Квадратичні форми та їх зведення до канонічного вигляду

Зміст

Вступ...........................................................................................................................

Розділ  I. Білінійні форми..........................................................................................

1. Означення і приклади білінійних форм....................................
2. Матриця білінійної форми.........................................................
3. Симетричні білінійні форми......................................................

1.4. Зв'язок матриць  білінійної форми в різних  базах....................

Розділ  II. Квадратичні форми..................................................................................

2.1. Означення  квадратичної форми..................................................

2.2. Матриця та  ранг квадратичної форми........................................

2.3. Симетричні  квадратичні форми..................................................

2.4. Метод Лагранжа  — метод зведення квадратичної  форми до канонічного вигляду..............................................................................

2.5. Метод Якобі  зведення квадратичної форми  до канонічного вигляду....................................................................................................

2.6. Зведення  квадратичної форми до канонічного  вигляду за допомогою ортогонального  перетворення .........................................

2.7. Одночасне  зведення двох квадратичних форм  до канонічного вигляду....................................................................................................

Розділ  III. Порівняльна характеристика білінійних і квадратичних форм..........

Розділ  IV. Білінійні і квадратичні форми в задачах...............................................

Висновок.....................................................................................................................

Список використаних джерел................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 

Розділ  I. Білінійні форми

1.1. Означення і приклади  білінійних форм

Нехай V — лінійний простір над полем Р.

Означення 1.1 Білінійною формою в просторі V називають відображення , що має такі властивості:

1. ,
2. ,

де .

Приклади

1) Скалярний  добуток в евклідовому просторі  є, очевидно, білінійною формою. Тому  білінійні форми є узагальненнями  скалярного добутку в евклідовому  просторі. Зауважимо, що скалярний  добуток в унітарному просторі  не є білінійною формою, бо  не виконується умова 2 з означення  1.1 .

2) Нехай - база простору V, . Тоді відображення , для якого , де , є білінійною формою. 

1.2. Матриця білінійної форми

Нехай — білінійна  форма в просторі — база V.

Означення 1.2. Матрицю називають матрицею білінійної форми А в базі (матрицею Грама форми А в базі е).

Нехай . Позначимо і — стовпчик координат  векторів х і у. Тоді .

0тже у введених  вище позначеннях, білінійну форму  А(х,у) можна записати у вигляді:

(1)

де А — матриця білінійної форми А в базі е, а X, У — стовпчики координат векторів x і у в цій же базі, а значок Т означає транспонування. 

1.3. Симетричні білінійні  форми

Означення 1.3 Білінійну форму А(х, у) називають симетричною, якщо А(х, у) = =А(у, х) для всіх .

Теорема 2. Матриця симетричної білінійної форми в будь-якій базі є симетричною матрицею. Навпаки, якщо матриця білінійної форми хоч в одній базі — симетрична, то форма — симетрична.

Доведення. Якщо — матриця білінійної форми і — база простору V, то . Отже, А — симетрична матриця.

Навпаки, нехай  А — симетрична матриця, що є матрицею білінійної форми А(х,у) відносно деякої бази е. Нехай X та У — стовпчики координат векторів х та у в базі е. Тоді . є матрицею 1-го порядку, тому . Враховуючи це, маємо

.

□ 

1.4. Зв’язок матриць білінійної форми в різних базах

Нехай і —  дві бази лінійного простору V,

— білінійна форма в просторі V, А і В — матриці білінійної форми в базах е та е'. Поряд з рівністю (1) запишемо рівність

(2)

де і —  стовпчики координат векторів x і у в базі . Порівнюючи (1) і (2), одержуємо

(3)

Нехай Q — матриця переходу від бази е до бази . Тоді

(4)

Підставимо (4) в (3). Одержимо, враховуючи, що матриця, транспонована  до добутку, дорівнює добутку транспонованих в оберненому порядку,

. (5)

Рівність (5) справедлива  для всіх можливих стовпчиків і . Підставимо в (5) замість X та У одиничні вектор-стовпчики з 1 на i-му місці в X і з 1 на j-му місці в У. Одержимо, що елемент i-го рядка та j-го стовпчика матриці дорівнює відповідному елементу матриці В. Тому справедлива матрична рівність .

