Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Курсовая работа по "Математике"

Содержание

Введение

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок наблюдений и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и для многих других целей.

Статистика занимается изучением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления. Это изучение основано на рассмотрении и анализе статистических данных – результатов наблюдений. Основными задачами статистики являются изучение способов сбора и группировки статистических сведений, разработка методов анализа данных для получения научных и практических выводов.

Особым разделом статистики является прикладная статистика – наука о методах обработки статистических данных. Методы прикладной статистики активно применяются в технических исследованиях, экономике менеджменте, социологии, медицине, геологии, истории и т. д. С результатами наблюдений, измерений, испытаний, опытов, с их анализом имеют дело специалисты во многих областях теоретической и практической деятельности.

В настоящее время для решения многих задач прикладной статистики широко используются ЭВМ. Созданы специальные функции, процедуры, служащие для обработки больших массивов данных и облегчения труда инженеров, менеджеров, бухгалтеров и других работников. Наиболее распространенными программами, позволяющими обрабатывать статистические данные, являются – Microsoft Excel, MathCad, MatLab, Mapple, Mathematica и другие пакеты программ.

Задача 1.

Условие задачи: линию обслуживают 12 вертолетов. Для нормальной работы линии необходимо не менее 8 вертолетов. Вероятность выхода на линию каждого вертолета равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы линии.

Решение:

Для вычисления вероятности нормальной работы авиалинии воспользуемся формулой суммы вероятностей независимых событий [1,2]. Линия будет нормально работать, если на линии будет находиться либо 8, либо 9, 10, 11 или 12 вертолетов, то есть

(1)

где - число выходящих на линию вертолетов.

Для определения вероятности каждого из слагаемых будем использовать формулу Бернулли [2], в соответствии с которой если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна

(2)

где - число сочетаний из n элементов по k, - вероятность выхода на линию каждого вертолета (равна 0,8), .

Подставляя полученные значения в формулу, последовательно получим

Складывая полученные вероятности, получаем вероятность нормальной работы линии или 92.7%.

Использование теоремы Муавра-Лапласа в данном случае привело бы к достаточно большой погрешности, так как произведение , что недостаточно для использования на практике [3].

Задача 2.

Условие задачи: функция распределения случайной величины имеет вид

Записать ряд распределения этой величины. Найти , ,

Решение:

Для случайной величины дискретного типа ряд распределения является простейшей формой закона распределения. Зададим ряд распределения в виде таблицы на основе имеющейся функции распределения следующим образом [2]:

(1)

Таким образом, в точках разрыва функции имеет место положительная вероятность .

По заданной функции распределения точками разрыва являются значения 2, 3, 4. Тогда

Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет следующий вид

0.3

0.2

0.5

Среднее значение по распределению (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка (дисперсия) рассчитываются по формулам [2,4]:

(2)

(3)

Подставляя известные значения, получаем

Вероятность того, что случайная величина принимает значение больше или равное 3, определяется как .

Задача 3.

Условие задачи: по следующим данным построить интервальный ряд, начертить гистограмму частот, перейти к точечному ряду и найти несмещенную оценку генеральной средней.

Ряд – 52, 42, 40, 38, 37, 37, 45, 43, 43, 50, 47, 39, 40, 40, 45, 36, 46, 36, 37, 37, 36.

Решение:

1) Построим интервальный ряд распределения. Интервальный вариационный ряд строится группированием членов дискретного вариационного ряда. В соответствии с формулой Стерджеса [3] совокупность надо разделить на рядов (21 – суммарное число членов дискретного ряда). Округлим данное значение в большую сторону и получим рядов.

Определяем размах данных дискретного ряда . Ширина отдельного интервала будет равна . Примем ширину интервала равную 3, тогда для получения целочисленных значений интервалов к максимальному значению ряда добавим единицу и получим 53, а от минимального отнимем 1 и получим 35. Тогда интервалы ряда будут иметь вид: 35-38, 38-41…50-53. Для облегчения процесса построения интервального ряда расположим элементы вариационного ряда в порядке возрастания: 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 39, 40, 40, 40, 42, 43, 43, 45, 45, 46, 47, 50, 52.

В таблице 1 представлен интервальный ряд заданного распределения. Значения - число членов ряда из данного интервала, причем нижний конец интервала учитывается, а верхний – нет, - вероятность попадания в интервал (число членов от общего числа). Данные в таблице будем округлять до второго десятичного знака после запятой.

Таблица 1. Интервальный ряд

№ ряда
1	35-38	7	0.33	2.33	0.11
2	38-41	5	0.24	1.67	0.08
3	41-44	3	0.14	1	0.05
4	44-47	3	0.14	1	0.05
5	47-50	1	0.05	0.33	0.02
6	50-53	2	0.1	0.67	0.03
		21	1

2) По данным интервального ряда построим гистограмму частот. Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - частичные интервалы, высоты равны отношению частоты к длине частичного интервала (плотность частоты) . Таким образом, для гистограммы частот площадь каждого прямоугольника будет равна частоте интервала. Гистограмма частот представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Гистограмма частот

3) Найдем несмещенную оценку генеральной средней. В [1] доказано, что выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней. Выборочная средняя определяется как

(1)

где - элементы выборки.

Итак, несмещенная оценка генеральной средней равна

Задача 4.

Условие задачи: методом наименьших квадратов найти явный вид эмпирической формулы и построить график эмпирической функции.

