Модели выбора

     Введение

         Очень часто при решении практических задач возникает ситуация, когда одно лицо, принимающее решение (ЛПР), не в силах принять верное решение и обязан обратиться за помощью к другим ЛПР, имеющих одинаковые намерения и полномочия. Такой процесс носит название коллективный, групповой или коллегиальный выбор.

     Сформулируем  задачу коллективного выбора следующим  образом. Пусть имеется множество альтернатив, которое может быть задано дискретным или континуальным образом. Предположим, что это множество состоит из m объектов (проектов, планов, кандидатов и т.д.), обозначим его через A = {a1,a2 ,…,am} и в дальнейшем будем называть множеством альтернатив. Пусть также имеется группа из n ЛПР { } I = i1,i2 ,…,in , которыми на данном множестве альтернатив задано n различных индивидуальных предпочтений P1,P2 ,…,Pn . Ставится задача о выработке некоторого нового отношения Р, которое будет выражать в некотором смысле „общее мнение” и позволит выбрать (выделить) из множества альтернатив А одну или несколько равнозначных альтернатив.

     Перед тем, как выработать коллективное решение, каждый участник из группы ЛПР должен ознакомится со свойствами альтернатив и дать им соответствующую оценку, при этом несущественно, руководствуется ли он субъективными соображениями или учитывает объективные характеристики альтернатив, ведет себя как эгоист или как альтруист.

     На  основании этих оценок строятся предпочтения и с помощью определенного  правила, которое называется функцией коллективного выбора, процедурой голосования, методом объединения, арбитражной схемой производится выбор единственной (или нескольких равнозначных) альтернативы. 
 

Глава 1. Формулировка проблемы коллективного выбора. 

     Пусть имеется некоторая состоящая  из n индивидуумов группа G = {I1, I2, ... In}. Проблема коллективного или группового выбора возникает тогда, когда группа сталкивается с некоторым множеством объектов (проектов, планов, кандидатов и т. п.) и необходимостью выбрать, выделить из этого множества один (или несколько) объектов. В дальнейшем эти объекты, образующие множество A = {a1, a2, ... am}, будут называться альтернативами. Далее мы ограничимся задачей о выборе единственного элемента из множества А и будем считать, что проблема (задача) выбора, или принятия решения, решена, если указан какой-то единственный элемент из А.

     Перед тем как группа перейдет к принятию решения, ее участники должны ознакомиться со свойствами альтернатив и дать им собственную оценку. Далее будем  исходить из того, что у каждого  участника группы формируется свое отношение к альтернативам, когда  одни альтернативы кажутся более  привлекательными, чем другие. При  этом несущественно, руководствуется  ли участник группы субъективными соображениями  или учитывает объективные характеристики альтернатив, ведет ли себя как эгоист или как альтруист.

     Предпочтения, выработанные участниками, моделируются бинарными отношениями специального вида – линейными порядками. Для каждого индивидуума Ii и любых альтернатив aj и ak имеет место одно и только одно из следующих отношений:

     ·  Ii предпочитает aj, а не ak, это записывается как ajPiak;

     ·  Ii предпочитает ak, а не aj, это записывается как akPiaj;

     ·  для Ii альтернативы aj и ak равнозначны, это записывается как ajEak.

     На  основании оценок альтернатив (предпочтений) группа с помощью определенного  правила производит выбор единственной альтернативы. Это правило, с помощью которого принимается решение, называется также функцией коллективного выбора, конституцией, процедурой голосования, методом объединения, арбитражной схемой.

     Рассмотрим  простейший пример, иллюстрирующий приведенные  выше подходы. Три товарища, Иванов, Петров и Сидоров, пришли в ресторан пообедать, и им предстоит выбрать  первое блюдо, одинаковое для всех из-за специфики обслуживания в отечественных  заведениях общепита. Таким образом, n = 3 и группа G состоит из трех элементов, и множество А также состоит из трех элементов: это борщ, бульон и солянка. Предпочтения друзей распределились следующим образом:

     · Иванов предпочитает борщ бульону, бульон солянке, борщ солянке;

     · Петров предпочитает бульон борщу, борщ солянке, бульон солянке;

     · Сидоров предпочитает борщ солянке, солянку бульону, борщ бульону.

