Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов

   Российская  Федерация

   Федеральное агентство по образованию

   Государственное образовательное учреждение

   Высшего профессионального образования

   Брянский  Государственный Университет

   Имени академика И.Г.Петровского 
 
 
 

   Кафедра математического анализа 

   Курсовая  работа на тему

   «Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов» 
 

   Выполнила:

   Студентка ФМФ

   3 курса 1 группы

   Новикова  Ю.В. 
 

     Научный руководитель:

   Кандидат  физико-

   математических наук,  доцент

   Злобина С.В. 
 

Брянск 2011

   Введение2

I. Схема полного исследования функции 3

    1. Область определения 3

    2. Четность, нечетность и периодичность функции 3-4

3. Непрерывность,  точки разрыва и вертикальные асимптоты функции4-7

    4. Исследование функций с помощью производной 7-9

    5. Наклонные асимптоты графика функции9-10

    6. Монотонность и экстремум функции10-13

    7. Выпуклость и точки перегиба функции13-16

    8. Точки пересечения графика функции с осями координат16

     9.  График функции16

     Примеры полного исследования функций17-18

II. Математические пакеты19

1. Язык MATHEMATICA19-21
2. Язык MATCAD21-27

    3. MICROSOFT EXCEL27-28

   Заключение29

   Список  используемой литературы30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Введение.

   Математические пакеты - это программы (пакеты программ), обладающие средствами выполнения различных численных и аналитических (символьных) математических расчетов, от простых арифметических вычислений, до решения уравнений с частными производными, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез, средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчетов.

   Математическими пакетами называются системы, среды, языки типа Mathematica, Maple V, MatLAB, Derive, Mathcad, а также семейство систем статистического анализа данных - таких как SPSS, Statistica, Statgraphics, Stadia и др.

   Цель моей курсовой – показать, что есть математические пакеты, которые помогают студенту ВУЗа легко, быстро, а самое главное точно исследовать функции и строить графики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

1. Схема полного исследования функции.

1. Найти область определения.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и вертикальные асимптоты (если есть).
4. Исследовать поведение функции в окрестности граничных точек области определения и при х®±¥.
5. Найти (если есть) наклонные асимптоты графика функции.
6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства.
9. Построить график.

 
 
   

1. Область определения.

   Определение. Действительной функцией действительного переменного называется функция f:X , где X . Элемент x называется аргументом функции f (или независимой переменной), элемент y=f(x)Î - зависимой переменной.

   Определение. Множество, на котором определена функция, называется областью определения и обозначается D(f). Множество ее значений обозначается Е(f).

   Пример. y=f(x)= .

   Найти D(f)

    D(f): Û Û

   Значит, D(f)=(-∞;-3] [3;4).  
 

   2. Четность, нечетность и периодичность функции.

   Четные  и нечетные функции.

   Определение. Множество D называют симметричным относительно числа 0, если xÎD Þ -xÎD.

    Определение. Функция f, заданная на множестве D называется четной на этом множестве, если

   1)D симметрично относительно числа 0;

   2) xÎD выполняет равенство f(-x)=f(x).

   График  четной функции симметричен относительно OY.

   Определение. Функция f, заданная на множестве D, называется нечетной на этом множестве, если:

   1)D симметрично относительно числа 0;

   2) xÎD выполняется равенство f(-x)=-f(x).

   График  нечетной функции симметричен относительно начала координат.  

   Периодические функции.

   Определение. Функция f называется периодической с периодом T 0 на множестве D, если

   1) xÎD x TÎD (Т - периодическое множество).

   2) xÎD f(x+T)=f(x).

   Пусть f-периодическая функция с периодом Т. Следовательно, число -Т тоже является периодом, т.к. f(x-Т)=f((x-T)+T)=f(x), т.е. f(x-T)=f(x).

    xÎD f(x+T)=f(x),

               f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x),

               f(x+nT)=f(x) nÎ ,   Þ xÎD f(x+kT)=f(x)

               f(x-T)=f(x),

               f(x-2T)=f((x-T)-T)=f(x-T)=f(x),

               f(x-nT)=f(x) nÎ .

