Курсовая работа по "Математической статистике"

Министерство науки  и образования Российской Федерации.

«Самарский Государственный Архитектурно – Строительный Университет»

 

Кафедра инженерной геодезии.          

 

                                                  

 

 

Расчётно-графические  работы.

 

 

 

 

 

                                                                            Выполнил:

                                                                                          Студент 2-ого курса

                                                                                             ФИСПОС Группы И-72

                                                                                      Сорокина Ирина.

                                                                           Проверил:

                                                                            Ткачук В.Н.

 

 

 

 

 

Самара 2009

 

Федеральное Агентство  по Образованию Государственное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального  Образования

«Самарский Государственный  Архитектурно – Строительный Университет»

 

 

Факультет Инженерных Систем и Природоохранного Строительства.

 

 

 

Курсовая  работа по математической статистике.

Вариант № 35

 

 

                                                                           Выполнил:

                                                                                          Студент 2-ого курса

                                                                              Группы И-72

                                                                                       Сорокина Ирина.

                                                                           Проверил:

                                                                                                           Кобзева Тамара Алексеевна.

 

 

 

 

 

 

Самара 2009

Содержание:

Введение………………………………………………………………………………………………………………………………

Задача№1: Построение гистограмм. Для трёх случайных величин построить статические ряды и гистограммы. По виду гистограмм сделать предположение о возможном законе распределения каждой случайной величины……………………………………………………………………

Задача№2:Точечные оценки числовых характеристик……………………………………………………..

Задача№3:Выравнивание статистических рядов………………………………………………………………

Задача№4:Проверка правдоподобия гипотезы о нормальном распределении случайных величин…………………………………………………………………………………………………………………………………

Задача№5:Интервальная оценка математического ожидания и дисперсии…………………..

Задача№6:Нахождения уравнения линейных регрессий для двух случайных величин…

Задача№7:Построение доверительной области для линии регрессии……………………………

 

Введение:

Математическая статистика - наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, обладающих статистической устойчивостью, закономерностью, с целью выяснения этой закономерности. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятности. Говорят, что математическая статистика-это теория принятия решения в условиях неопределённостей. Выводы о закономерностях, которым подчиняются явления, изучаемые методами математической статистики, всегда основываются на ограниченном, выборочном числе наблюдений. При большом числе наблюдений они могут оказаться иными. Поэтому, обработав результаты наблюдений, учёные выдвигают ряд гипотез, предположений о том, что рассматриваемое явление можно описать той или иной вероятностной моделью. Далее, используя математико-статические методы, можно дать ответ на вопрос, какую из моделей следует принять. Пространством элементарных событий называется множество исходов некоторого эксперимента. Элементарным событием называется любой элемент пространства элементарных событий. Событием называется любое подмножество пространства элементарных событий. Генеральной совокупностью называется достаточно большое, быть может, бесконечное подмножество элементарных событий. Случайной величиной называют функцию от элементарного события. Экспериментом называется функция, принимающая значение на пространстве элементарных событий. Статистическая моделью называется совокупность законов, которым подчиняется процедура эксперимента. Выборка - количество изделий или опытов, которые мы взяли для исследований. Она должна быть репрезентативной, т. е.должна нести в себя все свойства изделий. Случайной выборкой 1 или просто выборкой 1 объема n называется набор некоторого числа элементов генеральной совокупности, наблюденных при  серии из n одинаковых экспериментов. Статистикой называется любая измеримая функция от выборки. Функцией правдоподобия называется плотность распределения выборки 2, как n-мерной случайной величины.

 

 

Задача № 1

 

Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами:

а) каждый элемент x_i выбран случайно;

б) все x_i имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;

в) «n» должно быть настолько  велико, насколько это позволяет  решить задачу с требуемым качеством(выборка должна быть репрезентативной, т.е. n>60)

Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим вариационный ряд (в упорядоченном виде);

x₁<x₂<…<x_i<…x₁₀₀

Члены вариационного  ряда, в отличие от элементов исходной выборки, уже не являются независимыми (по причине их представительной упорядоченности).

Наиболее вероятно, что  грубые ошибки содержат только несколько  крайних (слева или справа) элементов, если они резко отличаются от остального массива.

