Исследование возможностей Мар1е 7 при вычислении интегралов

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

В настоящее время главное направление российского образования – обеспечить качество образования. Человечество в своей деятельности постоянно создает и использует модели окружающего мира. Наглядные модели часто используются в процессе обучения. Применение компьютера в качестве нового динамичного, развивающего средства обучения – главная отличительная особенность компьютерного планирования. Использование компьютера, и его программного обеспечения обучающего характера позволяет разнообразить и углубить учебный процесс, что благотворно сказывается на эффективности обучения. Такой подход в изучении способствует развитию творческой активности учащихся, осуществить сочетание индивидуального подхода с различными формами коллективной учебной деятельности. Более рационально это можно продемонстрировать при изучении различных компьютерных пакетов. В последнее время в образовании стали применяться разнообразные информационные технологии, в том числе компьютерные математические пакеты AutoCad, MatLab, Maple, Mathematica и другие. Применение подобных инструментальных средств на уроках информатики позволяет решать сложные задачи, делать большие математические преобразования, не допуская при этом ошибок. Maple позволяет создать свою библиотеку процедур, при их разработке у ученика развивается умение программирования.

Целью курсовой работы является выявление преимуществ работы с использованием Maple при вычислении интегралов.

Задачи исследования:

1. Изучение учебно-методической  литературы по компьютерному  математическому пакету Мар1е  7;

2. Рассмотреть  функциональные возможности системы  Maple при вычислении интегралов.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что описана роль компьютерных математических пакетов в развитии умений программирования.

ГЛАВА 1. Первое знакомство с системой Maple 7

1.1. Краткая  характеристика систем класса  Maple

Назначение и место систем Maple

Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры. Это указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Казалось бы, нелепо называть такую мощную систему, как Maple 7 математической системой «для всех». Однако по мере ее распространения она становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу обстоятельств (работа, учеба, хобби) заниматься математическими вычислениями и всем, что с ними связано. А все это простирается от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств, и даже создания художественной графики (например, фракталов).

Возможности систем символьной математики, реализованных на массовых ПК класса IBM PC, порой являются полной неожиданностью и вызывают вполне заслуженное удивление и восхищение, но иногда и резкое отрицание. Maple — тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Заслуженной популярностью системы Maple (всех версий) пользуются в университетах — свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш МГУ) взяли эту систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило один миллион. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.

Добавьте к этому куда большее число незарегистрированных пользователей — ведь система записана на многих компакт-дисках, лихо продаваемых в России  по вполне доступным ценам. Если учесть все это, то оказывается, что популярность системы Maple ничуть не ниже, а то и выше, чем у гораздо более простых систем, таких как Derive и Mathcad.

Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
• современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
• ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
• численный и символьный процессоры;
• систему диагностики;
• библиотеки встроенных и дополнительных функций;
• пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

Во многих обзорах систем компьютерной алгебры Maple справедливо считается одним из первых кандидатов на роль лидера среди них. Это лидерство она завоевывает в честной конкурентной борьбе с другой замечательной математической системой — Mathematica 4.1. Каждая из данных двух систем имеет свои особенности, но в целом эти две лидирующие системы практически равноценны. Однако надо отметить, что появление версии Maple 7 означает очередной виток в соревновании этих систем за место лидера мирового рынка. Причем виток на этот раз раньше сделала система Maple 7.

Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple V используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB. А совсем недавно упрощенная версия Maple для операционной системы Windows СЕ стала использоваться в миниатюрных компьютерах фирмы Casio — Cassiopeia.

Ядро и пакеты Maple 7

Основой для работы с символьными преобразованиями в Maple является ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов символьных преобразований. В новых реализациях объем ядра достигает 6-7 Мбайт. Имеется также основная библиотека операторов, команд и функций. Многие встроенные в нее функции, как и функции ядра, могут использоваться без какого-либо объявления, другие нуждаются в объявлении. Кроме того, имеется ряд подключаемых пакетов (packages).

Дополнительные функции из пакетов могут применяться после объявления подключения пакета с помощью команды  with(name), где  name — имя применяемого пакета. Общее число функций, с учетом встроенных в ядро и размещенных в пакетах в системе Maple V R4 приближается к 2500, в реализации R5 — к 2700, а в Maple 7 оно уже превышает 3000. Это означает, что большинство задач может решаться в режиме прямого диалога с системой без использования каких-либо средств программирования.

