Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация

  Министерство  науки  образования  Российской Федерации

Горно-Алтайский  государственный  университет

Физико-математический факультет заочное  отделение

Кафедра алгебры, геометрии  и  методики преподавания математики 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа 

По:   Геометрии 

На  тему:      Квадрики в трехмерном пространстве

и их классификация 
 
 
 
 

                                                                  Выполнила: студентка 2 курса

                                                                                         Улагашева Н.К.

                                                                  Проверил:  __________________

                                                                  _____________________________ 
 
 

г. Горно-Алтайск

2011г.

Содержание.

1. Введение …………………………………………………   1
2. Типы поверхностей второго порядка…………………  2
3. Эллипсоид…………………………………………………   6
4. Однополостный гиперболоид…………………………..   7
5. Двуполостный гиперболоид ……………………………   8
6. Эллиптический параболоид. …………………………....   9
7. Гиперболический параболоид. ………………………… 10
8. Гиперболический параболоид. …………………………. 11
9. Квадрики в евклидовом  п-пространстве …………….. 12

10. Лтература…………………………………………………. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

    Трехмерное пространство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три измерения — высоту, ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными векторами.

                                   

                             Трёхмерная метрика пространства

      Множество вида X(Q) = {p:Q(p) = 0}, где Q — аффинно-квадратичная функция (если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка.

      Квадрика  на плоскости – геометрическая фигура, являющаяся  линией второго порядка.

      Квадрика в пространстве – геометрическая фигура, являющаяся поверхностью второго порядка

   В алгебраической геометрии, квадрика — проективное алгебраическое многообразие, которое можно задать однородным квадратным уравнением.

Квадрика - поверхность 2-го порядка. В трехмерном пространстве (проективном, аффинном или евклидовом) К. есть множество точек, однородные координаты х 0, х 1, х 2, х 3 к-рых (относительно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют однородному уравнению 2-й степени.

   Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0

в котором  по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля

Типы  поверхностей второго  порядка 

Цилиндрические  поверхности

      Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей, целиком принадлежит поверхности S.

     Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).

       Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

     Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

     Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка. 

 

Коническая  поверхность 

     Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через M0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.

     Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если  выполняется следующее:  

 

Коническая  поверхность.

Теорема (об уравнении конической поверхности).

       Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если  поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом  второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

      Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

 

Поверхности вращения

     Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом  целиком принадлежит этой поверхности.

         Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

     Теорема (об уравнении поверхности вращения).

     Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x2 + y2,z) = 0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ. 

  Эллипсоид. 

  Если  в уравнении поверхности  F(x, y, z) = 0 левая часть уравнения есть многочлен второй степени, то это – поверхность второго порядка. Рассмотрим некоторые виды таких поверхностей.

  Множество точек пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению   называется  эллипсоидом (трехосным эллипсоидом).

                             

Исследуем уравнение и определим форму  поверхности.

  1. Координаты точки О(0, 0, 0) не удовлетворяют уравнению эллипсоида, следовательно, поверхность не проходит через начало координат.

  2. Переменные x, y, z  входят в уравнение в четной степени, значит, поверхность симметрична относительно координатных плоскостей и начала координат.

  3. Из уравнения  следует: .

  4. Поверхность пересекает оси координат  в точках А₁(а,0,0),  А₂(–а,0,0), В₁(0,b,0), B₂(0,–b,0), C₁(0,0,c), C₂(0,0,–c). Это вершины эллипсоида.

  5. Исследуем форму эллипсоида  методом сечений.

  Пересечем его плоскостью, параллельной (х0у) и заданной уравнением  z=h. Решая его совместно с уравнением эллипсоида, получим уравнение совокупности эллипсов

   

(Здесь  k принимает определенные значения в зависимости от заданного h).

  Аналогично, пересекая  эллипсоид плоскостями  y = h  или    х = h, также получим множество эллипсов. Если все полуоси эллипсоида равны между собой  ( , то  эллипсоид   есть    сфера   х²  + у² + z²= a². 

Однополостный гиперболоид.

  Множество точек  пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению называется однополостным гиперболоидом    ( с осью (оz)). 

                     

              

  Исследуем форму поверхности по приведенной  схеме.

  1. Гиперболоид не проходит через начало координат.

  2. Гиперболоид симметричен относительно  осей и начала координат.

  3. Поверхность пересекает ось (Ох) в точках  А₁(а,0,0) и     А₂(–а.0,0), ось (Оу) – в точках  В₁(0, b, 0)  и B₂(0,–b,0). Ось (Оz) поверхность не пересекает.

