Исследование активных RC-фильтров

МИНОБРНАУКИ РФ

ГОУ ВПО «Вологодский государственный  технический университет»

 

 

 

Кафедра электротехники

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

по дисциплине "Электротехника и электроника"

"Исследование  активных RC-фильтров"

Вариант 31

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил:

Студент группы ЭМ-21

Слизова С.В.

Работу принял:

Реутов В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вологда 2013 г.

Техническое задание.

      1. Найти операторную передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений для электрической цепи каждого звена фильтра.

       2. Получить выражения для АЧХ  и ФЧХ передаточной функции   фильтра и каждого его звена,  построить их графики и указать  тип фильтра.

       3. Найти переходную характеристику  первого звена фильтра и построить  ее график. Определить по графику  период, частоту  и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.

       4. Оценить допустимую величину  ступенчатого воздействия на  фильтр для заданного напряжения  на входе усилителя второго  звена фильтра во избежание  его перегрузки ( по заданию преподавателя).

       5. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости.

      6. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе первого усилителя звена. Убедиться в устойчивости фильтра по критерию Найквиста.

       7. При каких значениях коэффициента усиления усилителя первого звена фильтра цепь будет находиться строго на границе устойчивости? Чему при этом равна частота свободных колебаний в каскаде?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема ARC-фильтра

 

 

Параметры фильтра

 

R₁ = 100 кОм

R₂ = 68 кОм

R₃ = 116 кОм

С₁ = 1,8 нФ

С₂ = 1 нФ

К = 1,2

 

Наименование  импульса - Треугольный видеоимпульс

График импульса:

 

 

 

 

Аналитическое выражение

 

U(t)=              при 0 ≤ t ≤            u(t) = -       при

 

Примечание

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Техническое задание. 2

1. Операторная передаточная функция фильтра. 5

1.1. Расчет передаточной функции первого звена фильтра. 5

1.1.1.Узловые уравнения 1-го звена в общем виде. 6

1.1.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1.2) и (1.3). 7

1.1.3. Расчёт правой части уравнений. 7

1.1.4.Уравнения (1.2) – (1.5) с учетом найденных коэффициентов. 7

1.2. Расчет передаточной функции второго звена электрического  фильтра. 9

1.3. Расчет операторной передаточной функции электрического фильтра. 11

2. Расчетные выражения и графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций фильтра. 12

2.2. АЧХ и ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра. 14

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра. 17

3.Переходная характеристика первого звена фильтра. 19

3.1 Расчёт допустимой величины  ступенчатого воздействия на входе фильтра. 20

4. Исследование устойчивости электрического фильтра. 21

4.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции. 22

4.2. Критерий устойчивости Найквиста. 23

4.2.1.Узловые уравнения схемы в общем виде. 24

4.2.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений(4.3) и (4.4): 24

4.2.3.Расчёт правой части уравнений: 24

4.2.4.Уравнения (4.3) – (4.6) с учетом найденных коэффициентов: 25

4.2.5.Решение уравнений (4.7)-(4.10). 25

4.3 Расчёт коэффициента усиления на границе устойчивости. 26

Список используемой литературы 27

 

 

              1. Операторная передаточная функция фильтра.

Операторной передаточной функцией называется отношение  изображений выходного и входного напряжений (или токов). Для рассматриваемого в курсовой работе электрического фильтра, в котором звенья соединены каскадом,  передаточная функция имеет вид:

 

                                                                                     (1.1)

 

где - передаточная функция фильтра;

- передаточная функция по  напряжению первого звена фильтра;

- передаточная функция по  напряжению второго звена фильтра.

1.1. Расчет передаточной функции первого звена фильтра.

 

Принципиальная  схема электрической цепи звена  представлена на рис.1.1.

Рис.1.1

 

Представим  схему замещения первого звена (рис. 1.2).

 

 

Рис.1.2

 1.1.1.Узловые уравнения 1-го звена в общем виде.

 

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда  U₆(p) = U₀(p)=0.

Для выходных узлов узловое уравнение не может  быть составлено, так как при нулевых  выходных сопротивлениях идеальных  усилителей их выходные проводимости равны бесконечности. Поэтому для  расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (5):

 

Узел  №3:

(1.2)

Узел  №5:

(1.3)

Как было сказано выше, в электрических  цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного  узла не составляют. Вместо этого рекомендуется  использовать уравнение связи. Для  данного звена нужно составить  два уравнения связи:

                                                                         (1.4)

                                                                          (1.5)

1.1.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1.2) и (1.3).

 

,        ,        ,

,            ,

 

 

,         ,         ,

,          .

1.1.3. Расчёт правой части уравнений.

 

,                     

1.1.4.Уравнения (1.2) – (1.5) с учетом найденных коэффициентов.

                 (1.6)

                            (1.7)

                                                   (1.8)

                                                   (1.9)

 

 

    1.1.5. Расчет передаточной функции первого звена.

