Линии разделяющей плоскости
Пенза 2013 г
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка содержит 20 страниц, 6 рисунков.
Объект исследования курсовой работы – линейная разделяющая функция и разделяющая гиперплоскость.
Цель работы: изучение линейных разделяющих
функций и обобщенного
При выполнении первого задания необходимо построить разделяющую функцию, найти значения коэффициентов весового вектора и по ним определить линейную разделяющую функции.
При выполнении второго задания необходимо представить разделяющую функцию,определить значения коэффициентов весового вектора, по ним найти необходимое достаточное условие сходимости процесса, обеспечивающее приближение к точному решению в процессе последовательных приближений.
Содержание
Введение……………………………….………………………
1 Линейные разделяющие функции……
2 Обобщенный алгоритм
3 Практическая часть……………………………………………………………16
Заключение…………………..……….…………………
Список литературы……………………………..
Введение
Методы
распознавания диагнозов в
Считается, что точки, отображающие одинаковые технические состояния (диагнозы), группируются в одной области. Следовательно, каждому диагнозу соответствует некоторая область в пространстве параметров.
Рассмотрим некоторые свойства пространственных параметров:
- Каждый объект может характеризоваться комплексом диагностических признаков или параметров, которые могут приниматься в качестве компонентовn-мерного вектора.
В зависимости от того, что используется для описания объекта (параметры или признаки), компоненты могут быть:
- дискретными;
- непрерывными.
- Если для описания технического состояния объекта используются простые бинарные (двухразрядные) признаки, то компоненты вектора выражаются двоичными числами (т.е. сочетаниями 0 и 1).
При таком описании объектов диагностики любое техническое состояние будет находиться в вершине единичного куба. Пример трехмерного пространства параметров представлен на рисунке 1, где координаты вектора = (0;1;1).
Рисунок 1
- Областью диагноза называется множество точек пространства признаков, которые соответствуют техническим объектам, обладающих состоянием .
По принадлежности x к состоянию выделяют 2 свойства:
- объект находится в состоянии ;
- точка, описываемая вектором x, попадает в область .
При использовании
понятий пространство диагностических
параметров и определение каждого
состояния в виде области диагноза,
задача диагностики может решаться
путем отыскания уравнения
Пусть в n-мерном пространстве параметров содержатся точки, принадлежащие различным диагнозам , , ,…, . Для каждой области пространства параметров диагноза определим скалярную функцию:
(
) =
(
,
,…,
,…,
).
Функция ( )называется дискриминантной функцией диагноза , если она отвечает условию:
( ) > ( ) при , где i ≠ j, а j = 1,2,3,…, m. (2)
Т.е. дискриминантная функция ( )принимает для точек области n-мерного пространства параметров наибольшее значение по сравнению с дискриминантными функциями других диагнозов.
Линейная
дискриминантная функция
( ) = + +…+ + , где (3)
, ,…, и т.д. – весовые коэффициенты линейной дискриминантной функции.
Пусть мы имеем 2 диагноза и . Техническое состояние объектов диагностики характеризуется двумя параметрами и .Для этих диагнозов заданы некоторые функции, которые определяются следующими выражениями:
(
,
) =
+
+
;
(
,
) =
+
+
.
Функция ( , ) называется дискриминантной функцией диагноза , если она всегда больше ( , ), при условии, что объект относится к диагнозу :
( , )> ( , ), если = . (6)
В данной работе нам предстоит изучитьлинейные разделяющие функции, обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков и применить процедуру построения разделяющей гиперплоскости для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.[1]
1 Линейные разделяющие функции
Цель работы: изучение линейных разделяющих функций и процедуры построения разделяющей гиперплоскости для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.
Методические указания
Один из важнейших классов разделяющих функций связан с линейными дискриминантными функциями. Тогда разделяющая функция при распознавании двух классов:
f(x) = (x) (x) = + +…+ + , (7)
= , где j = 1, 2,…, N+1. (8)
Величины называются весовыми коэффициентами. Методы распознавания с помощью линейных разделяющих функций называются линейными методами разделения. Диагнозы, для которых возможно такое распознавание, считаются линейно-разделимыми.
Весовые коэффициенты образуют весовой вектор с числом компонентов N + 1:
λ =
.
Для удобства геометрической интерпретации дополним вектор х еще одним компонентом:
1.
Тогда дополненный вектор признаков:
=
.
Разделяющую функцию при диагностике на два состояния можно представить в виде скалярного произведения:
f(
) = λ
.
Условия разделения (решающее правило):
f(
) =λ
> 0 при
;
f(
) =λ
< 0 при
.
Разделяющая поверхность является плоскостью в (N+1)-мерном пространстве или гиперплоскостью. Уравнение разделяющей гиперплоскости:
f( ) =λ = + +…+ = 0. (15)
Уравнение (15) означает, что весовой вектор λ перпендикулярен разделяющей гиперплоскости (рис.2). В дополненном пространстве признаков разделяющая гиперплоскость всегда проходит через начало координат.
