Исследование применений формулы Тейлора

Муниципальное образовательное учреждение «Лицей города Кирово-Чепецка Кировской  области» 
 
 

ИССЛЕДОВАНИЕ  ПРИМЕНЕНИЙ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 
 

Автор: Викторова  Юлия,

Сильванский Максим 11 А класс

Учитель: Семакова Наталья Вениаминовна

Учитель математики 
 
 

КИРОВО-ЧЕПЕЦК

2009

Содержание

Ведение…………………………………………………………………………......3

1.Теоретическая часть………………………………………………………....…..5

  1.1. Многочлен Тейлора………………………………………………………….-

  1.2. Разложение функций по формуле Тейлора……………………………...…8

  1.3. Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора……….10

    1.3.1. Функция f(x)= ex……………………………………………….…-

    1.3.2. Функция f(x)= sin x ……………………………………………………11

1.3.3. Функция f(x) = cos(x)…………………………………………………12

    1.3.3. Функция f(x) = ln(1 + x)………………………………………..13

1.3.5.Функция f(x) = (1 + x)a………………………………………………….-

2. Практическое  применение формулы Тейлора………………………….........14

Заключение……………………………………………………………………......16

Список используемых источников……………………………………………...17

Приложение……………………………………………………………………….20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Актуальность: зачастую мы сталкиваемся с необходимостью вычисления значений сложных функций, но научиться этому возможно только в высших учебных заведениях. Данная работа будет полезна тем, кто хочет изучить теорию приближения функций и вычислять значения сложных функций .

Объект  исследования: исследование функций и кривых линий.

Предмет исследования: формула Тейлора.

Гипотеза: на основе формулы Тейлора можно составить программу, которая вычисляет значения сложных функций с минимальным расхождением от действительного значения.

Проблема: зачастую возникает необходимость вычисления значений сложных функций, но, не прибегая к помощи каких-либо программ или устройств, это сделать сложно.

Цель: изучить возможности практического применения формулы Тейлора и составить программу на языке программирования Pascal .

Для выполнения данной цели поставлены следующие  задачи:

  • в литературных источниках изучить вывод и практическое применение формулы Тейлора;
  • рассмотреть примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора;
  • разработать и написать компьютерную программу на языке программирования Pascal при помощи систематизированных данных по теории и применению формулы Тейлора.
 
 
 

Методы  исследования:

  • изучение теории приближения функций, разложения сложных функций по формуле Тейлора и её применений;
  • синтез теоретических знаний по формуле Тейлора и знаний языка программирования Pascal;
  • разработка программы на языке программирования Pascal на основе имеющихся знаний;
  • экспериментальная проверка программы.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть

     Элементы  важной и интересной области математики - теория приближения функций (аппроксимация). Под приближением функции понимают замену по определенному правилу  одной функции другой, близкой  к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, например, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений.

     Применение  формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

1.1. Многочлен Тейлора

     Многочлен P(x), наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции f(x), мы сможем вместо сложного вычисления значений функции f(x) приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена P(x).

     Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности E=(x0 -∂; x0+∂) некоторой точки x0 и имеет всюду в окрестности E производные f (k)(x)при k=1,2,3,…,n .  
 

     Многочленом Тейлора степени n в точке x0 называется многочлен P(x) степени n, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке x0, равны соответствующим значениям функции f(x) и её производных f (k)(x) до порядка n в этой же точке:   P(k)(x0)= f (k)(x0); k=0,1,2,3,…,n.

     Если  это условие совпадения выполнено, то графики функций y= f(x) и y=P(x), по крайней мере при x, близких к x0, будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство P(x0)= f (x0) означает, что графики проходят через одну и ту же точку (x0; f (x0)) ; равенство P′(x0)= f ′(x0) означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной - это общий угловой коэффициент касательной); равенство P′′(x0)= f ′′(x0) означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

     Для нахождения вида многочлена Тейлора  для заданной функции сделаем  сначала следующее замечание. Любой  многочлен P(x) степени n вида P(x) = a0xn +  a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an можно представить в виде, расположенном по степеням бинома (x-x0):

P(x) = a0(x-x0)n+ a1′(x-x0)n-1+ a2′(x-x0)n-2+…+ an-1′(x-x0)+ an′,

и наоборот, раскрыв  скобки в последней формуле, мы можем  получить многочлен по степеням x.

     Действительно, положив t= x-x0, мы можем подставить x= t+ x0 в правую часть формулы P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an, раскрыть степени (t+ x0)k при k=2,3…,n по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены.

