Содержание:

 

Введение

      В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных  аппаратов математической теории оптимального принятия решений, в том числе и в финансовой математике. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов. В развитие и совершенствование этих систем вложен труд и талант многих математиков, аккумулирован опыт решения тысяч задач. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики.

      Линейное  программирование представляет собой  наиболее часто используемый метод  оптимизации. К числу задач линейного  программирования можно отнести задачи:

• рационального использования сырья и материалов; задачи оптимального раскроя;
• оптимизации производственной программы предприятий;
• оптимального размещения и концентрации производства;
• составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
• управления производственными запасами;
• и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

      Для большого количества практически интересных задач целевая функция выражается линейно – через характеристики плана, причем допустимые значения параметров подчинены линейным равенствам или неравенствам. Нахождение при данных условиях абсолютного экстремума целевой функции носит название линейного программирования.

      Первым  исследованием по линейному программированию является работа Л. В. Кантфовича “Математические методы организации и планирования производства”, опубликованная в 1939 г. В нем дана постановка задач линейного программирования, разработан метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования и дано его теоретическое обоснование.

      Прямая  задача линейного программирования является математической формулировкой  проблемы составления такого плана  использования различных способов производства, который позволяет  получить максимальное количество однородного  продукта при имеющихся в наличии ресурсах.

      Математическое  программирование – это прикладная отрасль математики, которая является теоретической основой решения задач оптимального планирования.

      Существуют  следующие разделы математического  программирования: линейное, параметрическое, нелинейное и динамическое программирование. Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min)заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств.

      Цель  данной курсовой работы – изучить  методы математического программирования, общую задачу линейного программирования.

      Задачами  курсовой работы:

      1. Изучить понятие методов математического программирования.

      2. Составить общую задачу линейного программирования.

      3.Рассмотреть на примерах  решения задач линейного программирования.

 

1. Методы линейного программирования

 

    Различают детерминированные и одноцелевые задачи, исследованием которых занимается математическое программирование. Слово программирование в данном случае означает "планирование".

    К математическому программированию относится:

    Линейное  программирование: состоит в нахождении экстремального значения линейной функции  многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные;

    Нелинейное  программирование: целевая функция  и ограничения могут быть нелинейными  функциями;

    Особым  случаем в задачах линейного  и нелинейного программирования является случай, когда на оптимальные  решения накладывается условие целочисленности. Такие задачи относятся к целочисленному программированию;

    Динамическое  программирование: для отыскания  оптимального решения планируемая  операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом;

    Теория  графов: с помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные  с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д [7].

    Стохастическое  линейное программирование

    Бывает  много практических ситуаций, когда  коэффициенты ci целевой функции, коэффициенты aij в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений bi - являются случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического программирования [4].

    Геометрическое  программирование

    Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной  или трехмерной области. Такие задачи встречаются в задачах раскроя материала для производства каких-то изделий и т.п. Это - еще недостаточно разработанная область математического программирования и имеющиеся здесь алгоритмы в основном ориентированы на сокращение перебора вариантов с поиском локальных минимумов.

    Задачами  теории массового обслуживания является анализ и исследование явлений, возникающих  в системах обслуживания. Одна из основных задач теории заключается в определении  таких характеристик системы, которые  обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.

    Теория  игр пытается математически объяснить  явления возникающие в конфликтных  ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой [8].

    Главное в математическом программировании заключается в том, чтобы определить максимальное и минимальное значения целевой функции. 

      При этом, необходимо, чтобы значения  переменных принадлежали некоторой области допустимых значений. В общем виде эту задачу можно представить так:   

    

 ,                                 (1.1)  

    здесь - сумма управляющих воздействий; - область допустимых значений переменных; - целевая функция.

    Различия  между перечисленными дисциплинами заключаются в виде целевой функции  области. Скажем, в случае, если и не является линейной — это уже задача нелинейного программирования.

    Специфика определения наиболее приемлемого  решения стала исследоваться  еще в древности, ее истоки проистекают  от задач поиска экстремума в математическом анализе и вариационном исчислении [9]. 

1.1. История проблемы поиска экстремума

 

 

    Общепринятыми являются такие утверждения:

    отрезок прямой линии отражает самое короткое расстояние между его конечными  точками;

    дуга  большого круга — это самая короткая кривая, посредством которой возможно соединение двух точек на сфере;

    самая большая площадь из всех замкнутых  плоских кривых эквивалентной длины  охватывается окружностью, а наибольший объем — сферой.

