Классификация тел кватернионов над р-адическими полями и рациональными числами

Министерство образования  и науки, молодежи и спорта Украины

Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

тема:

«Классификация тел кватернионов над р-адическими полями и рациональными числами»

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент группы 3М

Симоненко Д.

 

Проверил:

Доцент кафедры 

математического анализа 

и алгебры

Жучок А.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Луганск

2011

 

ПЛАН:

1.Введение……………………………………………………………3

2. Кватернион: определение, свойства:………………………….....5

          3 Алгебра кватернионов…………………………………………….8

 

        3.2.Теорема (о теле кватернионов)………………9

                      3.1.Тело кватернионов………………………………………10

           4.р-адические числа……………………………………………..10

           5.Бикватернионы…………………………………………………...12.

           6.Паракватернионы…………………………………………………14

           7.Вывод………………………………………………………………17

            8. Литература…………………………………………………………………….19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

В различных разделах математики возникает потребность  рассматривать векторные пространства (над данным полем k), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства – их произведение. В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения λy линеен по каждому из множителей при фиксированном втором.

Кватернион – гиперкомплексное число, геометрически реализуемое в четырехмерном пространстве. Система кватернионов предложена в 1843 У. Гамильтоном (W. Hamilton). Кватернионы явились исторически первым примером гиперкомплексной системы, возникшей при попытках найти обобщение комплексных чисел. Комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости. Из точек пространства трех и выше измерений нельзя "устроить" числовую систему, подобную полю действительных или комплексных чисел. Однако, если отказаться от коммутативности умножения, то из точек 4-мерного пространства можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и выше измерений нельзя построить даже такую систему).

Открытие кватернионов в середине XIX века дало толчок разнообразным  исследованиям в области математики и физики. В частности, благодаря  кватернионам возникла чрезвычайно  плодотворная область математики — векторная алгебра. Комплексные числа играют в математике огромную роль. В связи с этим возникло желание дать дальнейшее обобщение действительных чисел. На этом пути были построены кватернионы. Кватернионы получаются в результате присоединения к действительным числам не одной, а трех мнимых единиц, которые обозначаются через

так что каждый кватернион x записывается в форме

где

– действительные числа, являющиеся координатами кватерниона x. Таким образом, совокупность всех кватернионов представляет собой четырехмерное векторное пространство с базисом

Для кватернионов, как  и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания кватернионов определены покомпонентно. Умножение кватернионов полностью определяется законом умножения их мнимых единиц

Операций сопряжения для кватернионов определено три - скалярное сопряжение, векторное сопряжение и алгебраическое сопряжение. При этом в силу особенностей строения кватернионов эти сопряжения полностью совпадают.

Алгебра кватернионов является единственной ассоциативной, но не коммутативной, конечномерной нормированной алгеброй над полем действительных чисел, обладающей единицей. Алгебра К.- тело, т. е. в ней определено деление, причем кватернионом, обратным к кватерниону X, является  . Тело кватернионов – единственная конечномерная действительная ассоциативная, но не коммутативная алгебра без делителей нуля

 

2. Кватернион: определение, свойства.

По Гамильтону, кватернион есть математический объект вида

где a,b,c,d - действительные числа, a - множитель действительной единицы "1", а i, j, k - три разные мнимые кватернионные единицы. умножения этих единиц, записанное еще Гамильтоном и часто повторяемое в литературе, имеет вид

Умножение произвольных кватернионов производится с помощью приведенной выше таблицы. Пусть

По правилу умножения  суммы на сумму

Мы получили сумму 16 слагаемых. Преобразуя каждое, приходим

к результату:

Эти громоздкие уравнения означают, что Q-умножение теряет коммутативность:

так что появляется понятие  правого и левого умножения, но остается ассоциативным

В кватернионе естественно  выделяются две алгебраически весьма различные части, которые можно обозначить как скалярную:

и векторную:

Сложение (вычитание) кватернионов осуществляется покомпонентно: отдельно складываются (вычитаются) скалярные и векторные части. По сложению Q-алгебра коммутативна и ассоциативна.

