Квадратичные формы. 5

                                           СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ

1. КВАДРАТИЧНАЯ  ФОРМА И ЕЕ СВОЙСТВА

2.МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ  ФОРМЫ

3.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОМ  ОДНОРОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПЕРЕМЕННЫХ

4.ПРИВИДЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ  ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. МЕТОД  ЛАГРАНЖА 

5. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

6. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 ВВЕДЕНИЕ

Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения  Ферма о представимости простых чисел суммой двух квадратов.

 Теория квадратичных  форм впервые была развита  французским математиком Лагранжем,  которому принадлежат многие  идеи в этой теории, в частности,  он ввел важное понятие приведенной  формы, с помощью которого им  была доказана конечность числа  классов бинарных квадратичных  форм заданного дискриминанта.  Затем эта теория была значительно расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.

 Перейдем теперь к  краткой характеристике содержания  нашей работы, посвященной некоторым  вопросам теории квадратичных  форм.[3,c.54]

 Курсовая работа посвящается некоторым вопросам теории квадратичных форм. В работе приводятся предварительные общие сведения квадратичной формы и ее свойств, а также рассмотрены связанные с ней определения и преобразования

В практической части работы предстиавлено решение задач по заданной теме.

 

 

1. КВАДРАТИЧНАЯ  ФОРМА И ЕЕ СВОЙСТВА

 

        Квадратичной формой над множеством называют однородный полином второй степени с коэффициентами из ;

(Полином (многочлен) называется однородным полиномом или формой степени (или порядка) m, если все его одночлены имеют степень m. Однородный полином первого, второго или третьего порядков называют также, соответственно, линейной, квадратичной или кубической формой.)[2,c.21]

если переменные квадратичной формы обозначить , то общий вид квадратичной формы от этих переменных:

 

(1.1)

или  f(x_1,x_2,…x_n) = ∑_j=1 ∑ _k=1 a_jk x_j x_k, (1.2),

где a_jk = f_jk – некоторые числа, называемые коэффициентами.

Не ограничивая общности, можно считать, что a_{jk =} a_kj. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Квадратичная форма обладает следующими свойствами:

1) Для любой квадратичной  формы А существует единственная симметричная билинейная форма B, такая, что A(x) = B(x, x). Билинейную форму B называют полярной к A. [4,c.67]

(Билинейной формой называется  функция  , линейная по каждому из аргументов, где есть векторное пространство над полем :

 

,

,

,

, здесь и )

 

Матрица билинейной формы  в произвольном базисе совпадает  с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

(Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.)

2) Если матрица квадратичной  формы имеет полный ранг, то  квадратичную форму называют  невырожденной, иначе - вырожденной.[1,c.43]

(Рангом матрицы  с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг матрицы размера называют полным, если .)

3) Квадратичная форма  A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x≠ 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знако-определёнными.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и  только тогда, когда все угловые  миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и  только тогда, когда знаки всех угловых  миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

(Минором k-го порядка матрицs M с строк и столбцов называется определитель k-го порядка, элементами которого являются элементы матрицы М, стоящих на пересечении k строк и k столбцов. Минор, расположенный в первых k строках и k столбцах, называется угловым минором.)[5,c.78]

4) Квадратичная форма  A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

5) Квадратичная форма  A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если , но форма не является знакоопределённой.

 

2.МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ  ФОРМЫ

 

      Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1.1) соответствует единственная симметрическая матрица (Симметрической называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу что .)

 

  (1.3), где a_ij=f_ij

 

И наоборот, всякой симметрической матрице (1.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью  до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы  называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. r = n, и вырожденной, если r< n, где r=rangA.[7,c.54]

Матрицей называется прямоугольная  таблица из чисел, содержащая некоторое  количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные  черточки, либо круглые скобки.[8,c.91]

Квадратичную форму (1.1) n переменных х₁, х₂,...,х_n можно записать в матричном виде. Действительно, если Х – матрица-столбец из переменных (x₁,x₂…,x_n), X^T – матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то f (x₁,x₂…,x_n)= X^TAX (1.4), где А определяется формулой (1.3).

3.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОМ  ОДНОРОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПЕРЕМЕННЫХ

      Рассмотрим квадратичную форму (1.1). Перейдем к новым переменным y₁, y₂….y_n по формулам

 (1.5)

 

или в матричном виде X=BY (1.6), где

 

(1.7).

 

        В квадратичной форме (1.1) вместо (x₁,x₂…,x_n) подставим их выражения через y₁, y₂….y_n определяемые формулами (1.5), получим квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) n переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x_1,x_2,…x_n) переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) линейным однородным преобразованием (1.5). Линейное однородное преобразование (1.6) называется невырожденным, если det B≠0, где det – определитель матрицы B.[9,c.31]

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное  линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если f (x₁,x₂…,x_n) и φ (y₁, y₂….y_n) конгруэнтны, то будем писать f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n). Свойства конгруэнтности квадратичных форм:

1. f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n).
2. Если f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n), φ (y₁, y₂….y_n)~ψ(z₁, z₂…z_n), то f (x₁,x₂…,x_n) ~ ψ(z₁, z₂…z_n)

Теорема 1. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с матрицей А линейным однородным преобразованием Х = ВУ переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) с матрицей С=В^T АВ.