Підсумовуючи  наведені обчислення, бачимо, що ми довели таку теорему: 

Теорема 1. Нехай А — білінійна форма в скінченновимірному лінійному просторі V, А і В — матриці форми А в базах е і — матриця переходу від бази e до бази е'. Тоді

(6) 
 
 
 
 
 
 

Розділ  II. Квадратичні форми

2. Квадратичні форми

2.1. Означення квадратичних  форм

Нехай L є векторний простір над полем K і - базис в L . 
Функція Q: називається квадратичною формою, якщо її можна представити у вигляді 
, 
де а - деякі елементи поля К. 

2.2. Матриця та ранг квадратичної форми

Означення 2.1 Матрицею квадратичної форми в базі е називають матрицю в базі е відповідної їй симетричної білінійної форми А(х,у).

Матриця квадратичної форми є симетричною. Це випливає з теореми 1.2.

Для того, щоб  дати означення рангу квадратичної форми нам потрібний

такий результат.

Твердження 1. Ранг матриці А не змінюється при до множенні матриці А зліва або справа на невироджену матрицю.

Доведення. Доведемо спочатку, що ранг добутку матриць не перевищує рангу кожного із співмножників: і . Якщо ,, то . З формули множення матриць бачимо, що i-ий рядок матриці АВ є лінійною комбінацією рядків матриці В з коефіцієнтами , a j-ий стовпчик матриці АВ є лінійною комбінацією стовпчиків матриці А з коефіцієнтами . Оскільки ранг матриці збігається з розмірністю лінійної оболонки її рядків (стовпчиків), то маємо і .

Тепер припустимо, що одна з матриць А або В невироджена. Якщо , то і (обидві нерівності справедливі за доведеним). Тому . Так само доводимо, що , якщо . □

Наслідок  1. Ранг матриці квадратичної форми не залежить від вибору бази.

Доведення. Якщо А і В — матриці квадратичної форми в базах е і , то А і В зв’язані формулою (6) , де Q матриця переходу від бази е до бази . Матриця Q і — невироджені, тому rgA = rgB згідно попереднього твердження. □

Враховуючи доведений  наслідок, можна дати наступне

Означення 2.2 Рангом квадратичної форми називають ранг її матриці відносно будь-якої бази. 

2.3. Симетричні квадратичні  форми

Означення 2.3 Нехай А(х, у) — білінійна форма в просторі V. Розглянемо обмеження відображення на діагональ декартового добутку . Одержимо відображення , де

для . Відображення q називають квадратичною формою, відповідною білінійній формі А.

За означенням квадратичні форми одержують  з білінійних. Можна вважати, що маємо  відображення множини білінійних форм в просторі V на множину квадратичних форм. Взагалі це відображення не ін’єктивне: різним білінійним формам може відповідати одна і та ж сама квадратична форма.

При певних обмеженнях існує взаємно-однозначна відповідність  між квадратичними формами і  симетричними білінійними формами.

Теорема 3. Нехай V — лінійний простір над полем. Існує взаємно-однозначна відповідність між симетричними білінійними та квадратичними формами в просторі V.

Доведення. Довільна квадратична форма за означенням одержується з білінійної форми А(х,у) за правилом . Форма А(х,у) не зобов’язана бути симетричною, але існує симетрична білінійна форма , з якої теж одержується та ж квадратична форма Тому ми маємо відображення F множини В симетричних білінійних форм на множину К — квадратичних форм. Щоб довести теорему, розглянемо відображення , яке переводить квадратичну форму (A(x,y)— симетрична білінійна форма) у форму

.

Бачимо, що . □ 

3. Канонічний вигляд

Кожна квадратична форма над полем дійсних чисел може бути записана у вигляді:

(7)

 
Означення 3.1 Кажуть, що квадратична форма над полем має в деякій базі канонічний вигляд, якщо в цій базі її матриця є діагональною.

Інакше кажучи, квадратична форма має канонічний вигляд в базі е, якщо в цій базі вона записується у вигляді (9), де — координати вектора х.