Представление выборки  в сгруппированном виде связано с разбиением области задания случайной величины x на k интервалов. Для определения k используют форму Стерджеса k=1+3.322*lg n или можно самим задать число k (обычно его значение берут от 7 до 11).

P_i/h - статистическая вероятность попадания точек в определённый интервал. От негруппированной выборки всегда можно перейти к группированной, но не наоборот. Этот переход к группированной форме представления выборки связан с потерей информации об исследуемом объекте, процессе, явлении.Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты в данном интервале, называются частотами (n_i), а их отношение к общему числу наблюдний-частностями или относительными частотами (P_i=n_i/100). Частоты и частости называются весами. Если x_i совпадает с границей интервала, то в соседние интервалы добавляем по 0.5.

Для графического изображения  вариационного ряда чаще всего используют гистограммы. Гистограмма относительных  частот- это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с  основанями h и высотой P_i/h (плотность относительных частот). 

-X₁-

X _наим =0. 99

X_наиб =2. 52

h=

X₀=Xнам-0.5h

X_кон =Xнаиб+0.5h

h= =0,255-шаг

0. 5 h=0.127

X₀=0.863

X_кон =2.647

 

 

 

 

 

Границы интервалов	Частота ni	Частность ni/n=Pi	Плотность относительных  частот Pi/h	Накопительная частота niнак	Накопительная частность Pi нак = niнак/n
0.863;1.118	6	0.06	0.235	6	0.06
1.118;1.373	17	0.17	0.666	23	0.23
1.373;1.628	15	0.15	0.588	38	0.38
1.628;1.883	12	0.12	0.471	50	0.5
1.883;2.138	23	0.23	0.902	73	0.73
2.138;2.393	19	0.19	0.745	92	0.92
2.393;2.65	8	0.08	0.314	100	1
∑	100	1	3.921	-	-

 

-X₂-

X _наим =-10.77

X_наиб =21.79

h=

X₀=Xнаим-0.5h

X_кон =Xнаиб+0.5h

h= =4.07-шаг

0. 5 h=2.035

X₀=-12.805

X_кон =23.825

 

 

Границы интервалов	Частота ni	Частность ni/n=Pi	Плотность относительных  частот Pi/h	Накопительная частота niнак	Накопительная частность Pi нак = niнак/n
-12,805;-8.735	2	0.02	0.003	2	0.02
-8.735;-4.665	6	0.06	0.015	8	0.08
-4.65;-0.595	5	0.05	0.012	13	0.13
-0.595;3.475	19	0.19	0.047	32	0.32
3.475;7.545	22	0.22	0.054	54	0.54
7.545;11.615	21	0.21	0.051	75	0.75
11.615;15.685	13	0.13	0.032	88	0.88
15.685;19.755	7	0.07	0.017	95	0.95
19.755;23.825	4	0.04	0.010	99	1
∑	99	0.99	0.241	-	-

 

-X₃-

X _наим =0.74

X_наиб =1.71

h=

X₀=Xнам-0,5h

X_кон =Xнаиб+0.5h

h= =0.162-шаг

0. 5 h=0.081

X₀=0.659

X_кон=1.791

 

 

 

 

 

 

Границы интервалов	Частота ni	Частность ni/n=Pi	Плотность относительных  частот Pi/h	Накопительная частота niнак	Накопительная частность Pi нак = niнак/n
0.659;0.821	3	0.03	0.185	3	0.03
0.821;0.983	17	0.17	1.049	20	0.2
0.983;1.145	31	0.31	1.913	51	0.51
1.145;1.307	36	0.36	2.222	87	0.87
1.307;1.469	10	0.1	0.617	97	0.97
1.469;1.631	1	0.01	.062	98	0.98
1.631;1.791	2	0.02	0.123	100	1
∑	100	1	6.171	-	-

-z-

z _наим =-63.33

z_наиб. =130.05

h=

X₀=Xнам-0.5h

X_кон =Xнаиб+0.5h

h= =24.173-шаг

0. 5 h=12.087

X₀=-75.417

X_кон. =142.137

 

 

 

