Корреляциялы өзара байланыстар

1 Корреляциялы  өзара байланыстар 

1. Корреляциялы  байланыс туралы түсінік

 

    Статистикалық өзара байланыстың белгілерінің бірі анықталған фактор ретінде қарастырылады, олар басқаларының өзгеруіне әсер етеді, ал екіншілері–нәтижелер немесе бірінші өзгертудің мәні. Сәйкесінше, біріншілері – ол факторлы белгілері, ал екіншілері – шешімдері. “x” және “y” айнымалыларының арасындағы байланыс функционалды болып табылады, егер анықталған айнымалы “x” мәніне “y” – тің айнымалы мәні сәйкес келсе.

 Бұл  қатаң детерминдеу байланысы. Одан басқа да өзара байланыс бар, оларда көптеген факторларда өзара байланыс абр, олар белгілерге бірдей әсер етпейді. Ондай байланыстар мүмкін болып табылады.

    Корреляциялы байланыс мүмкін  болу байланысының бір бөлігі. Ол қатынастар белгісінің орташа мәнімен факторлық белгінің сәйкес келуіне тең болады. Осылай бола тұра бір факторлы “x” белгісі бар орташа ұзындықты “y” қарастырылап жатса, корреляциялық байланыс жұпты деп аталады, ал егер факторлы белгілері екі немесе одан да көп болса көптік. Қасиеттері бойынша “у” және “х” жұпты корреляцияда түзу және кері байланыс пайда болады. Түзу болғанда - “x” өседі де, және “y” – үлкейеді, ал керіде-кішірейеді.

    Корреляциялы байланысты оқу келесі жаттығуларды шешуге мүмкіндік береді:

  1)қарастырылған  белгілерде корреляциялы байланыс  болмаса, онда бұл жаттығу “x” және “y”  y  “n” мәндерін параллельді сәйкестендіру арқылы анықталады, тағы да корреляцияның кестесін құру арқылы.

  2)арнайы  коэффициенттер арқылы екі және  одан да көп белгілердің арасындағы тығыздықты өлшеу (корреляцияның коэффициенттерін), және бұл зерттелген бөлім «корреляциялы анализ» деп аталады.

  3)регресстің  деңгейлерін анықтау – математикалық  модельдеу, ондағы “y” белгісі бір немесе бірнеше өзгермелі факторлардың белгілері ретінде қарастырылады, бұл зерттелген бөлім «регрессивті анализ» деп аталады. «Корреляциялы – регрессивті анализ» термині корреляциялы байланысты толығымен зерттеуді білдіреді. Сонымен қатар регресстің теңдеулері байланыстың тығыздығын өлшеуді анықтағанды білдіреді, тағы да регресстің теңдеулерінің және байланыстың тығыздығының қателіктерін анықтайды. 

2. Корреляциялы  байланысты алу әдістері

 

    Корреляциялық байланыстың статистикасын  қолдана отырып алған әдістер  мынандай:

  1)параллельді  берілгендерді қолдану (“x” және “y”  y  “n” бірлік мәндері);

  2)графикалық  әдіс;

  3)аналитикалық  топтамалар әдісі және корреляциялы  кесте;

  4)корреляция коэффициенттерін есептеу.

    Корреляциялы байланыстың “y” және “x” 2 – белгісін қарастыра отырып, олардың бірлік мәндерін параллельді салыстыра отырып қарапайым түрде жаттығуларды шешуге болатындығын байқаймыз. Ол үшін “x” белгілерінің мәнінің өсуін байқаймыз, сосын оны “y” белгілерінің бірліктерінің мәнімен салыстырамыз. Сосын ол кестеге түсіріледі, ол келесі екі тізбектердегі ұзындықтың ауытқу мәні олар + немесе – мәндерге ие болады. Кейінен, егер сәйкестік белгілері жолдарда орын алса, онда ол «С» белгісімен белгіленеді, ал егер белгілер сәйкес келмесе – онда ол «Н» белгісімен белгіленеді, содан кейін Фехнердің коэффициенті анықталады: 

     

(1.2.1.) 

    Егер белгілер сәйкес келсе, онда , және бұл түзу байланыс; егер барлық белгілер сәйкес келсе және бұл кері байланыс, ал егер .

    Корреляцияға байланыстылықты графикалық  түрде кескіндеуге болады. және жұптық белгіде “n” бір байланыс болса, онда ” X o Y” координаталы торына түседі, сосын бірігеді, одан шамдық сызық пайда болады, ол регрессияның сызығы болып табылады.