Далее вводится операция кватернионного сопряжения, аналогичного сопряжению комплексных чисел:

Пусть дан кватернион

Сопряженным ему называется кватернион

Очевидно, что сумма  сопряженных кватернионов есть число  действительное. Но и произведение также является действительным числом:

Продолжая аналогию с  комплексными числами, определяется модуль Q-числа:

Последние действия позволяют  сформулировать правило деления  кватернионов, которое, как и умножение, может быть "правым" и "левым"

Из формулы модуля Q-числа сразу же следует знаменитое тождество четырех квадратов

В силу вышеперечисленных  свойств Q-числа составляют алгебру, принадлежащую к элитной группе четырех так называемых исключительных - "очень хороших" - алгебр: действительных, комплексных, кватернионных чисел и октав (теоремы Фро- бениуса и Гурвица 1878-1898 г. г.).

Особое внимание стоит уделить  представлениям Q-единиц. В обозначениях Гамильтона действительная единица есть просто 1, тогда как три мнимые единицы по аналогии с алгеброй комплексных чисел обозначены как i, j, k. Позже было найдено простое представление этих единиц с помощью постоянных матриц

Это представление, конечно, не единственное. Вот один простой пример. Если в последних выражениях мнимую единицу алгебры комплексных чисел i представить матрицей с действительными компонентами

то тогда три векторные Q-единицы оказываются представленными действительными матрицами. Понятно, что процедуру удвоения ранга матриц представления можно продолжить до бесконечности.

Выполнимость  деления в системе кватернионов.

Прежде всего обратим внимание на существенное отличие в самой постановке вопросов о делении кватернионов и делении комплексных чисел. Для комплексных чисел, как помнит читатель, частным от деления на называется решение уравнения . Но для кватернионов произведение зависит от порядка сомножителей, поэтому вместо одного уравнения нужно рассматривать два:

Итак, мы установили два наиболее важных свойства системы кватернионов:

1) для умножения кватернионов  выполняется ассоциативность; 

2) кватернионы — система  с делением.

3. Алгебра кватернионов

Множество кватернионов обладает всеми свойствами алгебры  размерности 4 (по числу базисных единиц), в нем заданы операции умножения на действительное число, сложения и умножения кватернионов.

Во многом эта алгебра  близка алгебрам действтельных и  комплексных чисел. Она ассоциативна по сложению и умножению, дистрибутивна, имеет единицу (действительная единица); в ней определены вычитание и деление; это алгебра нормированная, в ней выполняется тождество четырех квадратов.

Но алгебра кватернионов уже сильно отличается от алгебр меньших  размерностей. Она некоммутативна по умножению и в силу этого, несмотря на «высокое качество» свойств, множество всех кватернионов является не полем, а телом – некоммутативным кольцом с делением (иногда можно встретить название «некоммутативное поле»).

Одна из важнейших  отличительных черт алгебры кватернионов состоит в том, что она является последней по числу размерностей ассоциативной алгеброй с единицей и с делением. В 1878 году немецкий математик Г.Фробениус доказал замечательную теорему:

Теорема Фробениуса: Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

 

3.1.Тело кватернионов

Определение:

Пусть А — непустое множество, +, • — операции на множестве А, и 0,1 — элементы множества А. Тогда алгебра называется телом тогда и только тогда, когда выполняются следующие утверждения (аксиомы тела):

1. — абелева (коммутативная) группа;
2. — группа (вообще говоря, некоммутативная);
3. —законы дистрибутивности.

При этом группа называется аддитивной группой тела, а группа ( называется мультипликативной группой тела.

 

3.2.Теорема (о теле кватернионов).

Алгебра кватернионов относительно операций сложения и умножения кватернионов является телом.

Для доказательства этой теоремы надо проверить выполнение аксиом тела.

Тот факт, что относительно сложения алгебра кватернионов является группой, очевиден.

Проверку остальных аксиом тела можно осуществить непосредственным вычислением.

 

4. р-адические числа.