Границы интервалов	Частота ni	Частность ni/n=Pi	Плотность относительных частот Pi/h	Накопительная частота niнак	Накопительная частность Pi нак = niнак/n
-75.417;-51.244	1	0.01	0.0004	1	0.01
-51.244;-27.071	6	0.06	0.0025	7	0.07
-27.244;-2.898	6	0.06	0.0025	13	0.13
-2.898;21.275	20	0.20	0.0083	33	0.33
21.275;45.448	28	0.28	0.0116	61	0.61
45.448;69.621	21	0.21	0.0087	82	0.82
69.621;93.794	10	0.10	0.0041	92	0.92
93.794;117.967	6	0.06	0.0025	98	0.98
117.967;142.137	1	0.01	0.0004	99	1
∑	99	0.99	0.0414	-	-

Задача № 2

Все характеристики, полученные при выборке из генеральной совокупности, называются эмпирическими, выборочными или их оценками.

    –значение  параметра,    -его оценка. Оценки  характеристик обладают свойствами: несмещённостью (величиной смещения), эффективностью, состоятельностью.

Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

M(     )=Q

Разность между ними M(     )-Q называется смещением.

Требование несмещённости гарантируют отсутствие систематических ошибок.

Оценка параметра называется состоятельной, если                ,т.е. удовлетворяет закону больших чисел.

 

Практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Несмещённая оценка      параметра Q называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок, вычисленных по выборкам одного и того же объёма.

Оценка математического ожидания: x=

Оценка дисперсии: D = ( ²-(X_i²))

(множитель  устраняет смещение)

Пользоваться D_x неудобно, т.к. размерность не совпадает с размерностью x. Поэтому вводят понятие S_x=

Такие оценки считают только для  тех выборок, которые по нашему предположению имеют нормальный и равномерный законы распределения. После вычисления оценок делаем первую проверку по закону 3 .

 

-X₁-

 

xi	0.803;1.118	1.118;1.373	1.373;1.628	1.628;1.883	1.883;2.138	2.138;2.393	2.393;2.65	∑
ni	6	17	15	12	23	19	8	100
niнак	6	23	38	50	73	92	100	-
pi	0.06	0.17	0.15	0.12	0.23	0.19	0.08	1
piнак	0.06	0.23	0.38	0.5	0.73	0.92	1	-
xi сер	0.99	1.245	1.5	1.755	2.01	2.265	2.52
Xi2сер	0.98	1.55	2.25	3.08	4.04	5.13	6.35

 

 

X= _ic*p_i=0.06*0.99+0.17*1.245+0.15*1.5+0.12*1.755+0.23*2.01+0.19*2.265+0.08*2.52=0.0594+0.21165+0.225+0.2106+0.4623+0.43+0.2016=1.8

D(x) = _i²*p_i-x²=0.06*0.98+0.17*1.55+0.15*2.25+0.12*3.08+0.23*4.04+0.19*5.13+0.08*6.35-1.8²=0.06+0.26+0.34+0.37+0.93+0.97+0.508-3.24=0.198

S_x= =0.44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-X₂-

xi	-12.81; -8.73	-8.73;  -4.67	-4.67;  -0.59	-0.59; 3.47	3.47; 7.55	7.55; 11.61	11.61;15.69	15.685;19.75	19.75; 23.83	∑
ni	2	6	5	19	22	21	13	7	4	99
niнак	2	8	13	32	54	75	88	95	99	-
pi	0.02	0.06	0.05	0.19	0.22	0.21	0.13	0.07	0.04	0.99
piнак	0.02	0.08	0.13	0.32	0.54	0.75	0.88	0.95	1	-
xi сер	-10.77	-6.7	-2.63	1.44	5.51	9.58	13.65	17.72	21.79
Xi2сер	115.99	44.89	6.92	2.07	30.36	91.78	186.32	313.99	474.8

 

X= _ic*p_i=0.02*(-10.77)+0.06*(-6.7)+0.05*(-2.63)+0.19*1.44+0.22*5.51+0.21*9.58+0.13*13.65+0.07*17.72+0.04*21.79=-0.2154-0.402-0.1315+0.2736+1.2122+2.0118+1.7745+1.2404+0.8716=6.63

D(x) = _i²*p_i-x²=0.02*115.99+0.06*44.89+0.05*6.92+0.19*2.07+0.22*30.36+0.21*91.78+0.13*186.32+0.07*313.99+0.04*474.8-6.63²=2.3198+2.6934+0.346+0.3933+6.6792+19.2738+24.2216+21.9793+18.992-43.9569=52.94