     Выбор общего первого блюда, совпадающий  в данном случае с коллективным решением, будет зависеть не только от предпочтений индивидуумов, но и от правила, с  помощью которого принимается решение.  

     Глава 2. Правило большинства  голосов. 

     Правило голосования представляет собой  систематическое решение, во всей полноте  опирающееся на индивидуальные мнения. Обозначим через L(A) множество линейных порядков на A, тогда правило голосования есть отображение в A. То, что правило голосования может быть определено для любой мыслимой конфигурации предпочтений, выражает фундаментальный принцип свободного мнений: каждый выборщик имеет право ранжировать кандидатов любым образом, как только ему нравится.

     Правило голосования выбирает кандидата  на основе сообщенных порядковых предпочтений и только на основе этих предпочтений. Голосование не допускает компромисса между двумя кандидатами иначе, чем за счет возможности избрания третьего кандидата.

     Принцип большинства – исходный пункт  процесса демократического принятия решений. Выборы большинством голосов – единственный метод, который является анонимным (равноправие выборщиков), нейтральным (равноправие кандидатов) и монотонным (усиление поддержки кандидата не может подвергать сомнению его избрание).  Рассмотрим голосование с тремя и более кандидатами. Правило относительного большинства заключается в следующем: каждый выборщик вписывает имя только одного кандидата в своем избирательном бюлютени. Выигрывает кандидат набравший большинство голосов.

Предпочтения  избирателей (выбор  большинством голосов) 

     При варианте выбора Р1 отсутствует его  транзитивность, т. е. последовательность и непротиворечивость (если бы оно было транзитивным, то х должно быть предпочтительнее z).

     В случае с вариантом предпочтений Р2 голосование по принципу большинства  является транзитивным. Разница между  этими двумя вариантами состоит  в том, что в первом случае предпочтения являются многовершинными, во втором –  одновершинными. (Термины «многовершинные  предпочтения» и «одновершинные предпочтения» возникли в связи  с особенностями графического изображения  предпочтений.)

     Различия  между вариантами предпочтений Р1 и  Р2 графически изображены на рис. 6.1. На нем представлены предпочтения трех избирателей (x, y, z) путем ранжирования этих предпочтений (1 – наиболее предпочтительный выбор, 3 – наименее предпочтительный).

Рис. 1.1. Многовершинные (а) и одновершинные (б) предпочтения 

     Одновершинные предпочтения (с одной точкой максимума) имеют место тогда, когда все  их варианты расположены на линии  таким образом, что ни один из голосующих не предпочитает х и z варианту у, если у находится между х и z.

     Многовершинные  предпочтения (с точками максимума  более одной) имеют место тогда, когда при любом расположении их вариантов на линии хотя бы один голосующий не имеет одновершинных  предпочтений.

     В первом варианте предпочтений на рис. 1.1 избиратели А и В имеют одновершинные предпочтения, в то время как голосующий С отличается многовершинными предпочтениями (график его предпочтений имеет F-образную форму), неравномерно распределенными по шкале предпочтений. Как правило, это предпочтения по принципу «или все, или ничего». Это и ведет к возникновению парадокса Кондорсе, т. е. к парадоксу циклического голосования.

     Во  втором варианте все голосующие имеют  одновершинные предпочтения, равномерно распределенные по шкале предпочтений. Если можно было бы избавиться от многовершинных предпочтений, то обнаружилось бы, что голосование по принципу большинства уже не подвержено парадоксу Кондорсе.

     Таким образом, в ситуации, когда предпочтения избирателей являются одновершинными (с одной точкой максимума), равномерно распределенными по шкале предпочтений, голосование по принципу большинства  является транзитивным, т. е. последовательным и непротиворечивым.

     Рассмотрим  пример, в котором имеются три  варианта государственного бюджета:

     • вариант х – это большой государственный бюджет;

     • вариант у – бюджет средних размеров;

     • вариант z – небольшой бюджет.

     Для тех избирателей, которые выбирают вариант х, естественно предположить, что вторым по значимости выбором  будет вариант у, а наименее значимым будет вариант z.

