Методология научных исследований

    Содержание

    Введение……………………………………………………………………..3

    I. Теоретическая часть……………………………………………………...4

    1. Основы математического моделирования………………………………4

    2. Основы физического моделирования.  Метод размерностей…………13

    3. Теоретические основы метода  наименьших квадратов……………….24

    4. Теоретические основы корреляционно  – регрессионного анализа…29

    II. Практическая часть……………………………………………………..37

    1. Математическое моделирование……………………………………….37

    2. Физическое моделирование…………………………………………….39

    3. Метод наименьших квадратов………………………………………….42

    4. Корреляционно-регрессионный анализ……………………………….44

    Заключение………………………………………………………………..46

    Список  использованной литературы……………………………………47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

    Моделирование как специфическая форма научного знания всегда присутствовало и будет  оставаться в арсенале  науки. Моделирование есть замена изучения интересующего нас явления в натуре изучением аналогичного явления на модели меньшего или большего масштаба, обычно  в специальных лабораторных условиях. Основной смысл моделирования заключается в том, что по результатам опытов с моделями можно дать необходимые ответы о характере эффектов, связанных с явлениями в натурных условиях.

    Модели  бывают материальные и идеальные.

    Материальная  модель воспроизводит  натурный объект меньшего или большего масштаба и  служит для отражения структуры, характера протекания и сущности изучаемого процесса (явления, объекта).

    Идеальная модель мысленно воссоздается исследователем с помощью логических, математических, физических и других правил.

    В научно-техническом творчестве часто  пользуются терминами математическая модель и физическая модель, понимая  под математическим моделированием исследование процесса (явления, объекта), путем построения и анализа математического  аппарата, а  под физическим моделированием – воспроизведение  процесса (явления, объекта) на модели с сохранением  его физической природы.

    Чаще  всего эти две формы моделирования  используются совместно при исследовании одного и того же процесса или явления. Большое будущее принадлежит  математическому моделированию, так  как исследователь может проводить  эксперимент не только с  реально  существующими объектами, но и с  системами, процессами, явлениями, которые  создает воображение конструктора, экспериментатора.

    Под обработкой результатов наблюдений следует понимать выполненные по определенным правилам, т. е. регламентированные процедуры по получению результата измерений из серии наблюдаемых значений (в случае многократных измерений). В простейшем случае (однократные измерения) результат измерений (испытаний) является собственно наблюдаемым значением. Под наблюдаемым значением следует понимать значение характеристики, полученное в результате единичного наблюдения. Физические величины следует рассматривать как частный случай характеристик, которым присуща количественная индивидуальность (размер). Значение, которого получают выполнением регламентированного метода и принимают за результат измерений.

    Целью данной курсовой работы является закрепление  знаний об основных видах и методах  моделирования, что включают анализ основ математического и физического  моделирования, а также изучение основ и экспериментального применения метода наименьших квадратов и корреляционно – регрессионного анализа. 
 

    I. Теоретическая часть

    1. Основы математического  моделирования

    Математическое  моделирование или аналитическое  моделирование, математические  методы или аналитические методы в исследованиях  это примерно одно и тоже, не считая некоторых процедурно-математических особенностей. Математическое моделирование  в приборостроении, метрологии, экологии и других областях научных исследований используются широко.

    Отношение между моделью и объектом исследования при математическом моделировании  основано на тождестве математических форм различным законам природы.

    Решение практических задач математическими  методами последовательно осуществляется путем математической формулировки задачи, разработки математической модели, выбора метода проведения исследования полученной модели, анализа полученного  математического результата. При  этом используются любые математические формы, наиболее удовлетворяющие описанию исследуемого объекта. Такими формами  могут быть дифференциальные и интегральные уравнения, матрицы, выражения теории вероятности, выражения физических законов и др.

    Математическая  формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов (изображений), функций, систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Описание объекта (явления, процесса, ситуации) может быть представлено с помощью дискретной, непрерывной, детерминированной, стохастической, или другой математической формы.

    Математическая  модель представляет собой систему математических соотношений: формул, функций, уравнений, систем уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса. На этапе выбора математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта, процесса.

    Линейность устанавливается по характеру статической характеристики исследуемого процесса, например y=f(x) или y=f(τ). Если между входным сигналом x (параметр) или τ (время) и выходной характеристикой y (под y понимается изменение выходного сигнала, например во времени) имеется линейная зависимость, как показано на рисунке 1, а,  то математическая модель линейная и представляет собой уравнением прямой

          y=a+bx или y=a±bτ, (1)

    где  a и b — постоянные коэффициенты.