  4. Исследуем гиперболоид методом сечений:

  Пересечем его плоскостями, параллельными (х0у). Для этого решим систему уравнений гиперболоида и z=h. Получим уравнение семейства эллипсов ,   где  

Если  h=0, то получаем уравнение горлового, самого малого эллипса, лежащего в плоскости (х0у): .

  Если  пересечем поверхность плоскостями, параллельными (у0z), то есть x=h, то, при h= получаем пару пересекающихся в начале координат прямых, при получаем семейство гипербол с действительными осями, параллельными (Оу), а при cемейство гипербол с действительными осями, параллельными (Оz). В частности, при h = 0, имеем «главное» сечение в плоскости (у0z) – гиперболу   .

  Аналогичные сечения получим при пересечении  гиперболоида  плоскостями, параллельными (x0z), заданными уравнениями y=h.  При h=0 – «главное» сечение- гипербола . 

Двуполостный  гиперболоид. 

  Двуполостным  гиперболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению . (гиперболоид с осью (0z))  

            

  1. Гиперболоид не проходит через начало координат.

  2. Симметричен относительно осей  и начала координат.

  3. Из уравнения гиперболоида следует,  что переменные х и у принимают любые значения,  а  .

  4. Поверхность пересекает только  ось (Оz) в точках  С₁(0,0,с) и С₂(0,0,–с).

  5. При пересечении плоскостями,  параллельными (х0у), z=h, при h получаем семейство эллипсов.

  При  x = h – семейство гипербол, причем при х = 0 имеем «главную» гиперболу . 

  При у=h – семейство гипербол, причем при у=0  получается «главная»  гипербола   .

  Если  в уравнении гиперболоида  , то имеем двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения (Оz).

  Уравнениями   и задаются гиперболоиды с осями, соответственно, (0х)  и (0у). 

  Эллиптический параболоид. 

  Множество точек пространства, координаты которых  в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению называется эллиптическим параболоидом (с осью (0z)).

  

  1. Проходит через начало координат.

  2. Симметричен относительно оси  (0z) , плоскостей (х0z) и (у0z).

  3. Из уравнения параболоида следует,  что  переменные х и у принимают любые значения,  a   переменная z .

  4. Поверхность пересекает оси только  в начале координат.

  5. Пересекая  параболоид плоскостями,  параллельными (х0у), получаем семейство эллипсов , причем  при z=0  имеем вершину О(0,0,0).

  В сечении параболоида плоскостями, параллельными  (х0z) и (y0z) получаем семейства парабол с осями, параллельными (Оz). В самой плоскости (х0z) имеем «главную» параболу  , а в плоскости (у0z) – параболу  .

  Уравнениями  и задаются параболоиды с осями, соответственно,  (0х)  и (0у).

  Если  в уравнении параболоида правая часть отрицательная, то и параболоид расположен в системе координат  соответственно вдоль «отрицательной» оси координат.  
 

Гиперболический параболоид.     

       Множество точек пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению , называется гиперболическим параболоидом (с осью (0z)). 

  

  1. Проходит через начало координат.

  2. Симметричен относительно оси  (0z), плоскостей (х0z) и (у0z).

  3. Из уравнения параболоида следует,  что все переменные принимают  любые значения.

  4. Поверхность пересекает оси координат  только в О(0,0,0).

  5. Пересечем  параболоид плоскостями, параллельными (х0у), т.е. z=h. Тогда, из уравнения следует, что при получаем семейство гипербол с действительными осями, параллельными оси (Ох), при получаем пару пересекающихся прямых , а при -семейство гипербол с осями, параллельными оси (0у).

     При пересечении параболоида плоскостями, параллельными (х0z), имеем семейство парабол, причем, при у=0 получаем «главную» параболу .

     Пересекая поверхность плоскостями,  параллельными (уОz), получаем также семейство парабол, но направленных ветвями вниз. При х=0 получаем «главное» сечение – параболу  .

  Уравнениями  и задаются  гиперболические параболоиды с осями, соответственно, (0у) и (0х). 

Гиперсфера 

      Будем называть  т-мерной сферой евклидова пространства  или, короче,  т-сферой, множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (т+1)-плоскости и отстоящих от точки, называемой центром, на одном и том же расстоянии , называемом радиусом  т-сферы.

      При  т = п +1  т-сфера называется гиперсферой, и определяется как множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки – центра гиперсферы.

      При  т =1  т-сфера называется окружностью.