В принципі, ми можемо звести будь-яку квадратичну форму  над до канонічного вигляду, звівши її до головних осей. Але доводиться розглядати і квадратичні форми  над полями, відмінними від (наприклад, над або або скінченним полем). У цих випадках потрібно мати інші методи зведення до канонічного вигляду.

3.1. Метод Лагранжа

Розглянемо метод  Лагранжа зведення квадратичних форм до канонічного вигляду. Цей метод є одним з найпростіших методів, що може бути легко застосований до будь-якої квадратичної форми над довільним полем . Він не вимагає обчислення власних значень, яке може на практиці виявитися дуже складною (а то і нерозв’язною) задачею.

Теорема 4. Для кожної квадратичної форми в просторі V над полем існує база простору V, в якій A(x,x) має канонічний вигляд.

Доведення. Виберемо і зафіксуємо будь-яку базу е простору V. Нехай А — матриця квадратичної форми q(x) в цій базі,, де X — стовпчик координат вектора х в базі е. Якщо ми доведемо існування невиродженої матриці Q, для якої матриця — діагональна, то теорему буде доведено, тому що — матриця квадратичної форми q(x) в базі . Міркуємо індукцією за .

Якщо , то будь-якій базі і доводити нічого.

Нехай . Припустимо, що теорему доведено для всіх квадратичних форм, у яких кількість координат  строго менша, ніж n, і

.

Розглянемо два  випадки.

1. Існує і, , для якого . У цьому випадку (нумеруючи, якщо потрібно, по новому координати, тобто, переставляючи вектори бази) можна вважати, що . Розглянемо матрицю

,

, і невироджене  лінійне перетворення координат

. (8)

Нехай . Тоді

(9) 

є квадратичною формою, що не містить . Використовуючи (8), виразимо

у нових координатах  рівність (9) має вигляд

; у нових координатах  рівність (9) має вигляд

.

Форма r(х) не залежить від (бо, згідно (9) вона не залежить від , тому за припущенням iндукції існує невироджене лінійне перетворення координат яке зводить форму r(х)

до канонічного  вигляду.

Нехай - згадане перетворення. Розглянемо наступне невироджене перетвоpeння координат

.

Звідси, використовуючи (10), одержуємо «результуюче» невироджене  лінійне перетворення координат

.

Ясно, що в базі квадратична форма має канонічний вигляд.

2. Нехай тепер  для всіх і, . Якщо для всіх , то доводити нічого. Тому нехай існують . З точністю до нумераціі координат (базових векторів) можна вважати, що . Тоді в q(х) входить доданок . Розглянемо наступне невироджене перетворення координат

або в матричній  формі

.

Визначник матриці  цього перетворення дорівнює . В  нових координатах у квадратичну  форму q(х) входять доданки , кожний з яких не може скоротитися з іншими доданками, що входять в q(х), бо в кожний інший доданок обов’язково входить , де . Отже, ми звели квадратичну форму q(х) до вигляду, розглянутого в першій частині доведення.

Тому існує  невироджене лінійне перетворення таке, що квадратична форма q(х) в базі

має канонічний вигляд. □

3.2. Нормальний вигляд квадратичної форми

В цьому пункті ми розглянемо квадратичні форми  лише над полями дійсних чисел  і комплексних чисел.

Нехай q(x)— квадратична форма рангу r, -її канонічний вигляд. Тоді серед коефіцієнтів знайдеться точно r відмінних від нуля, а всі решта рівні 0. Тому, перенумеровуючи (якщо треба) по новому вектори бази, можемо вважати, що

(10)

Означення 3.3 Квадратична форма q(x) має нормальний вигляд, якщо вона має канонічний вигляд (10) і .

Теорема 5.

1) Якщо квадратична  форма над полем має ранг  r, то її нормальним виглядом є сума r квадратів: .

2) Якщо квадратична форма над полем має ранг r, то існує натуральне число р, , таке, що нормальним виглядом є .

Доведення

1) Зведемо форму  до канонічного вигляду (10), і виконаємо наступне невироджене лінійне перетворення

,

де — одне з двох значень корення квадратного  з (в полі добування квадратного  корення завжди можливе). Після цього  квадратична форма набере вигляду

.