 

Из уравнения  (1.9)  выразим :

,                  (1.10)

 

 

Выражения (1.8) и (1.10) подставим в (1.7) и выразим :

,        (1.11)

Уравнение (1.11) подставим в (1.6) и выразим через :

, (1.12)

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

, (1.13)

 

Преобразуем выражение для передаточной функции. С этой целью разделим числитель  и знаменатель на коэффициент  при операторе :

,          (1.14)

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго  порядка, формально совпадающий  с характеристическим полиномом  резонансного колебательного контура.

где и - резонансная частота и добротность контура соответственно.

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса:

,

Численно  они будут посчитаны ниже.

          

1.2. Расчет передаточной функции второго звена электрического  фильтра.

 

Принципиальная  схема электрической цепи звена  представлена на рис.1.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        Рис.1.3

 

Представим  схему замещения второго звена (рис. 1.4).

       Рис.1.4

 

2.2.1.Узловые  уравнения 2-го звена в общем  виде.

Выберем узел 5 в качестве опорного узла. Тогда U’₅(p) = U’₀(p)=0.

Для расчета  передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

Узел  №3:

        (1.15)

Узел  №4:

          (1.16)

 

Тогда   , потому что k₂ = ∞                                  (1.17)

 

2.2.2.Расчёт  коэффициентов левой части уравнений  (1.15) и (1.16).

 

, , , ,

, , , .

       2.2.3.Расчёт правой части уравнений.

 

,        

       2.2.4.Уравнения (1.15) – (1.17) с учетом найденных коэффициентов.

                       (1.18)

                                                (1.19)

                                                                             (1.20)

 

2.2.5. Расчет  передаточной функции второго  звена.

        Из уравнения (1.19) выразим :

                         ,                                                        (1.21)

 

 

 

Уравнения (1.21) подставим в (1.18) и выразим через :

      (1.22)

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

,                     (1.23)

 

Преобразуем выражение для передаточной функции. С этой целью разделим числитель  и знаменатель на коэффициент  при операторе :

                                (1.24)

 

Добротность и частота полюса:

 ,   

1.3. Расчет операторной передаточной функции электрического фильтра.

 

Передаточная  функция фильтра при каскадном  соединении звеньев:

        (1.25)

 

 

2. Расчетные выражения и графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций фильтра.

 

Расчётные выражения для частотных характеристик  АЧХ и ФЧХ фильтра получим  путём подстановки  в выражение (1.25). Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигнала и тип фильтра.

 

2.1. АЧХ и ФЧХ передаточной функции первого звена фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции  первого звена фильтра получим  на основании (1.14), подставив в него :

 

                 (2.1)

 

Учитывая, что 

, выражение (2.1) примет следующий вид:                 ,

 

Умножив числитель и знаменатель дроби  на сопряженное знаменателю, получим:

Выражение для АЧХ примет вид:

Выражение для ФЧХ:

      Построим графики АЧХ и   ФЧХ с помощью графического  редактора Mathcad.  Для этого представим (2.1) функцией аргумента ω :

 

 

 

 

     Графики АЧХ передаточной функции первого звена приведены на рис. 2.1 и на рис. 2.2 соответственно в линейном и логарифмическом масштабах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.1

                                                                  Рис.2.2

 

График  ФЧХ передаточной функции первого  звена:

                                                              Рис.2.3

2.2. АЧХ и ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции  второго звена фильтра получим  на основании (1.24), подставив в него :

          (2.2),       где

 – комплексная передаточная функция второго звена фильтра.

 

Учитывая, что  ,      выражение (2.2) примет следующий вид:                               

Умножив  числитель и знаменатель дроби  на сопряженное знаменателю, получим:    

Выражение для АЧХ примет вид:

Выражение для ФЧХ:

      Построение графиков для АЧХ  и ФЧХ передаточной функции  H₂(jω) второго звена производится в том же порядке, как для звена первого:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

                   Рис.2.4 График АЧХ второго звена в линейном масштабе.

 

Рис.2.5 График АЧХ передаточной функции второго звена фильтра в логарифмическом масштабе

 

Рис.2.6 График ФЧХ передаточной функции второго звена

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции  фильтра получим на основании (1.26), подставив в него :

                                                                                                                      (2.3)

 

 

 

Построим  графики АЧХ и ФЧХ передаточной функции средствами Mathcad.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.7 График H(ω) в линейном масштабе

 

 

Рис. 2.8 График АЧХ передаточной функции фильтра

в логарифмическом  масштабе

 

Выражение для ФЧХ передаточной функции  фильтра:

                                       Ө(ω) = Ө1(ω) + Ө2(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

    Рис.2.9 График ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

По графикам можно сделать вывод, что АЧХ  и ФЧХ передаточной функции при  каскадном соединении первого и  второго звеньев соответствуют  частотным характеристикам фильтра  высоких частот.

3.Переходная характеристика первого звена фильтра.

Переходной  характеристикой называется реакция  электрической цепи при нулевых  начальных условиях на единичную  ступенчатую функцию.

Расчет  переходной характеристики в операторной  форме произведем по формуле:

                                                  ,                                             (3.1)

где - изображение переходной характеристики по Лапласу.

Для дальнейшего  расчета следует воспользоваться  обратным преобразованием Лапласа.

