента передачи линейного четырехполюсника от частоты. АЧХ показывает, во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всем диапазоне частот.

 

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) – частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами. Для линейной электрической цепи – зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

 

Для получения комплексной передаточной функции заменим переменную на в полученном выражении . Таким образом, зная комплексную передаточную функцию, можем определить АЧХ и ФЧХ фильтра по формуле:

 

  , где

  - модуль комплексной передаточной  функции (АЧХ фильтра);

  - фаза комплексной передаточной  функции (ФЧХ фильтра);

 

Таким образом, АЧХ всего фильтра  равно произведению АЧХ составляющих его звеньев, соответственно ФЧХ всего фильтра равно сумме ФЧХ составляющих его звеньев.

 

По взаимному расположению полос  пропускания и задерживания различают  фильтры: фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФНЧ)

Э полосно-пропускающие фильтры (ППФ), полосно-задерживающие (режекторные) фильтры (ПЗФ), фазовые фильтры.

 

Расчет АЧХ и ФЧХ 1-го звена

 

В полученном выражении  заменим переменную на . Получим:

 

Выделим модуль и фазу:

  - АЧХ 1-го звена;            (8)

 

  - ФЧХ 1-го звена;                                    (9)

Расчет АЧХ и ФЧХ 2-го звена

 

 

В полученном выражении  заменим переменную на . Получим:

 

 

 

 

Выделим модуль и фазу:

 

 

  - АЧХ 2-го звена;            (10)

 

 

  - ФЧХ 2-го звена;                                      (11)

 

 

Расчет АЧХ и ФЧХ  фильтра

 

 

                                                                                                                                    (12)

 

 

                            (13)

 

 

 

 

 

Графики АЧХ и ФЧХ  первого звена

 

 

Графики АЧХ и ФЧХ  второго звена

 

АЧХ и ФЧХ фильтра

 

 

 

 

 

 

 

График АЧХ первого  звена

 

 

 

График ФЧХ первого  звена

 

 

 

График АЧХ второго  звена

 

 

 

 

График ФЧХ второго  звена

 

 

 

 

График АЧХ фильтра

 

 

 

График ФЧХ фильтра

 

 

 

Графики, полученные с  помощью программ  FASTMEAN и MATHCAD, идентичны.

 

Из построенных  графиков видно, что исходный фильтр является фильтром нижних частот.

Фильтр нижних частот (ФНЧ) – электронный или любой другой фильтр, эффективно пропускающий частотный спектр сигнала ниже некоторой частоты, и уменьшающий (или подавляющий) частоты сигнала выше этой частоты. Электронные фильтры нижних частот используются для подавления пульсаций напряжения на выходе выпрямителей переменного тока, для разделения частотных полос в акустических системах, в системах передачи данных для подавления высокочастотных помех и ограничения спектра сигнала, а также имеют большое число других применений.

 

 

Расчет переходной характеристики первого звена фильтра.

 

Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на единичное ступенчатое воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях.

 

Рассчитаем переходную характеристику аналитически с использованием табличных  формул:

 

f(t) – функция-оригинал	F(p) - изображение
, где

 

   , где   = 6910 Гц

 

Переходная характеристика первого звена, рассчитанная аналитически

 

h(t)=1,7-1,7 cos(6910t)-0,3690 sin(6910t)

 

 

Переходная характеристика, полученная в программе MATHCAD:

 

График переходной характеристики

 

Рис 6. График переходной характеристики в FASTMEAN

 

 

Рис 7. График переходной характеристики в MATHCAD

 

 

Переходные  характеристики, полученные аналитически, с использованием программ FASTMEAN и MATHCAD идентичны.

Оценка допустимой величины ступенчатого воздействия на фильтр.

 

 

 

Оценить допустимую величину ступенчатого воздействия (А) на фильтр, если напряжение на входе усилителя второго звена фильтра во избежании его перегрузки не должно превышать 0,2 В.

