Корреляционный и регрессионный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

 

Кафедра математической статистики и эконометрики

 

 

 

 

Курсовая работа:

«КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ»

 

 

 

Выполнила: Зайнуллина Э.А.

гр. ДЭТ-201

Преподаватель: к.т.н., доцент

Миронкина Ю.Н.

 

 

 

 

Москва 

2011

Содержание

  1. Подготовка данных…………………………………………..…………….3
  2. Корреляционный анализ экономических показателей…..5
    1. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции………5
    2. Расчёт частных коэффициентов корреляции. Сравнение частных и парных коэффициентов корреляции……………………………11
    3. Расчёт множественных коэффициентов корреляции……………19
  3. Регрессионный анализ экономических показателей…………………24

3.1 Проверка исходных данных  на мультиколлиниарность……………………………………………..…….25

3.2 Построение регрессионной  модели и её интерпретация…………..27

3.3 Сравнение исходных  данных с рассчитанными по  уравнению регрессии………………………………………………………………..…40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. ПОДГОТОВКА ДАННЫХ

Таблица 1

Исходные данные

№п/п

Y

X1

X2

X3

X4

1

204,2

0,23

0,40

1,37

6,40

2

209,6

0,24

0,26

1,49

7,80

3

222,6

0,19

0,40

1,44

9,76

4

236,7

0,17

0,50

1,42

7,90

5

62,0

0,23

0,40

1,35

5,35

6

53,1

0,43

0,19

1,39

9,90

7

172,1

0,31

0,25

1,16

4,50

8

56,5

0,26

0,44

1,27

4,88

9

52,6

0,49

0,17

1,16

3,46

10

46,6

6,36

0,39

1,25

3,60

11

53,2

0,37

0,33

1,13

3,56

12

30,1

0,43

0,25

1,10

5,65

13

146,4

0,35

0,32

1,15

4,28

14

18,1

0,38

0,02

1,23

8,85

15

13,6

0,42

0,06

1,39

8,52

16

89,8

0,30

0,15

1,38

7,19

17

62,5

0,32

0,08

1,35

4,82

18

46,3

0,25

0,20

1,42

5,46

19

103,5

0,31

0,20

1,37

6,20

20

73,3

0,26

0,30

1,41

4,25

21

76,6

0,37

0,24

1,35

5,38

22

73,01

0,29

0,10

1,48

5,88

23

32,3

0,34

0,11

1,24

9,27

24

199,6

0,23

0,47

1,40

4,36

25

598,1

0,17

0,53

1,45

10,31

26

71,2

0,29

0,34

1,40

4,69

27

90,8

0,41

0,20

1,28

4,16

28

82,1

0,41

0,24

1,33

3,13

29

76,2

0,22

0,54

1,22

4,02

30

119,5

0,29

0,40

1,28

5,23

31

21,9

0,51

0,20

1,47

2,74

32

48,4

0,36

0,64

1,27

3,10

33

173,5

0,23

0,42

1,51

10,44

34

74,1

0,26

0,27

1,46

5,65

35

68,6

0,27

0,37

1,27

6,67

36

60,8

0,29

0,38

1,43

5,91

37

355,6

0,01

0,35

1,50

11,99

38

264,8

0,02

0,42

1,35

8,30

39

526,6

0,18

0,32

1,41

1,63

40

118,6

0,25

0,33

1,47

8,94

41

37,1

0,31

0,29

1,35

5,82

42

57,7

0,38

0,30

1,40

4,80

43

51,6

0,24

0,56

1,20

5,01

44

64,7

0,31

0,42

1,15

4,12

45

48,3

0,42

0,26

1,09

5,10


 

Продолжение таб.1

46

15,0

0,51

0,16

1,26

3,49

47

87,5

0,31

0,45

1,36

4,19

48

108,4

0,37

0,31

1,15

5,01

49

267,3

0,16

0,08

1,87

11,44

50

34,2

0,18

0,68

1,17

7,67


 

 

Y - индекс снижения себестоимости  продукции;

Х1 - трудоемкость единицы продукции;

  

Х2 - удельный вес покупных изделий;

  

Х3 - коэффициент сменности оборудования;

  

Х4 - фондовооруженность труда.

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ  АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

 

2.1. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции

 

Парные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между  двумя выбранными переменными на фоне действия остальных показателей  и являются самыми распространёнными  показателями тесноты связи при  статистическом анализе данных.

Расчёт матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции осуществляется в Excel с помощью пакета анализа данных.