7,1

27,8

62,1

110

161

Решение:

Суть метода наименьших квадратов состоит в отыскании такого уравнения прямой , которое наилучшим образом согласуется с имеющимися опытными точками. Для решения данной задачи необходимо найти коэффициенты и , решив систему следующих уравнений [1]:

(2)

(3)

По опытным данным находим следующие выражения:

Подставляем полученные значения в систему и решаем ее:

Таким образом, эмпирическая формула имеет вид .

Построим график эмпирической функции, точками нанесем опытные данные. Для построения найдем , . График функции представлен на рисунке.

Рисунок 2 – График эмпирической функции и опытные данные

Как видно из рисунка, опытные данные достаточно близко расположены относительно графика эмпирической функции, что свидетельствует о верном ее определении.

Задача 5.

Условие задачи: по заданной корреляционной таблице

X Y	5	10	15	20	25	30	n_y
30	2	6	–	–	–	–	8
40	–	5	3	–	–	–	8
50	–	–	7	40	2	–	49
60	–	–	4	9	6	–	19
70	–	–	–	4	7	5	16
n_x	2	11	14	53	15	5	N = 100

Найти:

а) коэффициент линейной корреляции и оценить его значимость

б) уравнение линейной регрессии на х

Решение:

Уравнение линейной регрессии Y на X ищется по формуле [1]

(1)

Как один из возможных вариантов, коэффициент корреляции можно рассчитать в виде [1]

(2)

Для нахождения уравнения регрессии и коэффициента корреляции вычисляем необходимые суммы.

Далее определяем требуемые показатели

, .

Подставляем полученные значения и находим уравнение линейной регрессии

Сравним условные средние, вычисленные по этому уравнению, с условными средними по корреляционной таблице. Примем , тогда . Значение по корреляционной таблице равно 70. Таким образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными таблицы (выборки).

Находим коэффициент корреляции по формуле (2). Радикал в формуле берем со знаком +, т.к коэффициенты и положительны.

Оценим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента [1-3]. Найдем параметр t, исходя из известных значений и .

Выберем уровень значимости равный 0.05. По таблице критерия Стьюдента для этого уровня значимости находим . Т.к. , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, что свидетельствует о тесной и прямой связи переменных X и Y.

Задача 6.

Условие задачи: найти выборочное уравнение регрессии и выборочное корреляционное отношение.

X Y	5	6	7	8	9	n_y
2	18	1	1	–	–	20
5	1	20	3	–	–	21
7	3	5	10	2	–	20
12	–	–	7	12	–	19
19	–	–	–	–	20	20
n_x	22	26	18	14	20	N = 100

Решение:

1) Выборочным корреляционным отношением Y к X называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y [1]

(1)

(2)

(3)

где - объем выборки (сумма всех частот); - частота значения признака ;

- частота значения признака ; - общая средняя признака ;

- условная средняя признака .

Найдем общую среднюю

Зная общее среднее, найдем общее среднее квадратическое отклонение

Для нахождения межгруппового среднего квадратического отклонения определим условные средние каждой группы.

, ,

,, .

По этим данным рассчитываем межгрупповое среднее квадратическое отклонение

В результате выборочное корреляционное отношение, рассчитываемое по формуле (1), равно .

Так как величина достаточно близка к 1, то признак Y тесно связан с признаком X функциональной зависимостью.

2) Для нахождения выборочного уравнения регрессии (параболической корреляции второго порядка) решают систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров, пользуясь методом наименьших квадратов [1].

(4)

Составим расчетную таблицу и заполним ее:


5	22	2.818	110	550	2750	13750	62	310	1550
6	16	5.269	156	936	5616	33696	137	822	4932
7	18	9.5	126	882	6174	43218	171	1197	8379
8	14	11.286	112	896	7168	57334	158	1264	10110
9	20	19	180	1620	14580	131220	380	3420	30780
	100	47.873	684	4884	36290	279200	908	7013	55750

Подставляя полученные суммы, задаем систему уравнений

Для решения данной системы воспользуемся методом Крамера [4]. Он состоит в нахождении соответствующих определителей матрицы, в нашем случае определители будут иметь третий порядок. В нашем случае это

, ,

Нахождение определителей полученных матриц достаточно трудоемкая задача, поэтому для ее решения воспользуемся пакетом Mathcad 14, с помощью которой получим

, , , .

В результате определяем коэффициенты

, , .

В итоге выборочное уравнение регрессии примет вид .

Сравним условные средние, вычисленные по этому уравнению, с условными средними по корреляционной таблице. Примем , тогда . Значение по корреляционной таблице равно 19. Таким образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными таблицы (выборки).

Заключение

В данной работе были решены задачи по теории вероятностей и прикладной математической статистике.

Часть из задач решалась с использованием математического пакета Mathcad 14, позволяющего выполнять операции с векторами и матрицами, проводить статистические расчеты и работать с распределением вероятностей.

При нахождении функциональных зависимостей величин по опытным данным получаемые уравнения достаточно точно совпадали с исходными данными выборки, что свидетельствует о правильности найденных решений.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е, доп. Учеб. пособие для вузов. М. «Высш. школа», ,1972, 368 с., илл.

2. Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. –М.:Изд-во МГУ, 1987. – 264 с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. –М.:Изд-во МГУ, 1969. – 569 с.

4. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2-е изд., испр. – Т.1: Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 656 с.

Курсовая работа по Математике 📙 Курсовая → 🆔 114407