Рисунок 2
Линейная
разделяющая функция в
Нахождение
разделяющей гиперплоскости. Разделяющая
гиперплоскость проходит через начало
координат (в дополненном пространстве
признаков) и нормальна весовому вектору λ.
Следовательно, векторλ однозначно определяет положение разделяющей плоскости в пространстве признаков, и задача сводится к нахождению вектора λ. Рассмотрим процедуру определения весового вектора с помощью обучающей последовательности. Под обучающей последовательностью понимается совокупность образцов с известным диагнозом (совокупность «верифицированных образцов»). Эта последовательность используется для «обучения», в данном случае – нахождения весового вектора (разделяющей гиперплоскости).
Пусть в пространстве признаков имеются две области диагнозов и . Они изображены для трехмерного пространства признаков на рис.3. Разделяющая плоскость должна удовлетворять условиям (13 и 14), которые можно упростить, если ввести в рассмотрение объединенную областьдиагнозов и : D= , где - область диагноза , симметрично отображенная относительно начала координат (рис.4). Знак означает объединение множеств. Область получается из , если знак у векторовx Dизменить на противоположный. Отметим, что области и могут иметь общие точки. Теперь разделяющая функция вместо соотношений (13 и 14) будет удовлетворять условию:
f(
) =λ
> 0 при
.
Рисунок 3
Следовательно, объединенная область D должна располагаться по одну сторону от разделяющей гиперплоскости (15) или, что равносильно, гиперплоскость не должна пересекать объединенную область диагноза.
В дальнейшем придется часто рассматривать векторы в дополненном пространстве ( =1) признаков и для простоты опустим индекс * у вектора х. Уравнение гиперплоскости запишем так:
f(x)
= λx = 0.
При определении вектора λ применяетсяпроцедура последовательных приближений. Для обучения предъявляется первый образец , относительно которого диагноз известен. В качестве первого приближения: для вектора λ принимается:
=
, если
,
= , если . (19)
На рис.4 показан случай, когда первый образец принадлежит области . Разделяющая плоскость для первого приближения описывается уравнением:
= 0,
т. е. разделяющая
плоскость перпендикулярна
Рисунок5
Сначала проверяется правильность предыдущего приближения для разделяющей плоскости. Если выполняется условие >0, то весовой вектор не требует корректировки и во втором приближении принимается = .Случай, когда во втором приближении не требуется внесения поправки, показан на рис.5.
Далее предъявляется третий образец и проводится проверка предыдущего значения весового вектора. Если >0, то исправления вектора не требуется и принимается = (точки , , лежат по одну сторону от разделяющей плоскости). Если <0 (этот случай показан на рис.5), то условие разделения (16) λx>0 не выполняется и требуется скорректировать весовой вектор. Принимают теперь = + и далее переходят к показу следующего образца. В общем виде описанную процедуру можно представить так:
=
+
.
В последнем равенстве:
при = (22)
при = (23)
Иными словами, при неправильных ответах к вектору добавляется вектор точки, относительно которой была совершена ошибка.[2]
2 Обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости
Цель работы: изучение обобщенного алгоритма нахождения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.
Методические указания
Рассмотрим обобщенный алгоритм нахождения весового вектора с помощью показа образцов из обучающей последовательности. Будем считать, что векторы объектов х принадлежат объединенной области диагнозов:
= x, если x
,
= -x, если x . (25)
Используемая ранее процедура для векторов объединенной области, имеет вид:
= + ,где (26)
= (27)
В обобщенном алгоритме используется прежняя процедура нахождения вектора λ, но выбор скалярного корректирующего множителя r подчинен другим условиям. Пусть построены вектор и соответствующая разделяющая плоскость, но образец распознается неправильно: .
Проведем корректировку вектора так, чтобы новое положение разделяющей плоскости давало правильное распознавание объекта . Тогда по соотношению (26):
= + > 0 (28)
или
>- = .(29)
Если же объект распознается достоверно, то корректировки вектора не требуется и следует положить +1 = 0. Примем обобщенный алгоритм нахождения весового вектора в такой форме:
= (30)
Здесь – скалярный множитель, соответствующий (n+1)-му приближению. Если положить:
= ,(31)
то получится указанный ранее алгоритм. Определим достаточное условие, обеспечивающее приближение к точному решению в процессе последовательных приближений. Пусть λ представляет собой точное значение весового (разделяющего) вектора:
λ > 0 для всех . (32)
Вычитая из обеих частей равенства (26) вектор λ и умножая скалярно обе части равенства на себя, получим:
= +2 ( ) + . (33)
Последнее соотношение представим так:
=
+A.
Очевидно, что приА< 0 < и при возрастании n (увеличении числа исправлений) процесс сводится к точному значению . Таким образом, достаточное условие сходимости:
А<
0.
Остается выяснить,при каких условиях справедливо последнее неравенство. Достаточно рассмотреть случай, когда , так как в противном случае ( = ) «исправление» не происходит. Учитывая верхнюю строчку неравенства (30), соотношения (33) и (34), найдем:
A = 2 + (36)
или
A = 2 (2 . (37)
Первый член равенства (37) всегда отрицателен по условию (32). Второй член становится отрицательным, если:
0 <
< 2.