Корреляционная матрица  рассчитывается Excel в следующем виде:

 

Y

X1

X2

X3

X4

Y

1

        

X1

-0,16161

1

0,016128

    

X2

0,238011

0,016128

1

    

X3

0,405706

-0,1397

-0,18062

1

  

X4

0,329475

-0,20032

-0,09352

0,485923

1


 

Для дальнейших расчётов необходимо привести корреляционную матрицу к обычному виду, заполнив верхний треугольник таблицы. При этом надо учесть, что матрица парных коэффициентов корреляции является симметричной и коэффициенты  rij=rji.

Итак, получили матрицу парных коэффициентов корреляции размерности k×k (в нашем случае 5×5).

 

 

Таблица 2

Матрица парных коэффициентов  корреляции исследуемых экономических  показателей

 

 

Y

X1

X2

X3

X4

Y

1

-0,16161

0,238011

0,405706

0,329475

X1

-0,16161

1

0,016128

-0,1397

-0,20032

X2

0,238011

0,016128

1

-0,18062

-0,09352

X3

0,405706

-0,1397

-0,18062

1

0,485923

X4

0,329475

-0,20032

-0,09352

0,485923

1


 

 

Теперь необходимо проверить  значимость полученных коэффициентов  корреляции, т.е. гипотезу H0: ρ=0. Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:

                                        

и построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов rij   (таб.3).

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением tкр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n-2=50-2=48. Для этого используем встроенную функцию Excel и получаем   tкр=2,010635

 

 

 

 

Таблица 3

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

t набл

Y

X1

X2

X3

X4

Y

  

-1,13461

1,697776

3,075277

2,417662

X1

-1,13461

  

0,11175

-0,97742

-1,41657

X2

1,697776

0,11175

  

-1,27227

-0,65078

X3

3,075277

-0,97742

-1,27227

  

3,85191

X4

2,417662

-1,41657

-0,65078

3,85191

  

 

По результатам, представленным в табл. 3, наблюдаемое значение   t-статистики больше критического tкр=2,010635 по модулю для парных коэффициентов корреляции  . Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05,  т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов  наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H0 не отвергается, т.е. коэффициенты

- незначимы.

Для проверки значимости парных коэффициентов корреляции можно  также воспользоваться таблицами  Фишера-Иейтса для нахождения критического значения rкр для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы   ν=n-2=50-2=48.   

По таб. Фишера-Иейтса rкр (α=0,05; ν=48)= 0,273

Если соответствующий  коэффициент | rij | > rкр, то он считается значимым.

Отметим в матрице парных коэффициентов корреляции значимые.

 

 

Таблица 4

Матрица парных коэффициентов  корреляции исследуемых  показателей  с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

 

Y

X1

X2

X3

X4

Y

1

-0,16161

0,238011

0,405706

0,329475

X1

-0,16161

1

0,016128

-0,1397

-0,20032

X2

0,238011

0,016128

1

-0,18062

-0,09352

X3

0,405706

-0,1397

-0,18062

1

0,485923

X4

0,329475

-0,20032

-0,09352

0,485923

1


 

Для значимых парных коэффициентов корреляции можно построить с   заданной   надёжностью γ   интервальную   оценку   ρmin ≤ ρ ≤ ρmax       с помощью Z-преобразования Фишера:

                                          

                                                     

Алгоритм построения интервальной оценки для генерального коэффициента корреляции следующий.

1). Zr По найденному выборочному коэффициенту корреляции  r                с     помощью Z-преобразования Фишера находят соответствующее значение Zr ,   являющееся гиперболическим арктангенсом r :

                                             

 

2). ΔZ Найдём значение tγ, соответствующее заданной надёжности γ=0,95.                - значение функции Лапласа.

В нашем случае для надёжности γ=0,95:   F(t)=0,975;    tγ =1,959964 (по таблице tγ =1,96).

Находим   0,28589

 

3). Zmin и Zmax   Теперь можно найти Zmin и Zmax:

Zmin = Zr  – ΔZ;      Zmax= Zr  + ΔZ

 

4). ρmin и ρmax   Наконец, использовав обратное преобразование Фишера, находят нижнюю и верхнюю границы для генерального коэффициента корреляции   ρmin и ρmax   , соответствующие Zmin и Zmax.

Соответствующие значения ρmin и ρmax являются гиперболическими тангенсами Zmin и Zmax :                 .

Построим с надёжностью  γ=0,95 и с учётом найденного 0,28589 доверительные интервалы для всех значимых парных коэффициентов корреляции, полученных нами.  Расчёты представим в виде таблицы.