    Феномены  максимизации и минимизации такого вида использовались еще древними греческими математиками. Но, стоит отметить, что те или иные формулировки не предполагали никакого доказательства [8]. В данном контексте, можно отметить ученого I в. н.э. Герона Александрийского. Еще в древности определили, что световой луч, исходящей точкой которого является тока Р и который совпадает с плоским зеркалом L, является отражаемым в направлении точки Q так, что PR и QR создают одинаковые углы с зеркалом (рис. 1.1, а). Герон выдвинул предположение — если - любая точка от зеркала, которая не является эквивалентной R, то сумма отрезков является больше по сравнению . Такое утверждение определяет истинный путь луча PRQ между P и Q, который представляется в виде кратчайшего пути от P к Q с накладкой на зеркало L. Это предположение и послужило основанием теории геометрической оптики.   

      
 

      
 

      
   

      
 

    

 
Рис. 1.1. Теорема Герона (а); проблема Штейнера (б); кратчайшая система путей, соединяющих данные точки (в); кратчайшие системы путей, соединяющих вершины квадрата (г, д)  

    В жизни каждого человека имеют  место проблемы, связанные с вычислением  предельных категорий — наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего и т.п. Задачи, сформулированные в такой форме, как правило, имеют практическое значение. В качестве примера можно привести следующую задачу — какая часть судна должна оказаться в воде, чтобы в процессе плавания сопротивление было наименьшим? Или, какое соотношение размеров следует соблюдать в резервуаре цилиндрической формы для достижения максимального объема при определенном расходе материала?

    Теория  экстремальных значений берет свое начало в XVII в и оказала влияние на многочисленные математические направления, выдвинув широкий спектр принципов науки. Так, первоначальное исследование Ферма в области дифференциального исчисления стало осуществляться стремительнее благодаря возникшей в дальнейшем цели определить методы для изучения вопросов о максимальных и минимальных значениях. С течением времени эти методы были расширены за счет появления вариационного исчисления. Более четко становилось понимание того, что физические законы могут быть определены в формулировках принципа минимальности, который реализует подход к наименее комплексному решению частных проблем.

1.2. Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Примеры ЗЛП

   Линейное  программирование – направление  математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

   Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий [8].

   К математическим задачам линейного  программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

   Круг  задач, решаемых при помощи методов  линейного программирования достаточно широк. Это, например:

   ·  задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

   ·  задача о смесях (планирование состава продукции);

   ·  задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

   ·  транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

   Линейное  программирование – наиболее разработанный  и широко применяемый раздел математического  программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

   ·  математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

   ·  данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

   ·  многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

   ·  некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

   Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

   В общем виде модель записывается следующим образом:

   ·  целевая функция:

   ·  ограничения:

   ·  требование неотрицательности:

   При этом a_ij, b_i, c_j (   ) - заданные постоянные величины.

   Задача  состоит в нахождении оптимального значения функции (1.2) при соблюдении ограничений (1.3) и (1.4).

   Систему ограничений (1.3) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.4) - прямыми.

   Вектор  , удовлетворяющий ограничениям (1.3) и (1.4), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (1.2) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным [10].

1.3. Алгоритм симплекс-метода

 

    Симплекс  метод – является универсальным методам, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

    Сформулировать  алгоритм симплекс-метода для решения  задач линейного программирования, заданных в канонической форме. Обычно он реализуется в виде симплекс-таблицы.

    В первом столбце этой таблицы располагаются обозначения векторов, входящих в базис.

    Второй  столбец - коэффициенты целевой функции, соответствующие векторам, входящим в базис.

    Третий  столбец - компоненты опорного плана. В дополнительной строке в этом столбце пишется величина . Её легко вычислить перемножая числа из второго столбца и третьего столбца и складывая их.

    Далее идут столбцы, соответствующие всем векторам , и в этих столбцах записываются координаты этих векторов в рассматриваемом базисе. Заметим, что для векторов, входящих в базис, эти координаты имеют вид (0,0, ... ,0,1,0, ..., 0), где единица стоит в той строке, где находится сам этот базисный вектор. В дополнительной строке сверху обычно выписывают коэффициенты , соответствующие этим векторам. В дополнительной строке снизу пишутся величины , вычисляемые по формулам:

     .

    Заметим, что для векторов, входящих в базис, эти разности всегда равны нулю.

    Далее идут следующие этапы, связанные  с преобразованием этой таблицы. При ручном счете каждый раз эту  таблицу лучше переписывать заново, при счете на ЭВМ (который, естественно, всегда используется при решении практических, а не учебных задач), эта таблица просто преобразуется в памяти ЭВМ.

Этап 1

Просматривается дополнительная строка снизу, где записаны разности .

