Квадратные уравнения с параметрами

     Содержание 

     Введение……………………………………………………….................2

     1.Теоретические основы решения квадратных уравнений……….......4

     1.1. Понятие квадратного уравнения, его виды ………………………4

     1.2. Методы решения квадратных уравнений ………………………..5

        1.2.1. Аналитический метод…………………………………………...5

       1.2.2. Графический метод……………………………………………...7

     1.3. Прямая и обратная теорема Виета ………………………….........9

     1.4. Квадратные уравнения с параметрами…………………………….10                                              

2. Методика обучения решению квадратных уравнений с            параметрами………………………………………………………………21

     2.1. Профильная дифференциация обучения  в современной школе…21

     2.2. Анализ учебных пособий на  предмет изучения………………….24

     3. Разработка занятий  элективного  курса……………………………..27

     Заключение………………………………………………………………..

     Список  используемых источников……………………………………… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Во  всех сферах жизнедеятельности общества требуются люди, умеющие адаптироваться к быстро изменяющимся условиям, творчески  мыслящие, обладающие навыками исследовательской  работы. В общеобразовательной школе  закладываются основы знаний, происходит формирование и развитие социально-значимых качеств личности. В силу своей  специфики значительную роль в умственном развитии и воспитании подрастающего  поколения играет математика.

     В современных школьных программах по математике отмечается, что принципиальным положением организации педагогического  процесса является дифференциация обучения математике в общеобразовательной  школе. Такой подход к построению учебно-воспитательного процесса предполагает учет возрастных и индивидуальных особенностей личности каждого школьника, ориентирует  на интеллектуально-развивающее обучение.

     В качестве содержательной основы для  построения совокупности заданий развивающего характера могут выступать задачи с параметрами. Наиболее рациональное решение таких задач связано с актуализацией обширного учебного материала и достигается путем комплексного применения аналитических и конструктивных приемов. Это позволяет рассматривать задачи с параметрами как содержательный материал для полноценной математической деятельности. В последние годы заметно возрос интерес к задачам с параметрами. Традиционно стало предъявление таких задач на Едином государственном экзамене. Это связано с высокой диагностической и прогностической ценностью задач с параметрами, которая заключается, прежде всего, в возможности выявить уровень фактических знаний и степень сформированности навыков исследовательской деятельности.  

     Объект  исследования - процесс обучения математике в основной школе.

     Предмет исследования – изучения квадратных уравнений с параметрами.

     Цель  работы: на основе систематизации знаний о подходах к решению квадратных уравнений с параметрами разработать элективный курс для учащихся 9-х классов.

     Для достижения цели поставлены следующие  задачи:

     - изучить учебно-методическую и математическую литературу на предмет исследования;

     - познакомиться с педагогическим опытом обучения решению квадратных уравнений с параметрами;

     - разработать занятия элективного курса  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Теоретические основы решение квадратных уравнений с параметрами.

              1.1. Понятие квадратного уравнения, его виды

     Квадратным или уравнением второй степени называется уравнение вида ах² + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, причем а ≠ 0[1].

     Рассмотрим  основные виды квадратных уравнений.

     Квадратное  уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

     Квадратное  уравнение называется приведенным, если коэффициент при        х² равен 1. Общий вид приведенного квадратного уравнения:

     x² + рх + q = 0,

     где p, q - некоторые числа.

     Полное  квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 второй коэффициент b или свободный член с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

     На  рисунке 1 показаны виды квадратных уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

Квадратные  уравнения       ах2 + bx + c = 0, а≠0

     

а=1, b≠0, с≠0 приведенные квадратные уравнения

     

а≠1, b≠0, с≠0  квадратные уравнения общего вида

            
 
 

     

     

Неполное  квадратное уравнение

      

       
 

     

а≠0,b=0,c=0

     

а≠0,b≠0,с=0

     

а≠0,b=0,с≠0

 
 
 

Рис 1. Виды квадратных уравнений 
 

1.2. Методы решения квадратных уравнений

     Рассмотрим  основные методы решения квадратных уравнений, используемые в школьном курсе математики.