В Mathcad была получена следующая переходная характеристика, зависящая от времени:

                                             

 

        

  

 

Построим  график h1(t) переходной характеристики.

 

 

 

Рис. 3.1 График переходной характеристики первого звена фильтра.

3.1 Расчёт допустимой величины  ступенчатого воздействия на входе фильтра.

 

Допустимая  величина ступенчатого воздействия  равна:

 

, (3.2)

 

где - заданное ограничение по напряжению на входе второго звена;

– максимальное значение .

Оценим  допустимую величину ступенчатого воздействия  на фильтр, если напряжение на входе  не должно превышать 0.1 В.

В

                                                          

 

 

Допустимая  величина ступенчатого воздействия  на фильтр – U_доп = 0.069 В

        Определим основные характеристики  динамического процесса при действии  на фильтр единичной ступенчатой  функции напряжения.

 Значения  характеристик, полученные по  графику.

а) период свободных колебаний –Т_св = 1.42·10^-3 - 0.25·10^-3 = 1.17·10^-3 с

б) частота  свободных колебаний –ω_св = 2π / Т_св = 5,370·10³Гц

в) затухание  – ∆ = 0.55 / 0.10 = 5.5

г) логарифмический  декремент затухания – ln(∆) = 1.7

 

        Значения характеристик, полученные путём расчёта:

а) период свободных колебаний – 

                           

                              Т₁ = 1.178×10 сек                 

б) частота  свободных колебаний – = Гц

       в) затухание - =  Δ ,      следовательно     Δ = 6.25

 

      г) логарифмический декремент  затухания –  = 1.833

 

Вывод: данные полученные из графика и в результате расчета отличаются незначительно.

Допустимая  величина ступенчатого воздействия  на фильтр U_доп = 0.069 В

4. Исследование устойчивости электрического фильтра.

 

В данной работе анализ устойчивости производится для фильтра и дополнительно  для первого звена.

Устойчивость  фильтра исследуется по расположению корней характеристического полинома или полюсов передаточной функции  цепи на комплексной плоскости. Устойчивость режима работы первого звена следует определить с применением частотного критерия Найквиста.

Рассмотрим  оба подхода к определению  устойчивости  рассматриваемой электрической  цепи. 

 

4.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции.

 

Для определения  полюсов передаточной функции необходимо характеристический полином передаточной функции каждого звена фильтра

 приравнять  к нулю и найти их корни.

Знаменатель передаточной функции первого звена  фильтра (1.14) приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

 (4.1)

 

 

 

 

 

 

Знаменатель передаточной функции второго звена  фильтра (1.24) приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

 

 (4.2)

         

 

 

 

 

 

 

Все полюса расположены в левой полуплоскости  комплексной плоскости. Следовательно, данная электрическая цепь устойчива. Расположение корней характеристического  полинома  на комплексной плоскости  представлено на рис. 4.1.

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Рис.4.1.

4.2. Критерий устойчивости Найквиста.

 

Найдём  выражение для передаточной функции  по петле обратной связи первого  звена фильтра.

Для определения передаточной функции  разорвем цепь обратной связи на входе  усилителя и замкнем входные  полюса первого звена фильтра. В результате получим схему, приведенную на рис.4.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2.

 

Представим  операционные усилители в виде управляемых  источников напряжения и укажем положительное  направление узловых напряжений. В результате  получим расчётную  схему, изображенную на рис. 4.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4.3.

4.2.1.Узловые уравнения схемы в общем виде.

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда  В. Составим в комплексной форме узловые уравнения для узлов 1 и 4:

 

      Узел №1:

                                    (4.3)

Узел  №4:

                              (4.4)

Для данной схемы нужно составить два  уравнения связи:

 

            

                          (4.5)

           

                         (4.6)

4.2.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений(4.3) и (4.4):

,  ,  ,  ,  ,

,  , , , .

 4.2.3.Расчёт правой части уравнений:

 

                                                , .

 

 

4.2.4.Уравнения (4.3) – (4.6) с учетом найденных коэффициентов:

                                                           (4.7)

                                                (4.8)

                                                                                 (4.9)

                                                                                   (4.10)

4.2.5.Решение уравнений (4.7)-(4.10).

 

Из уравнения (4.7) выразим и сразу подставим (4.10):

                           ,                           (4.11)

Из уравнения (4.8) выразим . С учетом (4.9) получим:

                        ,                          (4.12)

Уравнение (4.12) подставим в (4.11) и выразим через :

                                (4.13)

В результате решения уравнений найдем комплексную  передаточную функцию по петле обратной связи:

  (4.14)

 

С помощью  среды Mathcad построим годограф по петле обратной связи первого звена фильтра (рис. 4.4.). Исходные данные:

 

 

                                        

            Рис. 4.4.

 

Поскольку годограф не охватывает точку (1; j0), то по критерию Найквиста данная цепь устойчива.

4.3 Расчёт коэффициента усиления на границе устойчивости.

 

Максимум  передаточной функции приходиться  на частоту :

 

               

 

Из этого  следует, что для устойчивости цепи коэффициент усиления должен быть . Если , то система будет находиться на границе устойчивости, при этом частота свободных колебаний будет .

 

Список  используемой литературы