Языки системы Maple 7

Maple способна решить огромное число задач вообще без какого-либо программирования в общепринятом смысле этого понятия. Достаточно лишь описать алгоритм решения задачи и разбить его на отдельные вопросы, на которые система Maple способна дать ответы. Более того, есть тысячи задач, алгоритмы решения которых уже реализованы в виде функций и команд системы. Тем не менее это вовсе не означает, что в Maple нельзя программировать. На самом деле Maple поддерживает три собственных языка: входной, реализации и программирования.

Maple имеет входной язык сверхвысокого уровня, ориентированный на решение математических задач практически любой сложности. Он служит для задания системе вопросов или, говоря иначе, задания входных данных для последующей их обработки. Это язык интерпретирующего типа и по своей идеологии напоминает Бейсик. И такое сходство вовсе не недостаток, а огромное достоинство — ведь именно с Бейсика начался подлинный диалог пользователя напрямую с компьютером. Входной язык имеет большое число заранее определенных математических и графических функций, а также обширную библиотеку, подключаемую по мере необходимости.

Имеет Maple и свой язык процедурного программирования — Maple-язык. Этот язык имеет вполне традиционные средства структурирования программ: операторы циклов, операторы условных и безусловных переходов, операторы сравнения, логические операторы, команды управления внешними устройствами, функции пользователя, процедуры и т. д. Он также включает в себя все команды и функции входного языка, ему доступны все специальные операторы и функции. Многие из них являются весьма серьезными программами, например символьное дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд Тейлора, построение сложных трехмерных графиков и т. д.

Не следует путать входной язык и язык программирования системы (Maple-язык) с языком ее реализации. Им является один из самых лучших и мощных универсальных языков программирования — Си. На нем написано ядро системы, содержащее тщательно оптимизированные процедуры. Большинство же функций, которые содержатся в пакетах, написаны на Maple-языке, благодаря чему их можно модифицировать и даже писать свои собственные библиотеки. По разным оценкам, лишь от 5 до 10 % средств Maple создано на языке реализации — все остальное написано на Maple-языке. Таким образом, система имеет развитые возможности для расширения и адаптации к задачам пользователя. Для подготовки программ на языке Maple могут использоваться внешние редакторы, но система имеет и свой встроенный редактор, вполне удовлетворяющий требованиям большинства пользователей. Он открывается командами  New и  Open в меню  File. Этот редактор можно использовать для редактирования файлов программ или математических выражений. Версии Maple для MS-DOS имеют свой редактор программ и отладчик с функциями проверки синтаксиса. После версии Maple V для Windows необходимость в этих средствах практически отпала.

Синтаксис структурных операторов языка Maple напоминает смесь Бейсика и Паскаля. Это облегчает знакомство с ним тем, кто имеет хотя бы начальный опыт программирования на этих языках. По близким к Бейсику правилам (и при помощи общепринятых математических сокращений) выполняется и ввод математических выражений в диалоговом режиме работы с системой.

Ориентация систем Maple

Вообще говоря, системы Maple ориентированы на решение сложных задач, хотя и решение в них простых задач вполне возможно и уместно. Возможно, для решения таких задач вполне подойдет весьма простая, быстрая и надежная система Derive или система Mathcad, в которую (начиная с версии 3.0 под Windows) включен приобретенный по лицензии фирмы Waterloo Maple упрощенный символьный процессор Maple. Однако по числу доступных пользователю математических функций эти скромные системы не идут ни в какое сравнение с патриархом символьной математики — системой Maple.

Система Maple 7 может с успехом применяться для решения самых серьезных математических задач аэродинамики, теории поля, теплопроводности и диффузии, теоретической механики и др. Решение таких задач нередко является многолетним трудом элитных научных коллективов.

Впрочем, поскольку система может быть установлена на любом современном ПК, ее можно применять как можно чаще и по любому поводу. Это способствует как приобретению практических навыков работы с Maple, так и росту математических познаний тех, кто с ней работает.

1.2.Интерфейс  системы Maple 7

Обзор интерфейса Maple 7

Долгое время системы Maple имели довольно архаичный (хотя и неплохой) пользовательский интерфейс, ориентированный на операционную систему MS-DOS. Но затем версия Maple V R3, далее Maple V R4, Maple V R5 и, наконец, Maple 6 и Maple 7 приобрели вполне современный графический пользовательский интерфейс, характерный для приложений операционных систем Windows. Это намного повысило удобство работы с Maple и обеспечило интеграцию со многими другими программными продуктами.

Как у всех приложений под Windows интерфейс Maple 7 имеет ряд характерных элементов, перечисленных ниже:

• строка заголовка;
• строка главного меню;
• главная панель инструментов;
• контекстная панель инструментов, вид которой зависит от режима работы с Maple 7;
• окно ввода и редактирования документов;
• строка состояния.