     Точно так же для тех, кто выбирает вариант z, следующими по значимости вариантами будут у, а затем х.

     В случае нетранзитивного голосования  избирателя С его варианты расположены  в следующей последовательности: z – небольшой бюджет; х – большой  бюджет; у – бюджет средних размеров. Такие предпочтения можно назвать  по принципу «все или ничего».

     Вероятность таких предпочтений у голосующих незначительна, поэтому можно исключить  возможность многовершинных предпочтений в нашем примере. Это выглядит логично в данном примере, где  сравниваются разные уровни затрат.

     Другая  ситуация возникает, если сравниваются не разные уровни, а разные виды государственных  расходов. В этом случае нельзя не принимать  во внимание голосующих с многовершинными  предпочтениями, их нельзя исключить, как в предыдущем примере.

     Приведем  пример голосования по поводу использования  восстановленных земель в пойме  р. Клязьмы. Предлагаемые для голосования  варианты включали следующее:

     х – создание городского парка;

     у – строительство муниципального жилья;

     z – распродажа земель для частного  строительства.

     Участвовавшие в голосовании представители  различных партий имели следующие  предпочтения:

     либеральные демократы – х, у, z;

     коммунисты  – у, z, х;

     союз  правых сил – z, х, у.

     В данном случае предпочтения союза правых сил являются многовершинными, но их нельзя сбросить со счетов как не имеющие  значения. Они реальны. И в данном случае речь идет не о разных уровнях  государственных расходов, а об их разных видах вперемешку с вариантом, где имеются в виду, по существу, доходы.

     Последний пример дает возможность обратить внимание на один из упомянутых выше аспектов парадокса  Кондорсе. При наличии нескольких вариантов для голосования (больше двух вариантов) и многовершинных предпочтений у кого-то из голосующих результат  голосования будет зависеть от процедуры  голосования. В частности, если в  рассматриваемом примере сначала  голосуются варианты городского парка  и муниципального жилья, а затем  варианты муниципального и частного жилья, то выбор будет сделан в  пользу городского парка.

     Действительно, сначала парк признается лучшей альтернативой  по сравнению с муниципальным  жильем (2 голоса против 1). Затем вариант  частного строительства признается худшим по сравнению с вариантом  муниципального жилья (1 голос против 2). В итоге наилучший вариант  – это городской парк, он лучше  муниципального жилья и тем более  лучше частного строительства. Но если бы мы сначала поставили на голосование  городской парк и муниципальное жилье, а затем городской парк и частное строительство и на этом остановились, то результат был бы противоположным. 

2.1 Практический пример выбор большинством голосов 

     Допустим, у нас имеются 3 кандидата A, B, C и 60 избирателей. Составим таблицу(Таблица 1.1.1), которая будет отображать предпочтения избирателей. 

Таблица 1.1.1 Распределение голосов (метод болшинства)

     Таким образом выигрывает кандидат A, который набрал большинство голосов.

     Но  Борда и Кондрасе заметили что  правило относительного большинства  может приводить к избранию плохого кандидата, точнее такого кандидата, который в парном сравнении по парному большинства проигрывает любому другому кандидату. 

     Глава 3. Принцип Кондрасе. 

     В 1996 г. перед первым туром президентских  выборов в России по московскому  радио передавали выступление избирателя, недовольного системой голосования. Он предлагал разрешить каждому избирателю не только голосовать за одного кандидата, но и упорядочивать всех кандидатов по своему предпочтению от лучшего к худшему. Только после этого, утверждал выступавший, будет ясно истинное отношение населения России к кандидатам в президенты.

     Интересно, что большой интерес к разным системам голосования наблюдался примерно за 200 лет до этого во Франции. При этом ситуации в двух странах были близкими: и тут и там происходил переход от тоталитаризма к новой системе, позволяющей каждому избирателю голосовать свободно и тайно.

     Одним из первых, кто заинтересовался системами  голосования, был французский ученый маркиз де Кондорсе (1743— 1794). Он сформулировал принцип или критерий, позволяющий определить победителя в демократических выборах. Принцип де Кондорсе состоит в следующем: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

     Определение: Для заданного профиля предпочтений победителем по Кондрасе называется кандидат a (с необходимостью единственный), который побеждает любого другого кандидата при парном сравнении по правилу большинства для всякого b≠a выборщиков, считающих a лучше b, больше, чем тех, кто считает , что b лучше a. Состоятельное по Кондрасе правило выбирает победителя по Кондрасе, если такой существует.

