Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Квадратичные формы

Содержание

1. Теория

1.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

систем координат.

1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

канонический вид, нормальный вид.

1.4 Матрица квадратичнаых форм. Теорема о ранге матрицы.. . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к . . . . . . . . . . . . . . . .8

каноническому виду и к нормальному виду

1.6 Формулы преобразования и матрицы преобразования.. . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Закон инерции квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Положительно-определённая квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

2. Приложения

2.1 Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.1 Введение

В данной работе мы рассмотрим квадратичные формы и основные операции над ними. А также в заключении моей работы решим пять задач по данной теме.

1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование систем координат.

Из правил сложения векторов и умножения вектора на число вытекают важные свойства, которые легко доказываются:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) т×0 = 0; 8) если тa = 0, то или т = 0, или a = 0.

Совокупность всех п-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется п-мерным векторным пространством.

Геометрический смысл сложения и умножения на число двумерных и трёхмерных векторов.

Вектор b называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, ¼, a_п, если существуют такие числа т₁, т₂, ¼, т_п, что

b = т₁a₁+ т₂a₂¼ + т_пa_п

Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этой системы векторов.

Система векторов a₁, a₂, ¼, a_п называется линейно зависимой, если найдутся такие числа т₁, т₂, ¼, т_п, хотя бы одно из которых не равно нулю, что имеет место равенство

т₁a₁+ т₂a₂¼ + т_пa_п= 0.

Линейно независимая система п-мерных векторов

a₁, a₂,¼, a_п(1)

называется максимальной линейно независимой системой, если добавление к ней любого п- мерного вектора b даёт линейно зависимую систему. Если (1) – максимальная линейно независимая система, то во всякой линейной комбинации векторов a₁,a₂,¼,a_п,b, равной нулю, коэффициент при векторе b должен отличаться от нуля(!), и вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов a₁, a₂,¼, a_п. Отсюда следует, что система пмерных векторов тогда и только тогда будет максимальной линейно независимой системой, если её векторы линейно независимы, а любой п-мерный вектор является линейной комбинацией этих векторов.

Теперь можно сделать заключение. В п-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.

Всякая линейно независимая система п-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе. Действительно, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно присоединить один вектор так, что полученная система останется линейно независимой. Если новая система не максимальна, то к ней можно добавить ещё один вектор. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока в системе не будет п векторов.

Введём в геометрическом n-мерном пространстве произвольную систему и будем рассматривать переменные как координаты точки М в этой системе. Тогда есть значение квадратичной формы в точке М.

Перейдём к новой системе координат по формулам:

(2)

Здесь - старые; - новые координаты одной и той же точки.

Выясним, как изменится матрица квадратичной формы при переходе к новой системе координат. Запишем преобразование координат (2) в матричной форме

(3)

Где X – матрица-столбец, составленная из старых координат; Y – матрица-столбец, составленная из новых координат; B – неособенная матрица с элементами. Подставив выражение (3) в равенство , получим

Но, по правилу транспонирования произведения, Следовательно,

(4)

Матрица симметрична, так как а Y – матрица-столбец, составленный из переменных Поэтому выражение (4) является квадратичной формой от этих переменных. Её матрица равна .

Таким образом, если в квадратичной форме с матрицей А перейти к новой системе координат, то в любых переменных квадратичная форма будет иметь матрицу где B – матрица перехода.

1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, канонический вид, нормальный вид.

Числовая функция а(х, у) двух векторных аргументов х, у называется билинейной, если она линейна по каждому аргументу, то есть

Здесь x, у, х₁, х₂, у₁, у2—любые векторы пространства L, α — произвольное число.

Пусть L — линейное n-мерное пространство е₁, ..., е_п — базис в нем, и пусть аргументы билинейной функции разложены по этому базису:

, .

Тогда

(1)

Введем обозначения:

(2)

Тогда получим

(3)

Формула (3) выражает функцию а(х,у) в координатах по данному базису.

Многочлен в правой части формулы (3) называется билинейной формой. Вместе с ним билинейной формой называют и самую функцию а(х,у). Числа а_ik называются коэффициентами данной формы в базисе е₁, ..., е_п. В качестве аргументов х, у можно рассматривать векторы как действительного, так и комплексного линейного пространства. Соответственно говорят, что форма а(х,у) дана в действительном или в комплексном пространстве. В последнем случае в качестве значений формы а(х, у) допускают комплексные числа; коэффициенты а_ik этом случае также являются, вообще говоря, комплексными числами.