Пользовательский интерфейс Maple 7 позволяет готовить документы, содержащие одновременно текстовые комментарии, команды входного языка (с возможным преобразованием их в естественную математическую форму), результаты вычислений в виде обычных математических формул и графические данные. Это обеспечивает понятное представление исходных данных и результатов вычислений, а также удобство их повторного использования.

В основе пользовательского интерфейса Maple 7 лежит графический многооконный интерфейс операционной системы Windows. Управление системой Maple 7 возможно с помощью главного меню, панелей инструментов и палитр, а также «горячих» клавиш. Поддерживаются также многие возможности мыши, присущие приложениям под Windows.

Важно отметить и прекрасно реализованную справочную систему Maple 7. Преодолев первые трудности общения с системой, пользователь быстро осваивает систему справки, которая позволяет без какой-либо бумажной документации получить исчерпывающую информацию о любом операторе, функции или пакете (разумеется, на английском языке). На каждой странице справки находится по несколько примеров, причем их можно скопировать и перенести в редактор или в окно исполняемых документов системы. Это способствует быстрому обучению пользователя.

Пользователь Maple 7 (как и ряда других математических систем) работает с документами, которые являются одновременно описаниями алгоритмов решения задач, программами и результатами их исполнения. Все данные команды и результаты размещаются в соответствующих ячейках. Графические построения выполняются как в ячейках документа, так и в отдельных окнах, и имеют свои меню для оперативного управления параметрами.

Меню системы Maple 7

Наиболее полные возможности управления предоставляет главное меню системы Maple 7. Оно, как обычно, расположено непосредственно под строкой заголовка. Меню предоставляет доступ к основным операциям и параметрам пользовательского интерфейса системы. Ниже дан перечень меню, доступных при наличии открытого документа:

 File — работа с файлами и печатью документов;

 Edit — команды редактирование документа и операции с буфером обмена;

 View — управление видом пользовательского интерфейса;

 Insert — операции вставки;

 Format — операции задания форматов;

 Spreadsheet — операции задания таблиц;

 Options — задание параметров;

 Window — управление окнами;

 Help — работа со справочной системой.

Главное меню Maple 7 является контекстно-зависимым. Это означает, что его вид может меняться в зависимости от текущего состояния (контекста) системы. Например, если все документы закрыты, то главное меню содержит только три заголовка меню: File, Options и Help. При этом место для окон документов пусто и окрашено в серый цвет. Вид меню также меняется в зависимости от того, какие объекты в документе выделены.

Палитры ввода математических символов

Полезно сразу обратить внимание на возможность модификации интерфейса системы Maple 7 с помощью команд меню View. В этом меню можно увидеть список палитр Palettes, предназначенных для ввода математических знаков. Установив флажки соответствующих палитр, можно вывести их на экран и переместить в любое место. При этом палитра VECTOR введена в Maple 7 впервые.

Назначение знаков в палитрах очевидно из их названий:

SYMBOL — ввод  отдельных символов (греческих букв  и некоторых математических знаков);

EXPRESSION — ввод  шаблонов математических операторов  и операций; 

MATRIX — ввод  шаблонов матриц разных размеров;

VECTOR — ввод  шаблонов векторов разных размеров  и типов (векторы-столбцы или векторы-строки).

Следует отметить, что не всегда введенный на палитре символ буквально повторяет представленный на кнопке. Например, вместо символа а может быть введено слово alpha. Так происходит, если установлен действующий по умолчанию Maple-режим представления символов. Палитра ввода векторов введена в Maple 7 впервые, что сделало ввод векторов более удобным.

Всплывающие подсказки

Еще один важный и полезный элемент интерфейса — всплывающие подсказки. Они появляются, если навести курсор мыши на тот или иной элемент интерфейса. Подсказки имеют вид облачка, которое вытекает из указанного элемента интерфейса. Особенно удобны подсказки для пояснения назначения кнопок палитр и панелей инструментов.

1.3.Основы  работы с Maple 7 в диалоговом режиме

Начальные навыки работы

После загрузки и запуска системы можно начать диалог с ней, используя ее операторы и функции (с параметрами) для создания и вычисления математических выражений.

Во избежание грубых ошибок при исполнении того или иного примера рекомендуется  перед этим исполнить команду  restart, которая снимает определения со всех использованных ранее переменных и позволяет начать вычисления «с чистого листа».