    Корреляциялы кестеге әдістегі  аналитикалық топтаманы сәйкестендіруде үлкен мәнге ие болғаны байқалса енгізіледі. Бұл жағдайда “x” факторлы белгісінің топтамалық бірілгі өндіріледі, және әр бір топ үшін - дің орташа мәні есептелінеді. Егер “y” – дың мәні “x” – ке тәуелді болса, онда - дің өзгерісін корреляциялы кесте бақылап отырады. Корреляциялы кестенің түрі шахмат тәріздес, яғни кестеге жататындарға “x” белгісінің факторлы топтары беріледі, ал келесілеріне “y” – дың мәндерінің нәтижелері беріледі, және керісінше болады, ал “x” және “y” – тердің қиылысында “x” мәндерінің және “y” мәндерінің сәйкестіктері көрсетіледі. Келесіде, негізгі корреляциялық қатынастарды анықтауға болады: 

топтар арасындағы дисперсия; ал барлық топтардағы ортақ дисперсия; 

     m – “x” факторлы белгілеріндегі топтардың саны;

     h – қатынастардың бірлік саны;

       топтардағы мәндердің орташа  мағынасы; мәндердегі белгілердің жалпы орташа мағынасы;

       мәндердегі белгінің индивидуальды  мағынасы;

       “x” – тегі j – лық топтағы жиілік;

       “y” – тегі і – лық жиілік,

         детерминациялы эмпирикалық коэффициент. 

3. Ілесу кестесінің негізгі салалық белгілерінің арасындағы байланыс

 

    Ілесунегізіндегі кестенің қарапайым  түрі – кесте 4 өрістен тұрады  ол әр белгіге 2 топтан белгіленеді, көбінесе альтернативті белгісі бойынша ол «ия – жоқ», «жақсы – жаман», «қанағаттанарлық – қанағаттанарлық емес». Екі сапалы көрсеткіштердің арасындағы корреляциялы өлшемдер былай қолданылады:

  1) контингенсті коэффициент:  

     

;

  2)контингенсті  коэффициент: 

 

    Контингенсті коэффициент үнемі  контингенсті коэффициенттен кіші. Олай болса байланыс мынандай болады .

  3) Пирсон және Чупров сынақтарындағы коэффициент,  Пирсонның коэффициенті:

       мұнда  ;

     Чупровтың коэффициенті:

       

     Мұнда  (1.3.3) – (1.3.5) формаларында:

       таптардың эмпирикалық және  теоретикалық жиіліктері;

        Пирсон сынауы;

     n – бақылау бірлігінің саны;

     N – қатынастардың жалпы бірлігінің саны;

       сәйкесінше, кестедегі жолдар мен графиктердің саны. 

4. Екі белгінің арасындағы тығыздықты көрсеткіш байланысы

 

      1.4.1 Ковариация және сызықты корреляцияның коэффициенттері  

    Мүмкін болу байланысының “y” және “x” ұзындықтары қарапайым бөлінбейтін түрде бағынады, ол ковариациялы байланыс арқылы немесе жай ғана «ковариация» арқылы. Фехнердің коэффициенті секілді нөмірленген түрдегі корреляциялы сызықты коэффициент “х” және “у” орташа ұзындығы арқылы анықталады, нөмірленген ауытқудың орташа ұзындығы “х” және “у” үшін анықтайды: 

      . 

    Қатынасы: 

 

олардың орташа мәндерінен өрташа мәннің ауытқуын орындайды, ол «ковариация» деп аталады, осылайша,  

 

    Кейде сызықты коэффициенттің  кореляциясының шығыс мәнін оңай  есептеуге болады:

  

     

 

    Корреляцияның сызықты коэффициенттінде осылайша мына формуламен анықтауға болады:

 

    мұнда, в – байланыстың көбейткендегі регрессиялық коэффициенті, ол сызықты модульдың регрессиялық теңдігі түрінде болады сәкесінше, “х” және “у” – тің орташа квадраттық ауытқуы.    Корреляцияның сызықты коэффициентті – 1 – ден +1 – ге дейінгі мәнді қабылдай алады. Егер Бірінші жағдайда байланыс түзу, ал екіншісінде керісінше. болса, онда ол “х” және “у” – тің арасындағы сызықта тәуелділіктің жоқ екенін білдіреді, бірақ ол қандай да бір мүмкін болу байланысының  жоқ екендігін білдірмейді. Бұл жағдайда «корреляцияның индексіне» есеп тапсыру керек, есептен сызықты емес функцияның тәуелділік аппроксимациясының регрессті деңгейдегі түрін көреміз, мысалы: онда,  

 

   

      1.4.2 Корреляцияның коэффициенттерінің  орындалуын тексеру  

    Кез – келген көрсеткіштер  секілді корреляцияда қателіктерден  тұрады. корреляциясының коэффициентін бағалау үшін және “х” және “у” өлшемдерінің арасындағы байланыстың болуын табу үшін корреляцияның орташа квадраттық қателік коэффициенттік есептеу керек - Корреляцияның сызықты қателігін бағалау “r” болса, оның орташа квадраттық қателігі: n – бақылау санына байланысты сынайық.