     1.2.1. Аналитический метод

     Выделение полного квадрата

     Пусть a+bx+c=0. Разделим исходное уравнения на a:

     + x+ = 0.

     Если  = ,то данное уравнение можно преобразовать к виду:

     = 0.

     Уравнение имеет один корень: x= − .

     Если  ≠ то прибавим и отнимем число, равное :

     x²+2x+ + = 0.

     Получим уравнение: = − , имеющее два корня:

     =     и   = .

     Использование формулы

     Существуют  специальные формулы, по которым  находят корни квадратного уравнения. Этот способ используется учащимися  наиболее часто, т.к. он самый простой  и понятный.

     1) Пусть  ax² + bx + c = 0 (1).

     Выведем формулу решения уравнения (1). Для  этого, поделив обе части уравнения (1) на а, перейдем к равносильному уравнению:

                                                       x² + x + = 0.

     Добавим и вычтем в левой части , тогда получим:

     x²+x+-+=0    (1)

              Выделяя полный квадрат в уравнении (1), получим:

     (x +)² + = 0    (2)

     или

     (x +)² =      (3)

     Очевидно, что уравнение (3) эквивалентно уравнению (1). Уравнение (3) имеет действительные корни тогда и только тогда, когда  ≥ 0, или         D = b² – 4ac ≥ 0.

     Число D называется дискриминантом квадратного уравнения (1) . Если D ≥ 0, то из равенства (3) имеем x + =   и x + =   .

     Следовательно, если b² – 4ac > 0, то уравнение (1) имеет два действительных корня:

     = ;  = ;

     если  b² – 4ac = 0, то уравнение (1) имеет один действительный корень:    x = - ;

     в случае  b² – 4ac < 0 действительных корней у уравнения нет.

     2) Пусть в уравнении ах² + bx + сх = 0 коэффициент b=2k. Подставив в

     формулу (1) число 2k получим:  x_1,2 = .

     Пример 1. Решить уравнение 3x² – 5x – 1 = 0.

     Решение. Так как дискриминант D=37 уравнения положителен, то имеет два действительных корня: x₁ = , x₂ = .

     Ответ: x₁ = , x₂ = .

     Пример 2.  Решить уравнение 4x² + 12x + 9 = 0. 

     Решение. Дискриминант уравнения D=0, поэтому уравнение имеет единственный корень: x = - .

     Ответ: x = - . 

     Пример 3. Решить уравнение 5x² – 3x + 2 = 0. 

     Решение. Так как D= -31 данного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

     Ответ: действительных корней нет.

     1.2.2. Графический метод

     Квадратные  уравнения можно решать и графически. Решим графически уравнение ах² + bx + c = 0. Оно равносильно уравнению ах² = -(bx+c).

     Построим  графики функций у = ах² (1) и у = -bx –c (2) в одной системе координат (рис. 2). В точках х₁ и х₂ значение обеих функций равны. Следовательно, х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах² = -(bx+c) и равносильного ему уравнения ах² + bx + c = 0.

     Если  парабола и прямая касаются, то квадратное уравнение имеет два равных корня.

     Если  же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение  не имеет корней.

     Уравнение ах² + bx + c = 0 можно решить иначе, построив параболу

     у= ах² + bx + c и найдя точки ее пересечения с осью Ox, если D≥0   (рис. 3). 
 
 
 

                         
 
 
 
 

                рис. 2                                                         рис. 3

     Пример 4. Решить графически уравнение 2х² + 6х — 5 = 0.

     Решение. При графическом способе решения квадратного уравнения часто бывает целесообразно записать его в виде приведенного уравнения. Данное уравнение примет вид: х²+3х - 2,5 = 0.

     Представим  это уравнение в виде х² = -3х + 2,5. Построим в одной и той же системе координат графики функций у = х² и у = -3х + 2,5 (рис. 4). Найдем абсциссы точек пересечения параболы у = х² и прямой у = -3х + 2,5. Приближенные значения корней: -3,7 и 0,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                Рис. 4 
 

     1.3. Прямая и обратная теорема Виета

     Теорема 1.

     Пусть х₁, х₂ – корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно , т.е.

     , 

     Можно сформулировать теорему для приведенного квадратного уравнения.