Числа, называемые р-адическими, называются так потому, что поля, ими образуемые, параметризованы  простыми (prime) числами. Именно, если по порядку простое натуральное число — входит в несократимую запись ненулевого рационального числа r в степени , то положим (минус существенен) и получим гомоморфизм мультипликативной группы поля Q в ее положительную часть (далее пишем р вместо p_j); полагая к тому же , обнаружим, что выполнено неравенство треугольника (a,b ÎQ) и, значит, отображение Q является нормированием поля рациональных чисел, называемым р-адическим. Других нормируемых недискретных топологий на поле Q, кроме задаваемых обычным абсолютным значением и р-адическими нормированиями (перечисленные топологии, кстати, попарно различны), не существует (этот факт носит имя теоремы Островского о нормированиях на Q). Поэтому естественно, наряду с обычным пополнением поля Q, рассмотреть и пополнения этого поля относительно р-адических нормирований (точнее говоря, относительно равномерно- стей, порождаемых этими нормированиями). Соответствующие пополнения и называются полями р-адических чисел. Эти пополнения не являются упорядоченными полями, в отличие от обычного, и потому не признаются в кругу физиков за имеющие физический смысл; эта позиция, конечно, полностью оправдана при рассмотрении обычного пространства-времени, но модели теорий полей и струн, связанные с компактифицированными измерениями, столь причудливо алгебраичны — и в то же время столь же далеки от экспериментального обоснования — что приведенный аргумент о «нефизичности» применений р-адических полей теряет свою безусловность и очевидность. В математической литературе р-адический анализ —т.е. анализ функций р-адического аргумента (принимающих как комплексные, так и р-адические значения) развит вплоть до формул типа Стокса, спектральной теории дифференциальных операторов и функциональных интегралов, представляющих решения р-адических аналогов дифференциальных уравнений (в том числе стохастических) математической физики, и потому современные работы по р-адическому анализу часто относится к математической физике, хотя, в силу отсутствия верифицируемых физических предсказаний — не к теоретической физике.

Справедливости ради надо отметить, что последним свойством (отсутствием верифицируемых физических предсказаний) обладают также и многие тексты, относящиеся к теорфизическим (в частности, по теориям струн).

 

 

5. Бикватернионы

Бикватернионом называется число гиперкомплексной алгебры, полученной коммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

С мнимой единицей удвоения

Здесь обозначены: Q - представители  алгебры кватернионов, - мнимая единица  удвоения алгебр, B - представитель алгебры  бикватернионов. Мнимая единица удвоения коммутирует по умножению с мнимыми единицами исходного кватерниона и при умножении на мнимые единицы i, j, k дает три новых мнимых единицы, которые обозначим как . Таблица произведений мнимых единиц бикватернионов имеет вид:

При получении данной таблицы произведений мнимых единиц бикватернионов мы полагали правый закон произведения мнимых единиц исходных кватернионов, взятых при удвоении. Так же можно привести таблицу произведений для левых бикватернионов. В дальнейшем будем полагать, что операции будут производиться с правыми бикватернионами в соответствии с приведенной таблицей.

 

Бикватернионы в некоторых  случаях можно рассматривать  как кватернионы над полем  комплексных чисел, при этом набор  мнимых единиц i, j, k и  перемножается  прозрачно - тройка мнимых единиц кватерниона сохраняет структуру кватерниона, а мнимая единица  сохраняет структуру поля комплексных чисел. Так же следует помнить, что бикватернионы являются алгеброй с делителями нуля и не следует слепо копировать на них соотношения, полученные для кватернионов и комплексных чисел.

 

Для бикватернионов, как  и для кватернионов, определены операции сложения, вычитания, умножения и  деления. Операции сложения и вычитания  бикватернионов определены покомпонентно. Умножение бикватернионов полностью  определяется приведенной выше таблицей произведений мнимых единиц бикватернионов.

 

Для бикватернионов определены три операции сопряжения - скалярное  сопряжение, векторное сопряжение и  алгебраическое сопряжение. При этом все три сопряжения абсолютно  различны, более того, алгебраическое сопряжение определено существенно нелинейно.

Свойства бикватернионов.

1. бикватернионы коммутативны по сложению.
2. бикватернионы ассоциативны по сложению.
3. бикватернионы дистрибутивны.
4. бикватернионы некоммутативны по умножению.

Как и для бикомплексной алгебры, для бикватернионов модуль бикватерниона определяется формой четвертой степени.

 

Алгебра бикватернионов содержит делители нуля. Поэтому не для любого бикватерниона может  быть определен бикватернион, обратный ему.