    Нелинейность статической характеристики, например, как показана на рисунке 1, б, свидетельствует о том, что должна быть принята нелинейная математическая модель, описываемая уравнением параболы второй степени или уравнением кубической параболы:

            (2)

    Нелинейность  статической характеристики в более  сложном виде, как показано на рисунке1, в, может быть описана полиномом

             (3)

    или более сложными выражениями.

    Рисунок 1 — Характер зависимости статической характеристики: а — линейной,

    б — нелинейной, в — сложной (полиномной)

    Статичность и динамичность объекта устанавливается по поведению его характерных показателей. Применительно к детерминированной системе, если среднее арифметическое значение выходного сигнала на разных интервалах времени не выходит за установленные пределы, определенные точностью измерения, то это свидетельствует о статичности объекта, а если выходит за установленные пределы — о его динамичности.

    Применительно к вероятностным системам, если изменчивость уровня их относительной организации  не превышает допустимые пределы, то система определяется как статическая, если превышает — как динамическая.

    Стационарность  и не стационарность определяются аналогично по среднеквадратичному отклонению минимального значения среднего арифметического   и , где – погрешность измерения (точность методики измерения).

    Граничные значения определяются по известным формулам:

           ; , (4)

    где  D₁, D₂ — дисперсии, определяемые по формуле

           .  (5)

    Если  все значения укладываются в интервал , то объект считается стационарным, а если нет — нестационарным.

    Определение общих, вышеотмеченных характеристик  исследуемого объекта позволяет  выбрать математический аппарат, на базе которого строится математическая модель. Выбор математического аппарата не является однозначным.

    Решение задачи по разработке математической модели в общем виде можно сформулировать как последовательность интерактивных  процедур: идентификации, оценивания и  диагностической проверки.

    Идентификация — использование теоретических  и экспериментальных данных, а  также любой другой априорной  информации об объекте исследования для выбора класса необходимых математических зависимостей.

    Оценивание  представляет собой эффективное  использование имеющихся данных для получения выводов о параметрах, определяющих адекватность исходной модели, т.е. ее соответствие имеющимся экспериментальным  данным.

    Диагностическая проверка включает в себя согласование модели с исходными данными, выявление  недостатков и усовершенствование модели. Эффективность диагностической проверки определяется обоснованным выбором методов, наиболее чувствительных к возможным отклонениям параметров модели.

    Общий подход к созданию математической модели может быть представлен последовательностью  этапов, показанных на рисунке 2.

    Рисунок 2 — Схема этапов построения математической модели

    Очень часто для построения математических моделей используются дифференциальные уравнения, решение которых выполняется  с помощью ЭВМ.

    Порядок построения модели с использованием ЭВМ упрощается и сводится к следующим  этапам:

1. Определение структуры модели (т. е. вида дифференциаьного уравнения или системы таких уравнений) и выделение известных параметров.
2. Выбор некоторой функции (критерия качества) для оценки степени совпадения реакций модели и реальной системы на одно и то же возмущение .
3. Поиск алгоритма или стратегии для определения параметров, минимизирующих различие реакций модели и реальной системы согласно принятому критерию качества.

    Если  система описывается линейным дифференциальным уравнением или алгебраическим уравнением и имеет один вход и один выход, то задача построения математической модели может быть сведена к идентификации  передаточной функции.

    Выбор математического аппарата при исследовании объектов определяется свойствами и состоянием объектов, которые весьма разнообразны. Тогда возникает необходимость в оценке принятия того математического аппарата, который наиболее адекватно отражает реальные свойства объекта. Эта оценка может выполняться сравнением теоретических (расчетных) и экспериментальных данных. И все же можно дать общие рекомендации по выбору математического аппарата для построения моделей исследования объектов, явлений, процессов.

    Для детерминированных объектов может  использоваться аппарат линейной и  нелинейной алгебры, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории автоматического  регулирования.

    Для вероятностных объектов математическим аппаратом является теория детерминированных  и случайных автоматов, теория случайных процессов, теория марковских процессов, методы теории информации, методы теории управления и оптимизации.

    Для квазидетерминированных (вероятностно-детерминированных) объектов может использоваться теория дифференциальных уравнений с коэффициентами, подчиняющимися определенным законам.