     Теорема 2.

     Если  приведенное квадратное уравнение  х² + рх + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна –р, а произведение равно q, то есть 
 

     (сумма  корней приведенного квадратного  уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно  свободному члену).

     С помощью теоремы Виета выводится  формула разложения квадратного  трехчлена на множители.

     Теорема 3.

     Если  х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с, то справедливо 

     Обратное  утверждение теоремы Виета: если х₁, х₂ таковы, что

       то эти числа – корни уравнения  

     Пример 5. Решить уравнение х² – 4х + 3 = 0

     Решение. По теореме Виета

     Ответ: = 3, = 1. 

     1.4. Квадратное уравнение с параметрами.

     Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления у школьников, но их решение вызывает затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

     Если  в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми  значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение с параметром.

     Решить  уравнение – значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное (x, y, z), содержат другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

     При одних значениях параметров уравнения  не имеет корней, при других - имеет только один корень, при третьих - два корня, при четвертых - бесконечно много корней.

     Существенным  этапом решения уравнений с параметрами  является запись ответа. Составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

     Рассмотрим  основные типы уравнений с параметрами

     Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

     Тип 2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

     При решении задач данного типа нет  необходимости ни решать заданные уравнения, их системы и совокупности и т.д., ни приводить эти решения; такая  лишняя в большинстве случаев  работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако иногда прямое решение  в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения  ответа при решении задач типа 2.

     Тип 3. Уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

     Очевидно, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам    типа 2.

     Тип 4. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

     Например, найти значения параметра, при которых:

     1) уравнение выполняется для любого  значения переменной из заданного  промежутка;

     2) множество решений первого уравнения  является подмножеством множества  решений второго уравнения и  т.д.

     Наиболее  часто встречающий тип уравнения с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

     Рассмотрим  квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, учитывая, что параметры а, b и с определяют не только существование и количество корней, но и степень уравнения.

     Используя известные свойства дискриминанта D, с учетом того, что уравнение может стать линейным (при а = 0) и квадратным (при а≠0), составим таблицу зависимости между коэффициентами квадратного уравнения и числом его корней (табл.1).

     Таблица 1 - Зависимость между коэффициентами квадратного уравнения и числом его корней.

     

Уравнение ах2 + bх + с = 0	Условия на а, b, c, D
Имеет два различных корня	а ≠ 0, D >0
Имеет единственное решение	а ≠ 0, D = 0 а = 0, b ≠ 0
Не имеет корней	а ≠ 0, D < 0 a = b = 0, c ≠ 0
Имеет бесчисленное множество корней.	a = b = с = 0

     На  основе теоремы  Виета и обратного  ему утверждения составим таблицу условий знакопеременности корней (табл. 2).

     Таблица 2 – Условия знакопеременности корней

     

Корни квадратного уравнения  ах2 + bх + с = 0	Условия на а, b, c, D
Имеют положительные знаки	D ≥ 0,  0, - 0
Имеют отрицательные знаки	D ≥ 0,  0, - 0
Имеют разные знаки	D ≥ 0,  0

 

     Решить  уравнение с параметром – значит указать, при каких допустимых значениях параметра существуют решения, выяснить их число, каковы они; кроме того, обычно при решении уравнений с параметром необходимо выяснить, при каких допустимых значениях параметра решений нет.

     Для понимания сущности и структуры  задач с параметрами важное значение имеет определение понятия «параметр». Неопределенность ключевого понятия не позволяет в полной мере реализовать их методические и дидактические возможности.

     В связи с этим, в широком смысле под параметром в математической задаче понимается математический объект, количественно и качественно  характеризующий задачу и влияющий как на процесс, так и на результат  ее решения.

     В рамках условия конкретной алгебраической задачи параметр можно рассматривать  в качестве:

1. Фиксированного, но неизвестного числа;
2. Независимой переменной (или функции);
3. Алгебраического выражения.

     Главная задача параметра заключается в  его неопределенности. Степень неопределенности зависит от условия конкретной задачи. Решить задачу с параметром – значит указать ее решение для каждого  значения параметра из заданного  множества, называемого областью изменения  параметра.