      Пусть  ( i = 1, 2, …, n) – центр гиперсферы, R – ее радиус. Выберем текущую точку М(хⁱ)  на гиперсфере. По определению МС = R или:

Возводя обе части в квадрат, получим уравнение гиперсферы

      (21.1)

или, после  раскрытия скобок,

            (21.2)

Уравнение (21.2) является частным случаем общего уравнения второй степени

         (21.3)

Сравнивая уравнения (21.2) и (21.3), видим, что для  того, чтобы уравнение (21.3) было уравнением гиперсферы, необходимо, чтобы все  коэффициенты были равны между собой, а все были равны нулю.

      Если центр гиперсферы находится в начале координат, то ее уравнение принимает наиболее простой вид:

                     (21.4) 
 
 

Взаимное  расположение гиперсферы и гиперплоскости 

      Рассмотрим  гиперсферу радиуса R с центром в начале координат. Она задается уравнением (21.4). Исследуем ее взаимное расположение с гиперплоскостью

Найдем  расстояние от центра О гиперсферы до гиперплоскости

Возможны  следующие случаи их взаимного расположения:

1)    – гиперплоскость не пересекает гиперсферу;

2)    – гиперплоскость касается гиперсферы (имеет

                       с ней одну общую точку);

3)    – гиперплоскость  пересекает  гиперсферу  по

                      (п – 2)-сфере. 
 

  Квадрики в евклидовом  п-пространстве 

      Квадрикой или поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид:

        (23.1)

Центром квадрики называется ее центр симметрии. Это значит, что если поместить начало координат в центр квадрики, то вместе с каждой точкой  М(хⁱ)  квадрике будет принадлежать и точка  М¢ (– хⁱ)  . Подставив координаты  в уравнение (23.1), имеем

                         (23.2)

Складывая (23.1) и (23.2), получим уравнение квадрики, имеющей центр в виде:

                                     (23.3) 

Если  оси прямоугольной декартовой системы  направить по главным направлениям квадрики, квадратичная форма 

принимает канонический вид, и уравнение (23.3) преобразуется  к виду:

          (23.4)

Далее, в зависимости от коэффициентов  и с, получаются следующие квадрики: 

1. Эллипсоид

                  (23.5)

2. Мнимый эллипсоид

                  (23.6)

3. Гиперболоид индекса l

     (23.7)

4. Конус индекса l

    (23.8)

5. Мнимый конус

                   (23.9)

6. Эллиптический цилиндр с (n – r)-мерными образующими

    (r < n)        (23.10)

7. Гиперболический  цилиндр  индекса l  с (n – r)-мерными образующими

       (23.11)

8. Мнимый цилиндр

               (23.12)

9. Конус индекса l  с (n – r)-мерной вершиной

      (23.13)

10. Мнимый конус с  (n – r)-мерной вершиной

                     (23.14)

Если квадрика не имеет центра, ее уравнение приводится к виду:

,

а затем, в зависимости от коэффициентов  , получаются:

11. Эллиптический параболоид

     (23.15)

12. Гиперболический параболоид индекса  l

    (23.16)

Если  ,  то уравнения (23.15)  и (23.16)  определяют соответственно параболический и гиперболический цилиндры с (n – r –1)-мерными образующими. 

13. Пара пересекающихся гиперплоскостей (действительных или мнимых)

                        (23.17)

14. Пара параллельных гиперплоскостей (действительных или мнимых)

                             (23.18)

15. Пара совпавших гиперплоскостей

                                 (23.19) 
 

  Исследование уравнений  квадрик при помощи инвариантов 

      Пусть дано общее уравнение квадрики в  п-мерном евклидовом пространстве

С помощью  преобразования системы координат  оно приводится к одному из следующих  простейших уравнений:

,                (24.1)

если  I_n ¹ 0;       

,        (24.2)

если  I_n = 0,  K_n+1 ¹ 0; 

,                   (24.3)

если  I_n = 0,  K_n+1 = 0 ,  I_n–1 ¹ 0;   

,        (24.4)

если  I_n = 0,  K_n+1 = 0 ,  I_n–1 = 0,  К_п ¹ 0;  

  ,                                   (24.5)

если  I_n = 0,  K_n+1 = 0 ,  I_n–1 = 0, …,  I₂ = 0,  K₃ = 0 ,  I₁ ¹ 0,

где в каждом случае – отличные от нуля корни характеристического уравнения

,           (24.6)

I_n – определитель матрицы :

,                      (24.7)

I_n–1 –сумма диагональных миноров п –1 порядка определителя I_n:

 

I_n–2 – сумма диагональных миноров  п –2  порядка определителя  I_n,  и т.д.,  наконец,  I₁ = . Далее, определитель К_{n +1}  получен из I_n окаймлением коэффициентами :