  1)Егер  бақылллааау саны айтарлықтай  үлкен болса (n>50) және негізгі көрсеткіш болса, онда таңдау қатынастардан алынады, онда корреляциясының коэффициенттік қателігінің орташа мәні келесі формула бойынша анықталады:  

 

    “n” – нің үлкен мәнінде, егер “r” өзінің орташа қателігінен асып кетсе, 3 р – ге қарағанда алайда сәйкестендірілген деп аталады, ал байланыс – орындалады. Егер р=0,95 болса, оның сенім коэффициенті р=0,996  болады, ал сенім шекарасы “r” былай құралады: р=0,997 мүмкін болуында, оның сенім коэффициенті t = 3, сенім шекарасы: 

 

    “r” – дің мәні 1 – ден аспайтын болғандықтан мына жағдайда болады, оның төменгі шегін ғана көрсету керек, яғни  “r” – дің нағыз мәні - ден кіші емес.

  2)Бақылаудың  көп емес мәнге ие болуында (n<30), онда сызыұты коэффициенттің орташа мәні бақылаушылықпен анықталады: 

 

    Ал “r” мәнін Стьюденттің t – сынағы арқылы тексереді. Солай бола тұра коэффициенттің нөлге теңдігі тексеріледі, яғни “х” және “у” мәндерінің арасындағы байланыстың болмауын. Ол үшін сынаудың жалпы есебі анықталады:  

 

    Сосын  қойылады. Егер  нөлдік болжам дұрыс болса, онда r = 0 – дегі t – ның параметрлерін Стьюдент заңымен аламыз, мәндік теңдеу және санның дәрежелігімен анықталады. 

      2. Регрессивті анализ  

      2.1 Аз квадратты әдіс арқылы сызықты деңгейдің коэффициентін анықтау 

    Сызықты тәуелділік – екі корреляцияның арасындғы байланысты қолдану және жұптық корреляциялық деңгейдің түзу сызықты түрі мына түрде болады:

    «Аз квадратты әдіске»  байланысты ұзындық квадратының суммасы минималданады. Осыған сәйкес: 

 

    (2.1.1) және (2.1.2) формулаларын ескере  отырып аламыз: 

 

    (2.1.3) теңдеуден нөлге қатысты  «а» және «в» - ны табалық: 

        

    Өңдеу арқылы алынған, яғни  - 2 әр бір теңдеуді қысқарта  отырып, “х”  мәнін оң бөлімге ауыстырамыз, ал “у” мүшесін сол бөлімге ауыстырамыз, сосын сызықты деңгейдің регрессивті коэффициентіне арналған теңдеуді аламыз, яғни «а» және «в». 

     

     

(2.1.4.) 
 

      2.2 Сызықты емес регрессия 

    Сызықты емес регрессияның функционалды  емес байланыс түрлері.

    (2.1.1) сызықты бағыныштығына байланысты  регрессияның теңдігі кездейсоқ мүмкін болатын байланыстардың ұзындықтарына және тағы да сызықты емес бағынушылықтар да болады, оның көмегімен дәл осы түрдегі аппроксимацияны шығаруға болады. Мүмкін болу байланыстарының сызықты емес түрлерін қарастырайық:

  1)парабола, регрессияның түрі мынандай болады: . 1 Аз квадраттар әдісімен мынаны аламыз: .  (2.2.2) қатынасын қолдана отырып одан “a”,”b”,”c” b аламыз және өңдеуден кейін мына теңдеулерді алаиыз: 

     

     

(2.2.3.)

 

    Бұл үш белгісізі бар үш  теңдеу а, в, с, (2.2.1) түріндегі регрессиялы параболаның теңдеуін анықтауға мүмкіндік береді.

  2)гипербола,  теңдеуі мына түрде болады:

    . (2.2.4) – теңдеуіне Z=1/x – ті енгізе отырып, аламыз: 

     y = a + bZ 

    Егер «а» және «в» - ны  - дан алсақ. (2.2.5), ал кері өзгертсек , мынандай жүйелік теңдеудің түрін аламыз: 

     

     

(2.2.6) 

    (2.2.6) жүйелік теңдеуі «а» және  «в» коэффициентінің регрессивті  гиперболасының теңдеуін алуға  мүмкіндік береді.

  3)экспоненциалды  функцияның түрі: . Гиперболаға аналогты өңдеу жасай отырып, мынаны аламыз: және қорытындысында деңгейлік жүйе мынандай болады: 

     

     

(2.2.7.) 

  4)дәрежелік  функцияның түрі: . (2.2.8) – ді логарифмдеу арқылы, аламыз: 

 

    (2.2.9) қатынасында «а» және «в»  - ны алып кері өзгерісте орнатып,  жүйелік деңгейді келесі түрде  аламыз: 

     

     

(2.2.10.) 

