Исследование активных RC-фильтров. 2

МИНОБРНАУКИ РФ

 «Вологодский государственный  технический университет»

 

 

 

Кафедра электротехники

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине "Электротехника"

"Исследование активных RC-фильтров"

Вариант 15

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил:

Студент группы

 

Работу принял:

Реутов В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вологда 2014 г.

 

Техническое задание.

      1. Найти операторную передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений для электрической цепи каждого звена фильтра.

       2. Получить выражения  для АЧХ и ФЧХ передаточной  функции  фильтра и каждого его звена, построить их графики и указать тип фильтра.

       3. Найти переходную  характеристику первого звена  фильтра и построить ее график. Определить по графику период, частоту  и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.

       4. Оценить допустимую  величину ступенчатого воздействия  на фильтр для заданного напряжения  на входе усилителя второго  звена фильтра во избежание  его перегрузки ( по заданию преподавателя).

       5. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости.

      6. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе первого усилителя звена. Убедиться в устойчивости фильтра по критерию Найквиста.

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема ARC-фильтра

 

 

Параметры фильтра

 

R = 100 кОм

K1 = 3,2

K2 = 1,7

С1 = 2,4 нФ

С2 = 1,4 нФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Операторная передаточная функция фильтра.

Операторной передаточной функцией называется отношение изображений выходного и входного напряжений (или токов). Для рассматриваемого в

курсовой работе электрического фильтра, в котором звенья соединены каскадом,  передаточная функция имеет вид:

 

                                                                                     (1.1)

 

где - передаточная функция фильтра;

- передаточная функция по напряжению  первого звена фильтра;

- передаточная функция по напряжению  второго звена фильтра.

 

1.1. Расчет передаточной функции первого звена фильтра.

 

Принципиальная схема электрической цепи звена представлена на рис.1.1.

Рис.1.1

 

 

 

 

 

 

Представим схему замещения первого звена (рис. 1.2).

 

 

Рис.1.2

 

  1.1.1.Узловые уравнения 1-го звена в общем виде.

 

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда U6(p) = U0(p)=0.

Для выходных узлов узловое уравнение не может быть составлено, так как при нулевых выходных сопротивлениях идеальных усилителей их выходные проводимости равны бесконечности. Поэтому для расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

 

Узел №3:

  (1.2)

Узел №5:

         (1.3)

Как было сказано выше, в электрических цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение связи. Для данного звена нужно составить  уравнение связи:

                                                                                              (1.4)

 

1.1.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1.2) и (1.3).

 

,        ,        ,

,           

 

 

,         ,         ,

         

.

1.1.3. Расчёт правой части уравнений.

 

,                     

 

1.1.4.Уравнения (1.2) – (1.4) с учетом найденных коэффициентов.

                 (1.5)

                                              (1.6)                    

                                                                         (1.7)              

 

 

    1.1.5. Расчет передаточной функции первого звена.

 

Из уравнения  (1.7)  выразим :

,                           (1.8)

 

 

Выражения (1.7) и (1.8) подставим в (1.6) и выразим :

                                                                                (1.9)

Уравнение (1.9) подставим в (1.5) и выразим через :

, (1.10)

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

                                                                (1.11)

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

где и - резонансная частота и добротность контура соответственно.

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса:

 

Численно они будут посчитаны ниже.

          

 

1.2. Расчет передаточной функции второго звена электрического  фильтра.

Принципиальная схема электрической цепи звена представлена на рис.1.1.

 

Рис.1.1

 

 

1.2.1. Узловые уравнения 2-го звена в общем виде

 

       (1)

       (2)

В электрических цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение связи. Для данного звена нужно составить два уравнения связи:

Для узла 2 составляем замещающее уравнение связи:

 

                      (3)

 

 

 

Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1) и (2):

 

,       ,         

,          .

 

Расчёт  правой части уравнений (1) и (2):

 

,          

 

Запишем уравнения (1) и (2) с учётом найденных коэффициентов:

 

                    (1)

                                                 (2)

                                                                      (3)

Выразим из уравнения (3) U4 :

 

          (3.1)

 

Выразим из уравнения (2)  U3  и подставим в уравнение (1):

 

        (2.1)

 

         (1.1)

.                    (1.22)

 

 

 

 

В результате получили передаточную функцию первого звена фильтра:

 

 

                                                          (4)

 

 

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

где − резонансная частота, Q − добротность контура соответственно.

Приравняем знаменатель передаточной функции звена к нулю и найдём резонансную частоту и добротность контура.

 

 

 

Резонансная частота:

 

Добротность контура:

       

=0,615 =5.051*10^3рад/c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Расчет операторной передаточной функции электрического фильтра.

 

 

Передаточная функция фильтра при каскадном соединении звеньев:

        (1.25)

         

 

2. Расчетные выражения и графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций фильтра.