Пусть билинейная форма а(х,у) является симметричной: а(у,х)=а(х,у). Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична ее матрица: А* = А. В самом деле,

Отождествим оба аргумента формы а(х,у). Тогда получим а(х,х) = а(х,у) при у = х.

Функция а(х, х) называется квадратичной формой, отвечающей данной симметричной билинейной форме а(х,у).

Исходная (симметричная) билинейная форма а(х, у) называется полярной для квадратичной формы а(х, х).

Докажем, что полярная билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.

Пусть дана числовая функция f(x) векторного аргумента. Предположим, что f{x) есть некоторая квадратичная форма, т. е. f(x) = a(x,x), причем а{х,у) нам неизвестна. Чтобы найти ее, рассмотрим f(x+y), где х, у — произвольные векторы. Пользуясь свойствами билинейной формы и ее симметричностью, имеем

Отсюда получаем искомое выражение

(4)

Формулу (4) можно принять за определение квадратичной формы. Именно можно сказать, что f(x) называется, квадратичной формой, если левая часть формулы (4) является билинейной функцией.

Следует заметить, что определение квадратичной формы не предусматривает наличия базиса; тем самым, оно применимо в бесконечномерных пространствах.

Пример. Пусть L — линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [0, 1].

Рассмотрим функцию

аргумент которой x = x(t)ЄL.

Имеем

(5)

Нетрудно непосредственно проверить, что в правой части равенства (5) стоит билинейная форма. Таким образом, f{x) есть квадратичная форма в бесконечномерном пространстве L.

Вернемся к n-мерному случаю. В n-мерном пространстве рассмотрим квадратичную форму и запишем ее выражение через координаты аргументов.

Пусть а (х,у) = а (у, х), х=у. Тогда

……….…………………………

(6)

Если принять во внимание симметричность коэффициентов, то члены суммы (6), кроме диагональных, естественно объединяются в пары. При этом получается часто употребляемая запись квадратичной формы в виде

. (7)

Заметим, что в первой строчке формулы (7) выписаны все члены, содержащие x₁.

Ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы: г = Rang A.

Канонический вид квадратичной формы. Если в некотором базисе окажется, что все коэффициенты a_ik = 0 при i ≠ k, то говорят, что в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

Приведение квадратичной формы к каноническому виду является важной задачей как в теоретических вопросах, так и в прикладной математике. Ниже рассмотрим два метода приведения квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа и метод Якоби.

Если Rang = r < n, то после надлежащего изменения номеров матрицу можно записать в виде

Замечание. Если привести к каноническому виду квадратичную форму, то одновременно приведется к диагональному виду и ее билинейная форма

Нормальный вид квадратичной формы

(8)

считая, что у₁,..., у_r, уr+1,..., у_п— новые координаты вектора х. Выражение (8) называется нормальным видом квадратичной формы f(x).

В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к нормальному виду (8).

Ограничимся теперь действительными пространствами и действительными линейными преобразованиями. Учитывая, что среди коэффициентов а_ii могут быть отрицательные, положим

(9)

Если первые k коэффициентов а_ii положительны, а остальные отрицательны, то мы получим

. (9*)

Выражение (9*) также называется нормальным видом формы f(x).

1.4 Матрица квадратичных форм. Теорема о ранге матрицы

Вся квадратичная форма может быть записана в виде

(1)

…………………………………….

Ясно, что коэффициенты формы в записи (1) определены одназначно. Составленная из них матрица

Называется матрицей квадратичной формы Ввиду элементы матрицы A, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Следовательно , т.е. A – симметричная матрица.

Очевидно, что для любой симметричной матрицы A всегда можно указать такую квадратичную форму, что её матрица совпадает с A. Если две квадратичные формы имеют одну и ту же матрицу, то эти формы могут отличаться друг от друга обозначением переменных, что не имеет существенного значения. Две такие квадратичные формы мы можем считать одинаковыми. Таким образом, квадратичные формы вполне определяются своими матрицами.

Теорема о ранге матрицы. Ранг произвольной матрицы равен максимальному порядку ее миноров, отличных от нуля.