Все коэффициенты ai (кроме a0) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие (ai′ в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома x-x0 , имеющий ту же степень n.

     Итак, будем предполагать, что многочлен  Тейлора мы ищем в виде

P(x) = an(x-x0)n+ an-1(x-x0)n-1+ an-2(x-x0)n-2+…+ a2(x-x0)2+ a1(x-x0) + a0 (1)

при некоторых  коэффициентах ak, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора ak по значениям производных данной функции в точке x0.

     Учтём требование к значению многочлена: P(x0)= f (x0) . Подставив в равенство (1) значение x=x0, получим, что P(x0)= a0 , так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым a0 = f (x0).

Учтём затем  требование к значению первой производной  многочлена: P′(x0)= f′(x0). Производная от P(x) равна

P′(x)=n·an(x-x0)n-1+ (n-1)·an-1(x-x0)n-2+(n-2)·an-2(x-x0)n-3+…+2a2(x-x0)+a1. (2)

Подставив в  равенство (2) значение x=x0 , получим, что P′(x0)= a1 , так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда a1= f ′(x0)

Следующее требование к значению второй производной многочлена:

P′′(x0) = f ′′(x0). Вторая производная от P(x) равна

P′′(x) = n(n-1)·an(x-x0)n-2+ (n-1) (n-2)·an-1(x-x0)n-3+ (n-2) (n-3)·an-2(x-x0)n-4+…+2a2. (3) 
 
 
 
 

Снова подставив  в равенство (3) значение x=x0 , получим, что P′′(x) = 2a2 , откуда a2= · f ′′(x0). Далее нетрудно сообразить, что получится P′′′(x) =3·2a3= f ′′′(x0) , откуда a3= f ′′′(x0) и вообще, ak= f k(x0) при k=3,4…n . Учитывая, что 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=2·3, ..., последнюю формулу можно записать в виде ak= f k(x0), k=1,2,3,…,n.

     Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции f(x) в точке x0 имеет вид:

P(x)= f (x0)+ f ′(x0) (x-x0)+ · (x-x0)2+…+ · (x-x0)n.

В частном случае при x0=0, формула приобретает вид более простой вид:

f(x) = f (0) + f ′(0)·(x) + · (x-x0)2+…+ · (x-x0)n+ Rn(x),

Эта формула  называется формулой Маклорена. 

     1.2. Разложение функций по формуле Тейлора

Применение формулы  Тейлора для разложения функций  в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть связано со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

     Если  при разложении в ряд взять  достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

     Применение  принципа разложения в ряд позволяет  производить вычисления на ЭВМ в  режиме реального времени, что немаловажно  при решении конкретных технических  задач.

     Разность  между функцией f(x) и её многочленом Тейлора называется  n-м остатком, или n-м остаточным членом; обозначим этот остаток через Rn(x)= f(x)- P(x).

Формула f(x)= P(x)+ Rn(x), в более развёрнутой форме имеющая вид

f(x) = f (x0) + f ′(x0) (x-x0) + · (x-x0)2+…+ · (x-x0)n+ Rn(x), называется формулой Тейлора для функции f(x) в точке x0 , а представление функции f(x) в таком виде - её разложением по формуле Тейлора.

     Если  считать, что остаток Rn(x) мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

f(x)≈  f (x0)+ f ′(x0) (x-x0)+ · (x-x0)2+…+ ! · (x-x0)n,

дающая возможность  для приближённого нахождения значений функции f(x). 
 
 

1.3. Примеры разложения  некоторых функций по формуле Тейлора

1.3.1. Функция f(x)= ex

     Рассмотрим  функцию f(x)= ex. Все её производные совпадают с ней:

f (k)(x)=ex , так что коэффициенты Тейлора в точке x0=0 равны

, k=0,1,2,3,…,n.

Поэтому формула  Тейлора для f(x)= ex такова:

.

     Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1:

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

На графике (см. Приложение 1) показаны значения числа е с точностью

в зависимости  от числа членов разложения в ряд  Тейлора.

Как видно, для  достижения точности, достаточной для  решения большинства практических задач, можно ограничиться шестью-семью членами ряда. 
 

1.3.2. Функция f(x)= sin x

     Рассмотрим  функцию f(x)= sin x. Её производные чередуются в таком порядке: , , , ,

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке x0=0  также возникает повторение: f(0)=0, , , , и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами n=2k-1 равны 1 при n=1,5,9,…, то есть при k=1,3,5,…, и -1 при n=3,7,11,…, то есть при k=2,4,6,… .