S_x= =7.27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-z-

xi	-75.42;         -51.24	-51.24; -27.07	-27.07;       -2.90	-2.90; 21.27	21.27;45.45	45.45;69.62	69.62;93.79	93.79; 117.97	117.9  7; 142.14	∑
ni	1	6	6	20	28	21	10	6	1	99
niнак	1	7	13	33	61	82	92	98	99	-
pi	0.01	0.06	0.06	0.20	0.28	0.21	0.10	0.06	0.01	0.99
piнак	0.01	0.07	0.13	0.33	0.61	0.82	0.92	0.98	1	-
xi сер	-63.33	-39.15	-14.98	9.19	33.36	57.53	81.71	105.88	130.05
Xi2сер	4010.69	1532.72	224.4	84.46	1112.9	3309.7	6676.52	11210.57	16913

 

X= _ic*p_i=0.01*(-63.33)+0.06*(-39.15)+

+0.06*(-14.98)+0.2*9.19+0.28*33.36+0.21*57.53+0.1*81.71+0.06*105.88+0.01*130.05=-0.63-2.349-0.9+1.838+9.34+12.08+8.171+6.35+1.305=35.205

D(x) = _i²*p_i-x²=0.01*4010.69+0.06*1532.72+0.06*224.4+0.2*84.46+0.28*1112.89+0.21*3309.7+0.1*6676.52+0.06*11210.57+0.01*16913-35.205²=40.11+91.96+13.46+16.89+311.61+695.04+667.65+672.63+169.13-1239.39=1439.09

S_x= =37.93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 3

Задача выравнивания статистического ряда заключается  в подборе теоретической плавной  кривой распределения, наилучшим образом  описывающей данное распределение.

Выравнивание позволяет  в значительной степени увеличить  достоверность используемых данных. Происходит это за счёт устранения случайных погрешностей регистрации данных и за счёт перехода к зависимостям, которых можно умеренно экстраполировать за пределы выявленного диапазона изменения наблюдаемой случайной величины. Конечно, следует убедиться в приемлемости выбранного для выравнивания теоретического закона распределения. Проще всего сделать это по гистограмме или из соображений, связанных с существом задачи.

Функция распределения F(x)=P(X-x)=P_нак является одной из форм закона распределения, содержит всю информацию, которая необходима для оценки любых статических свойств и числовых характеристик исследуемых случайных величин.

Аналитическое выражение  выбранной кривой распределения  зависит от некоторых параметров; задача выравнивания переходит в задачу рационального подбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическими и теоретическими распределениями оказывается наилучшим.

Эмпирическая функция распределения (оценкой функции F(x)) должна обладать свойствами теоретической:

0≤F(x)≤1; F(x)-неубывающая,

=F(x)-накопительная частота, при X<x

P_нак=n_нак/n 

 

Проверка для нормального  распределения

Три сигма:

x-3s x x+3s

Для x₂:

6.63-3*7.27 x 6.63+3*7.27

6.63-21.81 x 6.63+21.81

-15.18 x 28.44

Для z:

35.205-3*37.93 x 35.205+3*37.93

35.205-113.79 x 35.205+113.79

-78.585 x 148.995

Для x₁:

b=x+                       a=x- s

b=1.8+ *0.44=1.8+0.762=2.562

a=1.8-0.762=1.038

Для равномерного закона распределения:

F(x) =                      f(x)=

 

f (x)= = =0.656                   f*h=0.167

 

 

 

 

 

 

интервалы	-12.81; -8.73	-8.73; -4.67	-4.67; -0.59	-0.59; 3.47	3.47; 7.55	7.55; 11.61	11.61;15.69	15.69;19.75	19.75;    23.83
Xi сер	-10.77	-6.7	-2.63	1.44	5.51	9.58	13.65	17.72	21.79
( Xi сер-X)/s	-2.393	-1.833	-1.274	-0.714	-0.154	0.406	0.966	1.525	2.085
( Xi сер-   X)2/2s2	2.864	1.681	0.811	0.255	0.012	0.082	0.466	1.163	2.174
	0.0573	0.1864	0.4449	0.7788	0.99	0.9231	0.6313	0.3135	0.1142