Метод Адамса-Штёрмера

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Восточно–Сибирский государственный технологический университет» 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по  дисциплине «Численные методы»

на тему: «Метод Адамса-Штёрмера» 
 

Исполнитель:__________________  

Руководитель:___________________

Нормоконтролер:________________  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Улан-Удэ 2011

 

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ 

УНИВЕРСИТЕТ

___________________________________________________________________________ 

ЭКОЛОГО-ГУМАНИТАРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра «Прикладная математика»

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу 

 

                                    Руководитель работы   _____________________

                                    Исполнитель                 _____________________

                                    Дата выдачи         "_____” ________2010 г. 
Содержание 

Введение…………………………………………………….…………..…..…3

Глава 1.Многошаговые методы Адамса……...……………………….………5

   1.1 Теоретическое обоснование метода Адамса…………………….….…  5

   1.2 Численное решение дифференциального уравнения второго                                             порядка...............................................................................................…………..8

Глава 2. Программная реализация  метода Адамса-Штёрмера для решения  обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка…….…………………………………………………………………10

   2.1 Описание поставленной задачи……………………………………….10

   2.2 Анализ полученных результатов работы программы………….…....11

         Заключение…………………………………………………………………12

Список  использованных источников………………………………………...13

Приложение  А………………………………………………………...……….14

Приложение  Б…………………………………………………………...…….18

Приложение  В…………………………………………………………………19 
 

 

Введение 

    Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. С их помощью исследуются: переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития.

    Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко применяется в практике научно – технических расчётов. Линейные ОДУ могут иметь решение в виде специальных функций. Многие физические системы нелинейны и описываются нелинейными ОДУ, не имеющими аналитического решения. В этом случае приходится использовать численные методы решения ОДУ. А для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

    В данной работе рассмотрен метод Адамса-Штёрмера.

    Курсовая  работа состоит из двух глав. В главе 1 содержатся теоретические  сведения о численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений, во второй главе программная  реализация на языке Паскаль для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса-Штёрмера. 

 

    ГЛАВА 1. МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ АДАМСА

    1.1 Теоретическое обоснование метода Адамса

    Рассмотрим  задачу Коши.

                                                  y' = f(x,y) ,                                      (1.1.1)

                                                          y(a) =y0                                             (1.1.2)

    В одношаговых методах значение y_k+1 зависело только от информации в предыдущей точке x_k . Кажется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках x_k , x_k-1 , … Именно так и поступают в многошаговых методах.

    Большой и важный класс многошаговых методов  возникает на основе следующего подхода. Если подставить в формулу (1.1.1) точное решение y(x) и проинтегрировать это уравнение на отрезке [x_k , x_k+1 ] , то получим

                    (1.1.3)

где в  последнем члене предполагаем, что  p(x) -полином, аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином, предположим, что y_k , y_k-1 , … , y_k-N -приближения к решению в точках x_k , x_k-1 , … , x_k-N . Далее полагаем, что узлы расположены равномерно с шагом h . Тогда f_i є f(x_i , y_i ) (i = k, k-1, …, k-N) есть приближения к f(x,y(x)) в точках x_k , x_k-1 , … , x_k-N , и в качестве p возьмём полином для набора данных (x_i , f_i ) (i = k, k-1, …, k-N) . Таким образом, p -полином степени N , удовлетворяющий условиям p(x_i ) = f_i , (i = k, k-1, …, k-N) . Можно проинтегрировать этот полином явно, что ведёт к следующему методу:

                                                                                  (1.1.4)

    В простейшем случае, когда N=0 , полином p есть константа, равная f_k ,и (1.1.4) превращается в обычный метод Эйлера. Если N=1 , то p есть линейная функция, проходящая через точки (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_k , f_k ) ,т.е.

     p(x)= -(x-x_k ) f_{k -1} /h + (x-x_{k -1} ) f_k /h .

    Интегрируя  этот полином от x_k до x_{k +1} , получаем следующий метод:

                                         y_k+1 =y_k + h(3 f_k - f_k-1 )/2                               (1.1.5)

    который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках x_k и x_{k -1} . Аналогично, если N=2 , то p есть квадратичный полином, интерполирующий данные (x_{k -2} , f_{k -2} ) , (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_k , f_k ) , а соответствующий метод имеет вид

                                      y_k+1 =y_k + h(23 f_k -16 f_k-1 +5f_{k -2} )/12          (1.1.6)

    Если  N=3 , то интерполяционный полином является кубическим, а соответствующий метод определяется формулой:

                                  y_k+1 =y_k + h(55 f_k -59 f_k-1 +37 f_k-2 - 9 f_k-3 )/24           (1.1.7)

    Отметим, что метод (1.1.6) является трёхшаговым, а (1.1.7) -четырёхшаговым.

    Формулы (1.1.5)-(1.1.7) известны как явные методы Адамса (Адамса- Башфорта) , т.к. они для  нахождения y_k+1 не требуют решения никаких промежуточных уравнений. Метод (1.1.5) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом второго порядка. Аналогично, методы (1.1.6) и (1.1.7) называют соответственно методами Адамса- Башфорта третьего и четвёртого порядков.