Таким образом, при всех и коэффициенты Тейлора равны

     Получаем  формулу Тейлора для синуса:

Чтобы получить наиболее точное значение функции при  наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется. 
 
 
 
 

     Для примера вычислим значение sin200.

Предварительно  переведем угол 200 в радианы: 200 = .

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись  тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого  угла указано значение 0,3420.

     На  графике (см. Приложение 2) показано изменение  значений разложения в ряд Тейлора  в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается  точность до 0,0002.

     На  графиках (см. Приложение 4) представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

1.3.3. Функция f(x) = cos(x).

     Для функции f(x) = cos(x) производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке x0=0 имеют то же чередование:

, , , , , …

Нетрудно видеть, что f (n)(0)=0 при n=2k-1, k=1,2,3,…, f (n)(0)=(-1)k при n=2k, k=0,1,2,… .

Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет  вид

1.3.4. Функция f(x) = ln(1 + x)

     Нахождение формулы для производной произвольного порядка от функции f(x) = ln(1+x). Имеет место разложение

Полученная формула  позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381

1.3.5.Функция  f(x) = (1 + x)a

     Разложим  функцию f(x) = (1 + x)a; (a - действительное число).

Тогда:

Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное  число и f(n+1)(x)=0, то R(n) = 0, тогда

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

     Разложение  различных функций по формулам Тейлора  приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько  удобна, что для подавляющего большинства  функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

2. Практическое применение  формулы Тейлора

       Первым этапом разработки является анализ представления некоторых функций по формуле Тейлора. Ранее было доказано, что для программы можно ограничиться шестью-семью членами ряда для числа e в степени х и пятью-шестью членами ряда для натурального логарифма. А так как известна его связь с десятичным логарифмом, а именно:

 

то написание программы для вычисления десятичных логарифмов существенно упрощается. Программа считает значение натурального логарифма, а затем переводит его значение в значение десятичного логарифма.

      Далее идет разработка логической структуры программы. Для большей наглядности используются вложенные циклы (это делает программу нагляднее и проще в использовании). Программа работает так чтобы от человека, использующего программу, требовалось только ввести номер требуемой функции и аргумент (x) для этой функции.

      В конце разработки программы переводятся результаты из экспоненциальной формы представления числа в привычную форму вещественного числа.

      Программа имеет ограничение в применении, так как реальное значение функции и вычисленное по нашей программе значение не сходятся и разложение по формуле Тейлора с ограниченным рядом членов даёт малые погрешности при малых значениях аргумента. Для того чтобы расширить границы применимости программы следует увеличить длину ряда, что используется в современных калькуляторах и ЭВМ. (Код вышеописанной программы см. Приложение 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

В ходе исследования:

  1. В литературных источниках был изучен вывод формулы Тейлора и ее практическое применение;
  2. Были рассмотрены примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора;
  3. Была разработана и написана компьютерная программа на языке программирования Pascal при помощи систематизированных данных по теории и применению формулы Тейлора.  

     В результате проведённого исследования доказано, что на основе знаний теории по формуле Тейлора и знаний языка  программирования Pascal, можно составить  программу вычисляющую значения e в степени x, натурального логарифма, а так же десятичного логарифма с минимальным расхождением от действительных значений. Также подтверждено, что такой программой возможно и удобно пользоваться практически (для учеников школ и высших учебных заведений) в расчетах, не требующих очень высокой точности.

      
 
 
 
 
 
 

Список  используемых источников

  • Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений/ под ред. С.М.Никольского. – М.: Просвещение, 2007.-155с.
  • Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа –

     Изд. 13-е, стер. – М.: Наука., 1964.-444с.

  • Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.-336с.
  • Высшая математика. Первый семестр. Интерактивный компьютерный учебник. Формула Тейлора. http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html
  • Курс высшей математики. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.  http://atomas.ru/mat/sem2/lec7.htm
  • Википедия. Свободная энциклопедия. Ряд Тейлора. http://ru.wikipedia.org/wiki/
  • Математический анализ. Занятие 14. Формула Тейлора. http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme14/theory.asp
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение

 

Приложение 1 

   

Исследование применений формулы Тейлора 📙 Курсовая → 🆔 96397

Исследование применений формулы Тейлора 📙 Курсовая → 🆔 96397

Исследование применений формулы Тейлора