    Для дискретных и непрерывных объектов анализ массива информации позволяет  установить непрерывность или дискретность исследуемого показателя процесса и  объекта в целом. В случае дискретных объектов (процессов) используются математические модели теории автоматов, а в случае непрерывных — дифференциальные уравнения.

    Результаты  поискового эксперимента и массив априорной  информации позволяют установить схему  взаимодействия объекта с внешней  средой по соотношению входных и  выходных величин.

    В принципе возможно установление четырех  основных схем вз аимодействия (рисунок 3).

    Рисунок 3 — Схемы взаимодействия объекта с внешней средой:

    а — одномерно-одномерная; б — одномерно-многомерная; в — многомерно-одномерная; г — многомерно-многомерная

    Одномерно-одномерная схема взаимодействия соответствует  случаю, когда на объект воздействует только один входной фактор Х и  поведение объекта рассматриваются  по одному  выходному показателю (сигналу) Y.

    Одномерно-многомерная  схема — это, когда на объект воздействует один фактор Х, а его поведение  оценивается по нескольким показателям  Y₁, Y₂…Y_n.

    Многомерно-одномерная схема характерна воздействием на объект нескольких факторов Х₁, Х₂…Х_n  и оценкой его поведения по одному показателю Y.

    Многомерно-многомерная  схема характерна воздействием на объект нескольких факторов Х₁, Х₂…Х_n  и оценкой его поведения по нескольким показателям Y₁, Y₂…Y_n.

    В случае статического стационарного  детерминированного объекта, то связь  входного фактора Х с выходным сигналом (показателем) Y описывается постоянным коэффициентом k, Y=kХ.

    Если  же объект является нестандартным, то указанная на схеме (рисунок 3, а) связь описывается нелинейной функцией Y=f(X), в качестве которой обычно используется полиномом:

            (6) 

    В случае схемы (рисунок 3, в), статический стационарный детерминированный объект описывается моделью:

    при равнозначности внешних воздействий  Х₁, Х₂…Х_n, а при неравнозначности внешних воздействий — моделью

    где a_i — постоянный коэффициент;

    m — число воздействующих факторов. Для статического нестационарного объекта, при той же схеме (рисунок 3, в), часто используется модель в виде степенного полинома

             (7)

    где m₁, m₂, m₃…— число парных и тройных сочетаний факторов (m₂= ; m₃= ).

    При одномерно-многомерной схеме (рисунок 3, б), статистически стационарный и нестационарный объекты описываются аналогично одномерной схеме. При этом определяется отдельно математические модели входного фактора Х с каждым выходным сигналом Y_i.

    Многомерно-многомерное  взаимодействие по схеме (рисунок 3, г), сводится к многомерно-одномерному и математическая модель объекта принимается аналогично изложенной выше, т. е. с каждым входным Х_i и выходным Y.

    Для нестационарного одномерно-одномерного  и одномерно-многомерного взаимодействия модели могут представлять собой  решение дифференциальных уравнений. При этом необходимо рассматривать  производные математического ожидания по переменному фактору X. Например, экспоненциальная зависимость может являться решением следующего дифференциального уравнения

            (8)

    где — максимальное значение математического ожидания.

    Выбор вида модели динамического объекта  сводится к составлению дифференциальных уравнений, но может быть выбрана  модель и в классе алгебраических функций. Однако такой подход является ограниченным, так как возникает  перестройка структур алгебраических функций и коэффициентов. Поэтому  предпочтение отдается математическим моделям в виде дифференциальных уравнений.

      При одномерно-одномерном и одномерно-многомерном взаимодействии детерминированного объекта c внешней средой, структура дифференциального уравнения определяется по виду выходной характеристики объекта Y, например, ступенчатого характера.

    Наиболее  простой выходной характеристикой  объекта является линейная (рисунок  4, а).

    Рисунок 4 — Характер выходных характеристик объекта: 

    а — линейно-ступенчатый при  ; б — линейно-ступенчатый при ;

    в — нелинейно-ступенчатый при  ;  г — ступенчато-гармонический при

    Линейное  изменение величины Y описывается решением дифференциального уравнения

             (9)

    где  — коэффициент размерности и пропорциональности;

      — начальное значение выходного сигнала;

      — время.

    Если  (рисунок 4, б), то форма выходной характеристики объекта аналогично рисунку 4, а и дифференциальное уравнение остается неизменным.

    Более сложный вид реакции объекта  на ступенчатое  входное воздействие (рисунок 4, в) может быть описан полным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

            (10)

    где — коэффициент дифференциального уравнения.