Последнее условие составляет достаточное условие сходимости процесса. Обычно выбирается постоянное значение = 2 и при условии (38) получается сходящийся алгоритм.[2]
3 Практическая часть
Воспользуемся программой Excelдля построения графика разделяющей плоскости, результат представлен на рисунке 6.
Рисунок 6
Используя процедуру последовательных приближений, вычислим значения весовых коэффициентов вектора λ для каждого класса.
= 7 (по теореме Пифагора).
В качестве первого приближения для класса принимаем = , т.к. по условию (18) классу .
= = 54.
Далее проверяем условие разделения (13) и применяем формулы (21).
· = 54·48 = 2592> 0, следовательно = = 54;
· = 48·26 = 1248> 0, = = 54;
· = 40·22 = 880> 0, = = 54.
Аналогично рассчитывая до последнего приближения для класса все λ= 54, т.к. по условию (22) скалярный корректирующий множитель = 0, следовательно = .
По условию (19) классу . Проверяем решающее правило (13), применяем формулу (21).
· = 54·22 = 1188> 0, следовательно,требуется корректировка весового вектора.
= + = 54+22 = 76;
· = 76·10 = 760> 0, = + = 76+10 = 86;
· = 86·8,5 = 731> 0, = + = 86+8,5 = 94,5;
· = 94,5·18 = 1701> 0, = + = 94,5+18 = 112,5;
· = 112,5·24= 2700> 0, = + = 112,5+24 = 136,5;
· = 136,5·26= 3549> 0, = + = 136,5+26 = 162,5;
· = 162,5·12= 1950> 0, = + = 162,5+12 = 174,5;
· = 174,5·20= 3490> 0, = + = 174,5+20 = 194,5;
· = 194,5·14= 2723> 0, = + = 194,5+14 = 208,5;
· = 208,5·32= 6672> 0, = + = 208,5+32 = 240,5;
· = 240,5·28= 6734>0, = + = 240,5+28 = 268,5;
· = 268,5·6= 1611> 0, = + = 268,5+6 = 274,5;
· = 274,5·18=4941>0, = + = 274,5+18 = 292,5.
Для определениязначений весовых коэффициентов вектора λ для каждого класса с помощью обобщенного алгоритма нахождения разделяющей гиперплоскости, мы условно используем те же значения, т.к. = = .
Разделяющая
функция при распознавании
f(x)=54·(54+48+26+62+50+55+38+
+(76·22+86·10+94,5·8,5+112,5·
Определим достаточное условие сходимости (35), обеспечивающее приближение к точному решению в процессе последовательных приближений. Для этого воспользуемся формулой (36):
Для :
= 2
A = 2·2· · (76-λ) · 10 + · = 304 · (76-λ) + 23104.
Для :
A = 2·2· · (86-λ) · 8,5 + · = 344 · (86-λ) + 29584.
Приравняем данные выражения и решим полученное уравнение:
304 · (76-λ) + 23104= 344 · (86-λ) + 29584
23104– 304·λ + 23104 = 29584– 344·λ + 29584
46208– 304·λ =59168– 344·λ
λ·(344– 304) = 59168–46208
40·λ =12960
λ =324
Подставим полученное значение в первое уравнение, и получим:
A = 2·2· · (76-324) · 10 + · = -75392 + 23104= -52288< 0.
Заключение
В ходе выполнения работы был изучен обобщенный алгоритм нахождения и процедура построения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния на примере подшипников качения.
В первом практическом задании мы построили график разделяющей плоскости, на котором изображены области диагнозов исправного и неисправного состояния , разделяющая функция и соответствующий ей весовой вектор.Для определения значения разделяющей функции мы нашли все компоненты весового вектора, т.е. весовые коэффициенты, и, воспользовавшись формулой (7) получили результат f(x)= 50045.
Во втором практическом задании мы предположили, что векторы объектов принадлежат объединенной области диагнозов, и на основании этого составили выражения для двух последующих компонентов весового вектора. Приравняв их, определилидостаточное условие сходимости процесса, обеспечивающее приближения к точному решению, при наличии исправлений значений. Расчет показал, что корректировка весового вектора проведена верно, т.к. A= -52288< 0.
Список литературы
1) Трофимов
А.А.: Курс лекций по курсу «Методы
технической диагностики и
2) Голубков
В.А.: «Методы технической
- Линии самообслуживания
- Линии самообслуживания
- Линии связи
- «Линия Доджа» рождает новую Японию
- Линия по выпуску формового хлеба мощностью 5 т/с
- Линия по переработке свиней со шпаркой
- Линия по производству булки минской, русской и горчичной
- Линейный криптоанализ
- Линейный стабилизатор напряжения на базе микросхемы UC1834
- Линии второго порядка
- Линии второго порядка в проективной геометрии
- Линии второго порядка и другие замечательные кривые
- Линии второго порядка на проективной плоскости. Классификация линий второго порядка
- Линии задержки