Этап 2

Если  есть столбцы, где  , то выбирается столбец с максимальным значением этой разности. Индекс j определит вектор, вводимый в базис.

Пусть , то есть в базис надо вводить вектор . Назовем столбец, соответствующий этому вектору, направляющим столбцом. В дальнейшем мы будем направляющий столбец помечать символом .

Этап 3

Просматривается столбец, соответствующий этому вектору. Если все , то значения целевой функции неограничены снизу. Если есть , то находятся

 

Пусть этот минимум достигается для вектора

. Тогда именно вектор подлежит выводу из базиса. Строка, соответствующая этому вектору, называется направляющей строкой. В дальнейшем в примерах мы будем

 

 

Этап 4

После того, как определены направляющие столбец и строка, начинает заполняться  новая симплекс-таблица, в которой  на месте направляющей

Обычно  заполнение этой новой таблицы начинается именно с направляющей строки. В  качестве компоненты опорного плана  туда

.

Остальные элементы этой строки заполняются величинами

.

Обратите  внимание на особую роль элемента , стоящего на пересечении направляющей строки и направляющего столбца. Именно на него делятся все бывшие элементы направляющей строки. На месте бывшего элемента автоматически появляется единица.

Написанные  выше формулы для пересчета элементов  направляющей строки можно записать следующим правилом:

.

Этап 5

Далее начинается пересчет всех остальных  строк таблицы, включая и дополнительную нижнюю строку по формулам: для компонент  плана

;

для координат  разложения по базису

;

для дополнительной строки

.

Обратите  внимание на то, что все эти формулы по сути дела строятся по одному правилу

.

    Это правило применимо и к компонентам плана, и к величинам , и к разностям . Его даже можно использовать для пересчета элементов самого направляющего столбца, хотя проще заполнить его нулями, оставив

      

 

 

 Далее итерации продолжаются.[3]

1.4. Метод полного исключения Жордана

 

    Имеется система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными, решение которой надо найти:

   Производят  такие преобразования, в результате которых в каждой строке и в каждом столбце матрицы системы линейных алгебраических уравнений остаются по одному неизвестному с коэффициентами, равными единице, т. е. фактически получают решение системы. Например, необходимо исключить переменную x_s из всех строк за исключением i-й. Коэффициент a_is, стоящий перед переменной x_s, называют генеральным элементом, i-ю строку и 5-й столбец—разрешающими. Прежде всего разрешающую строку делят на a_is и она остается без изменения. Чтобы исключить переменную x_s из первого уравнения, умножают разрешающую строку на — a_is и складывают с первой строкой. В результате получают первую строку с нулевым элементом на месте a_is. Аналогично исключают x_s в остальных строках. Получают эквивалентную запись системы алгебраических уравнений. В ней i-я строка имеет прежний вид, но все коэффициенты у нее поделены на a_is; 5-й столбец состоит из нулевых элементов (кроме единичного, стоящего в /-й строке). Остальные элементы матрицы системы и столбец свободных переменных пересчитывают по правилу прямоугольника. Например, новое значение элемента, а новое значение элемента столбца свободных членов 

     
 

      

    Из  правила прямоугольника следует, что  когда в разрешающей строке (столбце) есть нулевые элементы, то элементы столбцов (строк), пересекающих эти нулевые элементы, остаются без изменения.[1] 

 

2. Задачи линейного программирования

   Далее приведем примеры некоторых типовых  задач, решаемых при помощи методов  линейного программирования. Такие  задачи имеют реальное экономическое  содержание. Сейчас лишь сформулируем их в терминах ЗЛП, а методы решения  подобных задач рассмотрим ниже.

   1. Задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании.

   Общий смысл задач этого класса сводится к следующему.

   Предприятие выпускает n различных изделий. Для  их производства требуется m различных  видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени и т.п.). Ресурсы ограничены, их запасы в планируемый период составляют, соответственно, b₁, b₂,..., b_m условных единиц.

   Известны  также технологические коэффициенты a_ij, которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го вида (   ).

   Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна c_j.

   В планируемом периоде значения величин a_ij, b_i и c_j остаются постоянными.

   Требуется составить такой план выпуска  продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей.

   Далее приведем простой пример задачи такого класса.

   Компания  специализируется на выпуске хоккейных  клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 n-часов в день, участка В - 72 n-часа и участка С - 10 n-часов.

   Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы  получать максимальную прибыль?

   Условия задач указанного класса часто представляют в табличной форме (см. таблицу 2.1).

   Таблица 2.1 - Исходные данные задачи об использовании производственных ресурсов