  5)функцияның  көрсеткіштік түрі  

 

    Өзгеріс енгізе отырып, аламыз: 

     W = A + Bx….(2.2.11) 

Және  «а» және «в» - ны алып, өңдеуді аналогты түрде аламыз: 

     

     

(2.2.12.) 

  6)логарифмдік  функцияның түрі: және аналогты гиперболамен және экспоненсалды функция арқылы мына жүйелік теңдеуді аламыз: 

     

     

(2.2.13.) 

  7)кері  логарифмдік функцияның түрі: 

 

Аналогты  өңдеуден өткізіп, алдыңғы жағдайдағыдай, аламыз: 

     

     

(2.2.14.) 

    Көрсетілген нұсқалардың ішінде  аппроксимация үшін «әмбебап» түрі ретінде дәрежелік функция алынады яғни ол бағынушылық оңай орындалады. 

      2.3 Регрессиялы теңдікті Фишердің  сынағы бойынша бағалау 

    Әр түрлі регрессиялық теңдікті сызықты және сызықты емес түрде бағалауды келесі параметрлер арқылы анықтауға болады:

  1)корреляцияның  индексі: 

 

  2)аппроксимацияның  орташа қателігі: 

 

  3)детерминация  коэффициенті: 

 

    Мұнда  барлық жиынтықтардың ортақ дисперсиясы;

 факторлы дисперсия;

 у-дың регрессиялы теңдеуінің  орташа мәні;

  - дің әр бір регрессиялы теңдеуінің мәні:

 қалыпты дисперсия.

    Фишердің регрессиялы теңдіктерінің туралағын бағалау сынауы келесі қатынастармен анықталады: 

 

    Мұнда: “n”- “x’ және “y” статистикалық жиынтықты жұптардың саны;

“m”- регрессиялық теңдеу коэффициентінің саны.

    Ары қарай мына қатынас қоланылады: , мұнда ρ – сенім мүмкіндігі, ал мәннің деңгейі. 

      2.4 Корреляциялы – регрессті анализдің көп жүйелігі туралы түсінік 

    Статистикалық ұзындықты пайдалану  бір өлшемге байланысты емес, ол бірнеше ұзындықтарға байланысты, мысал қарастырайық, үш өлшем болсын, оның бірі “z” статистикалық түрде “х”  және “у”  екеуіне байланысты. Қарапайым z – тің корреляциясы х және у – тен бағынышты болса – көп сызықты корреляция, ондағы сызықты регрессия мына түрде болады: 

 

    Мұнда,  тұрақты параметрлер, олар регрессияның деңгейінің түрін анықтайды. Онда, «аз квадраттардың әдісі» арқылы мына қатынасты аламыз: 

 

   «Аз квадраттардың әдісіндегі» бұл параметрлер минимумы S функциясын береді. Экстримум функциясының 3 – өзгерісін қабылдай отырып, белгілері нөлге айналады да, мына жүйені аламыз:

     

     

(2.4.3.)

     

 

    “n” бар көптеген сызықты регрессияларды шешу үшін: нормальды теңдеудің жүйесі мынандай болады: 

     

     

(2.4.4.)

     

 

    Корреляиялы сызықты коэффициент  пен регрессияның коэффициентінің  арасында бір бағыныштылық бар: бір факторлы сызықты регрессияда коэффициент “х” белгісімен және ол регрессияның коэффициенті болады, немесе  

 

    Көп коэффициентті корреляцияның  2 – факторының белгісі былай анықталады: 

 

    корреляцияның белгілерінің арасындағы жұпты коэффициенті. Корреляцияның көптеген коэффициенттері 0 – мен 1 – дің арасында өзгереді. Егер “у” белгісі х₁ және х₂ екі факторға бағынышты болса, онда корреляцияның коэффициенттері мынандай болады: 

 

    Экономды анализді қолдану мүмкіндігін  кеңейту үшін эластикалық анықталған  формулалар қолданылады: 

 

    Мұнда, регрессиялар арасындағы факторлық белгілерінің орташа мәні; нәтижелік белгінің орташа мәні; факторлық белгінің сәйкес келгендегі коэффициент регрессиясы. Детерминацияның коэффициенті мынандай болады: 

 

    Мұнда,  көп регрессиялы теңдеудің сәйкесінше стандарттау коэффициенті, ал (2.4.9) – жұпты коэффициенті корреляциялардың арасындағы факторлардың белгісі. 

      5 Практикалық бөлім 

    Шығыс мәліметтері: 

 

    1.Сызықты модельді құрастырайық: .

     1-  кестедегі барлық есептеулерді өзгертейік: 

 
 
 

       

     Параболалық 2-кесте