 

Расчётные выражения для частотных характеристик АЧХ и ФЧХ фильтра получим путём подстановки в выражение (1.25). Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигнала и тип фильтра.

 

2.1. АЧХ и ФЧХ передаточной функции первого звена фильтра.

 

Передаточная функция первого звена фильтра,

полученная в пункте 1.1.3

                                    

                                     (2.1)

 

 

 

 

 – комплексная передаточная функция первого звена фильтра.

Выражение для АЧХ передаточной функции первого звена фильтра:

                                  (2.2)

Выражение для ФЧХ передаточной функции первого звена фильтра:

                                                                  (2.3)

 

 

На рис. 2.1и рис. 2. 2 представлены графики АЧХ передаточной функции первого звена фильтра соответственно в линейном и логарифмическом  масштабах. ФЧХ передаточной функции первого звена приведена на рис. 2.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.3

 

 

 

 

 

 

 

2.2. АЧХ и ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра.

2.2.1Выражение для АЧХ второго звена:

 

2.2.2 Выражение для ФЧХ второго звена:

 

 

2.2.3 График АЧХ передаточной функции второго звена фильтра в линейном масштабе:

 

Рис 2.4

 

 

 

 

2.2.4 График АЧХ передаточной функции второго звена фильтра в логарифмическом масштабе:

 

 

Рис 2.5

2.2.5 График ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра в логарифмическом масштабе:

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра.

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции фильтра получим на основании (1.26), подставив в него :

(2.3)

2.3.1 Выражение для АЧХ фильтра:

 

2.3.2  Выражение для ФЧХ фильтра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.3 График АЧХ

 

Рис. 2.7 График H(ω) в линейном масштабе

 

 

Рис. 2.8 График АЧХ передаточной функции фильтра

в логарифмическом масштабе

 

2.3.4График ФЧХ

Рис.2.9 График ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

3. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПЕРВОГО ЗВЕНА ФИЛЬТРА

 

Расчет переходной характеристики в операторной форме

Расчет переходной характеристики в операторной форме производится по формуле:

                          (3.1)

 

                  

3.2. Нахождение числового значения h1(t) при помощи MathCAD

 

 

 

 

 

 

 

3.4. График действительной функции

Рис. 3.1.

По графику (рис. 3.1.) определим максимальное значение  , период, частоту   и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.

 

 

 

 

Логарифмический декремент затухания

U1 =0.33; U2 =0.15

3.1 Расчёт допустимой величины  ступенчатого воздействия на входе фильтра.

 

РАСЧЕТ РЕАКЦИИ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ВХОДЕ ЦЕПИ

Для оценки допустимого ступенчатого воздействия на входе электрического фильтра по заданному ограничению напряжения на входе второго звена воспользуемся следующей формулой:

 

,   где

  

  -  заданное ограничение по напряжению на входе второго звена (0,2 В);

 1.7 – максимальное значение . 

 

 

 

Итак,

 

Допустимая величина ступенчатого воздействия равна 0,1176 В.

4. Исследование устойчивости электрического фильтра.

 

В данной работе анализ устойчивости производится для фильтра и дополнительно для первого звена.

Устойчивость фильтра исследуется по расположению корней характеристического полинома или полюсов передаточной функции цепи на комплексной плоскости. Устойчивость режима работы первого звена следует определить с применением частотного критерия Найквиста.

Рассмотрим оба подхода к определению устойчивости  рассматриваемой электрической цепи. 

 

 

4.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции.

 

Для определения полюсов передаточной функции необходимо характеристический полином передаточной функции каждого звена электрического фильтра приравнять к нулю и найти их корни.

Знаменатель передаточной функции первого звена фильтра  приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаменатель передаточной функции второго звена фильтра приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

 

 

 

 

 

                 Построим полученные полюса на комплексной плоскости.

 

Полюса расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости, следовательно, данная электрическая цепь устойчива.

5.2. Критерий устойчивости Найквиста

Построим годограф передаточной функции по петле обратной связи для 1 звена фильтра. Для определения передаточной функции разорвем цепь обратной связи на входе усилителя и замкнем входные полюса первого звена фильтра. В результате получим расчетную схему.

Комплексная передаточная функция по петле обратной связи для нее равна:

 

Запишем узловые уравнения для узла 1 и 2 в общем виде:

Расчёт коэффициентов левой части уравнений:

   

   

Расчёт коэффициентов правой части уравнений:

 

Узловые уравнения с учетом найденных коэффициентов

(5.2.1.)                                                                                  (5.2.2)

Решаем систему узловых уравнений и находим выражение для передаточной функции:

Из(5.2.2)→                                                                         (5.2.3) 

Подставив (5.2.3) в (5.2.1.) получим:

Выражаем U2 через U3 и подставляем в выражение комплексной передаточной функции по петле обратной связи:

 

Пострим годограф по петле обратной связи первого звена фильтра с помощью Matcad.