Доказательство. Если Rang А = 0, то A — нулевая матрица, и у нее нет отличных от нуля миноров. Естественно считать в этом случае, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть далее матрица А — не нулевая. Если некоторый ее минор М порядка r не равен нулю, а все миноры более высокого порядка равны нулю или отсутствуют вовсе, то М является базисным минором. По лемме о базисном миноре столбцы матрицы А, пересекающие минор М, линейно независимы. Поэтому Rang A≥r . По той же лемме любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы. Отсюда, применяя лемму , находим, что Rang A≤r. Таким образом, Rang A=r, что и требовалось доказать.

1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к каноническому виду и к нормальному виду.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Пусть дана квадратичная форма f(x)=а(х,х). Вследствие формулы

мы можем в любом базисе записать f(x) в виде

(1)

где g — квадратичная форма, не включающая x₁.

Запись вида (1) позволяет доказать возможность приведения квадратичной формы к каноническому виду по индукции.

Теорема. Каждую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду.

Замечание. Здесь речь идет о преобразовании переменных, именно числовых аргументов х₁,...,х_п многочлена (1). Но теорему можно понимать и геометрически, поскольку всякое невырожденное преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при переходе к новому базису.

Доказательство теоремы. Квадратичная форма от одного переменного всегда имеет канонический вид Примем как предположение индукции, что любую квадратичную форму от (n—1) числовых аргументов можно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием (n—1) переменных.

Рассмотрим произвольную квадратичную форму f(x) от n числовых аргументов:

Пользуясь предположением индукции, докажем, что ее можно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием n переменных. Возможны два случая:

1) Первый случай. В квадратичной форме хотя f(x) хотя бы один из коэффициентов а_ij при квадратах переменных отличен от нуля. Не нарушая общности, можем считать, что

именно а₁₁≠ 0. По данным коэффициентам формы f(x) coставим следующее линейное преобразование:

(2)

Матрицу этого преобразования обозначим Q:

Преобразование (2) невырождено, так как Det Q = a₁₁≠ 0 . Отметим также, что невырожденность преобразования (2) вытекает из его обратимости, которая в свою очередь сразу видна из формул (2).

Возведем в квадрат выражение y₁ и разделим на a₁₁ ≠ 0:

где — некоторая квадратичная форма аргументов х_2,...,х_п, т. е. не включает x₁. Введем еще одну квадратичную форму тех же аргументов х₂,..., х_п, положив

где g{x₂,..., х_п) дана записью f(x) в виде (1). Тогда получим

или, что то же самое,

По предположению индукции существует такое невырожденное преобразование переменных в числе п—1

(3)

которое приводит к каноническому виду форму :

Дополним преобразование (3) так, чтобы в нем участвовали все п переменных. Именно, положим

(4)

Преобразуем переменные x₁..., x_n в переменные у₁,... ...,у_п по формулам (2), а затем переменные y₁,…,у_п преобразуем по формулам (4). В результате получим преобразование переменных х₁..., х_п в переменные z₁,...,z_n которое приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду

Последнее преобразование является невырожденным, так как представляет собой произведение невырожденных преобразований (2) и (4).

Второй случай. В квадратичной форме f(x) все, диагональные коэффициенты а_ii равны нулю. Тогда предыдущие рассуждения неприменимы. Но какой-нибудь из коэффициентов отличен от нуля; пусть это будет а₁₂. Тогда квадратичная форма имеет вид

(5)

Сделаем преобразование:

(6)

Преобразование (6) обратимо и, следовательно, является невырожденным.

Подставив величины (6) в квадратичную форму (5), получим

(7)

Слагаемое не может исчезнуть при приведении подобных членов, так как все члены квадратичной формы, которые не выписаны в выражении (5), не содержат произведения и не могут в результате преобразования (6) дать величину

Далее квадратичную форму (7) можно невырожденным преобразованием привести к каноническому виду, поскольку дело свелось к первому случаю: коэффициент при отличен от нуля.

Тем самым рассуждения индукции завершены и теорема доказана.

3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования, которое также имеет действительные коэффициенты.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Пусть дана квадратичная форма f(x), которая расписана в координатах в некотором базисе е₁,…, е_п:

Как известно,

Составим матрицу квадратичной формы f(x):

Рассмотрим так называемые главные миноры матрицы А:

(1)