Таблица 4

Расчёт доверительных  интервалов для парных генеральных  коэффициентов корреляции исследуемых  экономических показателей с  надёжностью γ=0,95

 

r

Zr

Zmin

Zmax

ρmin

ρmax

Y X3

0,405706

0,4305

0,1446

0,7164

0,143572

0,614644

Y X4

0,329475

0,3422

0,0563

0,6281

0,05629

0,556763

X3 X4

0,485923

0,5307

0,2448

0,8166

0,240043

0,673215


 

Таким образом, доверительные  интервалы с надёжностью γ=0,95 для всех значимых парных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:    

P(0,143572≤ ρYX3 ≤ 0,614644)=0,95

P(0,05629≤ ρYX4 ≤ 0,556763)=0,95

P(0,240043≤ ρX3X4 ≤ 0,673215)=0,95

По полученным данным можно  сделать следующие выводы:

Между исследуемыми показателями выявлены значимые корреляционные зависимости.

1) Между индексом снижения себестоимости продукции (Y) и коэффициентом сменности оборудования (Х3), фондовооруженностью труда (Х4 ), между коэффициентом сменности оборудования (Х3) и фондовооруженностью труда (Х4 ) существует прямые умеренные связи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    1. Расчёт частных коэффициентов корреляции.

Сравнение частных  и парных коэффициентов корреляции

Частные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между  двумя выбранными переменными при  исключении влияния остальных показателей (т.е. характеризуют «чистую» связь  только между этими признаками) и  важны для понимания взаимодействия всего комплекса показателей, т.к. позволяют определить механизмы  усиления-ослабления влияния переменных друг на друга.

Частный коэффициент (k-2)-го порядка между переменными, например, между Y и X1, равен:

                               ,

где Rij – алгебраическое дополнение элемента rij   корреляционной матрицы R ,   равное    Rij =(-1)i+j · Mij

Mij – минор элемента rij  корреляционной матрицы R,  т.е. определитель матрицы на 1 меньшего порядка, полученной из R путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Воспользуемся встроенной функцией Excel и получаем:

R12=(-1)1+2·M12= 0,058179

  R11=(-1)1+1·M11= 0,707461

   R22=(-1)2+2·M22= 0,525866

R13=(-1)1+3·M13= -0,22778

R14=(-1)1+4·M14= -0,26455

R15=(-1)1+5·M15= -0,11419

R23=(-1)2+3·M23= -0,01329

R24=(-1)2+4·M24= 0,008101

R25=(-1)2+5·M25= 0,080993

R34=(-1)3+4·M34= 0,176752

R35=(-1)3+5·M35= 0,041594

R45=(-1)4+5·M45= -0,26879

R33=(-1)3+3·M33= 0,589136

R44=(-1)4+4·M44= 0,769891

R55=(-1)5+5·M55= 0,687242

 

Выборочные частные коэффициенты корреляции:

r12|345= -0,09538

r13|245= 0,352826

r14|235= 0,358459 и т.д.

 

 

Таким образом, получаем матрицу следующего вида:

Таблица 5

Матрица выборочных частных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

 

Y

X1

X2

X3

X4

Y

1

-0,09538

0,35283

0,35846

0,163763

X1

-0,09538

1

0,023878

-0,01273

-0,13473

X2

0,352826

0,023878

1

-0,26245

-0,06537

X3

0,358459

-0,01273

-0,26245

1

0,36953

X4

0,163763

-0,13473

-0,06537

0,36953

1


 

 

 

Теперь необходимо проверить  значимость полученных частных коэффициентов  корреляции, т.е. гипотезу H0: ρij/{..} = 0.  

Для этого рассчитаем наблюдаемые  значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:                           

                                     

где l – порядок частного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=3),  а n – количество наблюдений.                       

Построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов rij/{..}   (таб.6).

Таблица 6

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик частных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

t набл.

Y

X1

X2

X3

X4

Y

  

-0,64275887

2,529504

2,575789

1,113589

X1

-0,64275887

  

0,160224

-0,0854

-0,91211

X2

2,529503803

0,160224177

  

-1,82453

-0,43946

X3

2,575788914

-0,085402356

-1,82453

  

2,667698

X4

1,113589379

-0,912112642

-0,43946

2,667698

  

 

 

 

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением tкр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n – l - 2.

 

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР,  введя в предложенное меню вероятность  α=0,05 и число степеней свободы   ν=n–l–2=50-3-2=45.  

Получаем   tкр= 2,014103359

По результатам, представленным в таблице 6, наблюдаемое значение     t-статистики больше критического tкр= 2,014103359 по модулю для частных коэффициентов корреляции 

 Следовательно, гипотеза  о равенстве нулю этих коэффициентов  отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05,  т.е. соответствующие  коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов  наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H0 не отвергается,т.е. - незначимы.

Отметим в матрице частных  коэффициентов корреляции значимые.