 

6. Паракватернионы

Паракватернионом называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры паракомплексных чисел:

С мнимой единицей удвоения

Здесь обозначены: ,- представители алгебры паракомплексных чисел, j - мнимая единица удвоения алгебр, Q - представитель алгебры паракватернионов. Мнимая единица удвоения j не коммутирует по умножению с мнимой единицей исходной паракомплексной алгебры i и при умножении на нее образует третью мнимую единицу, обозначаемую как k. Таблица произведений единиц паракватернионов имеет вид:

 

 

 

Данный закон умножения  определен как правый закон умножения. Так же можно определить паракватернионы  с левым законом умножения. Отличие левых паракватернионов от правых паракватернионов состоит в результате произведения мнимых частей. В большинстве случаев при рассмотрении алгебры паракватернионов пользуются определением паракватерниона как правого паракватерниона. Мы так же будем следовать этому соглашению.

 

По своему строению паракватернионы  очень похожи на кватернионы, что  иногда может вводить в заблуждение  и приводить к реальным ошибкам  при проведении вычислений с их применением.

 

Для паракватернионов определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания для паракватернионов определены покомпонентно. Умножение паракватернионов определяется таблицей произведений их мнимых единиц, приведенной выше.

 

Операций сопряжения для паракватернионов определено трискалярное, векторное и алгебраическое. В силу строения паракватерниона эти сопряжения полностью совпадают. Паракватернион, сопряженный заданному, образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах.

Как и для кватернионов, для паракватернионов следует сделать оговорку, вызванную совпадением всех трех сопряжений - следует быть внимательным, и различать выражения, использующие сопряжения. Следует внимательно относиться к виду сопряжения.

 

Произведение паракватерниона  на сопряженный ему дает паракватернион, состоящий из только действительной части. Если используемое для умножения сопряжение считать алгебраическим, то результат такого произведения называют квадратом модуля паракватерниона.

Модуль паракватерниона  обладает свойством мультипликативности - модуль произведения паракватернионов равен произведению их модулей.

Паракватернионы являются представителями алгебры с делителями нуля. Как и для паракомплексных  чисел, для паракватернионов можно  выделить подмножества делителей нуля.

В силу того, что паракватернионы являются более общим случаем паракомплексных чисел, свойства делителей нуля для паракомплексных чисел применимы так же и для паракватернионов, а именно:

 

1) любой делитель нуля  для паракватернионов представим  в виде вектора, являющегося  решением уравнения сферы с точкой, лежащей на оси .

2) любой делитель нуля  выразим в виде произведения  действительного числа и идемпотента.

3) произведение делителя  нуля на векторно сопряженный  ему дает ноль.

4) любой паракватернион  представим в виде линейной суперпозиции делителей нуля.

 

 

 

 

 

 

 

ВЫВОД:

 

Свойства кватернионов:

1) кватернионы коммутативны  и ассоциативны по сложению:

2) кватернионы некоммутативны  по умножению:

3) кватернионы ассоциативны  по умножению:

4) кватернионы дистрибутивны:

Для кватернионов операция деления определена как операция обратная операции умножения. Если , то r является решением уравнения . Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что

В силу того, что модуль определен для любого кватерниона, делить можно на любой кватернион и, соответственно, для любого кватерниона  существует обратный ему. В силу того, что при определении деления  использовано умножение, а кватернионы  некоммутативны по умножению, делитель для кватернионов может быть как правым, так и левым. При этом также существуют два кватерниона, являющиеся обратными заданному.

Из высшей алгебры  известно, что если некая алгебра  ассоциативна, то левый и правый делитель для числа этой алгебры совпадают. Поэтому для кватернионов левый и правый делители совпадают.

Конструкцию тела кватернионов можно рассматривать как результат  абстрагирования для векторной  алгебры с операциями сложения и  векторного произведения в так называемом аффинном пространстве.

Алгебра кватернионов относительно операций сложения и умножения кватернионов является телом.

Современная роль кватернионов в математической физике исчерпывается  фактически тем, что некоторые преобразования в трехмерном (в частности, эйлеровы повороты) или четырехмерном вещественном векторном про-

странстве либо в пространстве функций трех или четырех вещественных переменных (в частности, некоторые  дифференциальные операторы) удобно выразить в терминах естественных операций над  кватернионами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 120 с.
2. Ефремов А. П. Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории. – Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1, 2004
3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 144 с.
4. Серр Ж.-П. Курс арифметики. – М.: Мир, 1972. – 182 с.