    Методы  Адамса - Башфорта используют уже сосчитанные  значения в точке x_k и в предыдущих точках. При построении интерполяционного полинома можно использовать и точки x_k+1 , x_k+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек x_k+1 , x_k , … , x_k-N и построении интерполяционного полинома степени N+1 , удовлетворяющего условиям p(x_i )= f_i (I = k+1, k, …, k-N) . При этом возникает класс методов, известных как неявные методы Адамса (Адамса- Моултона) . Если N=0 , то p - линейная функция, проходящая через точки (x_k , f_k ) и (x_k+1 , f_k+1 ) , и соответствующий метод

                                                y_k+1 =y_k + h(f_k+1 + f_k )/2                     (1.1.8)

    является  методом Адамса - Моултона второго  порядка. Если N=2, то p- кубический полином, построенный по точкам (x_k+1 , f_k+1 ) , (x_k , f_k ), (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_{k -2} , f_{k -2} ), и соответствующий метод

                                 y_k+1 =y_k + h(9 f_k+1 +19 f_k -5 f_k-1 - f_k-2 )/24           (1.1.9)

является  методом Адамса - Моултона четвёртого порядка.

    Заметим теперь, что в формулах (1.1.8) и (1.1.9) значение f_k+1 неизвестно. Дело в том, что для вычисления f(x_k+1 , y_k+1 )= f_k+1 нужно знать значение y_k+1 , которое само пока является неизвестным. Следовательно методы Адамса- Моултона определяют y_k+1 только неявно. Так, например, соотношение (1.1.8) действительно является уравнением

                                       y_k+1 =y_k + h[f(x_k+1 , y_k+1 ) + fk ]/2                 (1.1.10)

относительно  неизвестного значения y_k+1 . То же самое справедливо и относительно (1.1.9). В силу этого методы Адамса - Моултона называются неявными. В то же время методы Адамса - Башфорта называют явными, поскольку они для нахождения значения y_k+1 не требуют решения никаких уравнений.

    Метод Адамса-Штёрмера с вычислительными уравнениями:

     

 является  одним из многошаговых методов.  Вторая формула, как правило, является более точной.

 

     1.2 Численное решение  дифференциального уравнения второго порядка

    Дифференциальным  уравнением второго порядка называется уравнение вида                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        F(x,y,у',y")=0                                          (1.2.1)

    или                                y"=f(x,y,y').                                            (1.2.2)

    Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

    Численно ищется частное решение уравнения (1.2.2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

    Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется  в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду: 

                                                                                        (1.2.3).

    Для этого вводится новая неизвестная  функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

    Функция f₂(x,y₁,y) в систему (1.2.3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (1.2.3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

      Метод Адамса-Штёрмера (1.2.6).

    В данном случае отбрасываются разности шестого и более высоких порядков. Вторая формула в этой группе является, как правило, более точной. 

    ГЛАВА 2.  РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ АДАМСА-ШТЁРМЕРА

   2.1 Описание поставленной задачи 

    Для численного решения дифференциальных уравнений была составлена программа на языке Паскаль [приложение А], реализующая метод Адамса-Штёрмера для следующего дифференциального уравнения

                                                                                      (2.1)

 с начальными значениями :

    _{Для данного уравнения определена система формул нахождения решения}

         (2.2)

   Требуется найти численное решение задачи на отрезке [0,4]  

 

    2.2 Анализ полученных результатов работы программы 

    Программа численного решения дифференциального уравнения второго порядка методом Адамса-Штёрмера была реализована на языке программирования  Паскаль. ¹

    С помощью составленной программы, решим уравнение:

           

    Отрезок [0,4] ,  начальное значение :

      

    _{При шаге 0,5 получены результаты, которые оформлены в виде таблицы:} 

_{Таблица 1. Полученные результаты по y}

 
 
 

Заключение

    В курсовой работе рассмотрен метод Адамса-Штёрмера, который относится к многошаговым методам Адамса и была реализована программа на языке Turbo Pascal 7.0 для нахождения численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Адамса-Штёрмера. В ходе проделанной работы было установлено, что метод даёт сравнительно невысокую точность в вычислениях,  но достаточная простота реализации делает метод Адамса-Штёрмера одним из весьма распространенных численных методов решения задачи Коши ОДУ второго порядка. 

 

Список  использованной литературы

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971.- 589с.
2. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. - 475с.
3. Калкин Н.Н. Численные методы. – М.: Мир, 1984. - 494с.
4. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. – М.: Мир, 1977. - 584с.
5. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука,1982. - 269с.
6. Туpчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987. -320с.