Рис. 1.12. Начало диалога с системой Maple 7

На рис. 1.12 представлен реальный диалог с системой (в виде копии экрана) при решении простейших арифметических задач и построении графика функции sin(x)/x.

Уже из этого простого примера видны особенности диалога с Maple и синтаксиса ее входного языка, то есть языка, на котором системе задаются вопросы. Диалог идет в стиле: «задал вопрос, получил ответ». Вопросы и ответы занимают отдельные блоки, выделяемые в левой части квадратными скобками. Длина квадратных скобок зависит от размера выражений — исходных (вопроса) и результатов вычислений (ответов на вопросы). Знак > является знаком приглашения к заданию вопроса. Мигающая вертикальная черта | — маркер ввода (курсор).

Ввод выражений (вопросов) задается по правилам, давно принятым для строчных редакторов. Они хорошо известны, и мы не будем на них останавливаться подробно. Отметим лишь, что клавиша Ins позволяет задавать два основных режима ввода — замены и вставки. В режиме замены вводимый символ заменяет существующий символ, который отмечен маркером ввода. А в режиме вставки новый символ вставляется в текст, не уничтожая имеющиеся символы.

Перемещение маркера ввода осуществляется клавишами перемещения курсора <- и -> Клавиша  Backspace стирает символ слева от маркера ввода, а клавиша  Del — справа от маркера ввода. Для ввода любого символа надо нажать соответствующую клавишу. Клавиша  Shift включает верхний регистр для ввода заглавных (прописных) букв, а клавиша  Caps Lock  переключает верхний и нижний регистры клавиш с буквами (они меняются местами).

Знак фиксации конца выражения; (точка с запятой) указывает, что результат его вычисления должен быть выведен на экран, а знак : (двоеточие) отменяет вывод и может использоваться как знак разделителя при записи нескольких выражений в одной строке. Клавиши перемещения курсора позволяют передвигаться по ранее введенным строкам на экране.

Понятие о функциях и операторах

Важным понятием системы Maple 7 является понятие функции. Функция возвращает результат некоторого преобразования исходных данных — параметров функции. Maple 7 имеет множество встроенных функций, включенных в его ядро и в пакеты.

Функция в выражениях задается вводом ее имени и списка параметров функции (одного или нескольких), заключенного в круглые скобки, например sqrt(2) задает функцию вычисления квадратного корня с параметром 2 (численной константой). Основным признаком функции является возврат значения в ответ на обращение к ней по имени (идентификатору) с указанием списка параметров функции.

Ради единства терминологии мы будем пользоваться расширительным понятием функции, относя к нему и те объекты, которые в некоторых языках программирования именуют процедурами или командами. Например, слова  plot и  plot3d мы также будем называть функциями, которые возвращают графики аргументов. Под командами же мы будем подразумевать прежде всего команды, содержащиеся в меню. Помимо функций в математических системах для записи математических выражений используются специальные знаки — операторы. К примеру, вычисление квадратного корня часто записывается с помощью его специального знака. Достаточно хорошо известны операторы сложения +, вычитания -, умножения *, деления / и некоторые другие. Операторы обычно используются с операндами в виде констант или переменных, например в записи 2* (3+4) числа 2, 3 и 4 — это операнды, а знаки * и + — операторы. Скобки используются для изменения порядка выполнения операций. Так, без них 2*3+4=10, тогда как 2*(3+4)=14, поскольку вначале вычисляется выражение в скобках. Пожалуй, самым распространенным оператором является оператор присваивания :=. Он используется для задания переменным конкретных значений, например:

Этот простой пример наглядно иллюстрирует эволюцию переменных и особую роль оператора присваивания в системе Maple. В частности, в этом примере переменные х, у и z взаимосвязаны с помощью операций присваивания. Поэтому задание значения 2 переменной z приводит к тому, что и переменные у и х  принимают то же значение.

Другой распространенный оператор — оператор равенства = используется для задания равенств и логических условий (например,  а=b), указания областей изменения переменных (например, 1=1..5 означает формирование диапазона изменения  i от 1 до 5) и определения значений параметров в функциях и командах (например,  color=b1ack для задания черного цвета у линий графиков).

Операторы сами по себе результат не возвращают. Но они, наряду с функциями и своими параметрами (операндами), позволяют конструировать математические выражения, которые при их вычислении также возвращают результат. В силу этого математические выражения, содержащие операторы и операнды, могут быть параметрами функций. Выражения в Maple бывают очень простыми (например, имена переменных х и у или константы 1 и 2), а могут содержать многие тысячи знаков. С позиции канонов символьной математики квадратный корень из двух уже является основным результатом вычислений. Поэтому такая функция обычно не вычисляется в численном виде, а выводится в естественном виде с применением знака квадратного корня. Для вычисления в привычном виде (в виде десятичного числа с мантиссой и порядком) надо воспользоваться функцией evalf(sqrt(2))  — эта функция обеспечивает вычисление символьного выражения, заданного ее параметром (числом 2).