     Каждый  из голосующих упорядочивал кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. Согласно де Кондорсе, справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных за них. Принцип де Кондорсе предлагался как рациональный и демократический. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с парадоксом, получившим впоследствии его имя.  

Парадокс  Кондорсе

Таблица 1.2. парадокс Кондорсе 

     В табл. 1.2 приведены трое голосующих А, В, С со своими предпочтениями в отношении вариантов выбора х, у, z.

     При последовательном голосовании вариантов  по парам результаты голосования  по принципу большинства будут следующими:

     1. Голосуются х и у: выбирается вариант х, так как за него выступает большинство (А и С ).

     2. Голосуются у и z: выбирается вариант у, так как за него выступает большинство (А и В ).

     3. Голосуются z и x: выбирается вариант z, так как за него выступает большинство (B и С).

     Результаты  голосования (результаты коллективного  выбора) являются непоследовательными  и противоречивыми. Рациональность и транзитивность коллективного  выбора предполагают выбор варианта х в сравнении с вариантом z. Если бы А был диктатором, то это  бы и случилось. Но в условиях демократического выбора результат выборов непоследователен.  

     Вместе  с тем голосование по принципу простого большинства не всегда ведет  к парадоксу Кондорсе.  

3.1 Практический пример  метода Кондрасе 

     Рассмотрим  пример голосования в собрании представителей из 60 чел. Пусть на голосование поставлены три кандидата: А, В и С, и голоса распределились, как в табл. 1.2.2.

     Сравним предпочтения в парах кандидатов. Берем А и С: тогда А предпочитают 23+2=25; С по сравнению с А предпочитают: 17+10+8=35. Следовательно, С предпочтительнее А (С > А) по воле большинства.

Таблица 1.2.2 Распределение голосов (парадокс Кондорсе)

     Сравнивая попарно аналогичным образом  А и В, В и С, получаем: В > С (42 против 18), С > А (35 против 25) и А > В (33 против 27). Следовательно, мы пришли к противоречию, к нетранзитивному отношению А > В > С > А.

     Столкнувшись  с этим парадоксом, Кондорсе выбрал наименьшее зло, а именно то мнение, которое поддерживается большинством голосов (избранным следует считать А).  
 

     Глава 4. Метод Борда. 

     Определение правила Борда: Каждый выборщик объявляет свои предпочтения , ранжируя p кандидатов от лучшего к худшему (безразличие запрещается). Кандидат не получает очков за последнее место, получает одно очко за предпоследнее и так далее, получает p - 1 очков за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой очков. Он называется победителем по Борда.

     Согласно  этому методу результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов. Пусть число кандидатов равно п. Тогда за первое место присуждается п баллов, за второе — n —1, за последнее — один балл.

     Применим  метод Борда к приведенному выше примеру (см. табл. 1.1). Подсчитаем число баллов для каждого из кандидатов:

     A:23x3 + 19xl + 16xl + 2x2 = 108;

     B:23xl + 19x3 + 16x2 + 2xl = 114;

     С:23х2 + 19х2 + 16х2 + 2хЗ = 138.

     В соответствии с методом Борда  мы должны объявить победителем кандидата С.

     Однако  с методом Борда, как и с  принципом Кондорсе, возникают проблемы. Предположим, что результаты голосования в выборном органе представлены табл. 1.3. Подсчитав баллы в соответствии с методом Борда, получим: А — 124, В — 103, С — 137. В соответствии с методом Борда победителем следует объявить кандидата С. Однако в данном случае явным победителем является кандидат А, набравший абсолютное большинство голосов: 31 из 60.  
 
 
 
 
 
 

Таблица 1.3 Распределение голосов (метод Борда)

     Приведенные примеры позволяют понять, что  парадоксы при голосовании не возникают лишь в случае, когда  есть два кандидата и победитель определяется по принципу абсолютного  большинства голосов. Однако такой  случай нетипичен для большинства  выборов в демократических странах. Обычно число кандидатов больше, чем два, и редки случаи, когда кто-то из них сразу же получает поддержку абсолютного большинства избирателей.