 
 
 

 

Приложение А

Листинг программы

program Kursovaya;

uses crt;

var

yo,y,yt,x: array [0..100] of real;

func1,func,o,pogr,e,yss,q,p,r,h:real;

n,a,b,i:integer;

   function fc(x,y:real):real;

   var

   l:real;

   begin

   yss:=cos(x+y)+0.5*(x+y);

   l:=yss;

   fc:=l;

   end;

begin

clrscr;

writeln('vvedite znachenie koncov otrezka');

writeln('a=');

read(a);

writeln('b=');

read(b);

writeln('vvedite y[0]');

writeln('y[0]=');

read(y[0]);

writeln('vvedite kol-vo shagov');

writeln('n=');

read(n);

   begin

  h:=(b-a)/n;

   x[0]:=a; x[n]:=b;

   for i:=1 to n-1 do

   x[i]:=x[0]+i*h;

   end;

      begin

      yo[0]:=y[0]-h*fc(x[0],y[0]);

      yo[1]:=y[0]+h*fc(x[1],y[0]);

      for i:=2 to 5 do

      yo[i]:=y[0]+2*h*fc(x[i],y[0]);

      end;

         begin

         for i:=0 to 5 do

         y[i]:=yo[i];

         end;

         for i:=5 to n-1 do

          begin

          func:=67*fc(x[i],y[i])-8*fc(x[i-1],y[i-1])+122*fc(x[i-2],y[i-2]-8*fc(x[i-3],y[i-3])+67*fc(x[i-4],y[i-4]));

          y[i+1]:=y[i]+y[i-4]-y[i-5]+sqr(h)/48*(func);

          end;

         begin

      yt[0]:=y[0]-h*fc(x[0],y[0]);

      yt[1]:=y[0]+h*fc(x[1],y[0]);

      for i:=2 to 3 do

      yt[i]:=y[0]+2*h*fc(x[i],y[0]);

      end;

        for i:=3 to n-1 do

begin

func:=(fc(x[i-3],y[i-3])+fc(x[i-2],y[i-2])+fc(x[i-1],y[i-1])+fc(x[i],y[i]));

func1:=17*(func)+232*fc(x[i],y[i])+222*fc(x[i-1],y[i-1])+232*fc(x[i-2],y[i-2])+17*fc(x[i-3],y[i-3]);

yt[i+1]:=y[i]+y[i-2]-y[i-3]+sqr(h)/240*(func1);

         end;

             for i:=0 to n do

             begin

             o:=abs(y[i])-abs(yt[i]);

             o:=abs(o);

             writeln('pogreshnost ravna ',o:5:2);

             end;

             for i:=-1 to n-1 do

             begin

          writeln(x[i+1]:5:2,'  y[',i+1,']=',y[i+1]:5:2,'  yt[',i+1,']=',yt[i+1]:5:2);

             end;

end. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение  Б

Результаты  вычислений программы

Уравнение

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение  В

  Описание алгоритма  решения задачи 

program Kursovaya ;

uses crt;    // подключение библиотеки для вывода на экран

var

yo,y,yt,x: array [0..100] of real;

func1,func,o,pogr,e,yss,q,p,r,h:real;                // инициализация переменных

n,a,b,i:integer;    

   

function fc(x,y:real):real;                    //инициализация функции уравнения

   var

   l:real;

   begin

   yss:=cos(x+y)+0.5*(x+y);

   l:=yss;

   fc:=l;

   end;    

begin      // основная программа

clrscr;

 write('vvedite znachenie koncov otrezka'); //ввод начальных значений

writeln('a=');

read(a);

writeln('b=');

 read(b);

  writeln('vvedite y[0]');

writeln('y[0]=');

read(y[0]);

writeln('vvedite kol-vo shagov');                     //ввод количества шагов

          

writeln('n=');

read(n);

   begin

   h:=(b-a)/n;                                                          // вычисление шага 

   x[0]:=a; x[n]:=b;

   for i:=1 to n-1 do                               // для i от 1 до предпоследнего шага

   x[i]:=x[0]+i*h;                                    // вычисление значений аргумента

   end; 

      begin

      yo[0]:=y[0]-h*fc(x[0],y[0]);               // вычисление первых приближений

      yo[1]:=y[0]+h*fc(x[1],y[0]);

      for i:=2 to 5 do

      yo[i]:=y[0]+2*h*fc(x[i],y[0]);

      end;

         begin

         for i:=0 to 5 do                          // для i от 0 до 5 шага

         y[i]:=yo[i];                                // замена переменной

         end;

         begin

          for i:=5 to n-1 do                    // для i от 5 до предпоследнего шага

         func:=67*fc(x[i],y[i])-8*fc(x[i-1],y[i-1])+122*fc(x[i-2],y[i-2]-8*fc(x[i-3],y[i-3])+67*fc(x[i-4],y[i-4]));                 // вычисление значения функции

         y[i+1]:=y[i]+y[i-4]-y[i-5]+sqr(h)/48*(func);  // определение значений у

          for i:=3 to n-1 do                  // для i от 3 до предпоследнего шага

         func:=(fc(x[i-3],y[i-3]+fc(x[i-2],y[i-2])+fc(x[i-1],y[i-1])+fc(x[i],y[i])));