   Т.к. xÎD x+kTÎD, то D-неограниченное множество.

   Наименьший  положительный период функции  f называют ее основным периодом .

   Например, y=sin x, y=cos x, =2 ;

               y=tg x, y=ctg x, = .   

   Не  всякая периодическая функция имеет  основной период. Например, функция  Дирихле. Она является периодической, ее период - любое рациональное число. Но основного периода нет, т.к. не существует наименьшего положительного рационального числа.  
 

   3. Непрерывность, точки разрыва и вертикальные асимптоты функции.

   Непрерывность.

   Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x₀ - V(x₀), x₀Î .

   Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она в этой точке имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. если

    .  (1)

   Определение. (по Гейне) Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если , выполнено .

   Определение. (по Коши) f(x) называется непрерывной в точке х₀, если  выполнено .

   Определение. (в терминах окрестностей) Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполнено .

   Равенство (1) Û .  (2).

   Обозначим - приращение аргумента в точке х₀, - соответствующее приращение функции в точке х₀. Если , то . Значит, (2) Û .

   Следовательно, получим эквивалентное определение.

   Определение. Функция f(x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

   Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке x₀, (т.е. если не выполняется условие (1)), то она называется разрывной в точке x₀, а точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x).

   Точку x₀, в которой функция не определена, но определена в , также будем называть точкой разрыва, хотя в ней равенство (1) вообще не определено (нет правой части).

   Пример. непрерывна в любой точке .

   D Придадим значению аргумента x₀ приращение , получим точку . Тогда функция получит приращение

    ;

    .

   Следовательно, непрерывна в любой точке .D

   Определение. Функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке x₀, если ( ). 

   Точки разрыва.

   Определение. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f(x₀-0), f(x₀+0).

   Величина  называется скачком функции в точке x₀.

    Пример. Исследовать на непрерывность функцию

   D Функция непрерывна на , в том числе на . Функция непрерывна на , в том числе на . Исследуем на разрыв точку х=1.

   

   

    . Следовательно, х=1 - точка разрыва I рода.

    . D

   Определение. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой устранимого разрыва, если , т.е. (но либо , либо ).

   Если  x₀ - точка устранимого разрыва, то разрыв можно устранить, если доопределить или переопределить функцию в точке x₀, положив . Тогда непрерывна в точке x₀.

   Пример. Исследовать на непрерывность функцию

   D .

    Функция является непрерывной на D(f) (отношение двух многочленов). Исследуем точку х=-2.

   

   Значит, х=-2 - точка устранимого разрыва.

   Доопределим функцию в точке х=-2:

    .

     непрерывна в точке х=-2. D

   Определение. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва II рода, если в точке x₀ не существует или равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

   Пример. Исследовать на непрерывность

    D функция непрерывна на D(f) (композиция непрерывных функций), исследуем точку x=-1.

    , . Следовательно, x=-1 - точка разрыва второго рода ( ).D 

   Вертикальные  асимптоты графика функции.

   Определение. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен +¥ или -¥.

   Пример. Найти асимптоты графика функции .

   D 1) Вертикальные асимптоты.

    .

   Функция является элементарной, следовательно, непрерывна в области определения, х=0 – точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке:

    ,  .

   Следовательно, х=0 – точка разрыва второго рода, прямая х=0 – вертикальная асимптота графика функции. 
 

   4. Исследование функций с помощью производной.

   Условия постоянства, возрастания  и убывания функций.

   Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки , обозначим .

   Определение. Функция f называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x и x₀ из промежутка D таких, что x < x₀, выполняется неравенство f (x) < f (x₀).

   Определение. Функция f называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x и x₀ из промежутка D таких, что x < x₀, выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

   Теорема 4.1. Если функция f дифференцируема в точке x₀ и f¢ (x₀)>0 (f¢(x₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x₀.

   Доказательство.

     По определению производной  .

   Пусть f¢ (x₀)>0 (случай f¢ (x₀)<0 доказывается аналогично). По определению предела функции по Коши получаем:

   "e>0 (e=f¢ (x₀)) $d>0: "x: |x-x₀|<d выполнено Û Û        (1)

   (1) выполнено  .