    Реакция объекта, соответствующая рисунку  4, г, может быть описана полным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка

            (11)

    Геометрические  или физические  задачи обычно приводят к одному из ниже рассматриваемых  трех видов уравнений:

• дифференциальные уравнения в дифференциалах;
• дифференциальные уравнения в производных;
• простейшие интегральные уравнения с преобразованием их в дифференциальные уравнения.

    Дифференциальные  уравнения в производных

    Для составления дифференциальных уравнений  используется видоизмененный метод  дифференциалов, который называется «метод производных». Сущность метода производных заключается в том, что из условия задачи составляются приближенные соотношения между  скоростями изменения функции Y и аргумента X. Вообще мера скорости применена к разнообразным исследуемым процессам и физическим величинам, что позволяет составлять математические модели в форме дифференциальных уравнений в производных.

    Например, сила электрического тока определяется как предел , где — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время . Или скорость химической реакции определяется как предел , где — изменение количества вещества за время .

    Простейшие  интегральные уравнения

    Интегральное  исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением. Центральными понятиями  интегрального исчисления являются понятия определенного интеграла и неопределенного интеграла функций одной действительной переменной.

    Определенный  интеграл используется для решения  задач об измерении площадей, ограниченных кривыми, длин дуг кривых, площадей поверхностей тел, объемов тел, а  также задач определения координат  центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой и многие другие задачи естествознания и техники.

    Геометрически определенный интеграл представляет собой  сумму площадей S_n, прямоугольников, встроенных в площадь S, ограниченную криволинейной границей. Сумма площадей прямоугольников S_n рассматривается в качестве приближения к полной площади S

        ,                                 (12)

    где — символ суммы (греческая буква «сигма»);

      — некоторая точка отрезка абсциссы.

    Выражение (12) для общей площади тем точнее, чем меньше длина участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S  надо найти  предел  сумм S_n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин стремиться к нулю.

    Отвлекаясь  от геометрического содержания рассматриваемой  задачи, приходим к понятию  определенного  интеграла от функции  , непрерывной на отрезке , в виде предела суммы S_n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается .

    Символ  (удлиненное S — первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, — подынтегральной функцией, числа a и b называются нижним и верхним пределами определенного интеграла.

    Свойства  определенного интеграла:

    — если a=b, то, по определению, полагают

            (13)

    — если пределы перемещаются

            (14)

    — интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

            (15)

    — интеграл с постоянной величиной  k

            (16)

    — численное значение интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования

    Интегралы геометрических фигур имеют вид:

    — длина дуги плоской кривой заданной уравнением

            (18)

    — объем тела, образованного вращением  этой дуги вокруг оси OХ

            (19)

    — площадь поверхности этого тела

           . (20)

    Фактически  вычисление определенных интегралов осуществляется различными способами: в виде предела  интегральной суммы, приближенное вычисление по квадратурным формулам, с помощью  ЭВМ, графические методы и др.

    Неопределенный  интеграл не имеет пределов, т. е. они  неизвестны. Нахождение этого рода интегралов, или интегрирование, есть операция обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции  находят ее производную. При интегрировании, наоборот, находят первообразную (или  примитивную) функцию – такую  функция, производная которой равна  подинтегральной функции. Таким  образом, функция F(x) является первообразной для данной функции если или, что тоже самое, . Данная функция может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми с. Поэтому все первообразные для содержатся в выражении , которое называют определенным интегралом от функции и записывают в виде

           . (21)

    Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами:

             . (22)

    Для упрощения использования неопределенных интегралов имеется таблица основных (табличных) интегралов и правил интегрирования.  
 

    2. Основы физического  моделирования. Метод  размерностей

    Основой физического моделирования являются метод теории размерностей, методы моделирования и подобия. Особенно успешно эти методы применяются  в сочетании с дополнительными  соображениями математического  и физического характера.

    Метод размерностей в физике, метрологии, приборостроении, экологии широко применяется  и является основой этих наук.

    Моделирование можно определить как метод практического  и теоретического опосредованного  оперирования объектом. При  этом исследуется  не сам объект, а модель его замещающая, и по результатам исследования модели дается информация об объекте.

    Метод (анализ) размерностей устанавливает  связь между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, и основан на рассмотрении размерностей этих величин. В основе метода размерностей лежит требование, согласно которому уравнение, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при  любом изменении единиц, входящих в него величин. Это требование совпадает  с требованием равенства размерностей в левой и правой частях уравнения.