Обработка и индикация ошибок

При работе с системой Maple 7 надо строго придерживаться правил корректного ввода выражений и иных объектов Maple-языка, называемых синтаксисом языка. Однако, как гласит русская пословица, не ошибается только тот, кто ничего не делает. Даже у опытного пользователя возможны ошибки в ходе ввода выражений и задания алгоритмов вычислений.

Алгоритмические, но синтаксически корректные ошибки часто могут не распознаваться системой. Например, если в выражении  a*sin(x) вы вместо аргумента х взяли аргумент b, то есть записали  a*sin(b), то такую ошибку Maple 7 распознать не может, ибо синтаксически как  a*sin(x), так и  a*sin(b)  абсолютно корректны. Если вы перепутаете синус с косинусом и запишете  a*cos(x), то такая ошибка также не будет распознана.

Ошибки в записи выражений, описывающих те или иные алгоритмы вычислений, не  нарушающие синтаксическую корректность, системой Maple 7 не распознаются. Контроль за такими ошибками целиком лежит на пользователе.

Приведем еще один характерный пример ошибки, которую Maple 7 не может распознать. Вводя выражение  X/Y*Z, мы можем предположить, что это означает  X/(Y*Z). Однако в Maple 7 приоритет операций деления и умножения одинаков. Поэтому Maple 7 вначале делит  X на  Y, а затем полученный результат умножает на Z:

Ошибки такого рода называют семантическими. Если бы мы не проверили вывод с помощью оператора вычисления предыдущего выражения (%), то эта ошибка осталась бы нераспознанной. Выявление и устранение семантических ошибок выполняется на этапе отладки вычислений и программ.

Используйте блокировку вычислений с помощью знака двоеточия только в том случае,  когда вы абсолютно уверены в правильности записи выражения. Иначе вы можете не заметить вкравшейся в вычисления серьезной ошибки.

В нашем примере мы получили бы верный результат, заключив выражение  Y*X  в круглые скобки. Как обычно, они предназначены для задания явного приоритета выполнения операций — в нашем случае вначале будет вычислено выражение в скобках (Y*Z), а затем уже  X будет поделено на это выражение:

Но вернемся к ситуации с синтаксическими ошибками, которые система Maple 7 распознает с помощью встроенного в нее синтаксического анализатора. Например, если вы задали неправильное имя функции, то это будет опознано синтаксическим анализатором и вычисления не будут выполняться. Maple 7 просто повторит выражение в строке вывода:

В этом примере вместо имени функции  sin введено ошибочное имя  son. Maple воспринимает его как некую введенную пользователем функциональную зависимость и потому просто повторяет запись и не выводит сообщение об ошибке. А вот другая ситуация — имя функции sin введено верно, но вместо десятичной точки при задании вещественного числа 1.0 использована запятая:

В данном случае Maple 7 «знает», что работа идет с его встроенной функцией синуса, которая должна иметь единственный аргумент. Задание (1,0) означает, что пользователь ввел вместо вещественного числа два целочисленных числа, разделенных запятой. Этого синтаксический анализатор Maple 7 стерпеть уже не смог, и он отреагировал выдачей сообщения об ошибке (на экране дисплея оно имеет малиновый цвет). Исправьте ошибку, и синус единицы будет благополучно вычислен:

А вот еще одна типичная ситуация — в последовательности выражений опущен знак-разделитель (двоеточие или точка с запятой):

Тут Maple 7 не только реагирует на ошибку, но и пытается подсказать, что именно пропущено. Более того, маркер ввода в виде мигающей вертикальной черточки будет помещен на место ошибки и вы сможете тут же устранить ошибку. Правда, подсказки не всегда точны — в нашем случае явно пропущен разделитель в виде двоеточия, a Maple 7 сообщает о пропуске точки с запятой. Впрочем, откуда системе знать, хотим мы вывести результат операции  Y:=4  сразу (для этого нужен разделитель в виде точки с запятой) или откладываем на потом (с помощью символа двоеточия).

Вот еще один пример характерной ошибки — три знака  * подряд:

Здесь Maple 7 подсказывает, что один оператор  * надо убрать — два знака  * подряд означают вполне законный вариант оператора — возведение в степень. При этом маркер ввода вновь указывает место ошибки.