     Интересно, что парадоксы голосования сохраняются  и при введении двух туров и  условии, что во второй тур выходят  два кандидата, набравшие большинство  голосов. Обратимся к табл. 11.1, составленной Кондорсе. В соответствии с предпочтениями во второй тур выходят А (23 голоса) и В (19 голосов), после чего побеждает А. Однако при небольшом усилении первоначальной позиции А предпочтения двух избирателей (3-я строка) выглядят как А> В> С, во второй тур выходят А (25 голосов) и С (20 голосов), после чего побеждает С. Ясно, что такой результат голосования противоречит здравому смыслу.  

     Глава 5. Теорема Эрроу.

           Пусть имеются конечные множества, E («избиратели», «электорат», «эксперты») и C («кандидаты», «альтернативы»). Каждый из избирателей имеет относительно любого из кандидатов определённое мнение, выражаемое в предпочтениях одних кандидатов по сравнению с другими, т. е. избиратели ранжируют (упорядочивают) множество альтернатив C — создают свой профиль предпочтений. Отношение предпочтения избирателем e кандидата с₁ по сравнению с кандидатом c₂ запишем в виде с₁ >_e с₂, что можно читать: «c₁ лучше c₂», или «c₁ предпочтительнее c₂», или «c₁ выше c₂» (с точки зрения e). Очевидно, что определённое нами отношение препочтения обладает свойством транзитивности: ((a > b) & (b > c)) ⇒ a > c.

           Задача заключается в том, чтобы по заданным индивидуальным профилям предпочтений для каждого избирателя построить профиль общественного предпочтения, т. е. определить ранжировку кандидатов, «справедливую» для всего множества избирателей. Например, пусть из кандидатов C = {Иванов, Петров, Сидоров} избиратели E = {1, 2, 3} выбирают лучшего и профили их предпочтений таковы:

          Тогда профиль общественного предпочтения (итоговая ранжировка множества кандидатов C), определённый по большинству голосов: Петров >_E Сидоров >_E Иванов.

          Сразу заметим, что даже для таких простых случаев, когда выбирают из трёх кандидатов три избирателя простым большинством голосов, могут возникнуть проблемы. Рассмотрим, к примеру, такую ранжировку кандидатов:

тогда, большинством в два голоса против одного, имеем  Петров >_E Сидоров,   Сидоров >_E Иванов,   Иванов >_E Петров,   т. е. получаются противоречащие друг другу условия и профиль общественного предпочтения в этом случае не существует. Рассмотренный пример — простейшая иллюстрация парадокса Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet), открытого в 1785 г.

          Все известные правила «демократического» голосования имеют существенные недостатки. В качестве иллюстрации приведём два простых примера. Наиболее распостранённое правило простого большинства голосов, когда побеждает тот кандидат, который набрал наибольшее количество голосов. Тогда в ситуации, когда кандидат Иванов получил 40% голосов, а Петров и Сидоров — по 30%, победит Иванов, несмотря на то, что большинство избирателей в 60% высказалось против него и, быть может, от всей души ненавидят этого кандидата. Другое, также очень распостранённое, правило голосования в два тура: если при первом голосовании никто из кандидатов не набрал более 50% голосов, то два претендента, получившие максимальное число голосов, проходят во второй тур голосования, где победитель определяется по правилу простого большинства. Рассмотрим случай, когда кандидаты в первом туре получили ранжировку, но при этом вместо одного избирателя голосуют их коалиции, имеющие в своих составах 1-я — 40%, 2-я — 29,9% и 3-я — 30,1% избирателей. Тогда во второй тур пройдут Иванов и Сидоров, причём победит последний, собрав 60% голосов (считаем, что предпочтения избирателей не меняются за всё время выборов и подсчёт голосов абсолютно честный). Однако, если исключить из списка кандидатов Иванов, вроде бы, не имеющего шансов на победу, то выиграет Петров. Ясно, что это открывает большие возможности для манипуляций, даже при самом честном подсчёте голосов избирателей.