2) Нехай q(x)— квадратична форма над . Зведемо її до канонічного вигляду (10). Вважаємо (з точністю до нумераціі), що перші р коефіцієнтів в (10) додатні, а решта — від’ємні. Розглянемо невироджене лінійне перетворення

,

де або —  одне з двох можливих значень квадратного  кореня з додатнього дійсного числа. В координатах квадратична форма  має потрібний вигляд:

. □ 

3.3. Закон інерції

В цьому пункті ми розглянемо квадратичні форми  над полем дійсних чисел . Нехай  q(x) — квадратична форма. Зведемо її до нормального вигляду

. (11)

Означення 3.4 Якщо квадратична форма зведена до нормального вигляду (11), то число р називають додатним індексом інерції, r — р — від’ємним індексом інерції, їх різницю 2р — r — сигнатурою.

Теорема 6. Додатній та від’ємний індекси інерції і сигнатура не залежать від способу зведення квадратичної форми до нормального вигляду. 

Доведення

Доводимо від  супротивного. Нехай q(x) — квадратична форма в просторі V розмірності n. Припустимо, що в базі квадратична форма q(x) має нормальний вигляд (11), а в іншій базі вона має нормальний вигляд

, (12)

і нехай , наприклад, (тут r — ранг форми q(x), який не залежить від вибору бази за наслідком 1). Розглянемо підпростори та . Маємо , звідси . Тому існує . З рівності (12) маемо q(x) > 0, а з рівності (14) — q(x) < 0. Одержана суперечність показує, що . Аналогічно доводимо, що і , тому , отже, і . □ 

4. Додатньо визначені  квадратичні форми

4.1 Три еквівалентних  означення додатної  визначеності

Нехай q(x) — квадратична форма в n — вимірному лінійному просторі V над полем дійсних чисел , А(х,х) — відповідна їй білінійна форма.

Означення 4.1 Квадратичну форму q(x) називають додатно визначеною, якщо її нормальний вигляд є сумою n квадратів.

Інакше кажучи, q(x) додатно визначена, якщо її додатний індекс інерції дорівнює .

Теорема 7. Наступні властивості еквівалентні:

1) Форма q(x) додатно визначена.

2) для кожного  .

3) Відповідна  формі q(x) симетрична білінійна форма А(х,х) є скалярним добутком в просторі V . 

Доведення

1) 2) Якщо q(x) — додатно визначена, то існує база простору V, в якій . Звідси безпосередньо видно, що q(x) > 0 і q(x) = 0 тоді і тільки тоді, коли всі , тобто коли х = 0.

2) 3) Це випливає з означення скалярного добутку: скалярний добуток в евклідовому просторі V — це симетрична білінійна форма A(х, у), для якої

A(х, х) 0 і A(х, х) = 0 тоді і тільки тоді, коли х=0.

3) 1) Якщо A(х,у) — скалярний добуток в просторі V, то можна вибрати ортонормовану базу простору V. В цій базі матриця білінійної форми A(х,у) є одиничною, тому в ній

.

□

Зручно користуватися  критерієм додатної визначеності, який називається критерієм Сільвестра. 

4.2. Критерій Сільвестра

Означення 4.2 Якщо - квадратна матриця з елементами з поля Р, то мінори називають головними мінорами матриці А.

Нехай q(x) — квадратична форма в просторі V над полем , — база V, — матриця форми q(x) в базі а. 

Теорема 8. Квадратична форма q(x) додатно визначена тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори матриці А строго додатні.

Доведення

Якщо q(x) додатно визначена, то відповідна їй білінійна форма А(х,у) є скалярним добутком. За допомогою цього скалярного добутку ортогоналізуємо базу . Одержимо ортогональну базу . Нагадаємо, що для кожного , де . Звідси випливає, що для кожного ,

, (13)

де — матриця  з перших к рядків і стовпців матриці А, а — матриця переходу від бази до бази підпростору .

З (13) одержуємо

і всі , бо .