   Возьмем , т. е. xÎ(x₀-d, x₀) Þ x-x₀<0. Тогда из того, что Þ f(x)<f(x₀).

   Возьмем , т. е. xÎ(x₀, x₀+d) Þ x-x₀>0. Тогда из того, что Þ f(x)>f(x₀).

   На  основании определения функция f возрастает в точке x₀.

   Замечание. Условие f¢ (x₀)>0 (f¢ (x₀)<0) не является необходимым для возрастания (убывания) функции в точке x₀. Т. е. из того, что f(x) возрастает (убывает) в точке x₀ не следует, что f¢ (x₀)>0 (f¢ (x₀)<0).

    Пример. D f(x)=x³, . Рассмотрим точку x=0.

   f¢ (x)=3x², f¢ (0)=0, но в точке х=0 функция возрастает. D

   Теорема 4.2. (признак постоянства функции) Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Для того чтобы f(x) была постоянной на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы f¢(x)=0 "xÎ(a,b).

   Доказательство.

     1) Необходимость.

   Пусть f(x)=cºconst, f¢(x)=c¢=0.

         2) Достаточность. 

   f¢(x)=0 "xÎ(a,b). Выберем "x₁, x₂Î[a,b]: x₁<x₂. К [x₁,x₂] применим теорему Лагранжа: $с: f(x₂)-f(x₁)=f¢ (c)(x₂-x₁), x₁<c<x₂. По условию f¢ (c)=0, x₂-x₁>0 Þ f(x₁)=f(x₂) "x₁, x₂Î[a,b], x₁¹x₂ Þ f(x)=cºconst.

   Следствие. Пусть f(x), g(x) определены и непрерывны на [a,b] и дифференцируемы на (a,b). Если f¢ (x)=g¢ (x) "xÎ(a,b), то f(x), g(x) отличаются друг от друга на постоянную.

   Доказательство  следует из теоремы 2 (применить для  функции F(x)=f(x)-g(x)).

   Теорема 4.3. (признак монотонности функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Функция не убывает (не возрастает) на [a,b] Û f¢ (x)³0 (f¢ (x)£0) на (a,b).

   Доказательство.

     1) Необходимость.

   Пусть f не убывает на (случай не возрастания доказывается аналогично).

   Тогда по определению "x, x₀Î[a,b]: x<x₀ Þ f(x)£ (x₀) Þ ,

                           "x, x₀Î[a,b]: x>x₀ Þ f(x)³ (x₀) Þ .

   Следовательно, , т. е. . Т. к. x₀Î[a,b] - произвольная точка, то необходимость доказана.

         2) Достаточность.

   Пусть f¢ (x)³0 на (a,b) (случай f¢ (x)£0 доказывается аналогично). Возьмем "x₁, x₂Î[a,b]: x₁<x₂. К [x₁,x₂] применим теорему Лагранжа: $сÎ( x₁,x₂):

   f(x₂)-f(x₁)=f¢ (c)(x₂-x₁). Т. к. f¢ (с)³0, x₂-x₁>0, то f(x₂)-f(x₁)³0. Т. е. f(x₂)³ f(x₁). По определению функция не убывает на [a,b].

   Теорема 4.4. Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Если f¢ (x)>0 (f¢(x)<0), то f возрастает (убывает) на (a,b).

         Доказывается так  же, как и п. 2) теоремы 3.

   Замечание. Условие теоремы 4 является достаточным, а не необходимым. Например, функция y=x³ возрастает на , а f¢ (0)=0. 
 

   5. Наклонные асимптоты  графика функции.

   Определение. Пусть f(x) определена "x>a (x<a), . Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥ (х®-¥), если f(x)=kx+b+a(х), где .

   При k¹0 y=kx+b – наклонная асимптота, при k=0 прямая y=b – горизонтальная асимптота.

   Теорема 5.1. Для того, чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥ (х®-¥), необходимо и достаточно, чтобы существовали 2 конечных предела:

    , (1)  . (2)

   Доказательство.

     1) Необходимость.

   Пусть прямая y=kx+b – наклонная асимптота графика функции при х®+¥. Тогда по определению f(x)=kx+b+a(х), где . Отсюда