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

4.ПРИВИДЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ  ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. МЕТОД  ЛАГРАНЖА

Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т.е.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа. Данный метод состоит  в последовательном выделении в  квадратичной форме полных квадратов. Возможны два случая:

1.Пусть . Выделим в все слагаемые, содержащие

 

 

В последнем представлении  первое слагаемое представляет собой  квадрат линейной формы по переменным ; все оставшиеся слагаемые не зависят от , т.е. составляют квадратичную форму от переменных . Таким образом, исходная задача для формы переменных оказывается сведенной к случаю формы -й переменной; последняя преобразуется по аналогичному принципу.[6,c.40]

2. Если  , но , т.е. при хотя бы одном квадрате переменной коэффициент отличен от нуля. Алгоритм модифицируется таким образом, что выделение полного квадрата начинается с переменной вместо .

 

5. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

 

Закон инерции квадратичных форм выражает:

Теорема 2. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.[2,c.15]

Число положительных квадратов  в нормальной форме, к которой  приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных  квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным  и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы f. Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 3. Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.[2,c.26]

Пусть k(x) = 3x₁₂ − 2x₂x₁+ 3x₂₂— квадратичная форма в пространстве R₂. И пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) — базис в R₂.

Матрица A квадратичной формы  в этом базисе имеет вид: Найдём канонический базис квадратичной формы — собственный базис матрицы A и приведём её к диагональному виду:

имеем: E₁, E₂ — канонический базис квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы в этом базисе k(y) = 4y₁₂ + 2y₂₂. Числа 4, 2 — канонические коэффициенты квадратичной формы. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2. Отрицательный индекс инерции квадратичной формы равен 0. Сигнатура квадратичной формы равна 2 − 0 = 2. Ранг квадратичной формы равен 2.

 

 

6. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

 

      Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов: f(x₁,x₂…,x_n)~φ(y₁,y₂….y_n), где

 (1.9) ,

т.е. если ранг и положительный  индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений x₁,x₂…,x_n назовем нулевой, если x₁= х₂ = ... = x_n =0, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.[3,c.18]

Теорема 4. Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x₁, x₂…,x_n. Пусть дана квадратичная форма f(x₁,x₂…,x_n) с матрицей А = (а_у). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры 

 

,

 

т.е. миноры порядка 1, 2, ... , n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.[2,c.41]

Теорема 5. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с действительной матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной  и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные  квадраты всех переменных; эту форму  можно привести к виду:

 

φ (y₁, y₂….y_n)= -y²₁ – y²₂ -…- y²_n (1.10).

      Теорема 6. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны.[2,c.50]

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит  из квадратов одного знака, называются полуопределенными. Неопределенными  называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Задача 1.

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Указание

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

Решение

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные  числа:

Ответ: матрица квадратичной формы ,

Собственные числа 

Задача 2.

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Указание

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма  имеет канонический вид, состоит  из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Решение

Матрица квадратичной формы

Характеристическое уравнение

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Собственные векторы:

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = {X1, Y1} определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C{-2; 1}. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

Аналогично для L2 = 6: R2 = {X2, Y2}, -4Х2 + 2У2 = 0, R2 = C{1; 2}.

Итак, базис имеет вид:

И в этом базисе квадратичная форма  примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе квадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Задача 3.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Указание

Матрица преобразования координат  имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Решение

Найдем базис из нормированных  собственных векторов.

Составим матрицу перехода к  новому базису, столбцами которой  будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое  преобразование.

Ответ: .

Задача 4.

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Указание

Матрица преобразования координат  имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Решение

Матрица перехода к базису из собственных  векторов:

Преобразование координат:

Подставим найденные выражения  в квадратичную форму:

Как и следовало ожидать, в новом  базисе квадратичная форма имеет  канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.[9,c.43]

Ответ: 9Х2 – 4У2.

Задача 5.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

Указание

Матрица квадратичной формы A11X2 + A22Y2 + A33Z2 + 2A12Xy + 2A13Xz + 2A23Yz имеет вид:

Матрица преобразования координат:

Где R1 = (X1, Y1, Z1), R2 = (X2, Y2, Z2) и R3 = (X3, Y3, Z3) – нормированные собственные векторы.

Решение.

Матрица квадратичной формы A11X2 + A22Y2 + A33Z2 + 2A12Xy + 2A13Xz + 2A23Yz имеет вид:

Для заданной квадратичной формы

Составим и решим характеристическое уравнение:

(Мы не останавливаемся подробно  на способах решения уравнений  высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные  векторы:

Матрица перехода к новому базису:

Задает преобразование координат:

Заметим, что в новых координатах  квадратичная форма примет вид:

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные  векторы в матрице Т.

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      В данной работе были изучены элементы высшей алгебры, а именно рассмотрение квадратичной формы и ее свойств, а также связанных с ней определений и преобразований, решены конкретные задачи для иллюстрации этих преобразований.

      Математическое моделирование,  универсальность математических  методов обуславливают огромную  роль математики в самых различных  областях человеческой деятельности.

       Основой любой  профессиональной деятельности  являются умения:

• строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
• осуществить системный, качественный и количественный анализ;
• владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
• владеть методами решения оптимизационных задач.

Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике.

Можно сказать, что в недалеком  будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более  широко использовать в своих исследованиях  математические методы. Ведь математика отлично приспособлена для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.
2. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. – М.:Тетра Систем с, 2009- 640 с.
3. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2008- 224 с.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задач. Ч.1. – М.: Высш. Шк., 2008.
5. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. Пособие для вузов. – М.:Высш. шк.,2010.
6. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учебник для вузов. – М.: Высш. шк.,2009.
7. Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – Высш. шк., 2008.
8. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука,2009.
9. И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 2010.
10. В.Л. Камынин, Н.В. Шолохов. Элементы теории групп. М.:МИФИ,2008.