1. Алгебраические задачи с параметрами представляют собой содержательный математический объект для исследования.
2. Обобщенным методом решения задач с параметрами является исследовательский анализ, основу которого составляют функциональный подход и комплексное использование аналитических и конструктивных приемов.
3. Исследовательский анализ выражения F(х, а) с двумя переменными позволяет получить достаточно рациональное решение задач с параметрами.

          У учащихся возникают трудности на этапе систематизации полученных результатов, в том числе и при записи ответов. Для решения этой трудности наиболее рационально использовать графический способ. С целью ее преодоления используется прием получения результата с одновременным изображением его на координатной плоскости.

     Рассмотрим основные методы решения задач с параметром.

     I. Аналитический метод. Этот метод так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра, используя специальные формулы вычисления корней и свойства квадратного уравнения.

     Покажем суть данного метода на конкретном примере.

     Пример 6. Решить уравнение ах² + 3ах – (а+2) = 0, для любого значения параметра.

     При а = 0, -2 = 0, корней нет.

     При а ≠ 0, D = 9а² + 4а(а+2) = а(13а + 8).

     Если D>0, то при а(-∞;-8/13)U(0;∞):

     х₁ = a(-3а +), х₂ =   а(-3а -);

     Если D = 0, то при а = - :

     х₁ = х₂ = - ;

     Если D < 0, то при а  (- ;0]  корней нет.

     Ответ:  х₁ = a(-3а +), х₂ = а(-3а - ) при             а (-∞;)U(0;∞);

                 х₁ = х₂ = -   при а = - ; 

                 х Ø при а (- ; 0].               

     II. Графический метод. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости

     (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

     Рассмотрим  пример задачи, для решения которой  используется графический метод.

     Пример 7. При каких значениях параметра а (а  ≥ 3) произведение корней уравнения х² + 2х достигает наименьшего значения?

     Решение. Искомое значение параметра а найдем из условий:

       

      

     Чтобы не ошибиться, обеспечим наглядность  полученной задачи. Для этого в  системе координат (а, у) построим параболу у = - а² + 3а – 3 и отметим значения параметра а, а ≤ 1 или а ≥ 3.(рис. 5)

             

                         
 

             
 
 
 
 
 
 
 

     (рис. 5) 

     Наибольшее  значение функции у = - а² + 3а – 3 при а ≥ 3 равно -3.

     Ответ: при а=3 f(3)=-3 – наименьшее значение

     Рассмотрим  некоторые примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

     Пример 8. Решить уравнение (а – 1)х² + (а + 1)х + а + 1 = 0.

1. Решение. При а = 1 уравнение имеет вид 2х + 2 = 0, его корень

     х = -1.

2. При а ≠ 1 уравнение является квадратным. Найдем дискриминант:

     D = (a + 1)² – 4(a – 1)(a + 1) = (a + 1)(а + 1 – 4а + 4) = (а + 1)(5 – 3а).

     Отметим на числовой прямой знаки дискриминанта: 
 
 
 

     При а (-∞; -1) U (; +∞) D < 0 и уравнение не имеет корней.

     При а  [-1; 1] U (1; ] D ≥ 0 и уравнение имеет два действительных корня

     х_1,2 = .

     Ответ: при а = 1 х = -1;

                при  а (-∞; -1) U (; +∞) корней нет;

                при а  [-1; 1] U (1; ]  х_1,2 = . 
 

     Пример 9. Найти все значения параметра р, при каждом из которых квадратное уравнение рх² + х + 2 = 0 имеет ровно одно решение.

     Решение. При р ≠ 0 исходное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D = 1 – 8p = 0,  откуда р = 1/8.

     При р = 0 исходное уравнение становиться линейным, поэтому этот случай не рассматриваем.

     Ответ: при р = 1/8 уравнение имеет ровно одно решение.

     Пример  10. Найти все значения параметра р, при каждом из которых квадратное уравнение рх² + х + 2 = 0 имеет ровно одно решение.

     Решение. При р ≠ 0 исходное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D = 1 – 8p = 0,  откуда р = .

     При р = 0 исходное уравнение становиться линейным, поэтому этот случай не рассматриваем.