Нехай тепер  всі головні мінори матриці  А строго додатні. Міркуємо по індукції. Якщо n=1, то , отже, q(х) додатньо визначена. Припускаємо, що теорему доведено для всіх квадратичних форм в просторах розмірності меншої, ніж n. Нехай . Розглянемо квадратичну форму . За припущенням індукції, нормальний вигляд форми r(х) є сумою n—1 квадрата, бо головні мінори її матриці є головними мінорами матриці А. Тому існує база, в якій . Приймемо додатково . Маємо,

, де і . Покажемо, що . Зрозуміло, що

з невиродженою матрицею Q. Звідси випливає, що

.

Отже, нормальним виглядом форми q(х) є і — додатно визначена. 

4.3. Зведення до канонічного  вигляду пари форм

В деяких задачах  виникає проблема звести дві квадратичні  форми q(х) і r(х) до канонічного вигляду одним і тим же невиродженим лінійним перетворенням. Інакше кажучи, ця проблема полягає в знаходженні бази, в якій обидві форми q(х) і r(х) мають канонічний вигляд. Ця проблема має особливо простий розв’язок для пар форм над полем дійсних чисел, одна з яких додатно визначена.

Теорема 9. Нехай q(x) і r(х) — пара квадратичних форм в просторі V над полем , і форма r(х) — додатньо визначена. Тоді існує база e простору V, в якій

(14)

де — власні значення матриці форми q(x), і

(15)

Доведення

Нехай В(х,у) — відповідна формі r(х) симетрична білінійна форма. За теоремою 2.4 В(х,у) — скалярний добуток простору V. Далі, існує (відносно цього скалярного добутку) ортонормована база е, в якій форма q(x) зводиться до головних осей. У цій базі q(x) має вигляд (14), а r(х) — вигляд (15), бо скалярний квадрат вектора в ортонормованій базі дорівнює сумі квадратів його координат. □

4.4. Застосування до  екстремумів функцій  багатьох змінних

Нехай окіл точки  a

( — довжина  вектора х — а в евклідовому просторі ), — дійсна функція від n змінних, визначена в U.

Якщо функція  f диференційована в точці а, то її диференціал є лінійною формою простору ; якщо f — два рази диференційована в точці а, то другий диференціал є квадратичною формою в просторі . 

В курсі математичного  аналізу доводять такі теореми:

1) Якщо функція  має локальний екстремум в  точці а і диференційована в цій точці, то (необхідна умова екстремуму).

2) Нехай — двічі диференційована функція в точці . Якщо , а квадратична форма додатно визначена, то f має в точці а (строгий) локальний мінімум. Якщо квадратична форма — додатно визначена, то f має в а (строгий) локальний максимум. 
 
 
 
 
 
 

Розділ  III. Білінійні і квадратичні форми у задачах

Приклад 1. Записати матрицю білінійної форми

. 

Приклад 2. На просторі задана білінійна форма в деякому базисі. Знайти матрицю білінійної форми в іншому базисі .

,

,

,

Отже, матриця  білінійної форми матиме вигляд

. 
 

Приклад 3. Звести квадратичну форму

до канонічного  вигляду.

Матриця цієї квадратичної форми має вигляд

Відокремимо в  цій формі квадрат лінійного  виразу, який містить усі члени  зі змінною .

.

Позначимо . Тоді

,

,

.

Матриця цього  перетворення

.

Квадратична форма  у нових змінних матиме вигляд:

.

Виділимо квадрат  лінійного виразу, що містить усі  члени зі змінною :

.

Знову-таки введемо  нові змінні

.

Матриця цього  перетворення

.

У нових змінних  квадратична форма матиме канонічний вигляд

.

Матриця перетворення, що подає через дорівнює

.

Після очевидних  обчислень

.

Це і є матриця  канонічної форми f. 

Приклад 4. З'ясувати, за яких значень параметра форма додатно визначена.

Матриця форми

.

Головні мінори

,

.

Для додатної визначеності повинні мати місце нерівності

.

З першої нерівності знаходимо, що , а з другої - . З'ясуємо, чи перетинаються інтервали і . Для  цього порівняємо числа і . Маємо 

. Але . Тому . Інтервали не перетинаються. Отже, не існує таких значень , для  яких форма f додатно визначена.