 

 

 

 

Из графика переходной характеристики видно, что =2,56

 

 

 В  - допустимая величина ступенчатого воздействия

 

 

 

 

 

Рис 8. График переходной характеристики в FASTMEAN при =0,0781 В

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение спектральной плотности входного сигнала

 

 

Рассчитаем радиоимпульс с прямоугольной  огибающей.

 

Рис 9. Радиоимпульс

 

 

Импульсный сигнал задается выражением: , где

 

, и   - формальные резонансные частоты первого и второго звеньев;

 

 - длительность импульса;

 

 

Рассчитаем 

 

Воспользуемся прямым односторонним преобразование Фурье:

 

                                                                                                                               (*)

Проинтегрируем по частям:

 

 

Повторно проинтегрируем по частям:

 

 

                                                                                                                          (*)      

 

Приравняем части, выделенные (*), и перенесем слагаемые с интегралом в левую часть:

 

 

 

Преобразуем левую часть:

 

 

Выразим интеграл:

 

 

 

 

Подставив верхний и нижний пределы, получим:

 

 

Окончательно выразим:

 

 

 

Для удобства расчетов возьмем фазу

 

 

Приведем к виду

 

              (17)

 

 

Мы получили выражение спектральной плотности входного сигнала. Выделим его составляющие:

 

- спектральная плотность амплитуд входного сигнала (18)

 

- спектральная плотность фаз  входного сигнала          (19)

 

Возьмем n=5, подставим численные данные и построим график:

 

 

 

 

Рис 10. График спектральной плотности  амплитуд входного сигнала в  MATHCAD

 

 

Рис 11. График спектральной плотности фаз входного сигнала в MATHCAD

 

Нахождение спектральной плотности выходного сигнала

 

 

Спектральная плотность выходного  сигнала находится как произведение спектральной плотности входного сигнала  на ОФП цепи.

 

 

В нашем случае:

 

 

 

Спектральная плотность амплитуд выходного сигнала находится  как произведение спектральной плотности амплитуд на АЧХ всей цепи.

 

 

 

      (20)

 

 

Спектральная плотность фаз  выходного сигнала находится  как сумма спектральной плотности  фаз входного сигнала и ФЧХ  всей цепи

 

 

 

                (21)

 

 

Все коэффициенты и значения берутся  из рассчитанных выше пунктов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 12. График спектральной плотности  амплитуд выходного сигнала в  MATHCAD

 

Рис 13. График спектральной плотности  фаз выходного сигнала в MATHCAD

 

Расчет спектральной плотности энергии входного сигнала

 

 

Спектральная плотность энергии  входного сигнала рассчитывается как  удвоенный квадрат спектральной плотности амплитуд на входе:

 

 

 

В нашем случае:

 

 

 

 

 

 

Рис 14. График спектральной плотности  энергии входного сигнала в  MATHCAD

 

 

 

 

 

 

Расчет спектральной плотности энергии выходного  сигнала

 

 

Спектральная плотность энергии  входного сигнала рассчитывается как  удвоенный квадрат спектральной плотности амплитуд на выходе:

 

 

 

В нашем случае:

 

 

Построим график:

 

 

 

Рис 15. График спектральной плотности  энергии выходного сигнала в  MATHCAD

 

 

 

Исследование первого  звена фильтра на устойчивость

 

 

Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости.

 

Система устойчива, если корни полинома знаменателя ее ОПФ имеют отрицательные  вещественные части, т.е. лежат в  левой полуплоскости комплексного переменного .

 

ОПФ фильтра:

 

 

 

Полином первого звена:                                             Полином второго звена:

 

               

 

                                                           

 

Корни:                                                                         Корни

 

                                       

 

 

Все корни знаменателя полинома ОПФ имеют отрицательные вещественные части, лежат в левой полуплоскости.

 

Вывод:  система устойчива.

 

 

Рис 16. Полюса передаточной функции