Исходные данные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Годограф петлевого усиления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку годограф охватывает точку (1,j0), то по критерию Найквиста данная цепь устойчива. Максимум передаточной функции приходиться на частоту .

   

Из этого следует, что для устойчивости цепи коэффициент усиления должен быть . Если , то система будет находиться на границе устойчивости, при этом частота свободных колебаний будет .

 

6. Спектральный анализ прохождения электрического сигнала через линейную электрическую цепь

 

Спектральный метод анализа процессов в электрических цепях состоит из трех частей: частотных характеристик передаточной функции электрической цепи, частотных спектров сигналов и собственно спектрального метода анализа – определение спектральной плотности выходного сигнала по спектральной плотности входного сигнала и частотным  характеристикам передаточной функции.

 

Апериодический сигнал имеет вид треугольника и выражается  функцией времени на интервале длительности импульса следующим образом:

 при 

 

 

 

 при  , где ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим - частоту, - время воздействия и - максимальное значение импульса.

 

 

 

рад/сек

 

                       

 

Тогда  время импульса будет равно: .

 

 

 

 

По представленному в функции времени выражению сигнала  определяется спектральная плотность входного сигнала на основании прямого интегрального преобразования Фурье:

 

Для рассмотренного сигнала выражение имеет вид:

 

.

 

Вычислим полученный интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

Амплитудный спектр входного сигнала

 

 

 

 

 

График спектральной плотности амплитуд (амплитудно-частотный спектр)

 

Спектр фаз входного сигнала

 

 

 

 

График спектральной плотности фаз (фазо-частотный спектр)

 

 

 

 

Определение спектральной плотности выходного сигнала

 

 

 

где    - АЧХ передаточной функции электрического фильтра;

- амплитудный спектр входного сигнала   =| | ;

- амплитудный спектр выходного  сигнала  =| |.

, 

где   - ФЧХ передаточной функции электрического фильтра;

- спектр фаз входного сигнала   =arg( );

- спектр фаз выходного сигнала  =arg( ).

 

График амплитудного спектра выходного сигнала:

 

График спектра фаз выходного сигнала:

 

 

Ширина спектра апериодического сигнала.

Ширина спектра апериодического сигнала определяется как часть спектра, в которой сосредоточена заданная доля (90 – 95%) энергии сигнала. Решение этой задачи основано на теореме Релея – равенстве Парсеваля для интеграла Фурье. В соответствии с этой теоремой распределение энергии апериодического сигнала по частоте можно определить из выражения:

 

где - спектральная плотность энергии сигнала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 и  – энергии входного и выходного сигналов. Умножим и на 0,95, построим графики спектральной плотности энергии входного  и выходного сигналов и отметим на графиках ширину спектра апериодического сигнала, на которую приходится 95% энергии сигнала.

 

 

 

 

Спектральная плотность энергии входного сигнала:

 

 

Ширина спектра входного апериодического сигнала, на которую приходится    95%  энергии сигнала .

 

Ширина спектра выходного апериодического сигнала, на которую приходится    95%  энергии  этого сигнала.

Вывод: при исследовании активного RC-фильтра было проведено исследование каждого из двух звеньев электрической цепи, найдены выражения для АЧХ и ФЧХ передаточных функций первого, второго звена и всей схемы, построены графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций для всех случаев. По графикам АЧХ передаточной функции фильтра в логарифмическом масштабе можно сделать вывод о том, что предложенная схема – фильтр низких частот. Проведен расчет реакции при ступенчатом воздействии на входе электрической цепи, найдено выражение для переходной характеристики в операторной форме и в действительном виде, проведен переход к действительной функции при помощи теоремы разложения, построен график переходного процесса, из которого видно, что переходный процесс имеет затухающий характер, для которого найдены период, частота и логарифмический декремент затухания колебаний, проведен расчет допустимой величины ступенчатого воздействия на входе первого звена, имея заданное ограничение по напряжению на входе второго звена.Проведен анализ на устойчивость электрической цепи по двум критериям: по расположению корней характеристического полинома передаточной функции каждого звена и по критерию Найквиста; в каждом случае цепь оказалась устойчивой. При исследовании на устойчивость по критерию Найквиста получено выражения для передаточной функции и построен годограф по петле обратной связи первого звена, найден максимум передаточной функции и допустимые значения коэффициента усиления, при которых первое звено будет устойчиво.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. 2. Новгородцев, А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей: учебник / А.Б.Новгородцев.- СПб.: Политехник, 1995.- 519 с.

 

2. Электротехника и электроника. Исследование активных RC-фильтров. Методические указания, пример расчёта и задания к курсовой работе. – Вологда: ВоГТУ, 2012г. – 60 c.