Таблица 7

Матрица частных  коэффициентов корреляции исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

 

 

Y

X1

X2

X3

X4

Y

1

-0,09538

0,35283

0,35846

0,163763

X1

-0,09538

1

0,023878

-0,01273

-0,13473

X2

0,352826

0,023878

1

-0,26245

-0,06537

X3

0,358459

-0,01273

-0,26245

1

0,36953

X4

0,163763

-0,13473

-0,06537

0,36953

1


 

 

Для значимых частных коэффициентов корреляции можно построить с   заданной   надёжностью γ   интервальную   оценку   ρmin ≤ ρ ≤ ρmax       с помощью Z-преобразования Фишера:

                                          

                                                     

 Алгоритм построения  интервальной оценки для частного  генерального коэффициента корреляции  такой же, как и для парного;  единственное отличие заключается  в расчёте  ΔZ :

                                          ,

где l – порядок частного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=3),  а n – количество наблюдений. 

0,295475688

Построим с надёжностью  γ=0,95 и с учётом найденного

 0,295475688 доверительные интервалы для всех значимых частных коэффициентов корреляции, полученных нами.  Расчёты представим в виде таблицы 8.

 

 

 

 

Таблица 8

Расчёт доверительных  интервалов для частных генеральных  коэффициентов корреляции исследуемых  экономических показателей с  надёжностью γ=0,95

 

r

Zr

Zmin

Zmax

ρmin

ρmax

Y X3

0,358459

0,375116577

0,079641

0,670592

0,079473

0,585369

Y X4

0,163763

0,165250967

-0,13022

0,460727

-0,12949

0,430676

X3 X4

0,369529

0,387877502

0,092402

0,683353

0,09214

0,593695


 

Таким образом, доверительные  интервалы с надёжностью γ=0,95 для всех значимых частных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:

P (≤0,585369)=0,95

P(-0,12949≤ ≤0,430676 )=0,95

P(0,09214≤ ≤0,593695)=0,95

Теперь построим таблицу  сравнения выборочных парных и частных  коэффициентов корреляции для всех переменных.

Сравнение парных и частных  коэффициентов играет важную роль в  выявлении механизмов воздействия  переменных друг на друга.

Парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между двумя признаками на фоне действия остальных переменных, а частный характеризует взаимосвязь этих двух признаков при исключении влияния остальных переменных, т.е. их «личную» взаимосвязь.

Таким образом, если оказывается, что парный коэффициент корреляции между двумя переменными по модулю больше соответствующего частного, то  остальные переменные усиливают связь между этими двумя признаками. Соответственно, если парный коэффициент корреляции между двумя переменными по абсолютной величине меньше частного, то  остальные признаки ослабляют связь между рассматриваемыми двумя.

Таблица 9

Таблица сравнения  выборочных оценок парных и частных  коэффициентов корреляции пар исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

Между переменными

Коэффициент корреляции

парный

частный

Y X1

-0,161614211

-0,09538

Y X2

0,23801069

0,352826

Y X3

0,405706128

0,358459

Y X4

0,329475061

0,163763

X1 X2

0,016127603

0,023878

X1 X3

-0,139695773

-0,01273

X1 X4

-0,200319307

-0,13473

X2 X3

-0,180616129

-0,26245

X2 X4

-0,093519703

-0,06537

X3 X4

0,485923242

0,369529


 

По полученным данным можно  сделать следующие выводы.

Некоторые значимые корреляционные зависимости, полученные на этапе расчёта  парных коэффициентов корреляции, подтвердились  и при вычислении частных коэффициентов  корреляции. При этом выявлены следующие  механизмы воздействия переменных друг на друга:

 

  1. Наблюдается связь между изучаемым признаком Y –индексом снижения себестоимости продукции и факторным признаком X3 – коэффициентом сменности оборудования и между факторными признаками  X3 – коэффициентом сменности оборудования и X4 - фондовооруженностью труда. Обе зависимости прямые.
  2. Воздействие других переменных (трудоемкость единицы продукции X1, удельный вес покупных изделий X2 и фондовооруженность труда) ослабляет  прямую взаимосвязь между индексом снижения себестоимости продукции (Y) и коэффициентом сменности оборудования (X3), т.к.  величина частного коэффициент корреляции   меньше значения парного коэффициента корреляции .
  3. Аналогичная ситуация наблюдается и для значимой прямой связи между коэффициентом сменности оборудования (X3) и фондовооруженность труда (X4) - при исключении воздействия других переменных величина частного коэффициент корреляции меньше значения парного коэффициента корреляции. 

Корреляционный и регрессионный анализ 📙 Курсовая → 🆔 111308

Корреляционный и регрессионный анализ 📙 Курсовая → 🆔 111308

Корреляционный и регрессионный анализ